Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α

Transcript

1 Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α Γιατί νομίζετε ότι η άλγεβρα είναι το πιο σημαντικό εργαλείο που έχουμε στα μαθηματικά; Είναι ένα από τα λίγα εργαλεία των μαθηματικών που το χρησιμοποιούνε και άλλες επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία, η μηχανική,.... Επίσης δεν υπάρχει περίπτωση να σκεφτούμε μαθηματικά χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την άλγεβρα. Ακόμα μας βοηθάει να λύσουμε οποιοδήποτε πρόβλημα της καθημερινής μας ζωής και μάλιστα μας επιτρέπει να κάνουμε και προβλέψεις. Ουσιαστικά δηλαδή μας βοηθάει να μοντελοποιούμε καταστάσεις. O μάνατζερ ενός ροκ συγκροτήματος θέλει να οργανώσει μία συναυλία. Για να κάνει την συναυλία πρέπει να διαλέξει ανάμεσα σε δύο στάδια, που το ένα είναι το παμπελοποννησιακό γήπεδο, που χωράει άτομα, και το γήπεδο της παναχαϊκής, που χωράει άτομα. Το εισιτήριο της συναυλίας κοστίζει 20. Αρχικά θα ασχοληθούμε με το παμπελοποννησιακό γήπεδο. Α)Αν υποθέσουμε ότι το γήπεδο γεμίσει πόσα λεφτά θα βγάλει; Β) Αν έρθουνε μόνο άτομα πόσα λεφτά θα βγάλει; Η απάντηση να δωθεί με τρεις τρόπους: 1. πράξεις 2. πίνακα 3. με μία γραφική παράσταση Μέγεθος είναι κάτι το οποίο μπορεί να πάρει κάποιες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές (μπορεί να μετρηθεί, έχει μέτρο). Μονοδιάστατο μέγεθος είναι αυτό το μέγεθος που μπορεί να οριστεί πλήρως με μία μόνο διάσταση, όπως το βάρος, το μήκος,... Εδώ έχουμε δύο μεγέθη. Το ένα μέγεθος το είναι το εισητήριο (20 ) και το άλλο μέγεθος είναι τα συνολικά έσοδα. Τι σχέση έχουν αυτά τα δύο μεγέθη μεταξύ τους; Όταν μεγαλώνει το ένα μεγαλώνει και το άλλο με τον ίδιο ρυθμό.

2 Ανάλογα ποσά είναι τα ποσά που μεγαλώνουν με τον ίδιο ρυθμό και είναι σταθερή η σχέση τους (λόγος). Ο ρυθμός συνδέεται με την κλίση της ευθείας. εισιτήρια που πουλήθηκαν έσοδα( ) Κατά κάποιο τρόπο αυτή η σχέση είναι ότι το ένα είναι εικοσαπλάσιο του άλλου. = 20 και αυτός ο λόγος είναι πάντα σταθερός. Λόγος είναι η σταθερή σχέση ανάμεσα σε δύο πράγματα. Αναλογία είναι οι διάφοροι τρόποι που μπορούμε να γράψουμε έναν λόγο ή την ισότητα διαφόρων λόγων. = =. Αυτό είναι μία αναλογία που μας δείχνει ότι αυτός ο λόγος διατηρείται σταθερός. Ουσιαστικά αναφερόμαστε στον ίδιο λόγο αλλά με διαφορετικούς αριθμούς x 20 = x 20 = Αν πουλήθηκαν x εισιτήρια τα έσοδα θα ήταν 20x. Άρα τα έσοδα της συναυλίας εξαρτώνται αναλογικά από τα εισιτήρια που θα πωληθούν. Έσοδα = 20x y = 20x όπου xείναι ο αριθμός των εισιτηρίων και y τα έσοδα. Το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή (μπορεί να πάρει όποια τιμή θέλει) και το y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή (εξαρτάται από το x). Ορθοκανονικό σύστημα ή καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Λέγεται καρτεσιανό σύστημα γιατί δημιουργήθηκε από τον Καρτέσιο (de Kart) και με αυτόν τον τρόπο συνδέεται η άλγεβρα με την με την γεωμετρία. Ο Καρτέσιος το ανακάλυψε με τον εξής τρόπο: Ήταν πολύ άρρωστος, σ ένα άσπρο δωμάτιο και ήταν και μια μύγα που τον ενοχλούσε. Δεν μπορούσε να σηκωθεί από το κρεβάτι για να την σκοτώσει και προσπαθούσε να βρει έναν τρόπο να περιγράψει στην τυφλή νοσοκόμα που βρίσκεται η μύγα για να την σκοτώσει. Μ αυτόν τον τρόπο επινοήθηκε το

3 καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, να μπορούμε δηλαδή να προσδιορίζουμε με ακρίβεια τη θέση ενός σημείου. Έχουμε πολλές εφαρμογές του στην καθημερινή ζωή. Αυτό λέγεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Συνηθίζεται στον οριζόντιο άξονα να βάζουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή (x) και στον κάθετο άξονα την εξαρτημένη μεταβλητή (y). Το σύστημα των συντεταγμένων στην πραγματικότητα αποτελείται από 4 τεταρτημόρια, για τον απλούστατο λόγο ότι το y και το x δεν παίρνουν μόνο θετικές τιμές. Επίσης όταν παίρνουμε τις τιμές πάνω στους άξονες πρέπει να προσέξουμε τα διαστήματα να είναι ίσα μεταξύ τους. Βέβαια δεν είναι υποχρεωτικό οι αποστάσεις του y να είναι ίσες με τις αποστάσεις του x. Ε 2 Ε 1 Το σημείο Ε 1 λέμε ότι αντιπροσωπεύει στο επίπεδο δύο αριθμούς (δημιουργήθηκε από δύο αριθμούς) το 1 και το 20 άρα Ε 1 (1,20), που είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος, γιατί το πρώτο μας δείχνει την ανεξάρτητη μεταβλητή και το δεύτερο την εξαρτημένη μεταβλητή. Προσοχή: το σημείο (20,1) δεν θα βρίσκεται στο ίδιο ακριβώς σημείο με το (1,20). Δηλαδή έχει πολύ μεγάλη σημασία ποιος αριθμός είναι πρώτος και ποιος δεύτερος. Ε 2 (2,40) Αν ενώσουμε αυτά τα σημεία μεταξύ τους θα σχηματιστεί μία ευθεία γραμμή.

4 Στο συγκεκριμένο πρόβλημα όμως σωστά ενώθηκαν τα σημεία για να πάρουμε την ευθεία γραμμή; Τα σημεία αυτά ιδεατά θα είναι πάνω σε μία ευθεία γραμμή. Αλλά δεν έχει νόημα για το πρόβλημά μας να ενώσουμε τα σημεία, για τον απλούστατο λόγο, γιατί αν δημιουργήσουμε αυτή την ευθεία γραμμή σημαίνει πως ένα τυχαίο σημείο πάνω στην γραμμή (π.χ. το Κ) έχει νόημα. Δεν υπάρχουν όμως 1,85 εισιτήρια. Εννοούμε δηλαδή ότι όλα τα σημεία της γραμμής έχουν ένα νόημα για το πρόβλημά μας, π.χ. αν είχαμε κιλά κρέας και τα λεφτά που θα πληρώναμε τότε θα είχε νόημα να ενώσουμε τα σημεία γιατί υπάρχουν και 1,5 κιλά και 1,75,..., έχει νόημα δηλαδή ο δεκαδικός αριθμός άρα και οποιοδήποτε σημείο της ευθείας. Στο πρόβλημα όμως αυτό που έχουμε διακριτά μεγέθη (διακριτό μέγεθος είναι αυτό που παίρνει μόνο ακέραιες τιμές) δεν έχει νόημα να ενώσουμε τα σημεία, ιδεατά όμως αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία γραμμή. Εάν ο μάνατζερ εισέπραξε 120 πόσα εισιτήρια κόπηκαν; Μπορούμε να το βρούμε φτιάχνοντας την αναλογία = = ή με τον τύπο 120 = 20x x = = 6 άτομα. Μπορούμε δηλαδή και από τον πίνακα και από την γραφική παράσταση. Με την γραφική παράσταση βρίσκουμε το 120 στον άξονα των y και τραβώντας μία γραμμή παράλληλη στον άξονα των x μέχρι την ευθεία και μετά με μία κάθετη βρίσκουμε πόσα εισιτήρια κόπηκαν. Πότε δύο μεγέθη είναι ανάλογα; Όταν ο λόγος τους είναι σταθερός ή όταν μεταβάλλονται με τον ίδιο ρυθμό. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ο ρυθμός μεταβολής ποιος είναι; 20 δηλαδή εικοσαπλάσιο το ένα από το άλλο. Ο μοναδιαίος λόγος είναι. Σ αυτήν την γραφική παράσταση ο ρυθμός/σταθερός λόγος που φαίνεται; Τον βλέπουμε στην γωνία που σχηματίζει η ευθεία μας με τον άξονα των x. Είναι ουσιαστικά η εφαπτόμενη της γωνίας. Εφαπτομένη (α) = (σε ορθογώνιο τρίγωνο)

5 4 5 3 α εφα = Η κλίση είναι το ίδιο πράγμα με τον μοναδιαίο λόγο και με τον ρυθμό και όλα αυτά είναι ο συντελεστής του x. Π.χ. y = 2,5x Το 2,5 είναι η εφαπτομένη, ο ρυθμός και ο λόγος. Τα έξοδα στο παμπελοποννησιακό γήπεδο δίνονται από τον τύπο y = 40 x ενώ στο γήπεδο της παναχαϊκής από τον τύπο y = 20 x. Ποιο είναι το πιο ακριβό γήπεδο; Το πιο ακριβό γήπεδο είναι το παμπελοποννησιακό και φαίνεται από το 40. Αν μας το δίνανε σε γραφική παράσταση θα ήταν (Α: για το παμπελοποννησιακό και Β: για της παναχαϊκής): Α Β Άρα μπορούμε να ξέρουμε τι γίνεται σε ένα πρόβλημα χωρίς να μπούμε σε διαδικασίες να κάνουμε πράξεις, πίνακες, κ.ο.κ. μόνο από τον τύπο ή την γραφική παράσταση. Ο συντελεστής/κλίση του x μας δίνει πληροφορίες για πάρα πολλά πράγματα. Ο μάνατζερ χρειάζεται να νοικιάσει μια μπάντα η οποία κοστίζει Επίσης του ζήτησαν και έναν σωματοφύλακα για κάθε 400 άτομα. Κάθε σωματοφύλακας στοιχίζει 800. Πόσο θα του κοστίσει άμα γεμίσει το γήπεδο; Αν έχει προϋπολογισμό θα έχει κέρδος, ζημία ή απλώς θα του φτάσουν τα χρήματα; Τα έσοδα είναι x 20 = Για κάθε 400 άτομα έχουμε έναν σωματοφύλακα

6 Άρα για τα άτομα θα έχουμε x = = 64,26, άρα για ασφάλεια 65 σωματοφύλακες. Κάθε σωματοφύλακας κοστίζει 800 άρα οι 65 θα κοστίζουν 65 x 800 = Η μπάντα ζητάει Άρα η συναυλία θα του κοστίσει = Αφού είχε προϋπολογισμό του έφτασαν ακριβώς. Αν δεν πήγαινε κανένας στο γήπεδο τότε τι θα πλήρωνε και τι θα κέρδιζε; Θα πλήρωνε υποχρεωτικά τις για την μπάντα (είναι πάγιο) και δεν θα πλήρωνε τους σωματοφύλακες. Άσκηση o Μπορούμε να φτιάξουμε μία γραφική παράσταση για όλη αυτή την κατάσταση; Δύο πιτσιρίκια πάνε στο σχολείο. Ο Γιάννης κάθε μέρα που πάει στο σχολείο (5 μέρες) παίρνει από την μητέρα του 1. Κάθε μέρα αγοράζει πατατάκια με 0,75. Θέλει να μαζέψει 10. Ο Κώστας ήδη έχει 3 και την κάθε εβδομάδα βάζει στην άκρη 1. Ο Γιάννης ή ο Κώστας θα μαζέψει πρώτος τα 10 ; Να απαντήσετε αριθμητικά, με γραφική παράσταση και με ποιο μαθηματικό τύπο μοντελοποιείται. Συμφέρει να κάνουμε από μία γραφική παράσταση για τον καθένα ή μία γραφική παράσταση και για τους δύο; Μας συμφέρει να κάνουμε μία γραφική παράσταση και για τους δύο και μάλιστα θα φαίνεται ποιος φτάνει πρώτος στα 10 χωρίς να χρειαστεί να κάνουμε πράξεις. Αντιμετωπίζουμε ένα πρόβλημα για το ποια μεταβλητή θα βάλουμε στον άξονα των x και ποια θα βάλουμε στον άξονα των y. Πρέπει να το σκεφτόμαστε με τους όρους ανεξάρτητη μεταβλητή και εξαρτημένη. Στον άξονα του x προφανώς θα βάλουμε τον αριθμό των εβδομάδων, γιατί τα λεφτά που μαζεύουν εξαρτόνται από το πέρασμα των εβδομάδων. Έχει νόημα να ενώσουμε την γραμμή εδώ; Φυσικά και έχει νόημα, γιατί ανάμεσα στις εβδομάδες υπάρχουν μέρες, είναι χρόνος, είναι συνεχές το μέγεθος δεν είναι διακριτό. Μπορεί να βάλουμε 1 βδομάδα, 2 βδομάδες αλλά ο άξονας των x είναι χρόνος και υπάρχει ανάμεσα στο 1 και το 2, 1.5 ή 1.3 εβδομάδες. Για να φτιάξουμε την γραφική παράσταση χρειάζεται ή να έχουμε βάλει τα δεδομένα σε έναν πίνακα και να διαβάζουμε τα δεδομένα του πίνακα και να πηγαίνουμε στην γραφική παράσταση ή αν δεν

7 θέλουμε να κάνουμε πίνακα ακόμα και να μην μας το ζητάει να έχουμε γράψει τον τύπο/την σχέση τους. Άρα σκεφτόμαστε: Ο Γιάννης την πρώτη Δευτέρα δεν είχε τίποτα. Την πρώτη βδομάδα μαζεύει 1,25, γιατί κάθε μέρα μαζεύει 1-0,75 = 0,25, επί 5 οι μέρες της βδομάδας, άρα κάθε βδομάδα μαζεύει 0,25 x 5 = 1,25. Την πρώτη βδομάδα θα έχει μαζέψει 1,25, τη δεύτερη βδομάδα 2 x 1,25. Άρα για τον Γιάννη ο τύπος θα είναι Γιάννης = 1,25x. Αυτή είναι μία συνάρτηση που μας δείχνει με ποιον τρόπο αλληλοσχετίζονται οι δύο μεριές. Ο Κώστας την πρώτη βδομάδα θα έχει 4, 3 από την γιαγιά του και 1 από το χαρτζιλίκι της εβδομάδας. Την δεύτερη εβδομάδα θα έχει 5, την τρίτη 6, άρα ο τύπος για τον Κώστα θα είναι Κώστας = 3 + 1x. Έστω Γ = 1,25x και Κ = 3+x (η συνάρτηση ουσιαστικά είναι το μοτίβο) Την 1 η εβδομάδα ο Γιάννης είχε 1,25. Για να φτιάξουμε την γραφική παράσταση του Γιάννη, που είναι ευθεία, χρειαζόμαστε δύο σημεία: το (0,0) και το (1,1.25). Το πρώτο σημείο στην γραφική παράσταση του Κώστα θα είναι το 3, γιατί για 0 εβδομάδες θα έχει 3. Έχουμε το πρώτο σημείο που είναι το 3 άρα χρειαζόμαστε άλλο ένα σημείο για να κάνουμε την γραφική μας παράσταση. Την πρώτη εβδομάδα θα έχει = 4. Δεν ξεκινάνε δηλαδή όλες οι γραφικές παραστάσεις από το 0. Κ Γ Πώς θα διαβάσουμε στην γραφική παράσταση ποιος θα συμπληρώσει πρώτος τα 10 ; Θα φέρουμε μία ευθεία στα 10 και θα δούμε ποια από τις δύο ευθείες συναντάει πρώτα. Πρώτος τελικά φτάνει στα 10 ο Κώστας. Αλγεβρικά Γιάννης: 10 : 1,25 = 8 εβδομάδες.

8 Κώστας: 10-3 = 7 που τα μαζεύει σε 7 εβδομάδες, γιατί κάθε βδομάδα μαζεύει 1. Αν είχαμε κάνει σωστή γραφική παράσταση, ο Κώστας θα συναντούσε τα 10 στις 7 εβδομάδες ενώ ο Γιάννης θα συναντούσε τα 10 στις 8 εβδομάδες. Γι αυτό λέμε ότι ο Κώστας πρώτα φτάνει τα 10. Στην περίπτωση του Γιάννη η συνάρτησή μας έχει την μορφή y = αx. Στην περίπτωση του Κώστα, δεν έχουμε σκέτο το αx, αλλά πριν από αυτό έχουμε κάτι σταθερό τα 3, δηλαδή έχουμε την μορφή y = αx+β. Σ αυτή την περίπτωση αλλάζει ο τρόπος που βρίσκουμε την κλίση της ευθείας που προφανώς δεν είναι α. Ποια είναι η κλίση αυτής της ευθείας; Κάποιος βρήκε ότι θα πετύχει τον στόχο του σε 4,5 ώρες. Δηλαδή σε πόσα λεπτά; 4 x 60 = 240 και 30 λεπτά η μισή ώρα άρα σε = 270 λεπτά. Οι 4,2 ώρες πόσα λεπτά είναι; 4,2 ώρες 4 ώρες και της ώρας 4 x 60 = 240 λεπτά 0,2 = και φτιάχνουμε μία αναλογία = 10x = 2*60 x = 12 λεπτά Άρα οι 4,2 ώρες είναι = 252 λεπτά. Προσοχή!: Τα της ώρας ή τα δεν είναι ούτε 2 λεπτά ούτε 20 λεπτά. Με την βοήθεια των ισοδύναμων κλασμάτων τα τα γράφουμε. Έχουμε 3 εταιρίες που νοικιάζουν αυτοκίνητα. Η πρώτη εταιρία χρεώνει 20 την ημέρα και 20 λεπτά του το χιλιόμετρο. Η δεύτερη εταιρία χρεώνει 35 την ημέρα και 10 λεπτά του το χιλιόμετρο. Η Τρίτη εταιρία χρεώνει 70 την ημέρα και 0 το χιλιόμετρο. Στα πόσα χιλιόμετρα μας συμφέρει να πάρουμε ποια εταιρία; Πρέπει δηλαδή με κάποιο τρόπο να αποτυπώσουμε το προφίλ της κάθε εταιρίας.

9 Για να μπορέσουμε να συγκρίνουμε τις εταιρίες πρέπει να βάλουμε κάτι σταθερό. Δεν γίνεται να μεταβάλλονται και τα χιλιόμετρα και οι μέρες. Άρα φτιάχνουμε το προφίλ των εταιριών για την πρώτη μέρα (κάνουμε δηλαδή κάποιες παραδοχές). Α = 20+0,2x B = x Γ = 70 Β Α Γ χιλιόμετρα Δεν είναι απαραίτητο στο πρόβλημα να μας πει κάποιος πόσα χιλιόμετρα θα κάνουμε. Για να πληρώσουμε 70 πόσα χιλιόμετρα πρέπει να κάνουμε με την Α εταιρία; ,2x = x = x = 50 x = = 250 km Για 250 km είται πάρουμε την Α είτε την Γ εταιρία είναι το ίδιο πράγμα, γιατί θα πληρώσουμε 70. Β = ,1 x 250 = = 60 Άρα για 250 km μας συμφέρει να πάρουμε την Β εταιρία. Στην πραγματικότητα συγκρίνουμε τις εταιρίες ανά 2. o Να φτιάξετε την γραφική παράσταση με μεγάλη ακρίβεια. Άσκηση Μία γιαγιά στο χωριό θέλει να φτιάξει ένα περιφραγμένο χώρο για τις κότες της (ορθογώνιο κοτέτσι). Έχει 24 m συρματόπλεγμα. Πώς πρέπει να φτιάξει την περίφραξη για να έχουν οι κότες της την μεγαλύτερη άνεση κίνησης; Η απάντηση να δωθεί με τρεις τρόπους: δημοτικού, γυμνασίου και λυκείου.