Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών

Transcript

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών Ρητοί αριθμοί (ℚ ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν με ένα κλάσμα με ακέραιους όρους. Με άλλα λόγια ρητοί είναι οι φυσικοί αριθμοί (ℕ οι ακέραιοι (ℤ όλα τα κλάσματα και οι δεκαδικοί (αρνητικά και θετικά. Οι πράξεις στους ρητούς δεν έχουν ουσιαστικές διαφορές από τους ακεραίους. Ας θυμηθούμε όμως σύντομα τα κλάσματα. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ Δύο κλάσματα και λέγονται ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών. Επειδή ακριβώς εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους είναι και ίσα και γράφουμε Αν δύο κλάσματα και είναι ισοδύναμα τότε τα "χιαστί γινόμενα" είναι ίσα. Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι ενός κλάσματος με τον ίδιο ακέραιο αριθμό ( 0 προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο. Όταν οι όροι ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο ακέραιο αριθμό ( 0 προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο.. Όταν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα και όταν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές ονομάζονται ετερώνυμα.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ Από δύο ομώνυμα κλάσματα εκείνο που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο. Για να συγκρίνουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και συγκρίνουμε τους αριθμητές τους. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή.. ΠΡΟΣΘΕΣΗ Προσθέτουμε δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους. Προσθέτουμε ετερώνυμα κλάσματα αφού πρώτα τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα.. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ To γινόμενο δύο κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. Η διαίρεση όπως ήδη έχουμε πει είναι πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο! ή. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ Οι αριθμοί που έχουν γινόμενο λέγονται αντίστροφοι. Επειδή τα κλάσματα είναι αντίστροφα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Μετατρέψτε α τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα β γ Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα

2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Άσκηση Να συγκρίνετε τους παρακάτω ρητούς 0 Άσκηση Να διατάξετε α β 0 Άσκηση Να ελέγξετε a 0 Άσκηση Να a 0 γ απλοποιηθούν τα παρακάτω κλάσματα τους αριθμούς σε φθίνουσα σειρά και να τους τοποθετήσετε σε έναν άξονα α β Άσκηση Να τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά Άσκηση Να διατάξετε Α Γυμνασίου b 0 0 αν τα ακόλουθα ζεύγη κλασμάτων είναι ισοδύναμα 0 c d 0 e f κάνετε τις παρακάτω πράξεις b c d e g 0 0 h i n o p q j f ( k l m 0 r 0 Άσκηση Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα Η κυρία Δήμητρα αγόρασε του κιλού κιμά. α Να βρείτε πόσα γραμμάρια κιμά αγόρασε β Πόσα χρήματα ξόδεψε αν το κιλό κοστίζει ευρώ; Ο Γιώργος και η μητέρα του σε μια διαδρομή με το τρένο πλήρωσαν για εισιτήρια 0 ευρώ. Αν το εισιτήριο του Γιώργου είναι κατά φτηνότερο από της μητέρας του να βρείτε πόσο κοστίζει το κάθε εισιτήριο. Ασκήσεις Βιβλίου σελ 0 σελ.0 0 σελ. σελ. 0 σελ. σελ. Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα

3 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Για τα προβλήματα με κλάσματα Όταν θέλω να βρω το μέρος μιας ποσότητας κάνω πολλαπλασιασμό (π.χ. τα / του 00 δηλαδή Κλάσμα μιας ποσότητας = Κλάσμα x Ποσότητα Όταν γνωρίζω ένα μέρος μιας ποσότητας και θέλω να τη βρω όλη κάνω διαίρεση (αν τα / είναι πόσο είναι όλο Ολόκληρη ποσότητα = Μέρος ποσότητας Κλάσμα Άλλος τρόπος είναι η αναγωγή στη μονάδα που μάθατε στο Δημοτικό Άσκηση Σωστό ή Λάθος.Ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορεί να είναι μηδέν.. Ένας φυσικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί με δύο διαφορετικά κλάσματα. a.η ανισότητα ισχύει όταν α<β (αβ φυσικοί. Η ανισότητα ισχύει όταν α<β (αβ φυσικοί. Δύο ομώνυμα κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές μπορεί να είναι ισοδύναμα.. Ο μικτός παριστάνει το γινόμενο του με το.. Οι αριθμοί και 0 είναι αντίστροφοι.. Ισχύει η ισότητα.. Ισχύει η ισότητα. 0. Τα κλάσματα μετατρέπονται σε ομώνυμα με παρονομαστή το0.. Ο αντίστροφος του είναι ο εαυτός του. Άσκηση 0 Να βρείτε το x και να αναφέρετε την ιδιότητα που χρησιμοποιείτε κάθε φορά x x x i 0 ii iii 0 iv x Άσκηση Να βρείτε τον άγνωστο στις παρακάτω σχέσεις ισότητας a b i ii iii iv v x vi x viix viii x 0 c d Άσκηση Να βρείτε ένα κλάσμα α μικρότερο από το β μικρότερο από το γ μεγαλύτερο από το δ μεγαλύτερο από το ε μεγαλύτερο από το και μικρότερο από το. Άσκηση Να βρεθεί ποιο μέρος των α g β του kg είναι τα 0g. Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα

4 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Άσκηση To του λίτρου κρασί κοστίζει 0. Πόσο κοστίζουν α τα του λίτρου β το λίτρο Άσκηση Σε ένα κατάστημα που κάνει έκπτωση σε όλα τα είδη του ίση με το της αρχικής αξίας τους ένα ζευγάρι παπούτσια είχε 0 πριν από την έκπτωση. Να υπολογίσετε πόσα έκπτωση γίνεται στα παπούτσια και πόσο θα πληρώσουμε για να τα αγοράσουμε. Άσκηση Τα των μαθητών μιας τάξης είναι αγόρια. Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές αν τα κορίτσια είναι ; Άσκηση Μια σοκολάτα είναι χαραγμένη έτσι ώστε να μπορεί να κοπεί σε ίσα μέρη. Ο Γιάννης πίρε το της σοκολάτας και από το κομμάτι αυτό έδωσε στην αδελφή του το. α Πόσα από τα κομμάτια πήρε η αδερφή του; β Πώς μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα αυτό με πολλαπλασιασμό κλασμάτων; Άσκηση Σε μια πόλη το των κατοίκων της έχει ηλικία μεγαλύτερη από χρόνια και μάλιστα τα 00 αυτού του μέρους έχει ηλικία πάνω από 0 χρόνια. Ποιο μέρος των κατοίκων της πόλης έχει ηλικία πάνω από 0 χρόνια; Άσκηση Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές τα των μαθητών είναι κορίτσια. Πόσα κορίτσια είναι στο σχολείο αυτό; Άσκηση 0 Ένας παντοπώλης αγόρασε για το κατάστημά του πακέτα ζάχαρη του kg πακέτα κακάο του kg και 0 πακέτα μακαρόνια του kg.πόσο βάρος έχουν όλα τα πράγματα που αγόρασε; Άσκηση Μια κανάτα περιέχει l γάλα. Έχουμε κούπες που καθεμία χωράει l. Πόσες τέτοιες κούπες μπορούμε να γεμίσουμε με το γάλα της κανάτας; Άσκηση α Από έναν αριθμό αφαιρώ το και βρίσκω ποιος είναι ο αριθμός; β Το γινόμενο δύο αριθμών είναι. Ο ένας είναι το ποιος είναι ο άλλος; γ Ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσω από το για να βρω ; δ Με ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσω το για να βρώ ; ε Ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσω με το για να βρώ ; στ Η διαφορά δύο αριθμών είναι. Αν ο ένας είναι το ποιος είναι ο άλλος ( περιπτώσεις ζ Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί το για να μας δώσει γινόμενο. Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα

5 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Άσκηση Ένα εμπόρευμα πουλιέται με κέρδος 0 της αξίας του προς 00. Ποια η αξία του; Άσκηση Ξόδεψα το ενός ποσού και μετά το του υπολοίπου και έμειναν 00. Πόσα είχα αρχικά; Άσκηση Στο θαλασσινό νερό το 0 του βάρους του είναι αλάτι. Πόσο καθαρό νερό πρέπει να αναμίξουμε σε 0 kg θαλασσινού νερού ώστε το αλάτι να είναι το 0 όλου του βάρους; Άσκηση Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις ( 0 0 j i h g f e d c b a Άσκηση Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις ( g f e d c b a Άσκηση Για να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων

6 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί Από τα κλάσματα στους Δεκαδικούς Όλες οι πράξεις στους δεκαδικούς ακολουθούν τους ίδιους κανόνες με τους ακέραιους. Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό το μετατρέπουμε σε δεκαδικό κλάσμα ή κάνουμε τη διαίρεση (αριθμητής(παρονομαστής Θυμίζουμε τις «γρήγορες» πράξεις των δεκάδικών Πολλαπλασιασμός με κτλ μετακινούμε την υποδιαστολή δεξιά τόσες θέσεις όσες τα μηδενικά Πολλαπλασιασμός με κτλ μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά τόσες θέσεις όσες τα δεκαδικά. Διαίρεση με κτλ μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά τόσες θέσεις όσες τα μηδενικά Διαίρεση με κτλ μετακινούμε την υποδιαστολή δεξιά τόσες θέσεις όσες τα δεκαδικά. Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών ένας μεγάλος αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή α 0 ν όπου ο α είναι δεκαδικός αριθμός με α <0 (δηλ. με ένα μη μηδενικό ακέραιο ψηφίο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να τραπούν τα πιο κάτω κλάσματα σε δεκαδικούς Άσκηση Να βάλετε σε σειρά ξεκινώντας από τον πιο μικρό τους πιο κάτω αριθμούς Άσκηση Να κάνετε τις πράξεις (α = (β = (γ - = (δ 0. = (ε 0 = (στ 0 = (ζ 000 = (η 00 = (θ 0-0 = (ι = (ια ( = (ιβ (ιγ Άσκηση Να βρείτε με προσέγγιση εκατοστού το πηλίκο 0 = Άσκηση Να κάνετε τις πράξεις α (-+(- β - + γ(- (- δ ε στ (-+ Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα

7 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί Από τα κλάσματα στα Ποσοστά a ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και 00 συμβολίζεται α%. Μπορούμε λοιπόν να μετατρέπουμε ένα κλάσμα ή ένα δεκαδικό σε ποσοστό. Αν έχουμε κλάσμα το κάνουμε δεκαδικό με παρονομαστή 00 ή κάνουμε την διαιρεση και καταλήγουμε σε δεκαδικό αριθμό Αν έχουμε δεκαδικό τα δυό πρώτα δεκαδικά ψηφία είναι το ακεραιο μέρος του ποσοστού ή το μετατρεπουμε σε δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή το % ή 0 0% Παράδειγμα % ή 0 % 00 Ένα κλάσμα με παρονομαστή το 00 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Σωστό ή Λάθος α Το ποσοστό % παριστάνει το κλάσμα 00 β Τα σύμβολα % και 0 παριστάνουν το ίδιο κλάσμα. γ Το μιας ποσότητας είναι ίσο με το 0% δ Όταν λέμε ότι οι μαθητές ενός σχολείου αυξήθηκαν κατά 00% σε μια πενταετία εννοούμε ότι διπλασιάστηκαν. Άσκηση H τιμή ενός εμπορεύματος ελαττώθηκε κατά 0% και κοστίζει τώρα 00. Να βρεθεί η αρχική τιμή και η ελάττωση. Άσκηση Ένας καναπές είχε μια αύξηση στην τιμή του 0% και στη συνέχεια μία ακόμα αύξηση %. Μετά τιε δύο αυξήσεις η τιμή του είναι. Ποια η αρχική του τιμή (πριν από την πρώτη αύξηση. Άσκηση Ένας έμπορος πούλησε εμπόρευμα προς 000 με ζημιά 000. Ποιο το ποσοστό της ζημιάς; Άσκηση Αν τα κορίτσια σε ένα σχολείο είναι το % των μαθητών τι ποσοστό είναι τα αγόρια; Άσκηση Το μικτό βάρος ενός προιόντος είναι kg και το καθαρό 00kg. Πόσο τοις εκατό είναι το απόβαρο α επί του μικτού βάρους β επί του καθαρού βάρους Άσκηση Ένας έμπορος αγοράζει εμπόρευμα και πληρώνει 000. Έχει έξοδα % (επί της τιμής αγοράς και πουλά με κέρδος % (επί του συνολικού κόστους. Πόσα θα πουλήσει το εμπόρευμα; Άσκηση Το ζυμάρι όταν ψηθεί χάνει το % του βάρους του για να γίνει ψωμί. Να βρείτε πόσο ψωμί θα πάρουμε από 00kg ζυμάρι; Άσκηση Ένας έμπορος αγόρασε 0 τόνους φρούτων αξίας 000. Επειδή αποδείχθηκε ότι ήταν χαμηλής ποιότητας τα πούλησε σε προσφορά προς τον τόνο. Να υπολογισθεί το ποσοστό ζημιάς που είχε. Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα

8 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Επιμέλεια Τριανταφυλλίδου Ιωάννα