ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο. Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
|
|
- Σόλων Νικολαΐδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο Λύνω προβλήµατα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να εξασκηθείς στην αναγνώριση δύο ποσών που είναι αντιστρόφως ανάλογα. 2. Να θυµηθείς πώς λύνουµε προβλήµατα µε τη µέθοδο της αναγωγής στη µονάδα. 3. Να µάθεις να λύνεις προβλήµατα µε τη µέθοδο των ίσων γινοµένων. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 69
2 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριιότητα 1η Το πρόγραµµα της παιδικής κατασκήνωσης προβλέπει ότι τα παιδιά θα τρώνε ένα παγωτό την ηµέρα. Ο υπεύθυνος για το πρόγραµµα διατροφής της κατασκήνωσης, προµηθεύτηκε τόσα παγωτά, ώστε να επαρκέσουν για 20 ηµέρες για τους 15 µαθητές που θα φιλοξενούσε η κατασκήνωση. Αν έρθουν 25 µαθητές για πόσες ηµέρες θα έχουν παγωτό; Μπορώ να βρω εύκολα για πόσες ηµέρες θα έχουν παγωτό τα 25 παιδιά; Αν στην κατασκήνωση, αντί για 15 παιδιά, πήγαινε µόνο ένα παιδί, µπορώ να υπολογίσω για πόσες µέρες θα είχε παγωτά (αν έτρωγε ένα την ηµέρα); Με τον τρόπο αυτό βρίσκω πόσα είναι τα παγωτά. Στη συνέχεια µπορώ να βρω για πόσες ηµέρες θα επαρκέσουν για τους 25 µαθητές. Κάνω τις πράξεις: Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 µέρες, 1 παιδί θα έχει παγωτά για..... µέρες. Άρα τα παγωτά είναι Όµως τα παιδιά είναι 25 και θα µοιραστούν τα παγωτά. Έτσι, θα έχουν παγωτά για.... µέρες. Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Πώς θα εργαστείς στη δραστηριότητα αυτή; - Θα ακολουθήσω τις ερωτήσεις και θα δώσω προσεκτικά τις απαντήσεις. 70 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
3 Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Μπορώ να βρω εύκολα για πόσες ηµέρες θα έχουν παγωτό τα 25 παιδιά; Απάντηση εν φαίνεται να είναι και τόσο εύκολος ο υπολογισµός. Αν στην κατασκήνωση, αντί για 15 παιδιά, πήγαινε µόνο ένα παιδί, µπορώ να υπολογίσω για πόσες µέρες θα είχε παγωτά (αν έτρωγε ένα την ηµέρα); Απάντηση Όταν ξέρω ότι για τους 15 µαθητές τα παγωτά επαρκούν για 20 µέρες, για να βρω πόσες µέρες θα είχε παγωτά το 1 παιδί, θα κάνω πολλαπλασιασµό: = 300 µέρες. ηλαδή, για 300 µέρες το 1 παιδί θα έτρωγε 1 παγωτό την ηµέρα. Άρα τα παγωτά ήταν 300. Με τον τρόπο αυτό βρίσκω πόσα είναι τα παγωτά. Στη συνέχεια µπορώ να βρω για πόσες ηµέρες θα επαρκέσουν για τους 25 µαθητές. Κάνω τις πράξεις: Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 µέρες, 1 παιδί θα έχει παγωτά για..... µέρες. Άρα τα παγωτά είναι Όµως τα παιδιά είναι 25 και θα µοιραστούν τα παγωτά. Έτσι, θα έχουν παγωτά για.... µέρες. Απάντηση Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 µέρες, 1 παιδί θα έχει παγωτά για = 300 µέρες. Άρα τα παγωτά είναι 300. Όµως τα παιδιά είναι 25 και θα µοιραστούν τα παγωτά. Έτσι, θα έχουν παγωτά για 300 : 25 = 12 µέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 71
4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η µέθοδος µε την οποία λύσαµε το προηγούµενο πρόβληµα είναι η µέθοδος της αναγωγής στη µονάδα: Οι 15 µαθητές έχουν παγωτό για 20 µέρες. Ο 1 µαθητής έχει παγωτό για = 300 µέρες. Οι 25 µαθητές θα έχουν παγωτό για 300 : 25 = 12 µέρες. ραστηριιότητα 2 η η Στο ίδιο πρόβληµα εργάζοµαι µε άλλο τρόπο: Βρίσκω τα ποσά. Μπορείς να τα ονοµάσεις; Συµπλήρωσε τα ποσά και τις αντίστοιχες τιµές που µας δίνει το πρόβληµα. Την άγνωστη τιµή τη συµβολίζω µε x. ΠΟΣΑ Εξετάζω τη σχέση ανάµεσα στα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών»... ( ηλαδή όταν οι µαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για περισσότερες ή για λιγότερες ηµέρες;) ιακρίνω, ότι τα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών» είναι µεταξύ τους Τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών τους είναι ηλαδή: = Μπορείς τώρα να βρεις τον άγνωστο όρο αυτής της ισότητας; 72 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
5 Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Πώς θα συµπληρώσεις τον πίνακα; - Στην πρώτη γραµµή θα βάλω το ποσό: «αριθµός µαθητών». Στη δεύτερη γραµµή θα βάλω το ποσό: «αριθµός ηµερών». Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα γιατί για διπλάσιο αριθµό µαθητών, τα παγωτά θα επαρκέσουν µόνο για τις µισές µέρες. Στη συνέχεια, θα απαντήσω στις ερωτήσεις της δραστηριότητας, που είναι πολύ εύκολες. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Βρίσκω τα ποσά. Μπορείς να τα ονοµάσεις; Απάντηση Τα ποσά είναι «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών». Συµπλήρωσε τα ποσά και τις αντίστοιχες τιµές που µας δίνει το πρόβληµα. Την άγνωστη τιµή τη συµβολίζω µε x. Απάντηση Συµπληρώνουµε τον πίνακα: ΠΟΣΑ Αριθµός µαθητών Αριθµός ηµερών 20 x Εξετάζω τη σχέση ανάµεσα στα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών». ( ηλαδή όταν οι µαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για περισσότερες ή για λιγότερες ηµέρες;) ιακρίνω, ότι τα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών» είναι µεταξύ τους Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 73
6 Απάντηση Όταν οι µαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για λιγότερες, φυσικά, µέρες. Και µάλιστα, όταν διπλασιάζονται οι µαθητές, τα παγωτά επαρκούν για τις µισές µέρες. ιακρίνω, ότι τα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών» για τις οποίες επαρκούν τα παγωτά, είναι µεταξύ τους αντιστρόφως ανάλογα. Τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών τους είναι ηλαδή: = Μπορείς τώρα να βρεις τον άγνωστο όρο αυτής της ισότητας; Απάντηση Τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών τους είναι: και 25 x ηλαδή: 25 x = [κάνω τον πολλαπλασιασµό] Οπότε: 25 x = 300 [για να βρω τον παράγοντα x κάνω διαίρεση] Άρα: x = 300 : 25 ηλαδή: x = 12 Εποµένως, τα 25 παιδιά θα έχουν παγωτά για 12 µέρες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η µέθοδος µε την οποία λύσαµε αυτή τη φορά το ίδιο πρόβληµα είναι η µέθοδος των ίσων γινοµένων. 74 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
7 Τι µάθαµε µέχρι τώρα; Μέχρι τώρα µάθαµε ότι: Μπορούµε να βρούµε την άγνωστη τιµή σε ένα πρόβληµα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, µε δύο τρόπους: Με τη µέθοδο της αναγωγής στη µονάδα: Ξέρουµε την τιµή των πολλών µονάδων. Βρίσκουµε πρώτα την τιµή της µιας µονάδας µε πολλαπλασιασµό. Βρίσκουµε στη συνέχεια την άγνωστη τιµή µε διαίρεση. Παράδειγµα: Οι 5 εργάτες, µαζεύουν τις ελιές ενός χωραφιού σε 6 µέρες. Σε πόσες µέρες θα µαζέψουν τις ελιές οι 3 εργάτες; Λύση: Οι 5 εργάτες µαζεύουν τις ελιές σε 6 µέρες Ο 1 εργάτης τις µαζεύει σε 5 6 = 30 µέρες Οι 3 εργάτες τις µαζεύουν σε 30 : 3 = 10 µέρες. Με τη µέθοδο των ίσων γινοµένων: Κάνω τον πίνακα ποσών και τιµών, χρησιµοποιώντας µεταβλητή για την άγνωστη τιµή (συνήθως το x). Εξετάζω αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Σχηµατίζω τα ίσα γινόµενα. Λύνω την εξίσωση και βρίσκω το x. Για το προηγούµενο πρόβληµα, ο πίνακας ποσών και τιµών θα είναι ο παρακάτω: ΠΟΣΑ Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αριθµός εργατών 5 3 Αριθµός ηµερών 6 x Σχηµατίζω τα ίσα γινόµενα. 3 x = 5 6 Λύνω την εξίσωση: 3 x = 30, οπότε: x = 30 : 3, άρα x = 10 µέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 75
8 Εφαρµογές Εφαρµογή Τα 12 λεωφορεία για τη µεταφορά των µαθητών κάνουν 2 δροµολόγια. Τα 4 λεωφορεία χάλασαν. Πόσα δροµολόγια θα κάνουν τα 8 λεωφορεία που έµειναν; Απαντώ στην εφαρµογή Με αναγωγή στη µονάδα: Τα 12 λεωφορεία κάνουν 2 δροµολόγια για να µεταφέρουν όλους τους µαθητές. Βρίσκω τώρα την τιµή της µιας µονάδας µε πολλαπλασιασµό: Το 1 λεωφορείο θα έκανε 12 2 = 24 δροµολόγια για να τους µεταφέρει. Βρίσκω τώρα την τιµή των πολλών µονάδων µε διαίρεση: Τα 8 λεωφορεία θα κάνουν 24 : 8 = 3 δροµολόγια. Με πίνακα ποσών και τιµών (µέθοδος ίσων γινοµένων): Κάνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός λεωφορείων 12 8 ροµολόγια 2 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα (διπλάσιος αριθµός αυτοκινήτων θα έκανε τα µισά δροµολόγια). Άρα τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών είναι ίσα. Σχηµατίζουµε τα γινόµενα 8 x = 12 2 Λύνω την εξίσωση: 8 x = 24, οπότε: x = 24 : 8 άρα x = 3 Απάντηση: Τα 8 λεωφορεία θα κάνουν 3 δροµολόγια. 76 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
9 Ερωτήσειις γιια αυτοέλεγχο καιι συζήτηση Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαµε τον όρο αναγωγή στη µονάδα σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Μπορείς να τον εξηγήσεις µε δικά σου παραδείγµατα; Απάντηση Η αναγωγή στη µονάδα είναι µια µέθοδος για να λύνω προβλήµατα και σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα, όπως έκανα στα ανάλογα ποσά. Βρίσκω πρώτα την τιµή της µιας µονάδας µε πολλαπλασιασµό. Στη συνέχεια βρίσκω την τιµή των πολλών µονάδων µε διαίρεση. Παραδείγµατα: 1ο Παράδειγµα: Με τα χρήµατα που έχω µπορώ να αγοράσω 9 τετράδια αξίας 2 το καθένα. Πόσα τετράδια αξίας 3 µπορώ να αγοράσω µε τα ίδια χρήµατα; Με τα χρήµατα που έχω αγοράζω 9 τετράδια αξίας 2 το καθένα. Το 1 τετράδιο θα κόστιζε 9 2 = 18 (τόσα είναι τα χρήµατα που διαθέτω). Άρα, µε 3 το καθένα, θα µπορούσα να αγοράσω 18 : 3 = 6 τετράδια. 2ο Παράδειγµα: Οι 5 γερανοί ξεφορτώνουν ένα πλοίο σε 8 ώρες. Σε πόσες ώρες θα το ξεφορτώσουν οι 4 γερανοί; Λύση: Οι 5 γερανοί ξεφορτώνουν το πλοίο σε 8 ώρες. Ο 1 γερανός το ξεφορτώνει σε 5 8 = 40 ώρες. Οι 4 γερανοί το ξεφορτώνουν σε 40 : 4 = 10 ώρες Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 77
10 Σηµειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει «βρίσκω την τιµή του ενός». Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενα είναι ίσα. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους. Απάντηση Η έκφραση «Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει «βρίσκω την τιµή του ενός»» είναι Σωστή. Η έκφραση «Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενα είναι ίσα» είναι Λάθος. Στα ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενα είναι ίσα. Η έκφραση «Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους» είναι Λάθος. Τα ανάλογα ποσά έχουν ίσους λόγους. Συµπληρώνουµε λοιπόν: Σωστό Λάθος Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει «βρίσκω την τιµή του ενός». Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενο είναι ίσα. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους. 78 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
11 ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο Στο τέλος της εβδοµάδας το κυλικείο του σχολείου συγκέντρωσε στο ταµείο του 460 χαρτονοµίσµατα των 5 και θέλει να τα ανταλλάξει στην τράπεζα µε χαρτονοµίσµατα των 20. Πόσα χαρτονοµίσµατα των 20 θα πάρει; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι τα χαρτονοµίσµατα των 5 είναι 460. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα είναι τα χαρτονοµίσµατα των Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αξία χαρτονοµίσµατος - Αριθµός χαρτονοµισµάτων» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί πρέπει πάντα το γινόµενο να είναι σταθερό και να µας δίνει το συνολικό ποσό των χρηµάτων. Λύση 1 ος τρόπος (Με αναγωγή στη µονάδα): Αν η αξία του χαρτονοµίσµατος είναι 5, τότε τα χαρτονοµίσµατα είναι 460. Αν η αξία του νοµίσµατος είναι 1, τότε τα νοµίσµατα είναι (κάνω πολλαπλασιασµό): = (τόσες ήταν όλες οι εισπράξεις σε ). Αν η αξία είναι 20, τότε τα χαρτονοµίσµατα θα είναι (διαιρώ): : 200 = 115 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 79
12 2 ος τρόπος (Με πίνακα ποσών και τιµών): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αξία χαρτονοµίσµατος σε 5 20 Αριθµός χαρτονοµισµάτων 460 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 20 x = Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 20 x = ιαιρώ µε το 20 και βρίσκω: x = : 20, άρα x = 115. Απάντηση Τα χαρτονοµίσµατα των 5 θα τα ανταλλάξει µε 115 χαρτονοµίσµατα των 20. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο Τα παιδιά της Στ τάξης του ηµοτικού Σχολείου Λίνδου συγκεντρώνουν χρήµατα για να εµπλουτίσουν τη σχολική τους βιβλιοθήκη. Υπολόγισαν πως για να συγκεντρώσουν το ποσό που θέλουν πρέπει να αποταµιεύουν για 15 ηµέρες 45 κάθε µέρα. Τι ποσό πρέπει να αποταµιεύουν κάθε µέρα για να συγκεντρώσουν το ποσό σε 30 ηµέρες; Σηµείωση: Η Λίνδος βρίσκεται στο νησί της Ρόδου και υπάρχει εκεί ένας σηµαντικός αρχαιολογικός χώρος: Η Ακρόπολη της Λίνδου). Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι το ποσό που χρειάζονται για τη βιβλιοθήκη, µπορούν να το συγκεντρώσουν αν αποταµιεύουν 45 κάθε µέρα και επί 15 ηµέρες. Το ζητούµενο είναι 80 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
13 να βρούµε πόσα χρήµατα πρέπει να αποταµιεύουν κάθε ηµέρα ώστε να συγκεντρωθεί το ποσό σε 30 ηµέρες, δηλαδή σε διπλάσιο χρόνο από τον αρχικό; - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αριθµός ηµερών» και «ποσόν ηµερήσιας αποταµίευσης» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί σε διπλάσιες ηµέρες αποταµίευσης, αρκεί να αποταµιεύουν το µισό ποσό κάθε µέρα, ώστε να συγκεντρώσουν ένα σταθερό ποσό. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε δύο τρόπους. Λύση 1 ος τρόπος (Με τα αντίστροφα ποσά) Σε 15 ηµέρες αποταµιεύουν 45 την ηµέρα για να συγκεντρώσουν το ποσό που χρειάζονται (45 15 = 675 ) Σε διπλάσιες ηµέρες (30) πρέπει να αποταµιεύουν το µισό ποσό 45 : 2 = 22,50. 2 ος τρόπος (Με πίνακα ποσών και τιµών): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός ηµερών Ποσό ηµερήσιας αποταµίευσης ( ) 45 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 30 x = Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 30 x = 675 ιαιρώ µε το 30 και βρίσκω: x = 675 : 30, άρα x = 22,50. Απάντηση Για να συγκεντρώσουν το ποσό σε 30 ηµέρες πρέπει να αποταµιεύουν 22,50 την ηµέρα. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 81
14 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο Η ενορία των Αγίων Πάντων Θεσσαλονίκης αποφάσισε να βοηθήσει 15 άπορες οικογένειες δίνοντας 750 στην καθεµία για να περάσουν τις γιορτές του Πάσχα. Λίγο πριν από τις γιορτές όµως στην ενορία έµαθαν πως υπάρχουν άλλες 10 οικογένειες που χρειάζονται βοήθεια. Αν τα χρήµατα µοιραστούν σε όλες τις άπορες οικογένειες, τι ποσό θα πάρει η καθεµία; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι 15 οικογένειες θα πάρουν από 750 η καθεµία. Το ζητούµενο είναι να βρούµε από πόσα χρήµατα θα πάρουν 25 οικογένειες (15 αρχικά και 10 στη συνέχεια) αν µοιραστούν το ίδιο ποσό χρηµάτων. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «αριθµός οικογενειών» και «ποσό που παίρνει σε» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί οι διπλάσιες οικογένειες, αν µοιραστούν το ίδιο ποσό, θα πάρουν τα µισά χρήµατα. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (µε αναγωγή στη µονάδα): Οι 15 οικογένειες παίρνουν από 750. Αν ήταν 1 οικογένεια θα έπαιρνε όλο το ποσό, δηλαδή = (τόσο ήταν όλο το ποσό που θα µοιράζονταν). Αν το µοιραστούν οι 25 οικογένειες, θα πάρει η καθεµία από : 25 = ος τρόπος (Με πίνακα): 82 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
15 Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός οικογενειών Ποσό που µοιράζεται σε 750 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 25 x = Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 25 x = ιαιρώ µε το 25 και βρίσκω: x = : 25, άρα x = 450. Απάντηση Οι 25 οικογένειες θα πάρουν από 450 η καθεµία. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο Στην καλοκαιρινή κατασκήνωση των 20 ηµερών το πρόγραµµα διατροφής προβλέπει για 15 ηµέρες τα παιδιά µετά το φαγητό τους να τρώνε 160 γραµµάρια γλυκό το καθένα. Πόσα γραµµάρια γλυκού θα πρέπει να καταναλώνει κάθε παιδί ώστε να έχουν γλυκό για όλες τις ηµέρες της κατασκήνωσης; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι επί 15 ηµέρες τα παιδιά θα τρώνε από 160 γραµµάρια γλυκό. Το ζητούµενο είναι να βρούµε από πόσα γραµµάρια γλυκό θα τρώει το κάθε παιδί, αν θέλουν να έχουν γλυκό για 20 ηµέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 83
16 - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «αριθµός ηµερών» και «βάρος γλυκού» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί, για να περάσει κανείς µε τις προµήθειες τροφίµων που έχει διπλάσιες ηµέρες, πρέπει να καταναλώνει τη µισή ποσότητα. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (µε αναγωγή στη µονάδα): Επί 15 ηµέρες καταναλώνουν από 160 γραµµάρια. Σε 1 ηµέρα θα κατανάλωναν = γραµµάρια (τόσο ήταν όλο το γλυκό που θα µοιράζονταν). Επί 20 ηµέρες θα καταναλώνουν : 20 = 120 γραµµάρια. 2ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός ηµερών Βάρος γλυκού σε γρ. 160 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 20 x = Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 20 x = ιαιρώ µε το 20 και βρίσκω: x = : 20, άρα x = 120. Απάντηση Για 20 ηµέρες, κάθε παιδί πρέπει να καταναλώνει 120 γρ. γλυκού. 84 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
17 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο Με τα χρήµατα που είχε ένας φοιτητής µπορούσε να περάσει 30 ηµέρες αν ξόδευε 15 την ηµέρα. Πόσο πρέπει να ξοδεύει την ηµέρα, ώστε να επαρκέσουν τα χρήµατά του για 45 ηµέρες; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι αν ο φοιτητής ξοδεύει 15 την ηµέρα, θα περάσει 30 ηµέρες µε τα χρήµατά του. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα πρέπει να ξοδεύει αν θέλει να περάσει 45 ηµέρες. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «αριθµός ηµερών» και «ποσό που ξοδεύω», όταν το συνολικό ποσό που έχω για να ξοδέψω είναι σταθερό, είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί, για να περάσει κανείς µε τα χρήµατα που έχει διπλάσιες ηµέρες, πρέπει να ξοδεύει τα µισά χρήµατα. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (µε αναγωγή στη µονάδα): Επί 30 ηµέρες ξοδεύει από 15. Σε 1 ηµέρα θα ξόδευε = 450 (τόσο ήταν όλα τα χρήµατα που είχε). Επί 45 ηµέρες θα ξοδεύει 450 : 45 = 10. 2ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός ηµερών Ποσό χρηµάτων την ηµέρα ( ) 15 x Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 85
18 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 45 x = Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 45 x = 450 ιαιρώ µε το 45 και βρίσκω: x = 450 : 45, άρα x = 10. Απάντηση Για να επαρκέσουν τα χρήµατα για 45 ηµέρες, πρέπει να ξοδεύει 10 την ηµέρα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6ο Γράψε ένα δικό σου πρόβληµα χρησιµοποιώντας το Α ή το Β Α) υο γερανοί ξεφορτώνουν ένα πλοίο σε τρεις ώρες Β) Ένας ποδηλάτης τρέχοντας µε 15 χµ. την ώρα χρειάζεται µισή ώρα για να διανύσει µια απόσταση. Ένας πεζός Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Πρέπει να γράψεις ένα µόνο πρόβληµα από τα δύο που προτείνει το βιβλίο. Μπορείς να επιλέξεις όποιο θέλεις. Λύση Α) Πρόβληµα «ύο γερανοί ξεφορτώνουν ένα πλοίο σε τρεις ώρες. Οι 6 γερανοί σε πόσες ώρες θα το ξεφορτώσουν;» Β) Πρόβληµα «Ένας ποδηλάτης τρέχοντας µε 15 χµ. την ώρα χρειάζεται µισή ώρα για να διανύσει µια απόσταση. Ένας πεζός βαδίζει µε ταχύτητα 5 χµ. την ώρα. Πόση ώρα χρειάζεται για να διανύσει την ίδια απόσταση;» 86 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Σε µια πολυκατοικία έχουν γεµίσει τη δεξαµενή πετρελαίου και έχουν παρατηρήσει ότι, όταν λειτουργούν τα καλοριφέρ επί 9 ώρες την ηµέρα, το πετρέλαιο φτάνει για 20 ηµέρες. Πόσες ώρες πρέπει να τα λειτουργούν, αν θέλουν το πετρέλαιο να τους φτάσει για 30 ηµέρες; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι αν τα καλοριφέρ λειτουργούν 9 ώρες την ηµέρα, το πετρέλαιο φτάνει για 20 ηµέρες. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσες ώρες πρέπει να λειτουργούν αν θέλουν να τους φτάσει το πετρέλαιο για 30 ηµέρες. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «ώρες λειτουργίας» και «αριθµός ηµερών», είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί, για να περάσει κανείς µε το πετρέλαιο που έχει διπλάσιες ηµέρες, πρέπει να µειώσει τη λειτουργία των καλοριφέρ στο µισό. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 87
20 ΠΟΣΑ Ώρες λειτουργίας 9 x Αριθµός ηµερών Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 30 x = 9 20 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 30 x = 180 ιαιρώ µε το 30 και βρίσκω: x = 180 : 30, άρα x = 6 ηµέρες. Απάντηση Για να επαρκέσει το πετρέλαιο για 30 ηµέρες πρέπει να λειτουργούν τα καλοριφέρ 6 ώρες την ηµέρα. 2ος τρόπος (Με αναγωγή στη µονάδα): Μπορείς µόνος/η σου να λύσεις το πρόβληµα µε αναγωγή στη µονάδα; ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Η Ερµιόνη θέλει να αγοράσει αθλητικές κάλτσες. Με τα χρήµατα που έχει µπορεί να αγοράσει 10 ζευγάρια που το καθένα κοστίζει 2. Αν όµως θέλει να αγοράσει κάλτσες καλύτερης ποιότητας που το κάθε ζευγάρι κοστίζει 5, πόσα ζευγάρια µπορεί να αγοράσει; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αριθµός ζευγαριών από κάλτσες» και «ποσότητα ζευγαριών» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί αν διπλασιάσουµε τις κάλτσες, θα αγοράσουµε τη µισή ποσότητα ζευγαριών µε τα χρήµατα που έχουµε. Μπορώ λοιπόν να 88 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
21 το λύσω µε πίνακα (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αξία σε 2 5 Αριθµός καλτσών (ζευγάρια) 10 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 5 x = 2 10 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 5 x = 20 (τόσα ήταν τα χρήµατα που είχε σε ). ιαιρώ µε το 5 και βρίσκω: x = 20 : 5, άρα x = 4 ζευγάρια. Απάντηση Μπορεί να αγοράσει 4 ζευγάρια κάλτσες αξίας 5 το καθένα. 2ος τρόπος (Με αναγωγή στη µονάδα): Μπορείς µόνος/η σου να λύσεις το πρόβληµα µε αναγωγή στη µονάδα; ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Ο κυρ-θωµάς έχει στο χωριό ένα µεγάλο χωράφι που το σπέρνει κάθε χρόνο µε βαµβάκι. Το Σεπτέµβριο που έρχεται ο καιρός για να µαζευτεί, χρησιµοποιεί µια βαµβακοσυλλεκτική µηχανή η οποία µαζεύει το βαµβάκι σε 5 ώρες. Αν βάλει 2 µηχανές στο χωράφι σε πόσες ώρες θα το µαζέψει; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 89
22 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αριθµός µηχανών» και «ώρες συλλογής του βαµβακιού» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί αν διπλασιάσω τον αριθµό των µηχανών, θα χρειαστούν τις µισές ώρες για να µαζέψουν το βαµβάκι. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα. Λύση Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός µηχανών 1 2 Ώρες συλλογής του βαµβακιού 5 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 2 x = 1 5 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 2 x = 5 ιαιρώ µε το 2 και βρίσκω: x = 5 : 2, άρα x = 2,5. Απάντηση Οι 2 µηχανές µαζεύουν το βαµβάκι σε 2,5 ώρες (2 ώρες και 30 λεπτά). 90 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο. Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο Σίγουρα την αρχική τιµή! Λύνω προβλήµατα µε ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιµή Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να µάθεις να λύνεις προβλήµατα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο εκαδικά κλάσµατα δεκαδικοί αριθµοί Στο εργαστήρι πληροφορικής Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να διαβάζουµε, να γράφουµε και να συγκρίνουµε δεκαδικούς
Διαβάστε περισσότερα4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση
Διαβάστε περισσότερα+ = x 8x = x 8x 12 0 = 2 + = + = x 1 2x. x 2x 1 0 ( 1)
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Τα προβλήµατα των Μαθηµατικών χωρίζονται στις παρακάτω βασικές κατηγορίες : Κατηγορία 1η : Αναζητούν έναν άγνωστο Ονοµάζουµε χ αυτόν που αναζητούµε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία. Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα λέγονται δύο ποσά, στα. Ιδιότητα αντιστρόφως ανάλογων ποσών. Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά
Μαθηματικά Κεφάλαιο 36 Αντιστρόφως ανάλογα Όνομα: Ημερομηνία: / / ή αντίστροφα ποσά Θεωρία Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα λέγονται δύο ποσά, στα οποία, όταν πολλαπλασιάζεται η τιμή του ενός ποσού με
Διαβάστε περισσότεραΑ.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο. Στην ιχθυόσκαλα. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Υπενθύµιση - Οι αριθµοί µέχρι το 1..000..000 Στην ιχθυόσκαλα Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να εκτιµάς το αποτέλεσµα πριν κάνεις την αριθµητική πράξη.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Στ ημοτικού ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου Μαθηματικά Στ ημοτικού 3ος τόμος Κεφάλαια 28-40 Μαθηματικά Στ ημοτικού 3ος τόμος Κεφάλαια
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση
Διαβάστε περισσότερα6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
1 6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΘΕΩΡΙΑ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα : Είναι τα ποσά για τα οποία ισχύει το παρακάτω. Όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται η τιµή του ενός µε έναν αριθµό να διαιρείται αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΟΓΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΝΑΛΟΓΑ - ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ο καυστήρας του καλοριφέρ καίει 60 λίτρα πετρέλαιο σε 6 ώρες. Πόσα λίτρα πετρέλαιο θα κάψει σε 15 ώρες ;
ΑΝΑΛΟΓΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΝΑΛΟΓΑ - ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ο καυστήρας του καλοριφέρ καίει 60 λίτρα πετρέλαιο σε 6 ώρες. Πόσα λίτρα πετρέλαιο θα κάψει σε 15 ώρες ; 60 λίτρα πετρέλαιο 6 ώρες 15 ώρες Χ ; λίτρα πετρέλαιο θα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Στ ημοτικού
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου Μαθηματικά Στ ημοτικού 3ος τόμος Κεφάλαια 36-53 Μαθηματικά Στ ημοτικού 3ος τόμος Κεφάλαια
Διαβάστε περισσότεραΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές.
ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. Αγοράζω Πληρώνω Παίρνω ρέστα Συνεργάστηκαν οι: Σπίνος Γεράσιμος, Υποδ/ντής
Διαβάστε περισσότερα3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
. Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,
Διαβάστε περισσότερα6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ
1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Οι Έλληνες της διασποράς. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Οι αριθµοί µέχρι το 1..000..000..000 Οι Έλληνες της διασποράς Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να γράφουµε µεγάλους αριθµούς µε λέξεις, µε ψηφία και µε
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια του Κλάσµατος
Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ1.15 Αναπτύσσουν την έννοια του πολλαπλασιασμού ως αθροιστικής επανάληψης ίσων προσθετέων και διαισθητικά την έννοια της
Διαβάστε περισσότερα2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ
.3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.
ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εργασία: Επίλυση προβλήματος Καθηγητής : Χαράλαμπος Λεμονίδης Όνομα φοιτήτριας: Μπεσικιώτη Ζωή, Α.Ε.Μ. 4385 από το σχολικό
Διαβάστε περισσότερα2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΟδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides
Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 15 20) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Έμαθα ότι: Κεφάλαιο 15 «Θυμάμαι τους δεκαδικούς αριθμούς» Όταν θέλω να
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Τεύχος Β. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα
Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Τεύχος Β Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 116 σελίδες Τι θα µάθω σε αυτό το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4
Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Na λυθούν οι εξισώσεις : α) 2 3x 1 x 8 x 1 (απ.: x = -2) β) γ) 2x 7 x 1 (απ.: x = -12) 4 3 4 5 x 2 x 4 2 x (απ.: x = 1) 4 5 δ) x 1
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητής = Παρονομαστής
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα
Διαβάστε περισσότερα6η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ )
Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 6η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 41 46) Πηγή πληροφόρησης: e-selides 6η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 41 47) 1. α) Πολλαπλασιάζω κάθετα και αναλυτικά:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για τη λύση του προβλήµατος : ιαβάζουµε µε µεγάλη προσοχή το πρόβληµα Ξεχωρίζουµε τα δεδοµένα από τα ζητούµενα Συµβολίζουµε τον άγνωστο µε µία µεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα6.3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ
1 6.3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανάλογα ποσά : ύο ποσά τα λέµε ανάλογα όταν µεταβάλονται µε τέτοιο τρόπο ώστε όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) το ένα µε έναν αριθµό να πολλαπλασιάζεται (διαιρείται)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. Πρέπει να ξέρω ότι: Οτιδήποτε χωρίζεται σε ίσα μέρη είναι μια ακέραιη μονάδα.
Μάθημα 8 ο Ασκήσεις. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά : Η Κυριακή έκοψε ένα μήλο σε ίσα μέρη Το μήλο είναι η ακέραιη μονάδα. Χωρίστηκε σε τέσσερα () ίσα μέρη. Τι μέρος του μήλου αντιπροσωπεύει κάθε κομμάτι
Διαβάστε περισσότεραΠράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Kεφάλαιο 8ο 1η θεματική ενότητα ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις Αριθμοί και πράξεις Μαθαίνω τη γλώσσα των αριθμών Κεφάλαιο 8ο Πράξεις με μεικτές αριθμητικές
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Στ Δημοτικού
Μαθηματικά Στ Δημοτικού Τετράδιο εργασιών γ τεύχος 10-0172_MATHIMATIKA_C_TEU_ST_DHM.indd 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣYΓΓPAΦEIΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εργασία: Επίλυση προβλήματος Καθηγητής : Χαράλαμπος Λεμονίδης Όνομα φοιτήτριας: Μπεσικιώτη Ζωή, Α.Ε.Μ. 4385 από το σχολικό
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Τεύχος A. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα
Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Μαθηµατικά Τεύχος A Για παιδιά ΗΜΟΤΙΚΟΥ 100 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα Θυµάµαι
Διαβάστε περισσότεραΚάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων
Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων
Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των
Διαβάστε περισσότεραΡητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών
ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών Ρητοί αριθμοί (ℚ ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν με ένα κλάσμα με ακέραιους όρους. Με
Διαβάστε περισσότερα1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΌΣΜΙΟΣ ΣΤΌΧΟΣ. Χρηματοπιστωτικός Εγγραμματισμός. Δραστηριότητες για τα Παιδιά του Δημοτικού Σχολείου
Χρηματοπιστωτικός Εγγραμματισμός Δραστηριότητες για τα Παιδιά του Δημοτικού Σχολείου Βλέπω & Μαθαίνω α. Τα ευρωκέρματα είναι. Τα κέρματα έχουν τις ακόλουθες αξίες: β. Η έννοια του ίσου (ως προς την αξία)
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ1.15 Αναπτύσσουν την έννοια του πολλαπλασιασμού ως αθροιστικής επανάληψης ίσων προσθετέων και διαισθητικά την έννοια της
Διαβάστε περισσότεραΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος
ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε
Διαβάστε περισσότερα2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
Διαβάστε περισσότεραΚλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής
Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΌταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε
Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα
Θεωρία Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα. Πως λέγονται οι όροι ενός κλάσματος. Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος λέγεται αριθμητής ενώ ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από αυτήν λέγεται
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ï. Ôá êëüóìáôá. -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí
ÊåöÜëáéï ï Ôá êëüóìáôá âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôïõ êëüóìáôïò -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí âéâëéïììüèçìá 2: -Ðñüóèåóç êëáóìüôùí -Áöáßñåóç êëáóìüôùí
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΑγαπητοί γονείς, Αντιγόνη Λυκοτραφίτη
Αγαπητοί γονείς, Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο σύμφωνα με την ύλη του σχολικού βιβλίου «Μαθηματικά Γ Δημοτικού». Είναι δομημένο σε αντίστοιχα κεφάλαια και λειτουργεί παράλληλα αλλά και συμπληρωματικά με
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ
ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α. 3:8 β. 9:10 γ. 132:234 δ. 45:68. 2. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κλάσματα Η έννοια του κλάσματος. Να γραφούν σαν κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων 0 δ.. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα δ.. Ένα σχολείο
Διαβάστε περισσότεραΟδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη. 2η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 8 14)
Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 2η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 8 14) 1. Υπολογίζω τα γινόμενα. 44 Χ 10 = 57 Χ 10 = 35 Χ 10 = 34 Χ 100 = 27 Χ 100 = 42 Χ 10 = 39 Χ 100 = 15
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Π.ΦΥΛΑΧΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Π.ΦΥΛΑΧΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.1. Να γράψετε τις παρακάτω εκφράσεις με τη βοήθεια μιας μεταβλητής: i) Το πενταπλάσιο ενός αριθμού. ii) Το διπλάσιο
Διαβάστε περισσότερα(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία.
(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των πλευρών του το οποίο εκφράζεται με τη μονάδα
Διαβάστε περισσότεραTHE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 20 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).
Διαβάστε περισσότεραTHE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ
THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣ: 1 ΩΡΑ 3 ΛΕΠΤΑ Το δοκίμιο αυτό αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 15 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων
Κεφάλαιο 23 ο Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Η σωστή ενέργεια Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κλάσματα, πρέπει να είναι ομώνυμα. Τώρα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΕρωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού
Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΟΥ Ι ΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΩΣ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΕΠΠΣ & ΑΠΣ
ΗΛΙΑΣ. ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ, Σχολικός Σύµβουλος 4 ης ΕΠ Αττικής ΣΤΕΛΙΟΣ Κ. ΚΡΑΣΣΑΣ, Σχολικός Σύµβουλος 3 ης ΕΠ Αττικής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΟΥ Ι ΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΩΣ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΕΠΠΣ
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.
Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραTHE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2017-2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αυτό το γραπτό αποτελείται από 18 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό
Διαβάστε περισσότερα1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5
Μαθηματικά Α' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 5 να διαιρείται ακριβώς με το, το και το 5 (β)
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά
Καργιωτάκης Γιώργος, Μπελίτσου Νατάσσα Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά στις τάξεις Β, Δ και Ε (μιας διδακτικής ώρας). ΣΤΟΧΟΣ ΒΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟ- ΧΡΟΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Αρχική αξιολόγηση επιπέδου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 53 : Αριθμοί μέχρι το Κλάσματα και δεκαδικοί
10-0059MATHIMATIKAGDIMOTIKOU4_10 MAΘHTHΣ MAΘHM Γ 13/2/2013 10:31 πμ Page 1 9 η ενότητα Αριθμοί μέχρι το 10.000 Κλάσματα και δεκαδικοί Πράξεις γεωμετρία 53 54 55 56 57 58 59 Κεφάλαιο 53 : Αριθμοί μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού
Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς
Διαβάστε περισσότεραΑ. για να βρω το διαιρετέο
Μαθηματικά Κεφάλαιο 29 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι διαιρετέος ή διαιρέτης Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι διαιρετέος ΘΥΜΑΜΑΙ: Σε κάθε τέλεια διαίρεση έχουμε:
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α
ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Με ποιους τρόπους μπορούμε να φτιάξουμε ισοδύναμα κλάματα; Ποια διαδικασία ονομάζουμε απλοποίηση ενός κλάσματος; Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Ποια κλάσματα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..
Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ
1 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ύο υπάλληλοι έχουν µηνιαίο µισθό 1500. Στον έναν από τους δύο έγινε αύξηση % και στον άλλο µείωση 5% πάνω στις αποδοχές του πρώτου υπαλλήλου όπως αυτές διαµορφώθηκαν
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Πως μπορούμε να χωρίσουμε Η ακέραια μονάδα μπορεί να χωριστεί σε 10, 100, 1.000 κλπ. ίσα μέρη. 1 = 10
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΣΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ
Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ. 27 32 Πηγή: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ. 27 Προσθέσεις Αφαιρέσεις τετραψήφιων - Προβλήματα 1. Χθες
Διαβάστε περισσότεραEÈÛ ÁˆÁ È ÙÔ ÛÎ ÏÔ Î È ÙÔ ÁÔÓÂ
EÈÛ ÁˆÁ È ÙÔ ÛÎ ÏÔ Î È ÙÔ ÁÔÓ H σειρά Προβλήµατα µαθηµατικών για όλους αποτελείται από πέντε βιβλία τα οποία απευθύνονται σε παιδιά που φοιτούν από τη Β ως την ΣT τάξη. Κάθε βιβλίο περιλαµβάνει προβλήµατα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Στ ημοτικού
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου Μαθηματικά Στ ημοτικού 2ος τόμος Κεφάλαια 19-35 Μαθηματικά Στ ημοτικού 2ος τόμος Κεφάλαια
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ
Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ
ΜΑΘΗΜΑ 4 Κεφάλαιο 1o : Οι Φυσικοί Αριθµοί Υποενότητα 1.4: Ευκλείδεια ιαίρεση - ιαιρετότητα Θεµατικές Ενότητες: 1. Ευκλείδεια ιαίρεση Α. ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Όταν δοθούν δυο φυσικοί αριθµοί και δ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά της Φύσης και της Ζωής
Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: ΣΤ Η γάτα και το ποντίκι 1. Ένα ποντίκι βρίσκεται πάνω σε έναν τοίχο ύψους 2 μέτρων και κάτω στο έδαφος, περιμένοντας το, βρίσκεται μια γάτα. Κατά τη διάρκεια της
Διαβάστε περισσότεραΣτην Ε τάξη μάθαμε...
7 Στην Ε τάξη μάθαμε... Αριθμοί και Πράξεις (1) Παραδείγματα 1. Να εκτελέσετε τις πράξεις νοερά. (α) 42 + 36 (β) 15 + 17 (γ) 199 + 199 (δ) 403-299 (ε) 342-143 Λύση: (α) 42 + 36 = 40 + 2 + 30 + 6 = 40 +
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότερα1.Παρατηρώντας τις παρακάτω εικόνες, αντιστοίχισε ποιες εκφράζουν
1.Παρατηρώντας τις παρακάτω εικόνες, αντιστοίχισε ποιες εκφράζουν φυσικά μεγέθη και ποιες μη μετρήσιμα φυσικά μεγέθη και συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: α). β). γ). δ). ε). στ). ζ). η). θ). Εικόνες Φυσικά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i
Διαβάστε περισσότερα