ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΟΔΟΥ #1 φυλλάδιο 1 από 3

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Χειμερινό Εξάμηνο Ρόδος, Σεπτέμβριος 017 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθημα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" Διδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΟΔΟΥ #1 φυλλάδιο 1 από 3 Δίνονται Ομάδες προβλημάτων ερωτήσεων και ασκήσεων, οι ακόλουθες: Ομάδα A: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ από 1 έως και 1 Ομάδα B: ΑΣκησεις από A1 έως και A14,από B1 έως και B14 Ομάδα Γ: Προβλήματα από 1 έως και 4 Ομάδα Δ: Προβληματα από 1 έως και 5 Ομάδα Ε: Προβλήματα από 1 έως και 9 Ομάδα ΣΤ: Ασκήσεις από 1 έως και 14 Ομάδα Ζ: Προβλήματα από 1 έως και 13 Παρακαλούμε να απαντήσετε με προσοχή δίνοντας έμφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του μαθήματος, αλλά και σε όσα μπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραμμάτων της προτεινόμενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: ΟΛΟΙ οι φοιτητές σε ΟΛΑ τα εργα από τις ομάδες Α, Γ και Ζ και οι φοιτητές με άρτιο αριθμό μητρώου στις άρτια αριθμημένες από τις υπολοιπες ομαδες και οι φοιτητές με περιττό αριθμό μητρώου στις περιττά αριθμημένες από τις υπολοιπες ομαδες Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #1 (φυλλάδιο 1 από 3) θα πρέπει να παραδοθεί μέχρι και την Τετάρτη 14 Νοεμβρίου 017 και ώρες στο Εργαστήριο Μαθηματικών. Ρόδος, Δευτέρα 10 Οκτωβρίου 017 Για το Εργαστήριο Μαθηματικών, Διδακτικής και Πολυμέσων Ευγένιος Αυγερινός Δήμητρα Ρεμουνδου Αθανασιος Καραγεωργιαδης Ελένη Χρυσαφινα 1

2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ A 1. Τι ονομάζουμε στα Μαθηματικά σταθερά και τι μεταβλητή;. Ποιες είναι οι ιδιότητες της ισότητος; 3. Τι ονομάζουμε προτασιακό τύπο μιας μεταβλητής; Αναφέρατε σχετικά παράδειγματα. 4. Τι ονομάζουμε σύνολο αναφοράς της μεταβλητής y ενός προτασιακού τύπου p(y); Αναφέρατε σχετικά παράδειγματα. 5. Τι ονομάζουμε αληθοσύνολο ενός προτασιακού τύπου p(w); Αναφέρατε σχετικά παράδειγματα. 6. Τι ονομάζουμε αντιπαράδειγμα και τι μέθοδο αντιπαραδείγματος; Δώστε ένα παράδειγμα. 7. Πότε λέμε ότι ένας λογικός τύπος είναι ταυτολογία; Πότε λέμε ότι ένας λογικός τύπος Ρ είναι αντίφαση; 8. Ποιες είναι οι σπουδαιότερες ιδιότητες της ταυτολογικής ισοδυναμίας ; 9. Πότε λέμε ότι ένας λογικός τύπος Ρ συνεπάγεται ταυτολογικά ένα άλλο λογικό τύπο Τ ; 10. Πότε λέμε ότι δύο λογικοί τύποι Ρ και Q είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι; 11. Πότε λέμε ότι ένας συλλογισμός; 1. Ρ 1, Ρ,,Ρ ν Q είναι ορθός ή ισχυρός συλλογισμός; B. Ομάδα ΑσΚΗΣΕΩΝ Προτασιακών τύπων μιας μεταβλητής Απαντήστε με προσοχή σε όσες περισσότερες ασκήσεις μπορείτε. Ποιά είναι τα αληθοσύνολα των παρακάτω προτασιακών τύπων με σύνολο αναφοράς τους πραγματικους αριθμους Ω = IR. Δώστε τις απαντήσεις σας με δύο τρόπους αναπαράστασης. Α ομαδα Β ομαδα 1. β(x) : x p1(x) : x > 16 x 3 0. q(x) : x 1 4. p (x) : 5x x x Z ; 3. s(x) : 1x + 5x = 0 3. p3 (x) : x < 3 x + 3x 4 < 0 4. α(x) : 7x - 1 > 0 4. p4 (x) : x + 4 > 4x x Z ; 5. p(x) : 5 (x 1) = c(x) : x + 9 = 0 5. p5 (x) : x + x 4 3x + x N 6. p6 (x) : x - 1 > x + 1 x x d(x) : -x + x p7 (x): x + 1 > 0 x N ; 8. h(x) : x 4 < 0 3x 1 4x + 8. p8 (x): x x + 1 > 0 x(x + 4) 5 ; 9. f(x) : {(3x 1) 4x π x } 45 x > 7x 9. p9 (x): x 4 < 1 x Z 10. g(x) : (x + 3) (x + 6) < 1 x x N 10. p10 (x): -x + 5x 3 0 x N x p11 (x): x 11. K(x) : x + 4x x Z + > (1 + x) x l(x) : 3x 1 < x x x P34 (x) : x - x 4 3x + x Z 1 x 1 x 13. m(x) : x - > + x p35(x): x 4 < 1 x Nartioi 14. n(x) : x 10 x = 3 x x ; 14. P36 (x): x 4 < 1 x Nπεριττοί

3 Γ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ρώτησαν τον Einstein ποσους φοιτητές έχει και απάντησε. Οι μισοί σπουδάζουν Μαθηματικά, το 1/3 σπουδάζει Γεωμετρία, το 1/7 σπουδάζει Χημεία και υπάρχουν και 0 φοιτητές που δεν σπουδάζουν τίποτα. Ποσους φοιτητές είχε ο Einstein;. Ενα πλοίο μεταφέρει 0 άλογα και 15 πρόβατα. Να βρεθεί ποσων χρονών είναι ο καπετάνιος του πλοίου. 3. Μια αρκούδα βρίσκεται σε κάποιο σημείο της επιφάνειας της Γης. Βαδίζει ένα χιλιομετρο νοτια, στη συνέχεια βαδίζει ένα χιλιομετρο ανατολικά και αμέσως μετά ένα χιλιομετρο βορεια και φτάνει στο σημείο απο το οποίο ξεκίνησε. Να βρεθεί το χρώμα της αρκούδας. 4. Ο πατέρας του Νίκου χρησιμοποίησε 36 σακιά λίπασμα καθαρού βάρους 49,5 κιλών το καθένα. Πόσα κιλά λίπασμα χρησιμοποίησε; 5. Από την υλοτόμηση μιας δασικής έκτασης παράγονται ημερησίως κατά μέσο όρο, 7, κμ. ξυλεία ελάτου και 8,5050 κμ. ξυλεία πεύκου. Πόση ξυλεία παράγεται συνολικά σε 1 μήνα (30 ημ.) ; 6. Το Υπουργείο Υγείας προειδοποιεί: Το κάπνισμα βλάπτει σοβαρά την υγεία. Ένα τσιγάρο περιέχει 0,008 γρ. νικοτίνη και 0,015 γρ. πίσσα. Ένας καπνιστής καπνίζει 0 τσιγάρα την ημέρα. Πόση πίσσα και πόση νικοτίνη περιέχουν τα τσιγάρα που καπνίζει 35 ολόκληρα χρόνια. 7. Ο πατέρας έβαλε 0 λτ. Βενζίνη. Στο ταξίδι του έκαψε τα Ύ της βενζίνης που έβαλε. Πόσα λτ. έκαψε ; 8. Η μητέρα για να πάει στη δουλειά της χρειάζεται 5/6 της ώρας. Τα /5 του χρόνου αυτού πηγαίνει με τα πόδια. Πόση ώρα βαδίζει η μητέρα; 9. Οι φυσιολάτρες διάνυσαν 10,875 χμ. σε 3 ώρες. Πόσα χμ. διάνυσαν κατά μέσο όρο την ώρα. 10. Το πλοίο εκτελεί τακτικά το δρομολόγιο του σε 10 ώρες με σταθερή ταχύτητα 4,5 μίλια την ώρα. Αφού ταξίδεψε 4 ώρες έπαθε βλάβη και καθυστέρησε ώρες. Με πόση ταχύτητα την ώρα πρέπει να συνεχίσει το ταξίδι του για να φτάσει χωρίς καθυστέρηση στον προορισμό του; 11. Το 15 πλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 0,0085 είναι 3,4585. Ποίος είναι ο αριθμός; 1. Το ωφέλιμο φορτίο ενός αυτοκινήτου είναι τόνοι. Στο αυτοκίνητο έχουν φορτωθεί 35 κιβώτια των 5 Ύ κιλ. Πόσα κιβώτια των 60 Ό κιλών μπορούν να φορτωθούν ακόμα; 13. Για να καλυφτούν 1530 μ. χρησιμοποιήθηκαν σωλήνες των 4,5 μέτρ. Ο καθένας. Πόσοι σωλήνες χρησιμοποιήθηκαν ; 3

4 14. Το καφεκοπτείο παραλαμβάνει 100 κιλά ωμό καφέ που στο καβούρδισμα και το άλεσμα έχει φύρα 3,50 κιλά. Συσκευάζει τον αλεσμένο καφέ σε πακέτο των 0,50 κιλά. Πόσα είναι τα πακέτα ; 15. Ένα λεωφορείο μετέφερε σε μια βδομάδα 438 επιβάτες και εισέπραξε δρχ. Πόσο κάνει το ένα εισιτήριο ; 16. Σε κάποιο κατάστημα ένας πελάτης λέει στον ιδιοκτήτη: «Αν μου διπλασιάσεις τα χρήματα που έχω θα αγοράσω δραχμές εμπόρευμα». O ιδιοκτήτης συμφώνησε. Το ίδιο έγινε και δεύτερη και τρίτη φορά. Μετά την τρίτη αγορά ο πελάτης δεν είχε καθολου χρήματα. Ποσα χρήματα είχε στην αρχή; 17. Πεθαίνοντας κάποιος ορισε στη διαθήκη του τα εξής: Αν η έγκυος γυναίκα του γεννούσε γιο, τοτε αυτή θα κληρονομούσε το 1/3 της περιουσίας και ο γιος τα /3. Αν γεννούσε κορη, τοτε η γυναίκα βα κληρονομούσε τα /3 της περιουσίας και η κορη το 1/3. Η γυναίκα γέννησε δίδυμα μετά το θάνατο του συζύγου, ένα αγορι και ένα κορίτσι. Πως θα διανεμηθεί η περιουσία του πατέρα; 18. Το καφεκοπτείο παρέλαβε 50 κιλά ωμό καφέ. Στο καβούρδισμα και στο άλεσμα είχε φύρα 3,75 κιλά. Καφεκοπτείο συσκεύασε ομοιόμορφα του αλεσμένο καφέ σε 370 πακέτα. Ποιο είναι το βάρος του καφέ σε κάθε πακέτο ; 19. Ενας πατέρας έστειλε τους τρεις γιους του στην αγορά να πουλήσουν καρπούζια. Ο πρώτος γιος πήρε 10 καρπούζια, ο δεύτερος 0 και ο τρίτος 30 καρπούζια. Ο πατέρας έδωσε εντολή να πουλήσουν ολοι στην ίδια τιμή και να εισπράξουν και τον ίδιο αριθμό χρημάτων. Πώς είναι αυτο δυνατον; 0. Ενας μαθητής είχε να λύσει 6 προβλήματα. Ο πατέρας του του υποσχέθηκε οτι θα του έδινε 800 δραχμές για κάθε προβλημα που θα έλυνε σωστά, αλλά θα του αφαιρούσε 500 δραχμές για κάθε πρόβλημα που θα έλυνε λάθος. Στο τέλος της εργασίας ο πατέρας μέτρησε τα σωστά και τα λανθασμένα προβλήματα και παρατήρησε οτι ο γιος του δεν έπρεπε ούτε να πάρει, ούτε να δώσει χρήματα. Ποσα προβλήματα έλυσε σωστά και ποσα λάθος; 1. Ενας κτηνοτρόφος πουλά κοτες, χήνες και πάπιες. Κάθε κότα στοιχίζει 100 δραχμές, κάθε χήνα 00 δραχμές και κάθε πάπια 50 δραχμές. Ενας πελάτης θέλει να αγοράσει 40 απο τα πτηνά αυτά και να ξοδέψει δραχμές. Ποσα πτηνά βα αγοράσει απο κάβε είδος;. Υπάρχουν εννιά ίδιες μπάλλες, που όλες ζυγίζουν το ίδιο εκτος απο μια, η οποία ειναι βαρύτερη απο κάθε μια απο τις υπολοιπες. Πώς μπορούμε μονο με δύο ζυγίσματα να βρούμε ποια είναι η βαρύτερη μπάλα; (Χρησιμοποιούμε ζυγαριά με τους δύο δίσκους). 3. Σε ένα γεύμα παραβρέθηκαν έξι άτομα, που έχουν τα εξής ειδικά χαρακτηριστικά: (α.) Ανά δύο ή αγαπιούνται μεταξύ τους ή μισούνται. (β) Δεν υπάρχει σύνολο τριών ατομων που να αγαπιούνται μεταξύ τους ανά δύο. Να δείξετε οτι υπάρχει ένα τουλάχιστον σύνολο τριών ατομων, τα οποία μισούνται μεταξύ τους ανά δύο. 4. Σε ένα χορο παίρνουν μέρος 0 άτομα, αγόρια και κορίτσια. Το πρώτο αγορι χορεύει με 5 κορίτσια, το δεύτερο αγορι χορεύει με 6 κορίτσια, το τρίτο αγόρι χορεύει με 7 κορίτσια κ.ο.κ. μέχρι που το τελευταίο αγορι χορεύει με ολα τα κορίτσια. Πόσα αγορια και ποσα κορίτσια πήραν μέρος στο χορο; 4

5 OMAΔΑ Δ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ που λύνονται με τη λογική. 1. Ο κ. Μιχαηλίδης μοιράζεται ένα ιατρείο με τρεις κυρίες Γεωργίου, Μάνου και Ρωμανού. Καρδιολογία, Γαστρεντερολογία, Ενδοκρινολογία και Αιματολογία είναι οι ειδικότητες των τεσσάρων γιατρών. Από φήμες που άκουσα ως ασθενής στο νοσοκομείο, Καρδιολόγος, Γαστρεντερολόγος και η Δρ. Γεωργίου ήταν όλες στο σύλλογο φοιτητριών στο κολέγιο. Καρδιολόγος και Γαστρεντερολόγος κάποτε αποτελούσαν παντρεμένο ζεύγος. Αιματολόγος και Δρ. Μάνου έχουν δώσει αμοιβαία υπόσχεση γάμου. Ο κ. Μιχαηλίδης και η φίλη του κάθε εβδομάδα παίζουν χαρτιά με την γαστρεντερολόγο και τον σύζυγό της. Αν τρεις μόνο δηλώσεις είναι αληθείς τι ειδικότητα έχει κάθε γιατρός;. Οι Ανδρέας, Βασίλης, Γιάννης, Δημήτρης και Ελευθέριος είναι οι παίκτες σε ομάδα μπάσκετ. Δύο από αυτούς είναι αριστερόχειρες και τρεις είναι δεξιόχειρες. Δύο από αυτούς είναι ψηλότεροι από μέτρα και τρεις είναι χαμηλότεροι των μέτρων. Ο Ανδρέας και ο Γιάννης χρησιμοποιούν το ίδιο χέρι, ενώ ο Δημήτρης και ο Ελευθέριος χρησιμοποιούν διαφορετικά χέρια. Ο Βασίλης και ο Ελευθέριος έχουν το ίδιο ύψος, ενώ ο Γιάννης και ο Δημήτρης ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες όσο αφορά το ύψος τους. Ο παίκτης που παίζει στο κέντρο έχει ύψος μεγαλύτερο από μέτρα και είναι αριστερόχειρας. Ποιος είναι αυτός; 3. Όταν ο κύριος Μοσχόπουλος μπήκε σε μια αίθουσα του γυμνασίου, βρήκε τους τρεις μεγαλύτερους ταραχοποιούς του σχολείου, το Ευτύχιο, το Χρήστο και το Στάθη να κάθονται σαν αγγελούδια στα καθίσματά τους, με πλατειά χαμόγελα στα πρόσωπά τους. Στον πίνακα ήταν ζωγραφισμένη μια καθόλου κολακευτική εικόνα του κυρίου Μοσχόπουλου. «Λοιπόν, ποιος είναι ο καλλιτέχνης;» μούγκρισε ο καθηγητής. «Δεν το έκανα εγώ» απάντησε ο Ευτύχιος, «ήμουν έξω από την τάξη όταν συνέβηκε αυτό, ο Χρήστος το έκανε». «Είμαι αθώος» διαμαρτυρήθηκε ο Χρήστος, «η εικόνα βρισκόταν ήδη στον πίνακα όταν έφθασα εγώ. Ο Ευτύχιος είπε ψέματα ότι το έκανα εγώ.» «Ένας από εμάς το έκανε» παραδέχθηκε ο Στάθης, «εγώ όμως δεν έχω καμιά σχέση με αυτό, και ο Ευτύχιος είναι επίσης αθώος.» Εάν ο καθένας από τους μαθητές έκανε δυο αληθείς δηλώσεις και μόνο μια ψευδή, τότε ποιος ήταν ο ένοχος και ποιος ήταν παρών όταν ζωγραφιζόταν η εικόνα; 4. Το φθινόπωρο, τα μέλη μιας μικρής και κλειστής ανθοκομικής λέσχης έκαναν σχέδια για τα φυτά της επόμενης σαιζόν. Μετά από πολλές συναντήσεις τα πέντε μέλη (ο κύριος Γαριφαλιάς, ο Δρ. Τριανταφυλλίδης, η κυρία Αζαλέα, η δεσποινίς Δάφνη και ο Δρ. Γεράνης) αποφάσισαν να στείλει ο κάθε ένας ένα φυτό σε έναν από τους υπόλοιπους πέντε. Τα πέντε φυτά που εστάλησαν αντιστοιχούσαν στα ονόματα των πέντε αυτών ανθρώπων. Κάθε ένας από τους πέντε παρέλαβε ακριβώς ένα φυτό. Σε καμιά περίπτωση, ούτε ο αποστολέας ούτε ο παραλήπτης είχαν το ίδιο όνομα με το φυτό. Ο Δρ. Τριανταφυλλίδης απέστειλε ένα γεράνι στη δεσποινίδα Δάφνη. Ο αποδέκτης του φυτού που απέστειλε η δεσποινίς Δάφνη, απέστειλε μια τριανταφυλλιά. Ο φίλος των λουλουδιών που είχε το ίδιο όνομα με το φυτό που έστειλε η κυρία Αζαλέα παρέλαβε μια δάφνη από αυτόν που είχε το ίδιο όνομα με το φυτό που παρέλαβε η κυρία Αζαλέα. Ποιος έστειλε τι και σε ποιον; 5. Έξι παίκτες, ο Πέτρος, ο Κώστας, ο Φίλιππος, ο Σπύρος, ο Βασίλης και ο Παναγιώτης συναγωνίζονται σε αγώνες σκάκι για μια περίοδο πέντε ημερών. Κάθε παίκτης παίζει μια φορά με κάθε έναν από τους υπόλοιπους. Τρία παιχνίδια παίζονται συγχρόνως σε κάθε μια από τις πέντε μέρες. Την πρώτη μέρα ο Κώστας νίκησε τον Πέτρο μετά από 36 κινήσεις. Τη δεύτερη μέρα ο Κώστας νίκησε και πάλι όταν ο Φίλιππος απέτυχε να συμπληρώσει 40 κινήσεις στο απαιτούμενο χρονικό όριο. Την Τρίτη μέρα έλαβε χώρα ο πιο συναρπαστικός αγώνας, όταν ο Φίλιππος δήλωσε ότι θα θέσει σε ματ τον Βασίλη σε 8 κινήσεις, πράγμα που πέτυχε. Την τέταρτη μέρα ο Πέτρος νίκησε τον Σπύρο. Ποιος αγωνίστηκε με τον Παναγιώτη την Πέμπτη μέρα; 5

6 OMAΔΑ Ε ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ. 1. Ας υποθέσουμε ότι οι προτάσεις p: Ο Κώστας κερδίζει δρχ. την ώρα, q: Ο Κώστας κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη, είναι και οι δυο αληθείς. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς; α) Αν ο Κώστας κερδίζει δρχ. την ώρα, τότε δεν κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη. β) Αν ο Κώστας κερδίζει δρχ. την ώρα, τότε ο Τάκης κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Κώστα. γ) Αν ο Κώστας κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη, τότε ο Κώστας κερδίζει δρχ. την ώρα. δ) Αν ο Κώστας κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη, τότε ο Κώστας κερδίζει δρχ. την ώρα. ε) Αν ο Τάκης κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Κώστα, τότε ο Κώστας κερδίζει δρχ. την ώρα.. Αν p, q είναι οι προτάσεις p: Η Αλίκη πέρασε στα μαθηματικά, q: Ο Βασίλης πέρασε στα μαθηματικά, να μεταφράσετε τις ακόλουθες προτάσεις σε λογικούς τύπους, και να δείξετε σε ποιες περιπτώσεις κάθε μια από αυτές είναι αληθής. α) Αν η Αλίκη πέρασε στα μαθηματικά, τότε πέρασε και ο Βασίλης. β) Αν ο Βασίλης πέρασε στα μαθηματικά, τότε πέρασε και η Αλίκη. γ) Η Αλίκη και ο Βασίλης πέρασαν και οι δύο στα μαθηματικά. 3. Ο Στέλιος Δαμασκηνός, ο Γιώργος Κερασάς και ο Ανδρέας Πεπονής αποφάσισαν να σχηματίσουν ένα μουσικό συγκρότημα. Τα Τρία Φρούτα Δεν διαθέτουν μόνο όλοι τους υπέροχες φωνές, αλλά κάθ ένας από αυτούς παίζει είτε κιθάρα είτε μπάντζο. Αν ο Στέλιος και ο Ανδρέας μπορούν και οι δυο να παίζουν κιθάρα, τότε μπορεί και ο Γιώργος. Αν ο Γιώργος δεν μπορεί να παίξει κιθάρα, τότε μπορεί ο Ανδρέας. Αλλά αν ο Ανδρέας μπορεί να παίζει μπάντζο, τότε ο Στέλιος δεν μπορεί. Είτε ο Στέλιος είτε ο Ανδρέας μπορεί να παίξει κιθάρα, όχι όμως και οι δύο. Μόνο ένας από τους τρεις μπορεί να παίξει και τα δύο, μπάντζο και κιθάρα. Ποιος; 4. Αν r και q είναι οι προτάσεις r: Η Αλίκη πέρασε στην ιστορία, q: Ο Κάρολος πέρασε στην ιστορία, να μεταφράσετε τις ακόλουθες προτάσεις σε λογικούς τύπους και να δείξετε σε ποιες περιπτώσεις η κάθε μια από αυτές είναι αληθής. α) Είτε πέρασε η Αλίκη στην ιστορία είτε ο Κάρολος δεν πέρασε. β) Η Αλίκη δεν πέρασε στην ιστορία. γ) Η Αλίκη δεν πέρασε στην ιστορία εκτός αν πέρασε ο Κάρολος. 5. Αν p, q, r, και s είναι οι προτάσεις p: Τα ρόδα είναι κόκκινα, q: Οι βιολέτες είναι μπλε, r: Η ζάχαρη είναι γλυκιά, s: Εσύ είσαι γλυκιά, να μεταφράσετε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις σε λογικούς τύπους: α) Αν τα ρόδα είναι κόκκινα και οι βιολέτες μπλε, τότε η ζάχαρη είναι γλυκιά και έτσι είσαι κι εσύ. β) Είσαι γλυκιά και η ζάχαρη είναι επίσης, εκτός και αν τα ρόδα δεν είναι κόκκινα και οι βιολέτες δεν είναι μπλε. γ) Τα ρόδα είναι κόκκινα μόνο αν οι βιολέτες είναι μπλε, αλλά αν η ζάχαρη είναι γλυκιά τότε εσύ δεν είσαι γλυκιά. 6. Αν p, q, r και s είναι οι προτάσεις p: Ο ποιητής ονειρεύεται, q: Ο ποιητής αστειεύεται, r: Η Τιτάνια είναι η βασίλισσα των νεράιδων, s: Ο Oberon είναι ο βασιλιάς των νεράιδων, να μεταφράσετε κάθε έναν από τους ακόλουθους λογικούς τύπους στα ελληνικά. α) p ( r) γ) ( p r) β) ( p) ( r) δ) [ (p q)] (s r) 6

7 7. Τέσσερις άνδρες ρωτήθηκαν για τις ετήσιες αποδοχές τους. Τα ονόματά τους είναι Γιάννης, Μιχάλης, Λεωνίδας, και Ρένος και τα επαγγέλματά τους αρχιτέκτων, ξυλουργός, υδραυλικός και οικοδόμος (όχι αναγκαστικά στη σειρά αυτή). Κάθ ένας από αυτούς έκανε δύο δηλώσεις. Όμως οι μόνες δηλώσεις στην ορθότητα των οποίων μπορούμε να βασιστούμε, είναι οι δηλώσεις, στις οποίες ο δηλών κατονομάζει ειδικά το δικό του επάγγελμα. Άλλες δηλώσεις μπορεί, μπορεί όμως και να μην είναι αληθείς. Γιάννης: Ο υδραυλικός έχει τριπλάσιες αποδοχές από τον ξυλουργό. Ο αρχιτέκτονας κερδίζει περισσότερα από εμένα. Μιχάλης : Ο ξυλουργός κερδίζει περισσότερα από τον υδραυλικό. Ο Λεωνίδας είναι είτε οικοδόμος, είτε αρχιτέκτονας. Λεωνίδας: Εγώ κερδίζω περισσότερα από τον αρχιτέκτονα. Ο ξυλουργός κερδίζει λιγότερα από ό,τι έκαστος των άλλων. Ρένος: Ο υδραυλικός έχει διπλάσιες αποδοχές από τον ξυλουργό. Εγώ κερδίζω περισσότερα από τον οικοδόμο. Συνδυάστε κάθε πρόσωπο με το επάγγελμά του. 8. Όταν ο πρώτος αστροναύτης που επισκέφθηκε τον πλανήτη Άρη, επέστρεψε στη Γη, του ζητήθηκε να περιγράψει τους κατοίκους του κόκκινου πλανήτη. Αυτός που υπέφερε ακόμη από τις επιδράσεις του διαπλανητικού ταξιδιού, απάντησε με τον ακόλουθο ορθό, αλλά μπερδεμένο τρόπο. Δεν είναι αληθές ότι εάν οι Αρειανοί είναι πράσινοι, τότε είτε έχουν τρεις κεφαλές ειδάλλως δεν μπορούν να πετάξουν, εκτός και αν είναι επίσης αληθές ότι είναι πράσινοι τότε και μόνο τότε εάν μπορούν να πετάξουν και ότι δεν έχουν τρεις κεφαλές. Υποθέτοντας ότι όλοι οι Αρειανοί μοιάζουν και ότι φέρουν τουλάχιστον ένα από τα τρία χαρακτηριστικά που τους αποδίδονται: Έχουν οι Αρειανοί τρεις κεφαλές; Είναι πράσινοι; Μπορούν να πετάξουν; 9. Αν p και q είναι οι προτάσεις p: O Γιώργος είναι καλός παίκτης του γκολφ, q: Ο Γιώργος δεν είναι καλός παίκτης του τένις, να μεταφράσετε τους ακόλουθους λογικούς τύπους στα ελληνικά: α) p q β) p q γ) q δ) p ε) q p ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤ 1. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω λογικοί τύποι είναι ταυτολογίες: 1) [(p q) q ] (p q) ) [(p q) p ] [ q { (p r) p }]. Να αποδείξετε τις ταυτολογίες: 1) (p q) [ p (p q)] ) (p q) [( p q ) q ] 3. Να αποδείξετε τις ταυτολογίες : 1) (p q) p q ) p q p q 7

8 8

9 ΟΜΑΔΑ Ζ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Συνδυαστικής και ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1. Εστω ο παρακάτω τροχός της τύχης σε κάποιο σημείο της περιφέρειας εχει ένα καρφί. Γυρίζουμε τον παρακάτω τροχό μέχρι να σταματήσει. Καταγράφουμε την ένδειξη που ορίζει τι καρφί. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτέρω πείραμα; Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το χρωμα του χαρτιου. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 3. Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε ταν είναι φιγουρα ή δεν είναι φιγουρα.. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 4. Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το νουμερο του χαρτιου (θεωρωντας ότι οι φιγουρες εχουν τη γνωστη αριθμηση). Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 5. Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το νουμερο του χαρτιου (θεωρωντας ότι οι φιγουρες εχουν τη γνωστη αριθμηση J=11, Q=1, K=13). Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 6. Τραβάμε ταυτοχρονα δυο χαρτια από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το χρωμα των χαρτιων. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 7. Τραβάμε δυο χαρτια το ένα μετα το άλλο από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το χρωμα των χαρτιων. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 8. Τραβάμε ταυτοχρονα δυο χαρτια από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το αθροισμα των νουμερων των χαρτιων. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 9. Τραβάμε δυο χαρτια το ένα μετα το άλλο από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε τη διαφορα (πρωτο χαρτι μειον δευτερο χαρτι σε απολυτη τιμη) των χαρτιων. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 10. Τραβάμε δυο χαρτια το ένα μετα το άλλο από μια τράπουλα 5 καρτών. Βλεπουμε και σημειωνουμε το χρωμα του πρωτου χαρτιου και το ειδος του δευτερου χαρτιου. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα;. 11. Σημειωση. Στα ανωτερω πειραματα, όπου τραβαμε δυο χαρτια το ένα μετα το άλλο, θεωρουμε ότι δεν επανατοποθετουμε το πρωτο χαρτι στην τραπουλα. Αληθεια αν ξανατοποθετουσαμε το πρωτο χαρτι στην τραπουλα θα αλλαζε ο δειγματοχωρος; Διερευνηστε και δικαιολογηστε την απάντηση σας. 1. Ένα συρτάρι περιέχει 6 μαύρες κάλτσες 4 καφέ και πράσινες. Ας υποθέσουμε ότι τραβάμε μια κάλτσα από το συρτάρι και σημειωνουμε το χρωμα της. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 13. Κάθε γράμμα της αλφαβήτου γράφεται σε ένα ξεχωριστό χαρτί και τοποθετείται μέσα σ ένα κουτί. Στην συνέχεια τραβάμε ένα χαρτί στην τύχη και σημειώνουμε τι γράμμα γράφει. Ποιος ο δειγματοχωρος για το ανωτερω πειραμα; 9