Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Transcript

1 Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία Πχ M Μπάλες μπιλιάρδου {1, 2,, 15} P (M #(Υποσυνόλων με 3 μπάλες ( ! 12!3! ! #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 3 μπάλες π 1 π 2 Κανόνες αθροίσματος και γινομένου Παραδείγματα Κανόνων Ορ Πείραμα: Διαδικασία με συγκεκριμένο (αριθμήσιμο σύνολο δυνατών / παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων Πχ Ρίψη νομίσματος, ζαριού επιλογή υποσυνόλου Εστω πειράματα με m και n δυνατά αποτελέσματα αντίστοιχα Θεώρ [Κανόνας Γινομένου] Αν γίνουν και τα 2 πειράματα, υπάρχουν m n δυνατά αποτελέσματα Θεώρ [Κανόνας αθροίσματος] Αν γίνει ακριβώς ένα εκ των 2 πειραμάτων, δηλ είτε το πρώτο πείραμα είτε το δεύτερο, τότε υπάρχουν ακριβώς m n δυνατά αποτελέσματα Πχ M {A, B, C} #(Διατεταγμένων υποσυνόλων 2 στοιχείων #(επιλογών 1 ης θέσης #(επιλογών 2 ης θέσης3 26 Πχ 15 μπάλες 7μονόχρωμες 7δίχρωμες 1μαύρη (Γινόμενο #(Επιλογών μίας μονόχρωμης και μίας δίχρωμης (Άθροισμα #(Επιλογών μπάλας εκτός της μαύρης π 3 π 4

2 Μεταθέσεις (Διατάξεις χωρίς επανάληψη Απαρίθμηση Διατάξεων Εστω n αριθμημένες μπάλες, n αριθμημένα κουτιά Σε κάθε κουτί το πολύ 1 μπάλα #τοποθετήσεων n(n 1 2 1n! Ισούται με το πλήθος μεταθέσεων n αριθμών Θεώρ r αριθμημένες μπάλες, n αριθμημένα κουτιά, n r: P (n, r : #τοποθετήσεων n(n 1 (n r 1 n! (n r! Απόδ 2 πειράματα: τοποθέτηση r και n r αριθμημ μπαλών Οι n r έχουν (n r! τοποθετήσεις σε n r κουτιά n! τοποθετήσεις P (n, r(n r! (κανόνας γινομένου π 5 π 6 Μεταθέσεις: ισοδύναμες περιγραφές Παράδειγμα μεταθέσεων Θ Εστω r αριθμημένες μπάλες, n αριθμημένα κουτιά, n r: #τοποθετήσεων n(n 1 (n r 1 n! (n r! : P (n, r Πχ Ισοδύναμα, P (n, r μεταθέσεις σε r αριθμημένες θέσεις από n διαφορετικά αντικείμενα, n r Ισούται με το πλήθος μεταθέσεων r αριθμών από {1,, n} r-άδες διαφορετικών στοιχείων A A A r, A n Πχ r 2μπάλες σε n 3κουτιά με P (3, 2 3! 6 τρόπους: [a b ], [b a ], [a b], [b a], [ a b], [ b a] π 7 π 8

3 Παράδειγμα μεταθέσεων Πχ Δεν είναι μετάθεση Δεκαδικοί αριθμοί με ακριβώς τέσσερα ψηφία που δεν ξεκινούν από μηδέν: Πχ Είναι μετάθεση Τετραψήφιοι δεκαδικοί αριθμοί, χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία και να μην ξεκινούν από Μεταθέσεις 4 από 1 αντικείμενα P (1, 4 1! 6! 54 xyz P (9, 3 9! 6! 54 Με τον κανόνα του αθροίσματος: P (1, 4 xyz µxyz Διατάξεις με επανάληψη Θέλουμε να τοποθετήσουμε r αριθμημένες μπάλες σε n αριθμημένα κουτιά Κάθε κουτί επιτρέπεται να πάρει πάνω από μία μπάλα r, n υπάρχουν n r διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης Ισοδύναμα, τρόποι διάταξης r αντικειμένων (σε r αριθμημένες θέσεις από n είδη (αντικείμενα με επανάληψη r άδες στοιχείων A A A r : A n, επιλογή με επανάληψη Πχ ΠΡΟΠΟ: 14 αγώνες, 3δυνατά αποτελέσματα (1, 2, Χ Ολες οι δυνατές στήλες (αποτελέσματα είναι 3 14 π 8 π 9 Παραδείγματα Διατάξεων Πχ #(Δυαδικές ακολουθίες με r ψηφία 2 r Πχ #(Δυαδικές ακολουθίες r ψηφίων με άρτιο πλήθος από 1 Υπάρχουν 2 r 1 δυαδικές ακολουθίες με r 1 ψηφία Κατασκεύασε μια 1-1 και επί απεικόνιση από το σύνολο των δυαδικών ακολουθιών r 1 ψηφίων στο σύνολο των δυαδικών ακολουθιών r ψηφίων με άρτιο πλήθος από 1 (Πώς; Επεται πως τα δύο σύνολα έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων Εφαρμογή στη Θεωρία Κωδίκων Μεταδίδουμε ένα δυαδικό μήνυμα Κάποια ψηφία αλλοιώνονται κατά τη μετάδοση, το 1 αλλάζει σε και αντιστρόφως Θέλουμε αναγνώριση σφάλματος (error detection, να ξέρουμε δηλαδή πότε το μήνυμα που παραλήφθηκε έχει λάθη, χωρίς να χρειαστεί να συγκρίνουμε με το αρχικό μήνυμα Μηνύματα a {, 1} r 1 Ο αποστολέας θέτει r-οστό ψηφίο 1ανν ο αριθμός των άσων στο a είναι περιττός Ο παραλήπτης μπορεί να ανιχνεύσει την ύπαρξη ενός λάθους (ή γενικότερα περιττού αριθμού λαθών (Γιατί; π 1 π 11

4 Παράδειγμα Διατάξεων Πλήθος υποσυνόλων Πχ Ακολουθίες με r ψηφία {, 1, 2, 3, 4} Πόσες έχουν άρτιο πλήθος από 1; 3 r περιέχουν μόνο {2, 3, 4} δηλ άσους Χωρίζουμε τις υπόλοιπες 5 r 3 r ακολουθίες σε ομάδες ως προς τις θέσεις των 2, 3, 4 Πχ x2xx4x32x, x {, 1} Σε κάθε ομάδα, οι μισές ακολουθίες έχουν άρτιο αριθμό από 1 και οι άλλες μισές περιττό (βλ β Άρα 1 2 (5r 3 r ακολουθίες με άρτιο #(1 Πχ Τρόποι επιλογής υποσυνόλων του A, A r Παλαιά απόδειξη με επαγωγή ως προς r Εναλλακτικά: Τοποθετήσεις των στοιχείων του A σε 2 κουτιά: ΕΝΤΟΣ, ΕΚΤΟΣ 2 r Εναλλακτικά: Επιλογή (s 1,, s r S S S r με επανάληψη, όπου S {, 1}, s i 1 i υποσύνολο 3 r 1 2 (5r 3 r 1 2 (5r 3 r με άρτιο πλήθος από 1 Πχ r (5 3 4, r2 1 2 ( π 12 π 13 Μεταθέσεις Συνδυασμοί Συνδυασμοί Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με μεταθέσεις ή διατάξεις με επάναληψη Μας ενδιέφερε όχι μόνο ποια αντικείμενα επιλέγουμε αλλά και σε ποια σειρά τα διατάσσουμε αφού τα επιλέξουμε Αναγκαία συνθήκη ήταν τα αντικείμενα να είναι διακεκριμένα Στους συνδυασμούς μας ενδιαφέρει με πόσους δυνατούς τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε κάποια αντικείμενα από ένα ευρύτερο σύνολο, χωρίς να μετράμε τις διαφορετικές διατάξεις των επιλεγμένων αντικειμένων π 14 π 15

5 Συνδυασμοί Συνδυαστικές ταυτότητες r μπάλες ίδιου χρώματος, n αριθμημένα κουτιά, r n, σε κάθε κουτί 1 μπάλα: #τοποθετήσεων P (n, r r! n! r!(n r! : ( n : C(n, r r διότι r! διατάξεις των μπαλών είναι ίδιες (κανόνας γινομένου Ισοδύναμα, Επιλέγουμε (χωρίς σειρά r από n διαφορετικά αντικείμενα r θέσεις χωρίς σειρά, n διαφορετικά αντικείμενα, r n, επιλέγουμε ένα αντικείμενο για κάθε θέση Χωρίς σειρά δεν πρόκειται για επιλογές στο A A Μια παράσταση της μορφής r ονομάζεται διωνυμικός συντελεστής r n! r!(n r! n r δηλ C(n, r C(n, n r ( n 1 n r :, r > n, r < π 16 π 17 Συνδυαστικές ταυτότητες (συνέχεια ( 1 ( ( n Απόδειξη: (! ( 1!(n! (!!(n 1! (! ( 1 ( 1!(n 1! (! n ( 1!(n 1! (n n 1 Συνδυαστικές ταυτότητες (συνέχεια ( 1 ( ( n Απόδειξη: (! ( 1!(n! (!!(n 1! (! ( 1 ( 1!(n 1! (! n ( 1!(n 1! (n n 1 Δώστε μια εναλλακτική «συνδυαστική» απόδειξη! π 18 π 18

6 Παράδειγμα Δυαδικές ακολουθίες μήκους 32 με επτά 1 Ακολουθία τοποθέτηση 7 μπαλών σε 32 αριθμ κουτιά Δηλ r 7,n 32, τα άδεια κουτιά αντιστοιχούν σε #ακολουθιών C(32, 7 Ισοδύναμα, επιλογή 7 θέσεων για τα 1, από n 32 Θεώρ 2 n n Απόδ Με επαγωγή στο n Βήμα: n ( n 1 Επιλογές υποσυνόλου n(n 1! (n (n 1!! (n 1! (n 1!!(n (1 n 1 ( n 1 1 n 2 ( n 1 ( n π 19 π 2 Επιλογές υποσυνόλου Επιλογές υποσυνόλου Θεώρ 2 n n Θεώρ 2 n n Απόδ Με επαγωγή στο n Βήμα: n ( n 1 n(n 1! (n (n 1!! (n 1! (n 1!!(n (1 n 1 ( n 1 1 n 2 ( n 1 ( n Δώστε εναλλακτική συνδυαστική απόδειξη! Απόδ Εστω Α σύνολο με n στοιχεία Ο αριθμός υποσυνόλων του A με ακριβώς στοιχεία είναι ( n Από τον κανόνα του αθροίσματος ο αριθμός όλων των δυνατών υποσυνόλων του A είναι n ( n Γνωρίζουμε επίσης πως ο αριθμός όλων των υποσυνόλων του A είναι 2 n π 2 π 21

7 Διωνυμικό θεώρημα Διωνυμικό θεώρημα Θεώρ (x y n n x y n Θεώρ (x y n n x y n Απόδ Επαγωγικά: π 22 Απόδ Επαγωγικά: (επίσης με συνδυαστικά επιχειρήματα αν x, y N ( n 1 (x y n (x y x y 1 x 1 y x n 1 n 1 1 n ( n x y n x y n [ 1 1 ( n 1 x y n 1 ] y n 1 π 22 Μεταθέσεις - Συνδυασμοί Αναγραμματισμοί r χρωματισμένες μπάλες, n αριθμημένα κουτιά, r n και 1 μπάλα ανά κουτί: #τοποθετήσεων P (n, r Εστω από τις r μπάλες οι q 1 έχουν το ίδιο χρώμα, πχ μπλε Αριθμός τοποθετήσεων: P (n, r q 1! n! q 1!(n r! Για μία λέξη : a 1 a μπορούμε να κάνουμε! αναγραμματισμούς στην περίπτωση που όλα τα σύμβολα a 1,, a είναι διαφορετικά Στην περίτπτωση που πχ, a 1 a 2 έχουμε!/2 Γενικεύοντας: όταν q 1 σύμβολα είναι b 1 {a 1,, a }, q 2 σύμβολα είναι b 2 {a 1,, a } κοκ με t i1 q i έχουμε!/q 1! q t! αναγραμματισμούς Άλλες q 2 μπάλες με ίδιο χρώμα, πχ κόκκινο Αριθμός τοποθετήσεων: P (n, r n! q 1!q 2! q 1!q 2!(n r! π 23 π 24

8 Μεταθέσεις - Συνδυασμοί Γενικά, αν από τις r μπάλες q i 1 είναι του ίδιου τύπου i, i 1,,, t, και τις τοποθετήσουμε σε n αριθμημένα κουτιά με το πολύ μία μπάλα στο κάθε κουτί: #τοποθετήσεων P (n, r q 1! q t! Ορισμός «πολυωνυμικού» συντελεστή ( n 1, 2,, l n! 1! 2! l! αν l i1 i n αλλιώς Με βάση τον ορισμό του «πολυωνυμικού» συντελεστή, μπορούμε να ξαναγράψουμε την προηγούμενη σχέση π 25 π 26 Μεταθέσεις - Συνδυασμοί «Πολυωνυμικό» θεώρημα Εστω από τις r μπάλες q i 1 είναι του ίδιου τύπου i, i 1,,, t, δηλ r t i1 q i Θέτουμε y t i1 q i Τοποθετούμε τις μπάλες σε n αριθμημένα κουτιά με το πολύ μία μπάλα στο κάθε κουτί: ( P (n, r #τοποθετήσεων q 1! q t! n q 1,, q t, 1, 1,, 1, n r } {{ } r y φορές Θεώρ n N, (x 1 x n n 1,,n N: n 1 n n ( n n 1,, n x n1 1 xn Απόδ Δεν θα το αποδείξουμε 2 διωνυμικό θεώρημα με n 1,n 2 n 1 π 27 π 28

9 Παράδειγμα Συνδυασμοί με επανάληψη 15 γραφεία στον νέο όροφο του κτηρίου Πληροφορικής, 12 βάφονται: 3πράσινα, 2ιώδη, 2κίτρινα, 5λευκά Πόσοι τρόποι βαφής υπάρχουν; Οσοι κι οι τρόποι τοποθέτησης 12 μπαλών (3 πράσινες κλπ σε 15 αριθμημένα κουτιά, άρα P (15, 12 3!2!2!5! ( , 2, 2, 5, 3 Πχ 4 γραφεία, 2πράσινα, 1ιώδες: ( 4 2,1,1 12: , , , , , Θεώρ r όμοιες μπάλες, n αριθμημένα κουτιά, r, n, ( n r 1 οσεσδήποτε μπάλες ανά κουτί: #τοποθετήσεων r Απόδ Πείραμα: τοποθέτηση n 1 διαχωριστικών σε r στοιχεία, δηλ διαλέγω n 1 διαχωριστικά από n 1r αντικείμενα, άρα C(n r 1,n 1 C(n r 1,r Ισοδύναμα: επιλογές r αντικειμένων από n είδη με επανάληψη, {x Z n,x i, i x i r} C(n r 1,r π 29 π 3 Παραδείγματα Συνδυασμοί με επανάληψη χωρίς κενά Πχ Κορώνα ή γράμματα με 3 νομίσματα: 3r, n 2 αποτελέσματα (κουτιά #αποτελεσμάτων ( :3Κ, 2Κ-Γ, Κ-2Γ, 3Γ Πχ 3 ζάρια, #αποτελεσμάτων ( ! 3!5! ! 56 ΟΧΙ: 6 3 γιατί (η σειρά δεν μας αφορά Θεώρ r όμοιες μπάλες, n αριθμημένα κουτιά, τουλάχιστον 1 μπάλα ανά κουτί (r n : ( r 1 #τοποθετήσεων n 1 Απόδ y i μπάλες στο κουτί i, βρες {y Z n,y i >, i y i r} Θέτω y i x i 1, ισοδύναμα, βρες #{x i } Ομως x i, i x i n i y i r n Προηγ θεώρ #{x i } C(n (r n 1,n 1 Ισοδύναμα, επιλογές r αντικειμένων από n είδη με επανάληψη, κάθε είδος επιλέγεται τουλάχιστον μία φορά π 31 π 32

10 Άσκηση Άσκησης Συνέχεια 5 διαφορετικά άτομα σε σειρά 12 καρεκλών (αριθμ: 1ος Τρόπος: Μεταθέσεις 5(καρέκλες εκ των 12 αντικειμένων (καρεκλών, δηλ, διατεταγμένες 5-άδες A 5 : A 12: P (12, 5 12! 7! Η θέση υποδηλώνει άτομο 2ος Τρόπος: Μεταθέσεις 12 αντικειμένων με 6 τύπους (5 για τα άτομα, 1για άδεια: q 1 q 5 1,q 6 7: ( 12 1,1,1,1,1,7 12! 7! 954 Η θέση υποδηλώνει καρέκλα 3ος Τρόπος: 5! διατάξεις ατόμων: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2ο πείραμα: 7καρέκλες σε 6 κενά, δηλ 7όμοιες μπάλες σε 6 αριθμημένα κουτιά, χωρίς περιορισμό ανά κουτί: C(12, 7 Κανόνας Γινομένου 5! C(12, 7 5! 7!5! 12! 12! 7! 4ος Τρόπος: Επιλέγω τις 7 άδειες καρέκλες με C(12, 7 τρόπους, διατάσσω τα άτομα με 5! τρόπους Κανόνας Γινομένου 5! C(12, 7 π 33 5 διαφορετικά άτομα σε σειρά 12 καρεκλών (αριθμ, αλλά να ΜΗΝ υπάρχουν 2 διπλανά άτομα 5! διατάξεις ατόμων για A 1 KA 2 KA 3 KA 4 KA 5, απομένουν 3 καρέκλες: τοποθέτηση 3 καρεκλών (όμοιες μπάλες σε 6 κενά (αριθμημένα κουτιά με C(8, 3 τρόπους 5! 3!5! 8! 8! 3! 672 Επιπλέον, απαιτούμε να υπάρχουν άτομα στις 2 ακραίες καρέκλες: 5! διατάξεις ατόμων για A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, απομένουν 3 καρέκλες σε 4 κενά με C(6, 3 τρόπους 5! 6! 3!3! 24 π 34 Σύνοψη n! (n r! r P (n, r, r n n r, r, n C(n, r Ασκήσεις n!/r 1! r t!(n r!, r r 1 r t n C(n r 1,r, r, n C(r 1,n 1, r n Πρέπει να ξέρουμε σε ποια σενάρια αντιστοιχεί η κάθε μία σχέση Εχουμε διάταξη ή συνδυασμό; Επιτρέπεται επανάληψη ή όχι των στοιχείων; π 35 π 36

11 Παράδειγμα Αρχή εγκλεισμού/αποκλεισμού Υπόθ 1 7 ημέρες, καθεμιά αντιστοιχεί σε 1 μάθημα, Υπόθ 2 4μαθήματα, πρέπει να μελετηθούν όλα Πόσα Προγράμματα υπάρχουν; Λύση: 4 7 A 1 A 4, όπου και A i : {Προγράμματα χωρίς μάθημα i}, i 1, 2, 3, 4 A i 3 7, A i A j 2 7, A i A j A A 1 A 4, από Υπόθ 1 Εγκλεισμός / Αποκλεισμός: A 1 A ( ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ: A 1 A n A 1 A n A 1 A 2 A 1 A 3 A A n A 1 A 2 A 3 ( 1 J 2 [n] J j J A j ( 1 n A 1 A n n 1 ( 11 1 i 1< <i n A i 1 A i Σημειώστε πως J [n] : {1,, n} & J π 37 π 38 Παράδειγμα Υπόθ 1 7 ημέρες, καθεμιά αντιστοιχεί σε 1 μάθημα, Υπόθ 2 4μαθήματα, πρέπει να μελετηθούν όλα Πόσα Προγράμματα υπάρχουν; Άλλη απόπειρα: 1 Διάλεξε τέσσερεις από τις επτά ημέρες {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} για να προγραμματίσεις τέσσερα μαθήματα A, B, C, D P (7, 4 τρόποι 2 Διάλεξε τρία μαθήματα για τις υπόλοιπες τρεις ημέρες 4 3 τρόποι Άρα συνολικά P (7, τρόποι; ΛΑΘΟΣ!! Προγράμματα όπως το [ 1, 2, 5, 7, A, B, C ] έχει μετρηθεί πάνω από μία φορά (πράγματι : [ 3, 4, 6, 7, A, B, C ] Κανόνας του Γινομένου και Παράδειγμα Το λάθος που παρουσιάζει ο προηγούμενος συλλογισμός είναι ότι όπως εφαρμόσαμε τον κανόνα του γινομένου μετράμε ζεύγη της μορφής [ f 1,f 2,f 3,f 4, X, Y, Z ] όπου f 1,f 2,f 3,f 4 μετάθεση μήκους 4 από 7 στοιχεία και A, B, C μετάθεση μήκους 3 από 7 στοιχεία με επανάληψη Το πρόβλημα του συλλογισμού είναι ότι υποθέτει ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ τέτοιων ζευγών και προγραμμάτων Στην πραγματικότητα (και όπως είδαμε με το αντιπαράδειγμα τα ζεύγη είναι πολύ περισσότερα π 39 π 4

12 Κυρτότητα Ορ Ενα αντικείμενο I λέγεται κυρτό αν κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει 2 σημεία του I κείται ολόκληρο στο εσωτερικό του αντικειμένου Παράδειγμα Κυρτό 1-γωνο στο επίπεδο (πχ κανονικό 1-γωνο, διαγώνιοι σε γενική θέση δηλ τριάδα ΔΕΝ τέμνεται Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται πάνω στις διαγωνίους; ( 1 2 τμήματα μεταξύ 2 κορυφών 45 (1 ακμές 35 διαγώνιοι Κυρτό Μη-κυρτό Υπολογίζουμε πρώτα το συνολικό αριθμό εσωτερικών σημείων τομής των διαγωνίων (ζεύγη διαγωνίων που τέμνονται σε κορυφή δεν ορίζουν τομή Σε κάθε τετράδα κορυφών αντιστοιχίζεται ένα διαφορετικό σημείο τομής και αντιστρόφως (γιατί; ( τομές π 41 π 42 Παράδειγμα (συνέχεια Συνολικά 21 τομές σε 35 διαγώνιους i τομές στην i-οστή διαγώνιο ορίζουν i 1τμήματα, i σταθ αριθμός τμημάτων 35 i1 ( i 1 35 i1 i (κάθε σημείο τομής ανήκει σε 2 ακριβώς διαγωνίους Άσκηση Με πόσους τρόπους τοποθετούνται κόκκινες και l λευκές μπάλες σε n αριθμημένα κουτιά, ώστε κάθε κουτί να περιέχει τουλάχιστον μια κόκκινη και μια λευκή μπάλα; Υποθέτουμε πως n, l n, αλλιώς η απάντηση είναι Με 1 τρόπο τοποθετώ n κόκκινες και n λευκές μπάλες Απομένουν n κόκκινες και l n λευκές μπάλες, που τοποθετούνται αυθαίρετα, άρα το πλήθος τοποθετήσεων είναι ( ( ( ( n ( n 1 n (l n 1 1 l 1 n l n n l n Ισοδύναμα: τοποθετούνται κόκκινες μπάλες στα n κουτιά με 1 μπάλα ανά κουτί και ομοίως οι λευκές Κανόνας γινομένου: ( ( 1 l 1 n 1 n 1 π 43 π 44

13 Άσκηση (α r διαφορετικές μπάλες τοποθετούνται σε n διαφορετικά κουτιά Σε κάθε κουτί, οι μπάλες βρίσκονται σε μια σειρά Πόσοι τρόποι υπάρχουν; Οταν έχουμε τοποθετήσει μπάλες υπάρχουν n τρόποι να τοποθετήσουμε την επόμενη, άρα n(n 1 (n r 2(n r 1 (β Με πόσους τρόπους διατάσσονται τα 8 γράμματα a, b, c, d, e, f, g, h ώστε το a να βρίσκεται αριστερά του b και το b αριστερά του c; Η διάταξη a b c ορίζει n 4κουτιά όπου τοποθετούμε, διατεταγμένα, τα υπόλοιπα r 5γράμματα Από το (α έχουμε π 45