ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων

Transcript

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Παράδοση: Τρίτη, 28/2/2017 μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες Άσκηση 1.1 [1 μονάδα] Έστω Τ: Ο Γιάννης είναι τρελός, Μ: ο Γιάννης ξέρει λίγα μαθηματικά, Φ: ο Γιάννης είναι πυρηνικός φυσικός. Μεταφράστε τις παρακάτω προτάσεις από τα ελληνικά σε προτάσεις του προτασιακού λογισμού 1. Ο Γιάννης είναι πυρηνικός φυσικός, αλλά δεν ξέρει μαθηματικά 2. Ο Γιάννης είναι τρελός, παρόλο που ξέρει λίγα μαθηματικά 3. Αν και ο Γιάννης είναι πυρηνικός φυσικός, είναι τρελός και δεν ξέρει καθόλου μαθηματικά 4. Ο Γιάννης είναι τρελός, ενώ συγχρόνως είναι ένας πυρηνικός φυσικός που ξέρει λίγα μαθηματικά 5. Ο Γιάννης δεν είναι ένας πυρηνικός φυσικός που να ξέρει λίγα μαθηματικά 6. Ο Γιάννης είναι τρελός παρά το ότι ξέρει λίγα μαθηματικά 7. Ο Γιάννης ξέρει λίγα μαθηματικά εκτός κι αν είναι τρελός 1. Φ Μ 2. Τ Μ 3. Φ Τ Μ 4. Τ Φ Μ 5. (Φ Μ) 6. Τ Μ 7. Τ Μ Άσκηση 1.2 [1 μονάδα] Έστω p: Μου αρέσει ο κινηματογράφος και : πηγαίνω τουλάχιστον 2 φορές τη βδομάδα να δω μια Γράψτε σε όσο γίνεται πιο απλά και κατανοητά ελληνικά τις προτάσεις: a. p b. p c. ( p) d. p e. ( p f. p (

2 a. Δεν μου αρέσει ο κινηματογράφος αλλά πηγαίνω τουλάχιστον 2 φορές τη βδομάδα να δω μια b. Δεν μου αρέσει κινηματογράφος είτε πηγαίνω 2 φορές τη βδομάδα να δω μια (ισοδύναμα: αν μου αρέσει ο κινηματογράφος τότε πηγαίνω τουλάχιστον 2 φορές τη βδομάδα να δω μια ) c. Μου αρέσει ο κινηματογράφος d. Δεν μου αρέσει ο κινηματογράφος είτε δεν πηγαίνω τουλάχιστον 2 φορές τη βδομάδα να δω μια e. Δεν ισχύει ότι είτε μου αρέσει ο κινηματογράφος είτε πηγαίνω τουλάχιστον φορές τη βδομάδα να δω μια f. Δεν μου αρέσει ο κινηματογράφος και δεν πηγαίνω τουλάχιστον 2 φορές τη βδομάδα να δω μια Παρατήρηση: Τα e και f είναι ισοδύναμα Άσκηση 1.3 [1 μονάδα] Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους a. p b. ( p c. ( p ( p ( p d. ( p ( p ( p p (a) p p p p (b) (c) (d) T T T F T F F T T T T F T F F F T T T T F T F T F F F F F T F F T F F T F T T T Ισοδύναμες είναι οι (a) και (b) και (c) μεταξύ τους. H (d) δεν είναι ισοδύναμη με καμία. Άσκηση 1.4 [1.5 μονάδα] Γράψτε την αντίθετη, την αντίστροφη και την αντιστροφοαντίθετη πρόταση για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις. 1. Αν γελάσεις, γελάει κι ο κόσμος μαζί σου. 2. Σκέφτομαι άρα υπάρχω 3. Αν δεν μου δώσεις λίγη σημασία θα πεθάνω 1. Αντίστροφη: Αν ο κόσμος γελάει μαζί σου, γελάς Αντιθετική: Αν δεν γελάς δε γελάει ο κόσμος μαζί σου

3 Αντιστροφοαντίθετη: Αν δεν γελάει ο κόσμος μαζί σου, δεν γελάς 2. Αντίστροφη: Υπάρχω άρα σκέφτομαι Αντιθετική: Δεν σκέφτομαι άρα δεν υπάρχω Αντιστροφοαντίθετη: Δεν υπάρχω άρα δεν σκέφτομαι 3. Αντίστροφη: Αν πεθάνω δεν θα μου δώσεις λίγη σημασία Αντιθετική: Αν μου δώσεις λίγη σημασία δεν θα πεθάνω Αντιστροφοαντίθετη: Αν δεν πεθάνω θα μου δώσεις λίγη σημασία Άσκηση 1.5 [1.5 μονάδες] Θεωρείστε τις προτάσεις: p: Το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό : Ο γάιδαρος πετάει r: Το 17 είναι πρώτος αριθμός α. Γράψτε στα ελληνικά τις προτάσεις β. Αν οι p και r είναι αληθείς ενώ η είναι ψευδής δώστε τις τιμές αλήθειας των παραπάνω 10 προτάσεων a β 1 Το λάδι δεν είναι ελαφρύτερο από το νερό False 2 Το 17 δεν είναι πρώτος αριθμός False 3 Είτε ο γάιδαρος πετάει είτε το 17 είναι πρώτος αριθμός True 4 Το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό και ο γάιδαρος πετάει False 5 Είτε το 17 δεν είναι πρώτος αριθμός είτε το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό ή True Αν το 17 είναι πρώτος αριθμός τότε το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό 6 Αν το λάδι είναι αλαφρύτερο από το νερό τότε ο γάιδαρος δεν πετάει True 7 Ο γάιδαρος πετάει και το λάδι είτε είναι ελαφρύτερο από το νερό είτε δεν είναι False 8 Αν ο γάιδαρος πετάει τότε το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό True 9 Αν το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό τότε ο γάιδαρος πετάει False 10 Ο γάιδαρος πετάει αν και μόνο αν το λάδι είναι ελαφρύτερο από το νερό False

4 Άσκηση 1.6 [1 μονάδα] Αποδείξτε το νόμο του συλλογισμού : Αν p και r, τότε pr Αρκεί να αποδείξω ότι η πρόταση ((p ( r)) (pr) είναι ταυτολογία p r p r (p (r) pr ((p (r)) (pr) T T T T T T T T T T F T F F F T T F T F T F T T F T T T T T T T T F F F T F F T F T F T F F T T F F T T T T T T F F F T T T T T Άσκηση 1.7 [1.5 μονάδες] Αποδείξτε με χρήση του προτασιακού λογισμού ότι στο παιχνίδι: Κορώνα χάνεις, Γράμματα κερδίζω κερδίζω πάντοτε. Αν συμβολίσουμε Κ: Εγώ φέρνω κορώνα Γ: Εγώ φέρνω γράμματα W: Εγώ κερδίζω L: Εσύ χάνεις Από την εκφώνηση ισχύουν οι κανόνες: Κ L (1) ΓW (2) Επίσης, γνωρίζουμε ότι W L(κερδίζω αν και μόνο αν χάσεις ) Αρκεί να δείξουμε ότι ( Γ W ) ( K L) W Πράγματι, ( Γ W ) ( K L) ( Γ W ) ( K L) ( Γ W ) ( K W ) ( Γ K ) W ( Γ K ) W F W T W W.

5 Επίσης, θα μπορούσαμε να δείξουμε (πχ, με πίνακα αληθείας) ότι η πρόταση (( Γ W ) ( K L)) W είναι ταυτολογία. Άσκηση 1.8 [1.5 μονάδα] «Ο κατηγορούμενος έκανε πάνω από 20 ληστείες», κατέθεσε ο 1 ος μάρτυρας. «Όχι έκανε λιγότερες από 20», είπε ο 2 ος μάρτυρας «Έκανε πάντως τουλάχιστον μία», είπε ο 3 ος μάρτυρας. Αν γνωρίζουμε ότι μια μόνο κατάθεση είναι αληθής, και ότι το δικαστήριο πήρε τη δίκαιη απόφαση, τι αποφάσισε το δικαστήριο, να αθωώσει ή να καταδικάσει τον κατηγορούμενο; Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, ο κατηγορούμενος να μην έκανε καμία ληστεία, οπότε πρέπει να αθωωθεί, ή να έκανε τουλάχιστον μία ληστεία, οπότε πρέπει να καταδικαστεί. 1. Αν δεν έκανε καμία ληστεία, παρατηρούμε ότι μία μόνο μαρτυρία (μάρτυρας 2) είναι σωστή. 2. Έκανε από 1 έως 19 ληστείες, είναι αληθείς οι μαρτυρίες 2 και 3, πράγμα αδύνατο. 3. Αν έκανε 20 ληστείες ακριβώς, παρατηρούμε ότι μία μόνο μαρτυρία (μάρτυρας 3) είναι σωστή. 4. Αν έκανε πάνω από 20 ληστείες είναι αληθείς οι μαρτυρίες 1 και 3, πράγμα αδύνατο. Επομένως, μπορεί να έχει κάνει είτε καμία ληστεία (περίπτωση 1) οπότε θα έπρεπε να αθωωθεί είτε ακριβώς 20 ληστείες (περίπτωση 3), οπότε θα έπρεπε να καταδικαστεί. Επομένως, λογικά το δικαστήριο δεν μπόρεσε να βγάλει απόφαση!