APEIROSTIKOS LOGISMOS I

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "APEIROSTIKOS LOGISMOS I"

ÏΚαϊνάμ Κούνδουρος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 APEIROSTIKOS LOGISMOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου 3. Άσκηση : Προσδιορίστε, αν υπάρχουν, τις τιμές τού a για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. + +, αν > 0, f = a, αν = 0, sin a + +, αν < 0. g = { sin, αν 0, ±π, ±π, ±3π,..., a, διαφορετικά. { h = e, αν 0, a, αν = 0. Λύση:. Για να υπολογίσουμε το + +, γράφουμε + = e log+. Επειδή είναι και, επομένως, + = 0, log + = log y = log = 0, + y + log + = 0 0 = 0 + = + e log+ = e z = e 0 =. + z 0 Επίσης, παρατηρούμε ότι είναι sin για κάθε > 0, οπότε με παρεμβολή: sin = 0. + Άρα ο τύπος της συνάρτησης γίνεται f = {, αν > 0, a, αν = 0, a, αν < 0. Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε > 0, διότι είναι σταθερή στο διάστημα 0, +, και είναι συνεχής σε κάθε < 0, διότι είναι σταθερή a στο διάστημα

2 , 0. Επομένως, για να είναι η συνάρτηση συνεχής πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο 0. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν f = f = f ή, ισοδύναμα, = a = a. Άρα, η συνάρτηση είναι συνεχής αν και μόνο αν a =.. Η συνάρτηση έχει τύπο g = sin σε κάθε διάστημα kπ, k + π k Z, οπότε είναι συνεχής σε κάθε τέτοιο διάστημα. Άρα, για να είναι συνεχής η συνάρτηση πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στα σημεία kπ k Z. Ομως, βλέπουμε ότι kπ sin = sinkπ = 0 και ότι, αν ο k είναι άρτιος, το sin είναι θετικό στο διάστημα kπ, k + π και αρνητικό στο διάστημα k π, kπ ενώ, αν ο k είναι περιττός, συμβαίνουν τα αντίθετα. Άρα kπ sin =, kπ+ sin = + αν k άρτιος, kπ sin = +, kπ+ sin = αν k περιττός. Άρα, σε κάθε περίπτωση, το kπ g = kπ sin δεν υπάρχει και, οπωσδήποτε, δεν είναι αριθμός. Άρα, όποια κια αν είναι η τιμή του a, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε κανένα σημείο kπ k Z. 3. Η y = h είναι συνεχής σε κάθε 0, διότι έχει τύπο y = e στα διαστήματα, 0 και 0, +. Άρα είναι συνεχής αν και μόνο αν είναι συνεχής στο 0, δηλαδή αν και μόνο αν Ομως, 0 e = a. 0 e = e = 0. Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής αν και μόνο αν a = 0. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις. f = [], g = [], h = cos, αν > 0, 0, αν = 0, sin, αν < 0. Λύση:. Η f = [] είναι σταθερή σε κάθε διάστημα [ k, k+ k Z. Πράγματι, από k < k+ συνεπάγεται k < k +, οπότε [] = k. Το γράφημα της συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα

3 Επειδή η συνάρτηση είναι σταθερή σε κάθε ανοικτό διάστημα k, k+ k Z είναι και συνεχής σε κάθε τέτοιο διάστημα. Άρα μένει να εξετάσουμε τη συνέχεια στα σημεία k k Z. Η συνάρτηση, όπως είπαμε, είναι σταθερή f = k στο διάστημα k, k+ δεξιά του k και, ομοίως, είναι σταθερή f = k στο διάστημα k, k αριστερά του k. Άρα k k f = k k = f, f = k = f, k k + οπότε η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο k. Είναι δεξιά συνεχής αλλά όχι αριστερά συνεχής στο k.. Η g = [] σε κάθε διάστημα [k, k + k Z ισούται με f = k. Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε ανοικτό διάστημα k, k + k Z, οπότε μένει να εξετάσουμε τη συνέχεια στα σημεία k k Z. Είδαμε ότι η συνάρτηση ισούται με f = k στο διάστημα k, k + δεξιά του k και, ομοίως, ισούται με f = k στο διάστημα k, k αριστερά του k. Άρα f = k + = 0 = fk, k k f = k = 0 = fk, k+ k+ οπότε η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο k. Είναι δεξιά συνεχής αλλά όχι αριστερά συνεχής στο k. 3. Η y = h έχει τύπο h = cos στο ανοικτό διάστημα 0, +, οπότε είναι συνεχής εκεί. Ομοίως, η συνάρτηση έχει τύπο h = sin στο ανοικτό διάστημα, 0, οπότε είναι συνεχής και σ αυτό το διάστημα. 3

4 Στο σημείο 0 έχουμε cos h = = cos = 0 = 0 = h0 sin h = = sin = 0 = 0 = h0. Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής και στο 0. Άσκηση 3: Εστω f : R R μια συνεχής συνάρτηση. Αποδείξτε ότι για κάθε έχουμε f + f = 0. 0 Δείξτε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει: Βρείτε μια ασυνεχή συνάρτηση η οποία έχει την παραπάνω ιδιότητα. Λύση: Η συνάρτηση είναι συνεχής, οπότε 0 f + = z fz = f και 0 f = w fw = f. Άρα f + f = f f = 0. 0 Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση με τύπο {, αν = 0, f = 0, αν 0. Η συνάρτηση είναι σταθερή 0 στα διαστήματα, 0 και 0, +, οπότε είναι συνεχής σε κάθε 0. Ομως, είναι ασυνεχής στο 0, διότι f = 0 = 0 και f0 =. 0 0 Από την άλλη μεριά, αν = 0, τότε είναι f0 + = f0 = 0 για κάθε 0, οπότε f + f = 0 = Επίσης, αν > 0, τότε για κάθε στην ένωση, 0 0, είναι f = f + = 0 και, επομένως, f + f = 0 = Τέλος, αν < 0, τότε για κάθε στην ένωση, 0 0, είναι f = f + = 0 και, επομένως, f + f = 0 = Άρα η συνάρτηση είναι ασυνεχής διότι είναι ασυνεχής στο 0 και ικανοποιεί την 0 f + f = 0 για κάθε. 4

5 Άσκηση 4: Εστω f : R R μια συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα f < για κάθε 0. Υπολογίστε την παρακάτω ποσότητα. Λύση: Για κάθε k N είναι Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής, Άρα, πρέπει να υπολογίσουμε το Παρατηρούμε ότι sink f 0. sink = k sin = k = k. 0 0 fk sink f = fz = fk. 0 z k fk < fk. k < n + n = n + n, διότι ο μεγαλύτερος από τους n + όρους του τελευταίου αθροίσματος είναι ο n ο πρώτος. Άρα n + n < και με παρεμβολή συνεπάγεται ότι fk < n + n fk = 0. 5

Σχετικά έγγραφα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9. Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Παρατηρήστε ότι ο πρώτος κανόνας αλλαγής μεταβλητής εφαρμόζεται μόνο στα εφτά πρώτα όρια ενώ ο δεύτερος κανόνας εφαρμόζεται