Α Λ Γ Ε Β Ρ Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εξισώσεις & Ανισώσεις

Transcript

1 Α Λ Γ Ε Β Ρ Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Εξισώσεις & Ανισώσεις Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα σχολικά βιβλία του ΟΕΔΒ και σημειώσεις φίλων. Για τις κακές γλώσσες, πιθανότατα να υπάρχουν και κάποιες δικές μου. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. β. 0 γ. 0 δ. ε. 8 στ. 9 ζ. 9 η. 8 θ. 7 ι. ια. 9 ιβ. 7 ιγ. ω ω ιδ.,φ,, φ ιε. ιστ. ιζ. ιη. 0,8,7,,7. Να λύσετε κι αυτές τις εξισώσεις: α. ( ) β. ( ) γ. ( ) δ. ( ) ε. ( ) ( ) στ. ( ) ( 7) ζ. ( ) ( ) η. ( ) ( ) θ. ( ) 9 ι. ( ) ( ) ια. ( ) ( 9) 7 ιβ. (ω ) (ω ) (ω 7) 8

2 ιγ. ( ) 0( 9) 8 9( 8) ιδ. 0 (y ) (y 9) y 8(y ). Να λυθούν κι ετούτες με τα κλάσματα: α. y y 7 β. y 0 0y γ. y y t y δ. t ε. στ. ζ. 9 η. ( ) ( ) 0 θ. t ( t ) t ι ια. ιβ. 7 ιγ. (ω - ) (ω - ) ιδ. 7 8 ιε. ιστ. ( ) ιζ. ιθ. ( ) ιη. ( ) 7 ( ) ( ) κ. κα. 7 0 ( ) 9

3 . Όχι μόνο να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις, αλλά να γίνει κι επαλήθευση (σε καθεμία): α. 0,7 ( ) 0, 0,7 ( ) β. 0, ( 8) 0, ( ) γ. 0, 0, δ. ε. ( ) ( 7) στ., ζ. 0 η. 0. Να λυθούν κι αυτές οι ολίγες: α. ( ) ( ) 0 β. ( ) ( ) 0. Να μερικές ακόμη: α. 0 β. 0 0 γ. ( ) ( ) δ. ( ) ( ) ( ) ( ) ε. 7. Μερικές εξισώσεις ακόμα, λίγο ανακατεμένες: α. β. γ. δ. ε. 7 στ. η. ι. 9 8 α 7 0 ( α ) 7 ια. 0 ζ. 9 θ. α ( α ) α 7

4 ιβ. ιγ. ( ) ( ) ιδ. ( ) ιε. ( ) [ ] ( ) 0 ιστ. ( ) ιζ. ( ) [ ] [ ] ( ) 8. Μεγάλες ναι, άλυτες όμως όχι: α. ( ) ( ) β. ( ) 9. Να λυθεί η παρακάτω τρομαχτική εξίσωση: ( ) ( ) 0. Δίνεται η παρακάτω εξίσωση όπου ο άγνωστος και α ρητός αριθμός. Ποια πρέπει να είναι η τιμή του α, αν η εξίσωση έχει λύση τον αριθμό ; ( ) ( ) ( ) α α α α. Αν λ είναι η τιμή της παράστασης: ( ) 00 ( ) 0 ( ) 0 να λύσετε τις εξισώσεις : α. λ β. ( ) 0 λ γ. ( ) λ λ. Δίνεται η εξίσωση: ( ) λ λ λ όπου λ είναι γνωστός ρητός αριθμός και χ ο άγνωστος. Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ για να επαληθεύεται η εξίσωση για.. Να βρείτε τον ρητό α ώστε η εξίσωση: (α ) να είναι αδύνατη.. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε η εξίσωση: λ να είναι αόριστη.

5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ. Να λύσετε το δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα: F m α, ως προς την επιτάχυνση α.. Να λύσετε το Νόμο των Ιδανικών Αερίων: P V n R T α. ως προς τον όγκο V. β. ως προς την απόλυτη θερμοκρασία Τ.. Να λύσετε το Νόμο των Charles και Gay-Lussac: V V o ( α θ) α. ως προς τον όγκο V o. β. ως προς τη θερμοκρασία θ.. Να λύσετε τον τύπο του Εμβαδού Τραπεζίου: Ε (Β β) υ α. ως προς υ. β. ως προς β.. Να λύσετε τον τύπο μετατροπής των βαθμών Fahrenheit, σε βαθμούς Celsius: F o 9 o C, ως προς C o.. Να λύσετε τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης, του Νεύτωνα: F M m G r α. ως προς τη μάζα m. β. ως προς τη Σταθερά Παγκόσμιας Έλξης G. 7. Να λύσετε το Νόμο του Coulomb: F Q Q k d α. ως προς το φορτίο Q. β. ως προς την απόσταση d (ή ως προς d, για όσους κρυφοκοιτούν στα επόμενα κεφάλαια). 8. Να λύσετε την εξίσωση του ηλεκτρισμού: αντίσταση R. R ολ, ως προς την R R

6 y 9. Να λύσετε την εξίσωση της Έλλειψης: α β α. ως προς τη μάζα. β. ως προς β. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΕΔΒ. Αν στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέσουμε το του αριθμού αυτού βρίσκουμε. Ποιος είναι ο αριθμός;. Να βρεθούν δύο αριθμοί, αν γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 0 και ο ένας είναι επταπλάσιος του άλλου.. Σε μια διαδρομή με λεωφορείο μια μητέρα και το παιδί της πλήρωσαν μαζί,0. Πόσο κοστίζει το εισιτήριο, αν το παιδί πλήρωσε μισό εισιτήριο;. Η απόσταση Αθήνα - Κόρινθος είναι 80 km. Δυο αυτοκίνητα ξεκίνησαν στις 7 π.μ., το ένα από Αθήνα για Κόρινθο με μέση ταχύτητα 70 km/h και το άλλο από Κόρινθο για Αθήνα με μέση ταχύτητα 90 km/h. Ποια ώρα θα συναντηθούν και σε ποια απόσταση από την Αθήνα;. Αγόρασε κάποιος ένα σαλόνι που αποτελείται από πολυθρόνες και έναν καναπέ και πλήρωσε 800. Αν ο καναπές κοστίζει όσο πολυθρόνες να βρείτε την τιμή κάθε πολυθρόνας.. Σε ένα τεστ με 0 ερωτήσεις κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με μονάδες, ενώ για κάθε ερώτηση που δεν απαντιέται ή δίνεται σ αυτήν λάθος απάντηση, αφαιρούνται μονάδες. Ο Στέλιος πήρε στο τεστ μονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά; 7. Ο Θεόφιλος πλήρωσε για ένα εισιτήριο, με έκπτωση 0%. Πόσο κοστίζει το εισιτήριο; 8. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο με περίμετρο 9 cm, ώστε η μία διάστασή του να είναι διπλάσια από την άλλη.

7 9. Ποιος αριθμός πρέπει να αφαιρεθεί από τους αριθμητές των κλασμάτων 7, ώστε να γίνουν ίσα; και 0. Ποιες είναι οι διαστάσεις ορθογωνίου, αν αυτό έχει περίμετρο m και οι διαστάσεις του διαφέρουν κατά, m;. Οι βάσεις ενός τραπεζίου διαφέρουν κατά cm, το ύψος του είναι 7 cm και το εμβαδόν του 9 cm. Να βρείτε τις βάσεις του τραπεζίου αυτού.. Η τιμή ενός ανταλλακτικού αυτοκινήτου μειώθηκε κατά % και έτσι πουλιέται 00. Να βρείτε πόσο στοίχιζε αρχικά το ανταλλακτικό αυτό.. Κατάθεσε κάποιος στο Ταμιευτήριο κεφάλαιο 0 και σε χρόνο πήρε τόκο και κεφάλαιο 0. Πόσο ήταν το επιτόκιο;. Σε ένα παιχνίδι η Ελένη ρωτήθηκε πόσων χρονών είναι και απάντησε ως εξής: Αν στην ηλικία μου: προσθέσεις διαιρέσεις το άθροισμα με προσθέσεις στο πηλίκο την ηλικία μου διαιρέσεις το νέο άθροισμα με θα βρεις αποτέλεσμα. Πόσων χρονών είναι η Ελένη;. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, ώστε: Το άθροισμά τους να είναι. Το πενταπλάσιο του μεσαίου να είναι ίσο με το άθροισμα των δύο άλλων. Το διπλάσιο του μεσαίου να είναι ίσο με το άθροισμα των δύο άλλων.. Είναι. Μπορείτε να βρείτε ζευγάρια διαφορετικών ρητών α, β, ώστε να είναι: α β α β ; 7. Για ένα εμπόρευμα με συντελεστή Φ.Π.Α. 8% πληρώσαμε συνολικά 7. Ποια είναι η τιμή του εμπορεύματος χωρίς Φ.Π.Α.; 8. Να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ, αν τον εμβαδόν του είναι κατά cm μικρότερο, από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΕΖ.

8 9. Ένας φαρμακοποιός ανάμειξε l οινόπνευμα περιεκτικότητας 80% σε καθαρό οινόπνευμα και, l οινόπνευμα περιεκτικότητας % σε καθαρό οινόπνευμα. Να βρείτε την περιεκτικότητα του μείγματος σε καθαρό οινόπνευμα. 0. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 77. Αν διαιρέσουμε το μεγαλύτερο με το μικρότερο, παίρνουμε πηλίκο και υπόλοιπο 9. Να βρείτε τους δύο αριθμούς.. Ένα αυτοκίνητο διάνυσε με σταθερή ταχύτητα μια απόσταση σε h, ενώ ένα δεύτερο αυτοκίνητο που έτρεχε 0 km την ώρα λιγότερο, χρειάστηκε για την ίδια απόσταση 7 h. Να βρείτε την απόσταση αυτή.. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από Αθήνα για Θεσσαλονίκη στις π.μ. με μέση ταχύτητα 70 km/h. Ύστερα από ώρα ξεκινάει ένα δεύτερο αυτοκίνητο από Αθήνα για Θεσσαλονίκη με μέση ταχύτητα 90 km/h. Ποια ώρα θα συναντηθούν και σε πόση απόσταση από την Αθήνα;. Ένα μηχάνημα για να τελειώσει ένα έργο χρειάζεται h, ενώ ένα δεύτερο μηχάνημα χρειάζεται για το ίδιο έργο 8 h. Αν χρησιμοποιηθούν και τα δύο μηχανήματα συγχρόνως σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο;. Μια βρύση μπορεί να αδειάσει μια γεμάτη δεξαμενή σε 8 ώρες, ενώ μια άλλη να γεμίσει την άδεια δεξαμενή σε ώρες. Σε πόσες ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή, αν είναι άδεια και ανοίξουμε συγχρόνως τις δύο βρύσες;. Σε μια κυλιόμενη σκάλα πολυκαταστήματος, για να ανέβει κανείς από έναν όροφο στον επόμενο, χρειάζεται 0 s. Αν ο Νίκος ανεβαίνει συγχρόνως τα σκαλοπάτια της κυλιόμενης σκάλας, τότε φθάνει στον επόμενο όροφο σε s. Αν η σκάλα ήταν ακίνητη, πόσο χρόνο θα χρειαζόταν ο Νίκος να φθάσει στον επόμενο όροφο;. Ο Πέτρος παίζει σε μια κυλιόμενη σκάλα. Με το χρονόμετρο του ρολογιού του παρατήρησε ότι, αν μείνει ακίνητος, χρειάζεται s για να ανέβει. Αν ανέβει και ο ίδιος σκαλοπάτια, καθώς η σκάλα κυλάει, τότε χρειάζεται s. Πόσα σκαλοπάτια έχει η σκάλα; 7. Ο Χάρης μπορεί να χτίσει ένα μικρό τοίχο μόνος του, αν δουλέψει 9 h. Ο Βαγγέλης, για τον ίδιο τοίχο, χρειάζεται 0 h. Αν δουλέψουν μαζί, τότε η εργασία τους μειώνεται σε απόδοση κατά 0 τούβλα την ώρα, τελειώνουν όμως τον τοίχο σε ώρες. Να βρείτε πόσα τούβλα είχε ο τοίχος. 8. Σε μια σιδηροδρομική γραμμή κινούνται τρένα Α και Β, με ταχύτητες και 0 km/h, αντίστοιχα, πλησιάζοντας το ένα προς το άλλο. Όταν η απόστασή τους είναι 0 km, μια μύγα που κινείται με ταχύτητα 0 km/h ξεκινά από το Α και κατευθύνεται προς το Β. Μόλις φτάνει στο Β επιστρέφει στο Α και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο, ως τη στιγμή που θα συναντηθούν τα τρένα. Να βρείτε πόσα km θα έχει διανύσει η μύγα, ώσπου να συνθλιβεί. 9. Ένα τρένο, μετά από ταξίδι h με σταθερή ταχύτητα, παθαίνει βλάβη. Η επισκευή διαρκεί h. Κατόπιν, το τρένο συνεχίζει το ταξίδι του με ταχύτητα ίση

9 προς τα της αρχικής. Έτσι, φτάνει στον προορισμό του με καθυστέρηση h. Να βρείτε πόσο χρόνο θα διαρκούσε το ταξίδι, αν δεν πάθαινε βλάβη και ταξίδευε με την αρχική του ταχύτητα. 0. Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση το. α. β. γ.. Να υπολογίσετε τις πλευρές των παρακάτω σχημάτων, αν το καθένα έχει περίμετρο 0 cm. α. β. γ.. Από τον πληθυσμό μιας κοινότητας είναι παντρεμένοι τα των αντρών και τα των γυναικών. Να βρείτε τι μέρος των ατόμων της κοινότητας δεν είναι παντρεμένοι, αν είναι γνωστό ότι και οι σύζυγοι, κάθε ζεύγους, είναι μέλη της κοινότητας.. Από τους μαθητές μιας τάξης οι μισοί πηγαίνουν στο σχολείο με τα πόδια, το χρησιμοποιεί ποδήλατο, το 9 πηγαίνει με το λεωφορείο και δύο μαθητές τους πηγαίνουν οι γονείς τους με το αυτοκίνητό τους. Πόσους μαθητές έχει η τάξη αυτή;

10 . Ένας καφεπώλης έχει δύο είδη καφέ. Ο πρώτος πουλιέται 8,0 το κιλό και ο δεύτερος 0 το κιλό. Θέλει να φτιάξει ένα μείγμα 9 κιλών που να πουλιέται 9,0 το κιλό. Πόσα κιλά θα αναμείξει από κάθε είδος;. Ο Νίκος διάβασε ένα βιβλίο 0 σελίδων σε μέρες. Κάθε μέρα διάβαζε 0 σελίδες περισσότερες από την προηγούμενη. Πόσες σελίδες διάβασε την πρώτη μέρα; Κι άλλα ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... MindTrap. Ο πλασιέ Πέτρος Κωστέας πουλούσε ένα υπερσύγχρονο προστατευτικό κερί αυτοκινήτου, το οποίο ισχυριζόταν ότι ήταν καλύτερο κι από ατσάλι. Ο Κωστέας πουλούσε το ένα κουτί και τα δύο 90. Έλεγε ότι το κέρδος του ήταν το ίδιο και στις περιπτώσεις και αφού αυτά ήταν τα τελευταία κουτιά, που του είχαν απομείνει, ήθελε να τα πουλήσει στα γρήγορα. Αν δεχτούμε ότι ήταν σωστά αυτά που είπε ο Κωστέας, για το κέρδος του, πόσο πρέπει να του κόστιζε το κάθε κουτί προστατευτικού υγρού;. Ο Κώστας Περιστέρης είχε μια συλλογή από φωτογραφικά άλμπουμ σπάνιων πουλιών, την οποία ήθελε να πουλήσει. Πούλησε τα μισά άλμπουμ και ένα μισό άλμπουμ στον καθηγητή Πετράκη. Μετά πούλησε τα μισά, από όσα είχαν απομείνει και ένα μισό άλμπουμ στον κύριο Γεωργίου. Τώρα ο Περιστέρης έμεινε με άλμπουμ. Πόσα άλμπουμ είχε αρχικά ο Περιστέρης;. Στο ζωολογικό κήπο, ένα κλουβί φιλοξενεί παγόνια και αγριόχοιρους. Αν υπάρχουν συνολικά 0 μάτια και πόδια, πόσα παγόνια και πόσοι αγριόχοιροι υπάρχουν μέσα στο κλουβί;. Αν το ύψος κάποιου είναι 80 εκ. και το μισό του συνολικού του ύψους, τότε ποιο είναι το ύψος του; ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι ανισώσεις: α. ( ) < ( ) β. 8 ( ) ( )

11 δ. < γ. ( ) > 7( ) ε. > ( ) 8 η. ι. 8 ( ) 0 στ. > θ. ( ). Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων, σε κάθε περίπτωση: α. ( ) > ( ) και > ( ) β. ( 9) > 7 και 7( ) γ. < και < δ. 7 < και ( ) 0 > ε. ( ) ( ) και ( ) στ. > και ζ. < και > η. < 0 και 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ - < ΟΕΔΒ. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια πλατεία με εμβαδό, μεταξύ 0 m και m. Το μήκος της πλατείας είναι m. Μεταξύ ποιων ορίων θα περιέχεται το πλάτος της;. Ένας φυσικός αριθμός είναι μεταξύ 9 και 8 και όταν διαιρεθεί με αφήνει υπόλοιπο. Να βρείτε τον αριθμό αυτό.

12 . Ένας παραγωγός ροδάκινων υπολογίζει ότι την εποχή της συγκομιδής τους, θα χρειαστεί κάθε εβδομάδα να συσκευάζει με t ( τόνους) ροδάκινα σε τελάρα των και kg. Χρειάζεται άσιο αριθμό τελάρων των απ' όσα των kg. Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται ο αριθμός των τελάρων, που πρέπει να προμηθευτεί, έτσι ώστε να μην του λείψουν τελάρα, αλλά και να μη δεσμεύσει χρήματα για τελάρα, που δε θα χρησιμοποιηθούν.. Μια τάξη ετοιμάζει μια εκδρομή στο τέλος της σχολικής χρονιάς. Δυο γραφεία ταξιδίων Α και Β προσφέρουν τις υπηρεσίες τους, νοικιάζοντας εκδρομικά λεωφορεία, όπως φαίνεται παρακάτω: Γραφείο Α : 00 και 0, ανά χιλιόμετρο. Γραφείο Β : 0 και 0, ανά χιλιόμετρο. Ποια είναι η πιο συμφέρουσα προσφορά για τα χιλιόμετρα, που θα διανυθούν;. Το πάγιο ποσό στο λογαριασμό κατανάλωσης νερού είναι, ενώ κάθε κυβικό μέτρο νερού (m ) κοστιζει 0,. Πόσα το πολύ κυβικά μέτρα μπορούμε να καταναλώσουμε, για να πληρώσουμε το πολύ 0 ;. Το πλήθος των μαθητών ενός σχολείου, σε μια παρέλαση, είναι μεγαλύτερο από και μικρότερο από. Στη δοκιμή, παρατάχτηκαν σε εξάδες και περίσσεψαν, οι οποίοι τελικά δεν παρέλασαν. Να βρείς τον αριθμό των μαθητών του σχολείου. 7. Να βρείτε ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που, αν προστεθεί στον αριθμητή του κλάσματος, δίνει έναν αριθμό μεγαλύτερο του Να βρεις ποιος είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός, που επαληθεύει την ανίσωση: ( ) <