פיסיקה 1 מכניקה אייל לוי

Transcript

1 פיסיקה 1 מכניקה k m אייל לוי

2 סטודנטים יקרים ספרתרגיליםזההינופרישנותנסיוןרבותשלהמחברבהוראתפיסיקהבאוניברסיטתתלאביב, במכללת אפקה,ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפניקורסחשובזה. הספר עוסק בפיסיקה 1 מכניקה קלאסית,והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד,בהתאם לתכניות הלימוד השונות. הנסיון מלמדכילתרגולבקורסזהחשיבותיוצאתדופן,ולכןספרזהבולטבהיקפוובמגווןהתרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר o.il הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית,שיטתית ופשוטה,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה! אייל לוי

3 סילבוס וקטורים פרקזהמהווהבסיסמתמטיהדרושכדילתארפונקציותפיסיקליותשמיוצגותהןעלפיגודלוהןעלפיכיוון. נושאי הפרק הם: הצגה קרטזית והצגה פולרית (הצגה קוטבית),חיבור וחיסור וקטורים,מכפלה סקלרית,מכפלה וקטורית. קינמטיקה פרק זה מתאר את התנועה של גופים נקודתיים במגוון מקרים, ומתמקד בתלות בזמן של הפונקציות הקינמטיות: המיקום,המהירות והתאוצה. נושאי הפרק הם: תנועה במימד אחד (כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית),תנועה בליסטית (כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת),תנועה במרחב,תנועה יחסית,טרנספורמציית גליליי,קינמטיקה של תנועה מעגלית. דינמיקה פרקזהמתאראתהשפעתכוחותעלתנועתגופים,ומתמקדהןבכוחותהסטנדרטיים: כחהכובד,כחהמתיחות,כח נורמלי וכח החיכוך,והן בכוחות חיצוניים תלויי זמן וכוחות מדומים (כוחות ד אלמבר). נושאי הפרק הם: שווי משקל,חוקי ניטון. עבודה ואנרגיה פרקזהאףהואמתאראתהשפעתכוחותעלתנועתגופים,וגםהואמתמקדהןכוחותהסטנדרטיים: כחהכובד,כח המתיחות,כח נורמלי וכח החיכוך,והן בכוחות חיצוניים תלויי מרחב (משמרים ולא משמרים). נושאי הפרק הם: חישוב עבודה,משפט העבודה אנרגיה,הספק. מתקף ותנע פרקזהמתאראתהשפעתכוחותחיצונייםעלמערכתגופים,ואתאופןההתמודדותעםתופעותכגוןהתנגשויות והתפוצצויות. נושאי הפרק הם: מתקף תנע של גוף נקודתי,התנגשויות והתפוצצויות,מרכז מסה. תנועה סיבובית פרק זה מתאר את תנועותיהם של גופים פיסיקליים (בעלי צורה)בהשפעת כוחות. נושאיהפרקהם: תנעזוויתישלגוףנקודתי,שווימשקלשלגוףקשיח(סטטיקה),חישובמומנטהתמדה,גלגול ללא החלקה,תנועת גוף קשיח. תנועה הרמונית פרק זהמתאר מקרה פרטי ומעניין של תנועה מחזורית, וכן אתהשפעת כוחותמרסנים (חיכוך) או מאלצים על התנועה. נושאי הפרק הם: תנועה הרמונית פשוטה,תנועה הרמונית מרוסנת,תנועה הרמונית מאולצת. גרביטציה פרקזהמתאראתהשפעתםשלכוחותמרכזייםעלתנועתגופים,ומתמקדבתנועתגופיםסביבכוכביםוכוכבילכת. נושאי הפרק הם: חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית. 1

4 תוכן עניינים 1 וקטורים הצגהקרטזיתוהצגהפולרית(קוטבית) חיבורוחיסורוקטורים מכפלהסקלרית מכפלהוקטורית קינמטיקה תנועהבמימדאחד(כוללזריקהאנכיתונפילהחופשית) תנועהבליסטית(כוללזריקהאופקיתוזריקהמשופעת) תנועהבמרחב תנועהיחסית,טרנפורמצייתגליליי קינמטיקהשלתנועהמעגלית דינמיקה שווימשקל חוקיניוטון עבודה ואנרגיה חישובעבודה משפטהעבודה אנרגיה הספק מתקף ותנע מתקף תנעשלגוףנקודתי התנגשויותוהתפוצצויות מרכזמסה תנועה סיבובית תנעזוויתישלגוףנקודתי שווימשקלשלגוףקשיח(סטטיקה)

5 6.3 חישובמומנטההתמדה גלגולללאהחלקה תנועתגוףקשיח תנועה הרמונית תנועההרמוניתפשוטה תנועההרמוניתמרוסנת תנועההרמוניתמאולצת גרביטציה חוקיקפלרותנועהגרביטציונית

6 פרק 1 וקטורים 1.1 הצגה קרטזית והצגה פולרית (קוטבית) נתונים גודלם וכיוונם של ארבעה וקטורים במערכת הצירים: (א)וקטורA שאורכו 10 וזוויתהפריסהשלוביחסלצירה x היא 30. (ב)וקטורB שאורכו 8 וזוויתהפריסהשלוביחסלצירה x היא 150. (ג)וקטורC שאורכו 13 וזוויתהפריסהשלוביחסלצירה x היא 225. (ד)וקטורD שאורכו 5 וזוויתהפריסהשלוביחסלצירה x היא 319. רשמו כל אחד מהוקטורים בהצגה קרטזית. (א)( 8.66,5 ) (ב)( 4,6.93 ) (ג)( 9.19, 9.19 ) (ד)( 3.77, 3.28 ) נתונים ארבעה וקטורים במערכת הצירים,בהצגה קרטזית: (א)וקטור( 8,6 ) = A. (ב)וקטור( 6,12 ) = B. (ג)וקטור( 9, 15 ) = C. (ד)וקטור( 2, 7 ) = D. מצאואתההצגההפולריתשלכלוקטור,כלומראתאורכושלכלוקטורואתזוויתהפריסהשלוביחסלצירה x. (א)( (10,36.87 (ב)( (13.42, (ג)( (17.49, (ד)( (7.28,

7 1.1.3 נתוניםהוקטורים: ) (6,315 = b a = (4,22 ) ; הרשומיםבצורהפולרית. רשמואתההצגההקרטזיתשלכלאחדמהוקטורים. a = (3.71,1.50) ; b = (4.24, 4.24) נתוןהוקטור 2î+3ĵ a = בהצגהקרטזית. רשמו את הוקטור בהצגה פולרית (גודל וכיוון). a = (3.61,56.31 ) נתוןהוקטור 3î 5ĵ. a = רשמו את הוקטור בהצגה פולרית. a = (5.83, ) 5

8 1.2 חיבור וחיסור וקטורים נתוניםשניוקטורים: (2, 3) = B A = î+ĵ ; הרשומיםבצורהקרטזית. חשבו את: (א)סכומם. (ב)הפרשם. (ג) B.3 A 2 (ד) B.4 A+ (א)( 1, 2 ) (ב)( 3,4 ) (ג)( 7,3 ) (ד)( 2,1 ) נתוניםשניוקטוריםהרשומיםבצורהפולרית: ) (10, 30 = B A = (8,50 ) ;. חשבו ורשמו בצורה פולרית את: (א) B.2 A 1.5 (ב) A B 3. (א)( (19.94,97.81 (ב)( (24.35, נתונים שלושה וקטורים כמשורטט: חשבו את: (א) b+ c. a+ (ב) b 2.4 c.1.7 a 3 6

9 y a = x b = 8 30 c = 6 (א)( 3.24,5.98) (ב)( 30.68,25.3) איזהוקטורישלהוסיףל 10ˆk A = î 4ĵ ול 5î+ˆk B = כדישהסכוםהכולליהיהשווהאפס(בעייתשווי משקל)? (4,4,9) y נתונים שני וקטורים כמשורטט: מצאווקטורc שיקייםאתהתנאי 0 = b 7 c. a+15 a = b = 5 x 7

10 c = (9.88, 5.96) 8

11 1.3 מכפלה סקלרית נתוניםשלושהוקטוריםהמוצגיםבצורהקרטזית: ( 2,1,2) = c. a = (3,4) ; b = ( 1, 1) ; (א)חשבואתהמכפלההסקלריתa b ואתהזוויתביןa ל b. (ב)חשבואתהמכפלההסקלריתb c ואתהזוויתביןb ל c. (א) = ab a b = 7 ; θ (ב) = θbc b c = 1 ; נתוניםשניוקטוריםהמוצגיםבצורהקרטזית: (7,3, 1) = b. a = (1, 1, 2) ; (א)חשבואתהמכפלההסקלריתa b ואתהזוויתביןa ל b. (ב)חשבואתהזוויתביןוקטורa לצירה x. (ג)חשבואתהזוויתביןוקטורb לצירה z. (ד)חשבואתהזוויתביןb +a לצירה y. (א) 71.4 = ab a b = 6 ; θ (ב) (ג) (ד) נתוניםשניוקטוריםבהצגהקרטזית:. a = î+2ĵ +3ˆk ; b = ĵ 5ˆk מצאווקטוריחידהĉ (כלומרוקטורשאורכו 1 )שיהיהמאונךלמישורעליונמצאיםa ו b. ĉ = ±(0.808, 0.57, 0.115) נתוניםשניוקטוריםבהצגהקרטזית: (0,0,5) = b. a = (1,1,1) ; מצאווקטורc שאורכו 7 = c שיוצרזוויתשל 30 עםוקטורa ויוצרזוויתשל 60 עםוקטורb. c = או( 6,1,3.5 ) c = (1,6,3.5) 9

12 1.3.5 הוכיחו את משפט הקוסינוסים בעזרת שימוש במכפלה סקלרית! תזכורת: משפטהקוסינוסיםאומרכיבמשולשמתקייםהקשרהבאביןהצלעות: c 2 = a 2 +b 2 2abcosγ כאשר הזוויתמולהצלעc. γ 10

13 . c = a b 1.4 מכפלה וקטורית נתוניםשניוקטוריםבהצגהקרטזית:. a = 2î+ĵ 9ˆk ; b = 20î 10ĵ +35ˆk (א)חשבואתגודלושלהוקטורהמתקבלמהמכפלההוקטוריתביןשניהוקטורים: (ב)חשבואת הוקטור המתקבלמהמכפלה הוקטורית ביןשני הוקטורים: c, = a b והראו שגודלושווה לערך שהתקבל בסעיף (א). (א) = c (ב)( 55, 110,0 ) = c נתוניםשניוקטוריםבהצגהקרטזית:. a = î+2ĵ +3ˆk ; b = ĵ 5ˆk מצאווקטוריחידהĉ (כלומרוקטורשאורכו 1 )שיהיהמאונךלמישורעליונמצאיםa ו b. ĉ = ±(0.808, 0.57, 0.115) נתוניםשניוקטוריםבהצגהקרטזית: (5,2a,0) A = (a,3,0) ; B =,כאשרa קבועכלשהו. מצאועבוראילוערכיםשלa מתקייםכיהוקטוריםמקביליםזהלזה, B A. a = ± נתוניםשניוקטוריםבהצגהקרטזית:. a = 3î+a y ĵ 2ˆk ; b = b x î+ĵ ˆk כמוכןידועכיהמכפלההוקטורית ביניהםהיא:. c = a b = 8î 2ĵ +c zˆk מצאואתשלושתהפרמטרים.a y,b x,c z a y = 6 ; b x = 2.5 ; c z = 18 11

14 כאשרα, a sinα = b sinβ = c sinγ הוכיחו את משפט הסינוסים בעזרת שימוש במכפלה וקטורית! תזכורת: משפטהסינוסיםאומרכיבמשולשמתקיימיםהקשריםהבאיםביןהצלעות: ו c. הןהזוויותבהתאמהמולהצלעותb,a ו γ β 12

15 פרק 2 קינמטיקה 2.1 תנועה במימד אחד (כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית) טילנמצאבמנוחהעלפניכדה א. מנועיומפעיליםכחכךשהטילנעבתאוצהקבועה 5 m s 2 במגמהאנכיתמעלה. לאחר 10 שניות נגמר הדלק והוא ממשיך לנוע בהשפעת הגרביטציה בלבד. (א)באיזהגובהמעללקרקענמצאהטילברגעשנגמרהדלקבמנועיו? (ב)באיזה רגע,יחסית להתחלה,מגיע הטיל לשיא הגובה,ומהו הגובה בשיא? (ג)באיזה רגע,ביחס להתחלה,פוגע הטיל בקרקע? (ד)מהגודלהשלמהירותהפגיעהבקרקע? m s (א) m 250 (ב)שיאהגובההואm אליומגיעהגוףלאחרs (ג) s (ד) מכוניתנוסעתבמהירותקבועהשל v c = 25 m s לאורךצירx וברגעמסוים( 0 = t )היאחולפתעלפניאופנוע. ברגע זה, האופנועמתחיללנועממנוחהבתאוצהקבועה a m = 2 m s 2 באותוהכיוון. מהירותוהמקסימליתשל האופנוע היא.v m,max = 50 m s (א)שרטטוגרפיםשלמהירויותהמכוניתוהאופנועכפונקציהשלהזמן,מהרגע 0 =.t (ב)שרטטוגרפיםשלמיקומיהמכוניתוהאופנועכפונקציהשלהזמן,מהרגע 0 =.t (ג)באיזה רגע ישיג האופנוע את המכונית? (ד)מהו מיקום האופנוע,ביחס להתחלה,ברגע שישיג את המכונית? 13 (ג) s 25 (ד) m 625

16 2.1.3 גוףנעלאורךצירx כךשמיקומובכלרגעהוא:.x(t) = t 3 +6t 12 m (א)מהימהירותהגוףבכלרגע? שרטטוגרףשלמהירותהגוףכפונקציהשלהזמן! (ב)מהיתאוצתהגוףבכלרגע? שרטטוגרףשלתאוצתהגוףכפונקציהשלהזמן! (ג)באיזהרגענעצרהגוף? (ד)מהימהירותהגוף 10 שניותלאחרתחילתהתנועה? (א) v(t) = 3t 2 +6 m s (ב) a(t) = 6t m s 2 (ג) s t = 1.41 (ד) v(t = 10 s) = 294 m s גוףנעלאורךצירx עםתאוצהתלויתזמן:.a(t) = 2 t 3 m s 2 (א)מהימהירותושלהגוףבכלרגעאםנתוןכיברגע 0 = t מהירותוהיתה 5 m בכיווןהשלילישלהציר( x ˆ )? s (ב)מהומיקומושלהגוףבכלרגעאםנתוןכיברגעs t = 2 מיקומוהיהm?x(t = 2 s) = 10 x(t) = t 1.5t t 5/2 (ב) m v(t) = 5+ 4 (א) 3t 3/2 3t m s גוףנע כךשמהירותו בכל רגענתונה ע י: (2 5sin(3t.v(t) = נתוןכי ברגע = 0 t מיקומו של הגוף היה.x(t = 0) = 1 m (א)מהומיקוםהגוףברגעs?t = 12 (ב)מהיתאוצתהגוףברגעs?t = 3 (ג)מהיהמהירותהממוצעתשלהגוףבין 0 = t ל s?t = 1 (א) m x(t = 12 s) = 1.73 (ב) a(t = 3 s) = m s 2 (ג) v average = 1.59 m s 14

17 2.2 תנועה בליסטית (כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת) v. 0 = 30 m s המטרה היא לפגוע במטרה שנמצאת במרחק אופקי זורקים כדור מהקרקע במהירות התחלתית d = 20 m ובגובהm h = 12 מנקודתהזריקה. באילוזוויותביחסלאופקישלזרוקאתהכדורכדילפגועבמטרה? או y גוףנזרקמגובהh מעללקרקע,בזוויתθ ביחסלאופק. עדלשיאהגובהעוברהגוףמרחקאופקיd. θ d x.h max = h+ dtanθ 2 הראו כי הגובה המקסימלי אליו מגיע הגוף הוא: גוףמקבלמהירותהתחלתיתשל v 0 = 5 m s בקצהשולחןשאורכוm d = 2 וגובהוm.h = 1 השולחןמפעילחיכוך עלהגוףשגורםלולתאוטהשגודלה.a = 1 m s 2 כאשרהואמגיעלשפתהשולחןהואמתנתקממנווממשיךלנוע באווירבהשפעתהכבידהבלבד,עדשהואפוגעבקרקעבמרחקD משפתהשולחן. v 0 h d D (א)מהי מהירות הגוף בשפת השולחן,רגע לפני התנועה באוויר? (ב)מהוהמרחקD? (ג)כמהזמןארכהכלהתנועה? 15 (א) 4.58 m s (ב) m 2.07 (ג) s 0.87

18 2.2.4 פעלולןעלאופנייםמתחילנעבמהירות v 0 עלמישוראופקי. ברגעמסוים( 0 = t )הואמתחיללעלותבמעלהמדרון משופעשזוויתו 30 = θ וגובהוm.h = 5 במהלךהעליההואחשתאוטהשגודלה.a = 2 m s 2 הפעלולןמגיעלקצה המדרוןומשםממשיךלנועבאווירבהשפעתהכבידהבלבד. הואנוחתעלהקרקעבמרחקm l = 10 מקצההמדרון המשופע. h θ v 0 l (א)מהיהמהירותההתחלתיתשלהפעלולןבתחתיתהמדרון,?v 0 (ב)מהוזמןהתנועההכולל,מהרגע 0 = t ועדלרגעבונוחתהפעלולןעלהקרקע? (א) v 0 = m s (ב) s במהירותהתחלתית 0 v,בזוויתכלשהי. 2 הגובההמקסימליאליוהואמגיעהוא 3h. חפץנזרקמבנייןשגובהוh.θ = sin 1 ( gh (א)הראוכיהזוויתבהנזרקהחפץהיא( v0 2.t tot = ( 3+1 ) h (ב)הראוכיהזמןשעברמרגעהזריקהועדשהגוףפוגעבקרקעהוא g 16

19 2.3 תנועה במרחב חלקיקנעבמרחבכךשמשוואתהמיקוםשלובכלרגעהינה:. r(t) = (t 2,2t 3 +5t,t+4) m (א)חשבואתמהירותהחלקיקלאחר 3 שניות. (ב)חשבואתמרחקושלהחלקיקמנקודתההתחלהברגעs.t = 3 (ג)מהיהזוויתביןמהירותהחלקיקלביןתאוצתוברגעs.t = 3 (א) v(t = 3 s) = (6,59,1) m s (ב) m (ג) חלקיקנעכךשוקטורהמיקוםשלובכלרגענתוןע יהביטוי: ( r(t,כאשרr = (Rcosωt,Rsinωt,Rωt) m ו ω קבועים. (א)מהןהיחידותהפיסיקליותשלהפרמטריםR ו ω? (ב)מהווקטורמהירותהחלקיקומהוגודלהשלהמהירותבכלרגע? (ג)מהוקטורתאוצתהחלקיקומהוגודלהשלהתאוצהבכלרגע? a(t) = (ג) v(t) = ( Rωsinωt,Rωcosωt,Rω) ; v(t) = Rω (ב) [R] = m ; [ω] = 1 s = rad s (א) = Hz ( Rω 2 cosωt, Rω 2 sinωt,0) ; a(t) = Rω 2 4 = (t) a N (ה) t 2 +4 m s 2 (ד) a T (t) = 2t t וקטורהמיקוםשלגוףמסויםנתוןבכלרגעעלידיm. r(t) = t 2 i 4t j 2 k (א)חשבואתוקטורמהירותהגוףבכלרגע,( v(t. (ב)חשבואתוקטורהתאוצהשלהגוףבכלרגע,( a(t. (ג)חשבואתגודלהתאוצההמשיקיתבכלרגע,( t ).a T (ד)חשבואתגודלהתאוצההנורמליתבכלרגע,( t ).a N (ה)חשבואתוקטורהתאוצההמשיקיתבכלרגע,( t ). a T (ו)חשבואתוקטורהתאוצההנורמליתבכלרגע,( t ). a N m (א) v(t) = 2tî 4ĵ + 0ˆk m (ב) a(t) = 2î + 0ĵ + 0ˆk m (ג) s 2 s 2 s ( ) 2 2t a N (t) = 2, 4,0 t 2 +4 t 2 +4 m a (ו) s 2 T (t) = 17 ( ) 2t 2, 4,0 t 2 +4 t 2 +4 m s 2

20 2.3.4 גוףנעכךשמיקומובכלרגענתוןע יהביטוי:. r(t) = 1.2t 3 î 500e 0.1t ĵ +0.1sin(1.5t 2 )ˆk m (א)מהי מהירות הגוף בכל רגע,ומהי מהירותו ההתחלתית? (ב)מהיתאוצתהגוףבכלרגע,ומהיהתאוצהברגעs?t = 4 (ג)מצאווקטוריחידהבכיווןהמשיקיברגעs.t = 1 (ד)מצאואתגודלהשלהתאוצההמשיקיתברגעs.t = 1 (ה)מצאואתגודלהשלהתאוצההמאונכתברגעs.t = 1 a(t) = (7.2t, 5 e 0.1t,0.3 (ב) v(t) = (3.6t 2,50 e 0.1t,0.3t cos1.5t 2 ) m s ; v 0 = (0,50,0) m s (א) cos1.5t 2 0.9t 2 sin1.5t 2 ) m s 2 ; a(t = 4 s) = (28.8, 3.35,13.17) m s 2 (ג)( 0.08,0.997,0 ) = s) ˆv(t = 1 (ד) a N (t = 1 s) = 7.59 m s 2 (ה) a T (t = 1 s) = 3.93 m s מיקומושלגוףנתוןבביטויm. r(t) = Acos(αt 2 )î+asin(αt 2 )ĵ (א)מהןהיחידותהפיסיקליותשלהפרמטריםA ו α (ב)מהימהירותהגוףבכלרגע? (ג)מהיתאוצתהגוףבכלרגע? (ד)מהיהתאוצההמשיקיתבכלרגע? מצאוגםאתגודלהוגםאתתיאורההוקטורי! (ה)מהיהתאוצההמאונכתבכלרגע? מצאוגםאתגודלהוגםאתתיאורההוקטורי! a(t) = 2αA( sin(αt 2 ),cos(αt 2 ( v(t (ג) (( = 2αtA( sin(αt 2 ),cos(αt 2 [ A ](ב)(( = m ; [α] = 1 s 2 = rad (א) s 2 4α 2 t 2 A(cos(αt 2 ),sin(αt 2 )) v 0 = 50 m s בזווית 25 = θ ביחס לאופק. במהלך כדור טניס נורה ממכונה מהקרקע במהירות התחלתית התנועה באוויר פועלים על הכדור כוחות שאינם ניתנים להזנחה,כך שהוא מרגיש תאוצה שנתונה בביטוי = a(t).(5e 0.2t, 9.8) m s 2 הגדירוצירx אופקיוצירy אנכי. (א)מהימהירותהגוףבכלרגע? (ב)מהומיקוםהגוףבכלרגעאםנתוןכיברגעהירי, 0 = t,הכדורהיהבראשית? (ג)מתימגיעהגוףלשיאהגובה? מהימהירותוומהומיקומוברגעזה? (ד)מתיפוגעהכדורבקרקע? מהימהירותוומהומיקומוברגעזה? 18

21 v(t ( r(t (ג)= = (70.32t+125 e 0.2t 125,21.13t 4.9t 2 ) m(ב) v(t) = ( e 0.2t, t) (א) m s v(t = 4.31 s) = (59.76, 21.11) m ; r(t (ד)= 2.16 s) = (54.09,0) m ; r(t = 2.16 s) = (108.04,22.78) m s s 4.31 s) = (230.87,0) m 19

22 2.4 תנועה יחסית,טרנפורמציית גליליי שתימכוניותנעותעלמישוראופקי. מהירותהמכוניתAבכלרגעהיא. v A (t) = (3t 2, 2t) m מהירותהמכוניתB s ומיקוםהמכוניתB r 0,A = ( 27,9) מיקוםהמכוניתAהיהm t = ברגע 0. v B (t) = ( 4t,6t 2 ) m בכלרגעהיא s היהm. r 0,B = (8, 54) (א)מהומיקומןשלכלאחתמהמכוניתבכלרגע? (ב)מתי מגיעה כל מכונית לראשית? (ג)מההמיקוםהיחסישלהמכוניתAביחסלמכוניתBבכלרגע,והאםהןנפגשות? (ד)מהיהמהירותהיחסיתשלהמכוניתAביחסלמכוניתB? (א) r A (t) = ( 27 + t 3,9 t 2 ) m ; r B (t) = (8 2t 2, t 3 ) m (ב) המכונית A מגיעה לראשית ברגע t = 3 s בעודהמכוניתBלאמגיעהלראשיתלעולם. (ג) m r,המכוניות (t) = (t 3 +2t 2 35, 2t 3 t 2 +63) לאנפגשותלעולם. (ד) v (t) = (3t 2 +4t, 6t 2 2t) m s צופה יושב ליד חלון רכבת הנוסעת במהירות קבועה v. 1 = 54 m כמה זמן הוא יצפה ברכבת שניה שאורכה s L = 60 m שנעהבכיווןההפוךבמהירותקבועה v 2 = 36 m חולפתעלפניו? s 2 s שלגיורדבכיווןאנכי,ובהשפעתכלהכוחותהפועליםעליוהואנופלבמהירותקבועה.v 1 = 2.4 m s רוכבאופנוע v 2 = 86.4 km בכיווןהאופקי. חשבובאיזוזוויתביחסלאנךרואההרוכבאתהשלגהנופל. נוסעבמהירותקבועה hr נהרזורםבמהירות 1.5 m s מזרחה. סירהחוצהאתהנהרמהגדההדרומית,במהירות 7.5 m s בניצבלנהר. (א)מהוקטורמהירותהסירהכפישהיאנראיתע יצופהמהקרקע? (ב)אםרוחבושלהנהרהואm 325,מהיהיהמרחקהסירהכאשרתגיעלגדההצפונית,מנקודתהיציאה? 20

23 (א) (1.5,7.5) m s (ב) m עגלהשאורכהL נעהימינהבתאוצהקבועהa. ברגעמסויםנזרקכדורמהקצההימנישלהאנכיתמעלה(ביחס לעגלה)במהירות v. מהימהירותזריקתהכדורהמקסימליתהאפשרית v max עבורההכדורעדייןיפולבתוךהעגלה? v = g L 2a מכוניתנוסעתבמישוראופקיxy במהירותשנתונהבביטוי. v(t) = (10t 2 +5,2t 3,0) m s ברגע 0 = t,כאשרהמכוניתחולפתעלפניראשיתהצירים,נזרקמהמכוניתכדורקטןבמהירות v 0 = 4 m אנכית s מעלה(בכיווןz )ביחסלמכונית. הכחהיחידשמשפיעעלהכדורהואכחהכובד. (א)מהי מהירות הכדור ביחס למכונית וביחס לקרקע,בכל רגע? (ב)מהיתאוצתהכדורביחסלמכוניתבכלרגע? (ג)מתיפוגעהכדורבקרקע,ומהוהמרחקבינולביןהמכוניתברגעזה? הניחוכיגובההמכוניתקטןמאד. v(t) = (10t 2 + 5,2t 3,0) m s ; v (t) = ( 10t 2, 2t,4 9.8t) m s (ב) a (t) = ( 20t, 2, 9.8) m s 2 (ג) (א) t = s ; r = m 21

24 2.5 קינמטיקה של תנועה מעגלית גוףנעבתנועהמעגליתבמישורxy כךשמיקומובכלרגענתוןבביטוי: r(t) = Rcos(θ) i+rsin(θ) j m כאשר( θ(t θ = היאהזווית(ברדיאנים)ביחסלצירה x. (א)מצאואתr ˆ וקטורהיחידהבכיווןהרדיאלי. (ב)מצאואתוקטורמהירותהגוףואתגודלהבכלרגע. (ג)מצאואתϕ ˆ וקטורהיחידהבכיווןהמשיקי. (ד)מצאו את וקטור התאוצה ואת גודלן של התאוצות המשיקית והרדיאלית. dθ(t). ω(t) = חשבואתהמכפלההוקטוריתr ω והוכיחושהתוצר (ה)נתוןכיוקטורהמהירותהזוויתיתהואk dt הוא וקטור המהירות. a(t) = (ד) ˆϕ = ( sinθ,cosθ) (ג) v(t) = R dθ(t) R d2 θ(t) dt 2 ( sinθ,cosθ) R ( dθ(t) dt ) 2(cosθ,sinθ) ; aϕ = R d2 θ(t) dt 2 dt ( sinθ,cosθ) ; v(t) = R dθ(t) dt (א) (cosθ,sinθ) ˆr = (ב) ; a r = R ( dθ(t) dt ) גוףנעבתנועהמעגליתבמגעלשרדיוסוm.R = 5 הזוויתבכלרגענתונהבביטויrad.θ(t) = 2t 3 מצאו את התאוצה המשיקית,התאוצה המרכזית ואת התאוצה הכללית בכל רגע! a ϕ (t) = 60t m s 2 ; a r (t) = 180t 4 m s 2 ; a(t) = 60t 9t חלקיקנעבתנועהמעגלית,לפיm ( s(t,כאשרs = 2t 3 +t 2 +4t הואהמרחקהנמדדלאורךהקשת. נתוןכיברגע t = 1 s התאוצההכלליתהיא.a(t = 1 s) = 16 m s 2 מהורדיוסהמעגל? R = m 22

25 2.5.4.ω = rad s כדור הארץ מסתובב סביב צירו עם מהירות זוויתית קבועה מצאו,כפונקציהשלקוהרוחב( λ ),אתהמהירותוהתאוצהשלנקודהכלשהיעלפניכדה א! N O λ קו המשווה S v = 465.2cosλ m s ; a = 0.034cosλ m s 2.α(t) = 6 t rad s גוףנעבתנועהמעגליתבמסלולשרדיוסוm.R = 0.15 התאוצההזוויתיתשלהגוףבכלרגעהיא: נתוןכיברגע 0 = t מהירותוהזוויותשלהגוףהיתה ω 0 = 0.2 rad והזוויתביחסלצירה x היתהrad.θ 0 = 0.5 s (א)חשבואתהזוויתשלהגוףביחסלצירה x בכלרגע. (ב)חשבואתוקטורתאוצתהגוףברגעs.t = 1 (ג)חשבואתוקטורהיחידההמשיקיואתוקטורהיחידההרדיאליברגעs.t = 1.2 (א) rad t+ 8 5 t5/2 (ב) a(t = 1 s) = ( 1.23, 4.66) m s 2 (ג)( 0.122, ) = s) ˆr(t = 1.2 s) = ( 0.993, 0.122) ; ˆϕ(t =

26 פרק 3 דינמיקה 3.1 שווי משקל מסה m מוחזקת בעזרת שני חוטים הקשורים בצידם השני לתקרה,כמשורטט. בין החוטים ישנה זווית ישרה. θ m מצאו את המתיחויות בכל אחד מהחוטים כפונקציה שלהזוויתθ,שביןהחוטהימנילתקרה. T 1 = mgsinθ ; T 2 = mgcosθ כדורשמסתוm מונחבתוךבורבקרקע,כפישמתוארבשרטוט: β m α 24

27 חשבו את הכוחות הנורמליים שפועלים על הכדור. N 1 = mg sinβ sinα+β ; N 2 = mg sinα sin α+β α מסה m קשורה לחוט ונמצאת במנוחה,כפי שמתואר בשרטוט: β m מהי המתיחות בכל אחד מהחוטים? T 1 = mg sinβ cosα+β ; T 2 = mg cosβ cosα+β ; T 3 = mg נתונה המערכת הבאה בשווי משקל: m 2 m 1 θ בטאובאמצעותθ.? m 1 m 2 מהוהיחסביןהמסות m 1 m 2 = sinθ 25

28 3.2 חוקי ניוטון לעגלותשבשרטוטישנןמסותkg.m A = 10 kg ; m B = 20 kg ; m C = 30 החוטיםחסרימסה. כח F = 900 N מושךאתהעגלהC. (א)מצאו את תאוצת המערכת והמתיחויות בחוטים? (ב)חזרועלהחישובשל(א)עבורמצבאנכי. A B C F (א) a = 15 m s 2 ; T AB = 150 N ; T BC = 450 N (ב) a = 5.2 m s 2 ; T AB = 150 N ; T BC = 450 N כדורשמסתוkg m = 12 מונחבתוךשקעשנוצרבקוביה,כפישמוראהבשרטוט. הקוביהעשויהחומראשרנשבר כאשרמופעלעליוכחהגדולמ.N max = 150 N כמוכןנתון: 30 =.θ (א) מושכים את הקוביה מטה בתאוצה a. מהי התאוצה המקסימלית האפשרית, a max עבורה הכדור לא יתנתק מדפנות הקוביה? (ב) מושכיםאתהקוביה ימינהבתאוצהa. מהי התאוצה המקסימלית האפשרית, a max עבורה הכדור לא יתנתק מדפנות הקוביה? (ג)מושכיםאתהקוביהמעלהבתאוצהa. מהיהתאוצההמקסימליתהאפשרית, a max עבורהדפנותהקוביהלא ישברו? (ד)מושכיםאתהקוביהשמאלהבתאוצהa. מהיהתאוצההמקסימליתהאפשרית, a max עבורהדפנותהקוביהלא ישברו? m θ (א) a max = 9.8 m s 2 (ב) a max = 5.66 m s 2 (ג) a max = 1.03 m s 2 (ד) a max = 6.84 m s מסוקשמשקלוהואN wנעבאווירכךשמיקומובכלרגענתוןבביטויm = r(t) = 0.04t 3 î 0.2t 2 ĵ+0.3tˆk מהוהכחהשקולשפועלעלהמסוקבכלרגע? 26

29 F(t) = (7200t, 12000,0) N קרוניתנעהבתאוצהקבועהa. לתקרתהקרוניתמחוברחוטובקצהוהשנימסהm. בטאואתזוויתהסטיהשלהחוט מהאנך θ) שבשרטוט)באמצעות.a, g θ a m ) (a θ = tan 1 g עלמישורחלקמשופעבזווית 24 = α נעטריזבעלמסה.M אלמוטשמחוברלטריזקשורחוט. לצידוהשנישל החוטמחוברתמסהקטנהm. כתוצאהמתנועתהטריז,החוטיוצרזוויתβ עםהאנך. m β M α מצאואתהזוויתβ. β = קוףשמסתוm מטפסעלחבלחסרמסהשכרוךסביבגלגלתחסרתחיכוך. בצידהשנישלהחבלתלויאשכולבננות בעלמסהm,אליומנסהלהגיעהקוף. 27

30 m m (א)האםבזמןשהקוףמטפסמעלה,אשכולהבננותעולה,יורדאונותרבאותוהמקום? (ב)האםבזמןשהקוףמטפסמעלה,המרחקבינולביןאשכולהבננותגדל,קטןאולאמשתנה? (ג)הקוףמשחרראתאחיזתובחבל. מהניתןלומרעלהמרחקבינולביןאשכולהבננותבזמןשהואנופל? (א)עולה. (ב)לאמשתנה. (ג)המרחקלאמשתנה קרוןנמשךימינהבתאוצהקבועהa. אלהקרוןצמודגוףשמסתוm. נתוןכיביןהגוףלקרוניתישנוחיכוףעם מקדםסטטי.µ s a m מה התאוצה המינימלית האפשרית עבורה הגוף לא יחליק ביחס לקרון? a min = g µ s נתונההמערכתהבאה: הגלגלותוהחוטיםאידאלים(חסרימסהוחיכוך). איןחיכוךבין m 2 למישורהמשופע. כמו כןנתון: 20 = θ.m 1 = 2 kg ; m 2 = 3 kg ; 28

31 m 2 m 1 θ מהי תאוצת כל אחד מהגופים והמתיחויות בחוטים? a 1 = m s 2 ; a 2 = m s 2 ; T 1 = 9.84 N ; T 2 = 4.92 N מסה m 1 = 8 kg מונחת על מישור משופע בזווית שמשתנה באופן הבא:.θ(t) = 0.3t rad עליה מונחת מסה.m 2 = 6 kg בין m 1 למדרוןקיים חיכוךעםמקדמים 0.55 = k,µ s = 0.6 ; µ ובין m 1 ל m 2 קיים חיכוךעם מקדמים 0.7 = k.µ s = 0.8 ; µ ברגע 0 = t משחרריםאתהמערכתממנוחה. m 1 m 2 θ(t) (א)באיזהרגעתתחילהמסה m 1 להחליקביחסלמדרון? (ב)באיזהרגעתתחילהמסה m 2 להחליקביחסל?m 1 (ג)מהןתאוצותכלאחתמהמסותבכלרגע? a(t) = { 0 t 1.8 s 9.8(sin0.3t 0.55cos0.3t) t > 1.8 s m (א) s t = 1.8 (ב)לעולםלא! (ג) s אדםשמסתו m = 80 kg נמצאבתוךמעליתפתוחהשמסתה M = 40 kg ומושךעצמומעלהבאמצעותמערכת גלגלות כפי שמופיע בשרטוט. הגלגלות והחוטים אידיאלים (חסרי מסה וחיכוך). (א)באיזהכחעליולמשוךאתהחוטכדישיעלהבמהירותקבועה? (ב)באיזהכחעליולמשוךאתהחוטכדישיעלהבתאוצהקבועהg?a = 29

32 T = (m+m)g 2 T = (m+m)g (ב) 4 (א) מסהkg m 1 = 30 מונחתעלשולחן. בינהלביןהשולחןישנוחיכוךעםמקדמים 0.4 = k.µ s = µ על m 1 מונחת מסהkg.m 2 = 10 ביןהמסותישנוחיכוךעםמקדמים 0.6 = k.µ s = µ המסה m 1 קשורהבחוטאידיאלילמסה.m 3 משחרריםאתהמערכתממנוחה. (א)מהיהמסההמינימלית m 3,min הדרושהכדילהניעאתהמערכת? (ב)מהיהמסההמקסימלית m 3,max עבורההמסה m 2 תנועיחדעםהמסה m 1 ולאתחליקעליה? (ג)נתוןכיkg.m 3 = 40 מהןתאוצותכלאחדמהגופים? m 2 m 1 m 3 (א) kg m 3,min = 16 (ב) kg m 3,max = 100 (ג) a = 2.94 m s 2 30

33 מסה m 1 נמצאתעל מישור משופע בזווית θ. על m 1 מונחתמסה m 2 הקשורה אליה בחוטשכרוך סביבגלגלת אידיאלית(חסרתמסהוחיכוך). ביןשתיהמסותקייםחיכוךעםמקדםקינטי µ,אךביןהמסה k m 1 למישוראין חיכוך. משחררים את המערכת ממנוחה,והיא מתחילה להחליק. מהי תאוצת המערכת? m 2 m 1 θ a = [ ] (m1 m 2 ) sinθ 2µ k m 2 cosθ m 1 +m 2 g שני הגופים שבשרטוט, m 1 = 8 kg ו m 2 = 6 kg מחוברים זה לזה ע י חוט אחיד שמסתו.m = 4 kg כח F = 200 N פועלעלהמסה m 1 אנכיתמעלה. (א)מהי תאוצת המערכת? (ב)מהי המתיחות בנקודה העליונה ביותר של החוט? (ג)מהי המתיחות בנקודה התחתונה ביותר של החוט? (ד)מהי המתיחות בנקודה האמצעית של החוט? F m 1 m m 2 (א) a = 1.31 m s 2 (ב) T = N (ג) T = N (ד) T = N 31

34 המערכת המשורטטת יכולה לשמש למדידת תאוצה של מערכת,ע י מדידת זווית הנטיה של החוט המחובר לכדור הקטן(בעלמסהקטנהמאדיחסיתל m). 1 איןחיכוךבמערכת. (א)מצאואתהקשרביןהתאוצהלזוויתθ. (ב)נתוןkg m 1 = 30 ו kg.m 2 = 60 מהיהזוויתθ? (ג)אםאפשרלשנותאתהמסות m 1 ו m 2 כרצוננו,מהיזוויתהסטיההמקסימליתהאפשריתשלהחוט? θ m 1 m 2 (א) gtanθ a = (ב) = θ (ג) 45 = max θ במערכת הבאה הגלגלות והחוטים אידיאלים (חסרי מסה וחיכוך). משחחררים את המערכת ממנוחה. נתון:.m 1 = 1 kg ; m 2 = 4 kg ;,m 3 = 3 kg מצאואת: (א)תאוצתהמסה m 1 ביחסלקרקע! (ב)תאוצתהמסה m 2 ביחסלקרקע! (ג)תאוצתהמסה m 3 ביחסלקרקע! m 3 m 1 m 2 32

35 (א) a 1 = 5.37 m s 2 כלפימטה. (ב) a 2 = 6 m s 2 כלפימעלה. (ג) a 3 = 0.95 m s 2 כלפימעלה אתלטשמסתו m 1 מטפסעלחבלאידאלי (חסרמסהוחיכוך)שכרוךסביבגלגלתאידאלית, ומחוברבצידו השני למשקולת m 2 שמונחתעלהקרקע. תאוצתהאדםהיאa. (א)חשבואתהמתיחותבחבלאםנתוןכיהמסהאינהמתרוממתמהקרקע! (ב)מהיהתאוצההמקסימליתהאפשריתשלהאתלט a max עבורההמשקולתלאתתרומםמהקרקע? (ג)בהנחהשתאוצתהאתלטגדולהמ a,והמסהמתרוממתמהקרקע,מהיתאוצתה? max M m (א)( m(a+g T = (ב) g a M max = M m (ג) m(a+g) g a M = m מסהkg m = 2 נמשכתע יכחאופקי( F(t במעלהמסלולחסרחיכוךשמשוואתהמסלולשלובמערכתהצירים.x(t) = הוא 2t בכלרגע,מיקומובצירx.y = x2 2 הינה (א)מהוהכח( F(t שמושךאתהגוףכפונקציהשלהזמן? (ב)מהוכחהנורמלישפועלעלהמסהכפונקציהשלהזמן? y y = x2 2 F(t) x 33

36 (א) F(t) = 55.2t N (ב) N(t) = ( 55.2t,27.6) N אדםשמסתוm עומדעלמשקלשמונחעלעגלהשמתגלגלתבמורדמדרוןחלקמשופעבזוויתα. (א)מהוהכחאותויראההמשקלבמהלךהתנועה? (ב)מהו מקדם החיכוך הסטטי המינימלי שיאפשר לאדם לא להחליק ביחס למשקל? α (א) α N = mgcos 2 (ב) tanα µ s,min = בשרטוטמתוארות 3 מסות m 1,m 2 ו.m 3 איןחיכוךבמערכת. m 1 F m 3 m 2 (א)מהוהכח F שישלהפעילעלהמסה m 3 כדישהמסות m 1,m 2 לאיחליקוביחסאליה? (ב)מהי תאוצת המערכת במצב המתואר ב (א)? a = m 1 m 2 (ב) g F = (m 2 +m 3 ) m1 m 2 (א) g α(t) = 20t rad מסהkg m = 1 נעהעםשולחןעגולשרדיוסוcm R = 10 השולחןמסתובבעםתאוצהזוויתית s 2 נתוןכיברגע 0 = t הגוףבמנוחה. ביןהמסהלשולחןישנוחיכוךעםמקדם 3 = µ. כמוכןהמסהקשורהבחוט לצירהסיבוב. המתיחותהמקסימליתשיכוללשאתהחוטהיא.T max = 10 N 34

37 R m (א)באיזה רגע יחליק הגוף ביחס לשולחן? (ב)מהיהזוויתשסרקהגוףעדלרגעשמצאתםב (א)? (ג)חוזריםעלהניסויפעםנוספת,אךהפעםמורחיםאתהשולחןבחומרסיכהכךשמקדםהחיכוךבינולביןהמסה הואכעת 0.5 = µ. באיזהרגעיחליקהגוףביחסלשולחן? (א) s t = 1.41 (ב) rad θ = 9.32 (ג) s t = מכוניתשמסתהton m = 3 נוסעתבסיבובברדיוסm R = 30 עלכבישמשופע בזווית 12 =.θ ביןהמכונית לכבישישנוחיכוףעםמקדם 4 =.µ θ m R (א)בתורמהנדסהכביש,מהתורהלכתובעלשלטהמורהלגביהמהירותהמקסימליתהאפשריתעבורהעדיןלא תהיה החלקה? (ב)לפתעהנהגמזההכיבמרחקמהממנו(לאורךהקשת)ישכתםשמןעלהכביש,והואמביןכימקדםהחיכוךשם אפסי. הואמאטכדילאלהחליקבאיזורזה. מהימהירותהנסיעהעבורההואימנעמהחלקה? (א) v max = m s (ב) v = 7.91 m s מסהm צמודהלדופןשלקונוסשמחציתזוויתהראששלוהיא θ,ומסתובבתעםהקונוסבמעגלאופקיבגובהh מקודקודו. מקדם החיכוך בין המסה לדופן הוא µ. 35

38 m θ h מצאואתזמןהמחזורהמינימליואתזמןהמחזורהמקסימליהאפשרייםעבורהתנועהכדישהמסהלאתחליקביחס לדופן! T min = 2π R(sinθ µscosθ) ; T g(cosθ+µ ssinθ) max = 2π R(sinθ+µscosθ) g(cosθ µ ssinθ) מסהm מחליקהמטהעלפניטריזבעלזוויתשיפועθ. הטריזנמשךבתאוצהקבועהA ימינה. ביןהמסהלטריז ישנוחיכוךקינטיעםמקדםtanθ.µ k = m A מהי תאוצת המסה ביחס לטריז וביחס לקרקע? a = A בכיווןמורדהמדרון,ותאוצתהמסהביחסלקרקעהיאAtanθ a = אנכית תאוצתהמסהביחסלטריזהיא cosθ מטה. 36

39 נתונה המערכת הבאה: הגלגלות אידאליות (חסרות מסה וחיכוך)והחוטים אידאלים (חסרי מסה וחיכוך). m 1 m 3 m 2 a 1 = [( ) ] [( m 3+ 3 m 2 m 1 m3 m 1 1 g ; a 2 = m 3 m 2 + m 3 m 1 ) מהיתאוצתכלאחתמהמסות? ] ( m3 1 4m 3 m 3 m m 2 1 g ; a 3 = 2 m m 3 m 2 + m 3 m 1 ) g מסה m 2 מונחתעלרפצהאופקיתחלקה. עליהמונחתמסהשניה m. 1 ביןשתיהמסותקייםחיכוךעםמקדםקינטי m 1 v 0 מהירותהתחלתית.v 0 מעניקיםלמסה m 1.µ k m 2 (א)מצאומנקודתמבטושלצופהאינרציאליעלהקרקעאתהדרךשתעבור m 1 על m 2 עדשתיעצרביחסאליה. (ב)מצאומנקודתמבטושלצופהלאאינרציאליעל m 2 אתהדרךשתעבור m 1 על m 2 עדשתיעצרביחסאליה. 1 m 2 v0 2 2 m 1 +m (ב) µ k g m 2 v0 2 m 1 +m 2 (א) µ k g 37

40 פרק 4 עבודה ואנרגיה 4.1 חישוב עבודה y חלקיק יכול לנוע על שלוש מסילות שונות במערכת הצירים הנתונה: 1 )מהראשיתלנקודה( 3,0 ) לאורךצירx ומשםלנקודה( 3,2 ) במקביללצירy. 2 )מהראשיתלנקודה( 0,2 ) לאורךצירy ומשםלנקודה( 3,2 ) במקביללצירx. 3 )בקוישרישירותמהראשיתלנקודה( 3,2 ). הכחהשקולשפועלעלהגוףבכלרגעהוא F( r) = (2 y,0.5x 2 y,0) N. (0,2) (3,2) (3,0) x חשבואתעבודתהכחעלהחלקיקדרךכלאחדמהמסלולים! W A B F = 6.66 J (ג)במסלול 3 : W A B F = 6.49 J (ב)במסלול 2 : W A B F (א)במסלול 1 : = 7 J גוףשמסתוgr M = 500 נמשךע יכחמשתנהבזמן(שגודלווכיוונואינםקבועים). גודלושלהכחבכלרגעהוא F(t) = 3t N והזוויתשהואיוצרעםהאופקבכלרגעהיאrad.θ(t) = 1.5t 4 נתוןכימיקומושלהגוףבכלרגע הואm.x(t) = 0.5t 3 38

41 F(t) θ(t) x (א)חשבואתעבודתהכחלאחרשיצאמהראשיתוהתקדםמרחקשלm 2. (ב)הראושכאשרהגוףהתקדםm 2 הואעדיןנמצאעלהמשטח! (א) W F = J כדור קטן שמסתו m = 0.04 kg מושחל בתוך מסילה דקה שמשוואת המסלול שלה במערכת הצירים היא F( r) = הכדור נע על המסילה ללא חיכוך, אך תחת השפעת כח נורמלי, כח הכובד וכח חיצוני y. = 3x 2 y y = 3x 2 5x ),במערכתהציריםהנתונה. 2 y +e 0.2x,x 0.3y 2 ) N A C F( r) B x (א)חשבואתעבודתכלהכוחותביןהנקודותA שנמצאתבגובהm y A = 12 מעללראשית,ו B שמיקומהראשית הצירים. (ב)חשבואתעבודתכלהכוחותביןהנקודותA ו C שנמצאותבאותוהגובה, m.y A = y C = 12 W A C tot = J (ב) W A B tot (א) = 260 J חרוז שמסתו m = 1 kg נע לאורך מסילה מעגלית, שתחתיתה בראשית הצירים (נקודה A). רדיוס המסילה F 1 = 3 N עלהחרוזפועלים,מלבדכחנורמליוכחהכובד,גםשניכוחותנוספים: כחשגודלוקבוע.R = 0.2 m וכיוונו הפוך למגמת התנועה בכל רגע (משיק למסלול), וכח תלוי מרחב שכיוונו אנכית מעלה בכל רגע וגודלו F,כאשרθ 2 = 2cosθ היאהזוויתביןהרדיוס וקטורלאנך. 39

42 y B θ F 2 F 1 A x חשבואתעבודתכלהכוחותמהנקודהA לנקודהB שנמצאתעלהקוטרהאופקי. W A B tot = 3.86 J גוף נע לאורך מסלול כך שמיקומו בכל רגע הוא. r(t) = t 2 î + 2t) + ĵ(1 3tˆk m על הגוף פועל כח הואנמצאבנקודהB. t = 1 וברגעs הגוףנמצאבנקודהA t = נתוןכיברגע 0. F( r) = 2xyî+3 xy 2 ĵ N מהיעבודתהכח F ביןהנקודותA ו B? W A B F = 19.6 J 40

43 4.2 משפט העבודה אנרגיה נתונההמערכתהבאה,ובההמסותנעותבמהירותקבועה,כךש m 2 יורדת. m 1 m 2 המסות:.m 1 = 10 kg ; m 2 = 6 kg אםנתוןכיכלאחתמהמסותהתקדמהמרחקשלm 0.5,חשבואת: (א)עבודתכחהכובדעלכלאחתמהמסות! (ב)עבודתכחהמתיחותעלכלאחתמהמסות! (ג)עבודתכחהחיכוךשפועלעל!m 1 (ד)עבודתהכחהנורמלישפועלעל!m 1 (ה)העבודה הכללית שנעשית על הגופים! W fk,m 1 (ד) (א) W m1 g = 0 ; W m2 g = 29.4 J (ב) W T,m1 = 29.4 J ; W T,m2 = 29.4 J (ג) 29.4 J = W tot = (ה) 0 W N1 = המערכתשבשרטוטמשוחררתממנוחה. נתוןכיהמסות m 1 = 120 kg ; m 2 = 3 kg וכןשהחוטחסרמסהואין חיכוך בינו לבין הגלגלת. m 1 1 m m 2 מצאומשיקוליאנרגיהאתמהירותהפגיעהשל m 1 בקרקע. 41

44 v = 4.32 m s חלקיקקטןנמצאבמנוחהבשיאושלכדורחסרחיכוךשרדיוסוR. החלקיקמקבלמכהקטנה,כךשהואמתחיל להחליק ממהירות אפסית על פני הכדור. R באיזו נקודה על הכדור,החלקיק מתנתק ממנו? בנקודההנמצאתבגובה 5R מעללקרקע! v 0 = 10 m s על מישוראופקיחסר חיכוך, ומכווצתקפיץחסרמסה בעל קבוע מסה m = 300 gr נעהבמהירות y.k = 20 N m k v 0 m θ h x (א)מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? (ב)לאחר שהמסה נעצרת,היא מתחילה לנוע ימינה,מתנקת מהקפיץ,ועולה במעלה עקומה שגובהה המירבי מעל הקרקעהואcm.h = 40 בנקודתהניתוקזוויתהשיפועביחסלאופקהיא =.θ ( 1 )מהו הגובה המקסימלי אליו מגיעה המסה בתנועתה באוויר? ( 2 )מהו המרחק האופקי אותו עוברת המסה מרגע הניתוק? (א) m l max = (ב)( m( m(2)

45 4.2.5 גוףkg m = 2 נעזבממנוחהבגובהcm 50 מעלקצהושלקפיץשאורכוהרפויm l 0 = 2 ונמצאעלהקרקע. קבוע הכחשלהקפיץ.k = 50 N m הניחוכיכאשרפוגעהגוףבקפיץהואאינומשנהאתמהירותו,שכןמסתושלהקפיץ זניחה. m 50 cm 2 m (א)מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? (ב)מהו הגובה המקסימלי מעל הקרקע אליו יגיע הגוף לאחר שהקפיץ הגיע לכיווץ מקסימלי? (ג)כיצדהיתהמשתנההתשובהל (א)אםלכלמשךהתנועההיהפועלעלהגוףכחחיצוני F,שמגמתו = 0.2y N אנכיתמעלה? (y גובהושלהגוףמעללקרקעבכלרגע). (א) m l max = 1.13 (ב) m 2.35 אםנשארמחוברלקפיץ,ו m 2.5 (חוזרלגובהההתחלתי)אםלאמחוברלקפיץ. (ג) m l max = גוףשמסתוm מחליקללאחיכוךעלהמסילהשבשרטוט. הואמתחיללנועממנוחהמהנקודהA. A R B (א)מהוהגובההמינימלישלA עבורוישליםהגוףסיבובשלםעלהמסילה? (ב)בתנאיםשל(א),מהוהכחהנורמלישפועלעלהגוףבנקודהB? 43

46 (א) 2.5R h min = (ב) 3mg N B = מסהkg m = 2 משוחררתממנוחהעלמדרוןמשופעבזווית = θ,במרחקm x 0 = 2 מקצהושלקפיץחסר מסהבעלקבוע.K = 50 N m ביןהמסהלמדרוןישנוחיכוךעםמקדמים 0.3 = k.µ s = 0.5 ; µ x 0 m θ (א)מהימהירותהמסהמידלפניהפגיעהבקפיץ? (ב)מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? (ג)המסה חוזרת ומטפסת שוב במעלה המדרון. מהו המרחק מנקודת ההתחלה אליו היא מצליחה להגיע? (א) 4.93 m s (ב) m 1.26 (ג) m גוף m = 2 kg מחוברלשניקפיציםבעליקבועים k 1 = 500 N ; k m 2 = 1000 N כמשורטט. במצבשוויהמשקל, m שני הקפיצים רפויים. מסיטים את המסה 10 cm ימינה ומשחררים ממנוחה. k 2 m k 1 (א)מהי המהירות המקסימלית של הגוף? (ב)מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ השמאלי? (א) v max = 2.74 m s (ב) cm מסה m 1 = 10 kg קשורה לשני קפיצים. הקפיץ הימני בעל קבוע k 1 = 20 N m והקפיץ השמאלי בעל קבוע.k 2 = 40 N m בנקודתשוויהמשקלהקפיץהימנימתוחבמידהcm. l 1 = 20 מסיטיםאתהמסהימינהמרחקשל 20 cm ומשחררים ממנוחה. 44

47 k 2 m k 1 (א)מהיהמתיחהשלהקפיץהשמאליבמצבשוויהמשקל? (ב)מהי המהירות המקסימלית של המסה בתנועתה? (ג)מהו המרחק המקסימלי משמאל לנקודת שווי המשקל אליו יגיע הגוף? (ד)מהימהירותהמסהכאשרהיאנמצאתcm 5 מימיןלנקודתשוויהמשקל? (ה)היכןנמצאתהמסהכאשרמהירותההיא?0.1 m s ±1.96 (ה) m 0.47 m s 20 (ד) (ג) cm v max = 0.49 m s (א) cm 10 (ב) מותחים קפיץ מעבר לגבול מסוים, כך שהכח שהואמפעיל מתנהג באופן הבא: F = 10x + 100x 3 N כאשר x מידתהמתיחה/כיווןשלהקפיץ. מניחיםאתהקפיץעלמישוראופקי,מקבעיםאתצידוהאחדלקיר,ומצמידים לצידוהשניגוףשמסתוkg.m = 1 מכווציםאתהקפיץעםהגוףבשיעורשלcm.15 מה תהיה מהירותו של הגוף כאשר ישתחרר מהקפיץ? v = 0.45 m s גוףמונחעלשולחןאופקיומחוברלשניקפיציםבעלקבועכחזההk. במצבשוויהמשקלהקפיציםנמצאיםעל אותו הציר ואינם מתוחים או מכווצים. מושכים את הגוף ימינה כך שהקפיצים נמתחים כמשורטט. l k 2l k (א)חשבו את העבודה שמשקיעים הקפיצים בהעברת הגוף מהמצב המתואר לנקודת שווי המשקל! (ב)חשבואתמהירותהגוףבנקודתשוויהמשקל! 45

48 0.34kl 2 m (א) 0.17kl 2 (ב) מטוטלתשאורכהL יכולהלהתנודדבמישוראנכי. מתחתלנקודתהחיבורשלהחוטעםהתקרה,במרחקd תקוע מסמר קטן. L θ d מסמר (א)הראוכיאםהמסהמשוחררתמגובהנמוךיותרמאשרגובהושלהמסמר,היאתחזורלנקודתההתחלהלאחר הפגיעה במסמר! (ב)הראוכיאםהמסהמשוחררתמהאופק( 90 = θ )היאתשליםסיבובשלםאךורקאםמתקייםכיהערךהמינימלי!d min = 3L 5 שלd הוא שרשרתבעלתמסהM ואורךL מונחתעלשולחןכךש 1/4 ממנהתלויהבאויר,כמשורטט. מושכיםאתהשרשרת ימינה,במהירות קטנה מאד. משיכה כמה עבודה הושקעה בתהליך המשיכה עד שכל השרשרת נמצאת על השולחן? W = MgL מסה m = 0.2 kg נעהעלמסלולחלקשמשוואותהמסלולשלוהינה.y = 5 0.7x 2 המסהמחוברתאלקפיץ שקבועהכחשלו k,שקצהוהשנימחוברלראשיתהצירים(ראושרטוט). = 17 N m ברגע 0 = t המסהנמצאתבנקודה. F = (y 2x,e 2y +x 2 ) N במצבזה,הקפיץרפוי. עלהמסהפועלבנוסףלכוחותהאחריםגםכחחיצוני.A 46

49 y B F y = 5 0.7x 2 A C x (א)מהיהמהירותהמינימליתשישלהעניקלמסהבנקודהA כדישתגיעלנקודהB? (ב)מעניקיםלמסהמהירות v A = 20 m s בנקודהA. 1 )האםרכיבהתאוצהשלהמסהבצירy בנקודהB תהיהחיובית,שליליתאואפס? 2 )באיזומהירותיפגעהגוףבקרקע,בנקודהC? v C = m (2 (ב) 1 )שלילית. v s A = m (א) s נתונה המערכת הבאה m 1 70 m m 2 נתון:.m 1 = 2 kg ; m 2 = 3 kg ; m = 1 kg ; k = 300 N m 47

50 ביןהמסה m 1 לשולחןישנוחיכוךעםמקדםקינטי 2.3 = k.µ ברגע 0 = t מותחיםאתהקפיץm l = 1 ביחסלרפיוןומשחרריםממנוחה. (א)מהעבודתכחהחיכוךמרגע 0 = t ועדשהקפיץחוזרלמצברפוי? (ב)מהימהירותהשלכלמסהברגעשהקפיץחוזרלמצברפוי? v 1 = 2.52 m s ; v 2 = 5.04 m s (ב) W fk (א) J = כדורקטןבעלמסה m = 100 gr נעלאורךמסילהחלקהשמשוואתהמסלולשלההיא 2sinx.y = עלהכדור פועלבנוסףלכחהכובד(בכיווןŷ )ולכחהנורמליגםכחחיצוני. F( r) = (2y 2, x y) N הכדורמתחיללנוע ממנוחה מהנקודה A. y A F( r) C π 2 3π 2 5π 2 x B (א)מהימהירותהכדורכאשרהואעוברבנקודהB? (ב)האםרכיבהתאוצה a y בנקודהB הואחיובי,שליליאואפס,במערכתהציריםהנתונה? (ג)מהימהירותהכדורכאשרהואעוברבנקודהC? (א) v B = 24.1 m s (ב)חיובי. (ג) v C = 15.9 m s מסה m = 800 gr מחוברת לקפיץ בעל קבוע כח k = 10 N ונעה על מישור משופע. על המסה פועל כח m F( r) = 10xyĵ N במערכתהציריםהנתונה. ברגע 0 = t הגוףנמצאבמיקוםm r,והואמתחיללנוע 0 = (2,1) ממנוחה. ברגע זה,הקפיץ רפוי! 48

51 y F( r) k m x (א)מהו מיקום המסה חלקיק שניה לפני שהיא מתנתקת מהמדרון? (ב)מהי מהירות המסה חלקיק שניה לפני שהמסה מתנתקת מהמדרון? 3.79 m s (א) m (2.8,1.4) (ב) שרשרתאחידהבעלתמסה M ואורךL מונחתעלשולחןכךש 1/2 ממנהנמצאבאוויר. ברגע 0 = t משחררים את השרשרת ממנוחה. L 2 (א)מהימהירותהשרשרתכאשרהקצהשלהעוזבאתהשולחן? (ב)חזרועלהחישובשלסעיף(א)עבורמצבשבוביןהשרשרתלשולחןישנוחיכוךעםמקדם!µ k 3 µ k 3 (א) gl v = (ב) gl 4 4 v = האנרגיההפוטנציאליתשלחלקיקמסויםהיא ( U(r,כאשרr = A r 2 B r J המרחקשלהחלקיקמנקודהמסויימת, וכמוכןA ו B קבועיםחיוביים. (א)מהןהיחידותהפיסיקליותשלהקבועיםA ו B? (ב)מצאואתמרחקנקודתשוויהמשקל r. 0 הראוכימדוברבשווימשקליציב! 49

52 ? r 2 = ( r 0 2, r 0 (ג)חשבואתאנרגייתהיוניזציה E,כלומראתהאנרגיהשישלהשקיעכדילהרחיקגוףמ 0 r 0 לאינסוף! 2 (ד)מהיעבודתהכחשנגזרמ ( U(r כשהחלקיקעוברמנקודהm r 1 = ( 2r 0, 2r 0 ) לנקודהm ) ישלבטאבעזרת.E 0 E,וכןשתנועתורדיאליתבלבד. = 3E 0 מצאואתהנקודותבהן 4 (ה)נתוןכיהאנרגיההכלליתשלהחלקיקהיא המהירות מתאפסת! r = 4A 3B ; r = 4A B (ה) W = E 0 4 = B2 16A (ד) E 0 = B2 (א) Jm [A] = J m2 ; [B] = (ב) r 0 = 2A B (ג) 4A ארגזמקבלמהירותהתחלתית v 0 בתחתיתמדרון משופע בזווית α. המשטח מרוח בחומרשצפיפותו משתנהכך שמקדמיהחיכוךהסטטיוהקינטיאינםקבועיםCx µ,כאשרתחתיתהמדרון 0 s (x) = µ k (x) = = x,ו C קבוע כלשהובעליחידותפיסיקליות 1 m.[c] = v 0 x α.v 2 0 3gsin2 α הראוכיכאשרהארגזעוצר,הואישארבמנוחהאם C cosα 50

53 4.3 הספק כמהאנרגיה(בג ולים)צורכתנורהשלWatt 100 שדולקתבמשךשעה? באיזומהירותצריךאדםששוקלkg 70 לרוץכדישתהיהלואנרגיהקינטיתכזו? E = J ; v = m s v = 30 km מהוההספקשיוצר מכוניתשמסתהkg 2000 נוסעתבמעלהמדרוןמשופעבזווית 7 במהירותקבועה hr המנוע? P = W מסה m = 10 kg נעה לאורך ציר x בהשפעת כח משמר כך שהאנרגיה הפוטנציאלית שלה נתונה ע י = U(x).100[cos2x 1] נתוןכיכאשרהיתההמסהבנקודה 0 = x האנרגיההכלליתשלההיתה.E = 80 J מהוהספק הכחכאשרהמסהנמצאתבנקודהm?x = 0.5 P = W סירהשמסתהkg m = 300 נעהבנהר. המיםמפעיליםעלהסירהכחהתנגדותפרופורציונילמהירותשגודלו,λv 2 כאשרλ קבועכלשהו. מנועהשלהסירהמספקהספקשל 20 kw כךשהסירהנעהבמהירותקבועה 10. m s (א)מהוהקבועλ? (ב)מכביםאתהמנוע. תוךכמהזמןתרדמהירותהסירהפי 4? (ג)איזהמרחקעברההסירהמרגעהכיבוישלהמנועועדלרגעשמצאתםב (ב)? 51 x = 20.8 (ג) m t = 4.5 (ב) s λ = 20 kg (א) m

54 פרק 5 מתקף ותנע 5.1 מתקף תנע של גוף נקודתי?t = מהוהכח(הקבוע)שישלהפעילעליוכדישיעצרלאחרs.6 m s כדורבעלמסהkg 1 נעבמהירות 7500 N הפוך למגמת התנועה גוףנזרקאנכיתמעלהבמהירות.20 m s בשתיהשניותהראשונותהפעילעליוכחהכובדמתקףשגודלוs.8 N (א)מהימסתושלהגוף? (ב)מהימהירותושלהגוףלאחרשתישניות? 0.49 m s (א) kg 0.41 (ב) כדורבייסבולשנעבמהירות 20 m s בכיווןמסוים,מקבלמכהממחבטכךשמהירותורגעלאחרהמכההינה 30 m s בכיווןההפוך. נתוןכימסתהכדורהיאkg 0.25 וכןשזמןהמגעביןהמחבטלכדורהיהs מהוהכחהממוצע שהפעיל המחבט על הכדור? N

55 5.2 התנגשויות והתפוצצויות מסהkg m 1 = 1 נעהעלמשטחחלקבמהירות v 1 = 10 m s אלעברמסהkg m 2 = 1.5 שנמצאתבמנוחה,ומתנגשת בה התנגשות פלסטית. v 1 m 1 m 2 (א)מהימהירותהגופיםלאחרההתנגשות? (ב)מהו אחוז האנרגיה שאבדה בהתנגשות? (ג)מהוהמתקףשפעלעלהמסה m 1 במהלךההתנגשות? (ד)אםנתוןכימשךההתנגשותהיהs t,חשבואתהכחהנורמליהממוצע, = 0.1 N,שהפעילוהגופיםזהעלזה? av (א) 4 m s (ב) 60% (ג) s 6 N שמאלה. (ד) N av = 60 N עגלהשמסתהkg M = 200 נעהבמהירות V = 15 m עלקרקעחלקה. שקמלטשמסתוkg m = 20 נזרקאנכית s מטהלכיווןהעגלהבמהירות v = 3 m מגובהm.12 s m M (א)מהימהירותהעגלהלאחרשהשקצנחעליה? (ב)מהו המתקף שמפעילה הקרקע על הגופים במהלך התנועה? (ג)מההיהמשתנהבתשובותל (א)ול (ב)אילוהשקהיהנזרקמגובהנמוךיותר? (ד)בתחתיתהעגלהנפערלפתעחורוהשקצונחדרכו. מהימהירותהעגלהלאחרמכן? (א) m s (ב) s N אנכיתמעלה. (ג)התשובהל (א)לאמשתנהוהתשובהל (ב)קטנה. (ד) m s 53

56 . v קליעקטןשמסתוm פוגעבמהירות v בבולעץשמסתו M,ויוצאלאחרזמןקצרמאדמצידוהשניבמהירות לאחר ההתנגשות בול העץ מבצע תנועה מעגלית מכיוון שהוא קשור בחוטי שאורכו l לנקודה כלשהי. l m v M v 2 מהצריכהלהיותהמהירותהמינימלית v min כדישבולהעץישליםסיבובשלם? v min = M m 20gl קליעשמסתוgr m = 50 נעבמהירות v 0 ופוגעבמסהkg m 1 = 1 נייחת. הואעוברדרךהמסהופוגעבמסהשניה m s 2 = 2 kg נייחת,ונתקעבה. לאחרשהואעוברדרךהמסההראשונההואמעניקלהמהירות 0.8 m ולאחרשהוא נתקעבמסההשניהמהירותה.1.5 m s v 0 m 1 m 2 (א)מהימהירותהקליעלאחרשעברדרךהמסההראשונהאךלפנישהואמגיעלשניה? (ב)מהימהירותוההתחלתיתשלהקליע,?v 0 (ג)מהימהירותמרכזהמסהשלהמערכת? (א) 61.5 m s (ב) 77.5 m s (ג) 1.27 m s m s מזרחה,מתנגשתבמסה m 2 = 1.5 kg שנעהבמהירות 25 m s ובכיוון 30 מסה m 1 = 7.5 kg נעהבמהירות דרומית למערב. אחרי ההתנגשות,שתי המסות נעות יחדיו. מהי מהירותן (גודל וכיוון)של שתי המסות לאחר ההתנגשות? 54

57 (2.083,4.725) m s במערכתציריםובהצירx בכיווןמזרחוצירy בכיווןצפון בשרטוטהבאמתוארתמערכתשנמצאתעלשולחןאופקיחלק,כךשמסתכליםעליובמבטעל. עלהשולחןנמצא v 1 = 7 m s אל עבר כדור שני שמסתו m 2 = 5 kg ונמצא במנוחה. כדור בעל מסה m 1 = 3 kg שנע במהירות ההתנגשותהיאאלסטיתולאחריההמסה m 1 נעהבמאונךלכיווןהתנועההמקורישלה,והמסה m 2 נעהבזוויתφ מתחתלכיווןהתנועההמקורישל.m 1 m 2 m 1 φ (א)מהי מהירותן של שתי המסות לאחר ההתנגשות? (ב)חשבואתהזוויתφ! (ג)מהוהמתקףשלהכחהנורמלישהפעילההמסה m 1 על?m 2 (א) 3.5 m s ; 4.7 m s (ב) = φ (ג) s J = (21, 10.5) N במערכתציריםובהצירx מכווןאופקיתשמאלה וצירy מכווןאנכיתמעלה מסה m 2 מונחתעלהקרקעומחוברתלקפיץשקבועהכחשלוהואk. קליעבעלמסה m 1 נורהבמהירות v 0 מתנגש וננעץבמסה.m 2 m 1 v 0 m 2 (א)מהי ההתכווצות המקסימלית של הקפיץ: 1 )אםהמשטחחלק? 2 )אםביןהמסה m 2 למשטחישנוחיכוךקינטיעםמקדם?µ k (ב)מהוהמתקףשהפעילהקפיץעלהמסותמרגעשמידלאחרההתנגשותועדלכיווץהמקסימלי,במצבבוהמשטח חלק? )g+ l max = µ k(m 1 +m 2 (ב) J = m 1 v 0 בכיוון µ 2 k (m 1+m 2 ) 2 g 2 + km 1 2 m 1 +m 2 v 2 0 k (2 l max = 55 m 2 1 m 1 +m 2 1 (א) (1 0 v k שמאלה.

58 5.2.8 מטוטלתובהאורך החוטm L = 0.5 והמסההקשורהאליוהיא m = 2 kg משוחררת ממנוחהמגובהמסויםכך שהזוויתשיוצרהחוטעםהאנךהיא 45 =.α בתחתיתמסלולההיאמתנגשתבמסה M = 5 kg נייחת. ידועכי אחריההתנגשותהמטוטולתחוזרתחזרהומגיעהלזוויתמקסימלית 25 =.β y L α m L M x מצאואתהמרחקאותועוברתהמסה M מרגעהפגיעה,אםנתוןכיבינהלביןהמשטחישנוחיכוךקינטיעםמקדם: (א)קבוע 0.4 = k.µ (ב)משתנהבמרחב µ,כאשרl k (x) = 0.4 L x x = מיקוםהמסה M ביחסלראשיתלפניההתנגשות. (א) m (ב) m במערכתהבאהלקפיץישקבועכח k,והמסותkg = 24 N.m 1 = 2 kg ; m 2 = 1.5 המערכתנמצאתבמנוחהעל m מישוראופקיחלק. ברגעמסויםנותניםדחיפהלמסה 2 m s כךשהיאמתחילהלנועבמהירות.v 0 = 6 m v 0 m 1 m 2 (א)מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? (ב)ברגעמסויםהמסה m 2 נעצרת(רגעית). מהימהירותהמסה m 1 ברגעזה,ומהימידתהכיווץשלהקפיץ? (א) m l max = 1.13 (ב) m v = 4.5 m s ; l = כדורבעלמסה 2m מחליקעלפנימשטחאופקיחלקבמהירותî. v = v 0 הואמתנגשבכדרשנינייחבעלמסהm. בזווית 30 ביחסלצירx. v 0 2 לאחרההתנגשותהכדורשמסתוm נעבמהירותשגודלה v 02 2m v 0 m 30 x 56

59 (א)מהי מהירותו של הכדור שמסתו 2m (גודל וכיוון)לאחר ההתנגשות? (ב)האם ההתנגשות אלסטית (לחלוטין)? (א) m s בזווית 9.06 מתחתלצירx. (ב)לא! קרוניתשמסתהton M = 10 מתגלגלתבמהירותקבועה v = 12 m עלמישוראופקי. לפתעמתחיללרדתגשם s אנכית מטה. אם נתון כי נפח הקרונית הוא V = 8 m 3 וכןשצפיפות המסה שלטיפות המים היא ρ, = kg חשבו את המהירות הסופית של העגלה כאשר היא מלאה במים! m 3 M v v final = 6.67 m s מחליקשמסתוkg m 1 = 60 נמצאעלסקייטבורדשמסתוkg.m 2 = 3 בידיושלהמחליקנמצאותשתימשקולות בעלות מסה m 3 = 5 kg כ א. כל המערכת במנוחה, וברגע מסוים משליך המחליק את אחת המשקולות בכיוון האופקיבכלכוחו,כךשמהירותהברגעההשלכההיא v 3 = 8 m s ביחסלמשליך! לאחרזמןמהמשליךהמחליקגם את המסה השניה בכל כוחו,באותו הכיוון. (א)מהתהיהמהירותושלהמחליקלאחרהזריקההשניה? 57

60 (ב) הסבירו כיצד יתכן כי בתחילה האנרגיה הכוללתהיתה אפס, ואחרי הזריקה הראשונה, יש הן למשקולת והן למשליך אנרגיות קינטיות. האם מקרה זה סותר את חוק שימור האנרגיה? (א) 1.22 m s (ב)איןסתירה! מסה m 1 = m נעה על שולחן אופקי חסר חיכוך במהירות v 1 = 3v 0 ומתנגשת במסה m 2 = 2m נייחת. לאחר ההתנגשותהמסהm נעהבמהירות u 1 = 5v 0 בזווית = 1 θ ביחסלכיווןהמקורי,והמסה m 2 נעהבמהירות u 2 בזווית θ 2 ביחסלכיווןהמקורי. u1 m 1 v 1 m2 θ 1 θ2 u 2 (א)מצאואת u 2 (כפונקציהשל v )ואת 0.θ 2 (ב)האם ההתנגשות אלסטית? (א) 45 = 2 u 2 = 2v 0 ; θ (ב)כן! v 0 = 10 m s מגובהm 2 מעלמסהkg M = 5 שנמצאתבמנוחהעלקפיץ גוףkg m = 1 נזרקאנכיתמטהבמהירות בעלקבוע.k = 100 N m m v 0 M 58 מצאואתהכיווץהמקסימלישלהקפיץאםנתוןכי: (א)ההתנגשות היא פלסטית.

61 u = 1 m s כלפימעלהמידלאחרההתנגשות. (ב)ההתנגשות היא אלסטית. (ג)ההתנגשותלאלחלוטיןאלסטית,וידועשהגוףm מקבלמהירות (א) m l max = 1.08 (ב) m l max = 1.37 (ג) m l max = שני פגזיםזהיםמורכביםמקליעבעלמסה M ותרמילבעלמסהm. כאשרפגזשכזהמתפוצץ, למערכתנוספת אנרגיה קינטית בגובה U. יורים את שני הקליעים בצורות הבא: פגז( 1 ) הפגזנורהממנוחהבנקודהA. פגז (2) מניחים לפגז ליפול (הקליע בכיוון התנועה) מהנקודה A לאורך מסילה אנכית המחוברת למסילה חצי מעגלית (חסרות חיכוך),וכאשר הוא מגיע לנקודה B הוא נורה. A h B A h B (א)איזה קליע יגיע לגובה גדול יותר? קליע (2) קליע (1) (ב)האם התוצאה הקודמת סותרת את חוק שימור האנרגיה? הסבירו! (א)קליע 2. (ב)לא! עגלה שמסתה M עומדת על משטח אופקי חלק. צורתה של העגלה היא חצי מעגל שרדיוסו R. מניחים מסה נקודתיתm בקצההשמאליהעליוןשלהעגלהומשחרריםממנוחה. המסהm מחליקהעלהעגלהללאחיכוך. 59

62 m R M (א)האם התנע הקווי והאנרגיה הכללית נשמרים במהלך התנועה במערכת הגופים? רשמו את משוואות השימור! (ב)מהימהירותכלאחתמהמסותכאשרm עוברתבנקודההתחתונהביותר? (ג)האםהמסהm תגיעלקצההימניהעליוןשלהעגלה? אםכן,מהתהיהמהירותהברגעזה? אםלא,מהוהגובה המקסימלי אליו היא מגיעה ביחס לנקודה התחתונה ביותר? = m v (ג)כן,ומהירותה 2gR 1+ m M ; v M = m M 2gR 1+ m M (א)האנרגיה הכללית והתנע הקווי בציר האופקי נשמרים. (ב) תהיה אפס שניטריזיםבעלימסה M כלאחדמונחיםעלמישוראופקיחלק,כמתוארבשרטוט. גוףנקודתיבעלמסהm מונח על הטריז השמאלי בגובה h מהקרקע,ונעזב ממנוחה. הניחוכיהמעברשלהגוףמהטריזלקרקעושובלטריזהשניהואחלקללאאיבודאנרגיה. m h M M (א)מהימהירותהמסהm כאשרהיאמגיעהלקרקע? (ב)מהוהגובההמקסימליעלהטריזהשניאליויגיעהגוף? h max = ( M (ב) h v = 2gh m+m)2 1+ m M (א) 60

63 5.3 מרכזמסה ברגעמסוים,מיקוםמרכזהמסהשלשניחלקיקיםהואm r c.m = (4,0) ומהירותמרכזהמסההיא. v c.m. = (4,0) m s במצב זה אחד מהחלקיקים נמצא בראשית הצירים בעוד החלקיק השני, בעל מסה m, 2 = 10 gr נמצא במנוחה במיקוםm. r 2 = (5,0) (א)חשבואתמסתושלהחלקיקהראשון! (ב)מהוהתנעשלמרכזהמסהבמצבהמתוארבשאלה? (ג)מהי מהירותו של החלקיק הראשון במצב המתואר בשאלה? (א) gr m 1 = 2.5 (ב) s P = (0.05,0) N (ג) v 1 = (20,0) m s שנילוליניםשמסתכלאחדמהםm מבצעיםתרגילאקרובטיובוהםנוריםמלועשלתותחשמתסו M בזוויתα לאופק,במהירות v. 0 בשלבמסויםשלהתעופה,הםדוחפיםזהאתזהונפרדים,כךשכלאחדמהםנוחתבמקום אחרעלפניהקרקע. ידועכישניהלוליניםמגיעיםבאותוהרגעלקרקע,וכןשמיקומושלאחדמהםהוא x. 1 y M 0 x 1 x c.m. x 2 x (א)היכן נוחת הלולין השני? (ב)מהי מהירות הרתיעה של התותח? (ג)מהו המתקף שהפעילה הקרקע על התותח? 2mv 0 (ג) sinα 2m M v (ב) 0cosα x 2 = 2v2 0 (א) 1 g sin2α x אישהשמסתהkg m = 50 נמצאתעלרפסודהשמסתהkg.M = 250 היאנמצאמרחקשלm 1 מקצההרפסודה, ונעהעדשהיאמגיעהלמרחקשלm 1 מהקצההשני. אורכהשלהרפסודההואm

64 m M 1 m 8 m 1 m כמה זזה הרפסודה בתהליך זה? 1.33 m אדםשמסתו m = 50 kg עומדבקצהסירהשמסתה M = 120 kg ואורכהm L = 6 ומתחילללכתעליהלעבר הקצההשניבמהירותקבועה.v = 4 m s L v (א)מהימהירותהסירהבזמןשהאדםהולךעליה? (ב)כמהזמןעברעדשהגיעלקצההשנישלהסירה? (א) 1.67 m s (ב) s גוףשמסתו m = 6 kg חופשילנועללאחיכוךעלמישורמשופעשמסתוkg M = 18 בזווית 32 =.θ המישור המשופע מונח על שולחן חסר חיכוך. ברגע = 0 t משוחרר הגוף ממנוחה מהנקודה B שגובהה מפני השולחן.H = 4 m 62

65 B m g M θ H (א)איזהמרחקאופקי,יחסיתלשולחן,תעבורכלאחתמהמסותעדשהגוףיגיעלשולחן? (ב)מהימהירותכלאחתמהמסותברגעשהגוףיגיעלשולחן? (ג)מהוגודלושלהכחהנורמלישפועלעלכלאחדמהגופים? (ד)באיזה רגע הגיע הגוף לשולחן? 0.82 (ד) s N (ג) m s ; m s (א) m 4.8 m ; 1.6 (ב) (1) (2) (3) (4) מצאואתמרכזהמסהשלהצורותהבאות: L L L L L L L L L L 3L מעללמרכז. (ג) L 4 מעללמרכזו L 4 משמאללמרכז. 12 (א) L 6 מעללמרכז. (ב) מצאואתמרכזהמסהשלכדוראחידמלאשרדיוסוR שיצרובוחללכדוריבעלרדיוסr שמרכזונמצאבמרחקa ממרכז הכדור המלא! a R r 63

66 r c.m. = r3 R 3 r 3 (a,0) 64

67 פרק 6 תנועה סיבובית 6.1 תנעזוויתישלגוףנקודתי האם התנע הזוויתי נשמר עבור הגופים הבעיות הבאות? (א)גוףשנעעלשולחןאופקיבצמודלמסילה. (ב)גוףשנעעלשולחןאופקיהמחוברלחוטשקצהוהשנימחוברלנקודהכלשהיבשולחן? (ג)גוףשנעעלשולחןאופקיהמחוברלקפיץשקצהוהשנימחוברלנקודהכלשהיבשולחן? (ד)גוף שנע בתנועה אליפטית סביב כדה א? 65

68 (א)לאנשמר. (ב)נשמר. (ג)נשמר. (ד)נשמר חשבו את התנע הזוויתי של כדה א בתנועתו סביב השמש ושל אלקטרון בתנועתו מסביב לפרוטון באטום המימן. הניחו כי הגופים נעים בתנועה מעגלית. נתוןכימסתכדה אהיאkg ומרחקומהשמשm לגביהאלקטרוןבאטוםהמימן,מסתוkg m,מרחקומהגרעיןm e = ,והמהירותהזוויתית rad שלו היא =.ω s כדה אסביבהשמש: J s אלקטרוןסביבפרוטון: J s נתוןמבנההמורכבמקשתמעגליתדקהוחסרתמסהשרדיוסהR ואליהמחובריםארבעהתותחיםשמסתושלכלאחד מהםהיא 2m. מיקוםהתותחיםבמערכתהציריםהנתונה: (R,0). r 1 = (0,R) ; r 2 = ( R,0) ; r 3 = (0, R ) ; r 4 = בכל תותח נמצא פגז שמסתו m. ברגע מסוים נורים הפגזים מתוך התותחים בכיוונים הנתונים בשרטוט,במהירויות שגודלןזהה, v 0 ביחסלקרקע! 66

69 y θ v 0 v 0 v 0 x v 0 (א)מהימהירותמרכזהמסהשלהמבנהמידלאחריריהפגזים? (ב)מהימהירותוהזוויתיתשלהמבנהמידלאחריריהפגזים? ω = v 0 8R (ב) sinθ ˆk v c.m. = v 0 8 (א)( sinθ,cosθ ) שני גופים נקודתיים, בעלי מסות m ו 2m מחוברים בחוט שאורכו L. הגופים מונחים על שולחן אופקי חלק, כמתוארבשרטוט,כךשהמסהm נמצאתבראשית,והמסה 2m נמצאתמעליה(עלצירy )בגובה. L מעניקיםלמסה 2.v 0 שגודלה מהירותבכיווןצירx 2m y 2m v 0 m L 2 מהיהאנרגיההקינטיתשלהמערכתלאחרשהחוטמתוחוהמסהm מתחילהלנוע? x E k = 3 4 mv שניגופיםנקודתיים,בעלימסותm ו 4m מחובריםזהלזהע ימוטדקשמסתוזניחהבעלאורךL. הגופיםמונחים עלשולחןאופקיחלק,כמתוארבשרטוט,כךשהמסהm נמצאתבראשית,והמוטיוצרזוויתשל 45 עםצירx. 67

70 y מעניקיםלמסה 4m מהירותבכיווןצירx שגודלה v. 0 4m v 0 L m 45 מהי מהירות מרכז המסה של המערכת,וכן מהירותה הזוויתית סביב מרכז המסה? x v c.m. = 4 5 v 0 ; ω = 2v 0 2L 68

71 6.2 שווימשקלשלגוףקשיח(סטטיקה) סולםשמסתוm נשעןעלקירחסרחיכוך. אםביןהסולםלרצפהישנומקדםחיכוךµ,מהיהזוויתהקטנהביותר האפשרית בין הסולם לרצפה כדי שהסולם לא יחליק? θ θ min = tan 1 ( 1 2µ ) סולםשמסתוm נשעןעלקירחסרחיכוך. אםביןהסולםלרצפהישנומקדםחיכוךµ,וכןעלשיאהסולםעומד אדםשמסתו M,מהיהזוויתהקטנהביותרהאפשריתביןהסולםלרצפהכדישהסולםלאיחליק? θ ( θ min = tan 1 m ) 2 +M µ(m+m) 69

72 L מוטשמסתוזניחהנמצאבמנוחהבמצבאופקיכאשרהואמונחעלנקודתמשענת. x m 1 m 2 ישלבטאאתהתשובותבאמצעותL.m 1 ; m 2 ; (א)מהוהמרחקx עבורוהמערכתסטטית? (ב)מהו הכח הנורמלי שמרגיש המוט? (ג)מהן המתיחויות בחוטים? x = m 2 m 1 +m 2 (א) g T 1 = m 1 g ; T 2 = m 2 (ב) g ( N = (m 1 +m 2 (ג) L מוטאחידבעלמסהm מונחאנכיתעלהרצפה. ביןהמוטלרצפהישנוחיכוךעםמקדםµ. למרכזהמוטמחוברחוט שקצהוהשנימחוברלרצפהויוצראיתהזוויתα. הקצההעליוןשלהמוטמחוברלחוטנוסףשכרוךסביבגלגלת חסרתחיכוךובקצהוהשניתלויהמסה M. נתוןכיהמערכתבמנוחה. M α (א)מהוכחהחיכוךהסטטישמפעילההרצפהעלהמוט? (ב)מהי המתיחות בחוט שמחובר לרצפה? (ג)מהוהכחהנורמלישמפעילההרצפהעלהמוט? (ד)מהו מקדם החיכוך המינימלי הדרוש כדי שהמוט עדין ישאר במנוחה? µ min = M m+2m tanα = T (ג) 2Mgtanα + N = mg (ד) 2Mg (א) Mg f s = (ב) cosα 70

73 6.2.5 שני מוטות אחידים מחוברים בציר זה לזה בקצוותיהם (כך שהזווית ביניהם יכולה להשתנות). המוטות מונחים על שולחןאופקיחלק. אורכושלהמוטהימניהואl ומסתוm ואורכושלהמוטהשמאליהוא 0.75l ומסתו 0.75m. חוט דקקשורביןהמוטותבגובה 0.15l מעללשולחן. במצבזה,הזוויתשנוצרתבנקודתהחיבורהיאישרהוהמערכת במנוחה! 0.75m, 0.75l m,l 0.15l (א)מהוהכחהנורמלישמפעילהשולחןעלכלאחדמהמוטות? (ב)מהי המתיחות בחוט? (ג)מהו הכח (גודל וכיוון)שמפעיל המוט הימני על השמאלי בנקודת החיבור? (א) 0.935mg 0.815mg ; (ב) 0.56mg (ג) 0.59mg בזווית ביחסלחלקהשלילישלהצירהאנכי. 71

74 6.3 חישוב מומנט ההתמדה נתוןמוטאחידודקשאורכוL. (א)חשבואתמומנטההתמדשלהמוטביחסלמרכזו! (ב)חשבואתמומנטההתמדשלהמוטביחסלקצהו! I = 1 3 ML2 (ב) I c.m. = 1 (א) 12 ML חשבואתמומנטההתמדשלדיסקהאחידהדקהבעלתרדיוספנימיa ורדיוסחיצוניb,דרךצירניצבהעוברדרך מרכזה. נתון: מסת הדיסקה M. I c.m. = 1 2 M(a2 +b 2 ) מצאואתמומנטההתמדשלחרוטשגובהוH,רדיוסבסיסוR ומסתו M,סביבצירהסימטריהשלו! R H I = 3 10 MR נתוןכדוראחידמלאשרדיוסוR שיצרובוחללכדוריבעלרדיוסr שמרכזונמצאבמרחקa ממרכזהכדורהמלא. מסתושלהגוףהיא M. 72

75 a חשבואתמומנטההתמדשלהגוףסביבהמרכז. R r I = M ( 2 ) 5 R5 2 5 r5 a 2 r 3 R 3 r 3 73

76 m גלגול ללא החלקה משחררים את המערכת הבאה ממנוחה. הגלגלת היא דיסקה שמסתובבת עם החוט מבלי שהוא מחליק עליה. מצאומשיקוליאנרגיהאתמהירותהמערכתואתתאוצתהמערכתכפונקציהשלהגובהאותוירדה!m 1 M, R m 1 m 2 v = 2m1 gh m 1 +m M ; a = m 1 g m 1 +m M משחררים את המערכת הבאה ממנוחה. הגלגלת היא דיסקה שמסתובבת עם החוט מבלי שהוא מחליק עליה. מצאו משיקולי כוחות ומומנטים את תאוצת המערכת ואת מהירות המערכת כפונקציה של הזמן! M, R m 1 v = m 1 gt m 1 +m M ; a = m 1 g m 1 +m M גוףבעלחתךמעגלי,שמסתוm ורדיוסוR מתגלגלללאהחלקהעלמישורמשופעבזוויתθ. מומנטהאינרציהשל הגוףסביבמרכזהמסהשלוהוא I = kmr 2 כאשרk קבועכלשהוחסריחידותפיסיקליות. 74