Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
|
|
|
- Μορφευς Μαγγίνας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών ευτέρα, 21 Νοεμβρίου 2016
2 Σκελετός Ομιλίας 1 Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 2 Χαρακτηρισμός Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 3 Πολυπλοκότητα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων 4 εύτερη Εργαστηριακή Άσκηση Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [2 / 23]
3 Block Pivots & Schur Complement x K x [n]\k y K = A B y [m]\k = C D Ομαδική ανταλλαγή (γίνεται αν το A είναι αντιστρέψιμο) ΟΛΩΝ των στοιχείων από γραμμές και στήλες του Α: y K x [n]\k x K =?? y [m]\k =?? Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [3 / 23]
4 Block Pivots & Schur Complement x K x [n]\k y K = A B y [m]\k = C D Ομαδική ανταλλαγή (γίνεται αν το A είναι αντιστρέψιμο) ΟΛΩΝ των στοιχείων από γραμμές και στήλες του Α: y K x [n]\k x K = A 1 A 1 B y [m]\k = CA 1 D CA 1 B Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [3 / 23]
5 Block Pivots & Schur Complement x K x [n]\k y K = A B y [m]\k = C D Ομαδική ανταλλαγή (γίνεται αν το A είναι αντιστρέψιμο) ΟΛΩΝ των στοιχείων από γραμμές και στήλες του Α: y K x [n]\k x K = A 1 A 1 B y [m]\k = CA 1 D CA 1 B Schur Complement του μητρώου E = [A, B; C, D] ως προς το (αντιστρέψιμο) υπομητρώο A: S = D CA 1 B. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [3 / 23]
6 Block Pivots & Schur Complement x K x [n]\k y K = A B y [m]\k = C D Ομαδική ανταλλαγή (γίνεται αν το A είναι αντιστρέψιμο) ΟΛΩΝ των στοιχείων από γραμμές και στήλες του Α: y K x [n]\k x K = A 1 A 1 B y [m]\k = CA 1 D CA 1 B Schur Complement του μητρώου E = [A, B; C, D] ως προς το (αντιστρέψιμο) υπομητρώο A: S = D CA 1 B. Πολύ χρήσιμος μετασχηματισμός. Πχ, το (τετραγωνικό) μητρώο E είναι αντιστρέψιμο ΑΝΝ και τα μητρώα A και S = D CA 1 B είναι αντιστρέψιμα. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [3 / 23]
7 Χειρισμός Γραμμικών Συστημάτων ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι γίνεται με τη λύση του γραμμικού συστήματος Ax = b, για κάποια A R m n, b R m ; Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [4 / 23]
8 Χειρισμός Γραμμικών Συστημάτων ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι γίνεται με τη λύση του γραμμικού συστήματος Ax = b, για κάποια A R m n, b R m ; Μελετάμε το σύστημα [ γραμμικών ] συναρτήσεων x y = Ax b z = [A, b] θεωρώντας νέα μεταβλητή z, z που τη διατηρούμε πάντα στη στήλη της, και θέτουμε τιμή 1: x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [4 / 23]
9 Χειρισμός Γραμμικών Συστημάτων ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι γίνεται με τη λύση του γραμμικού συστήματος Ax = b, για κάποια A R m n, b R m ; Μελετάμε το σύστημα [ γραμμικών ] συναρτήσεων x y = Ax b z = [A, b] θεωρώντας νέα μεταβλητή z, z που τη διατηρούμε πάντα στη στήλη της, και θέτουμε τιμή 1: x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L Εκτελούμε όσο το δυνατόν περισσότερα pivots ( K = M ) ανάμεσα σε x μεταβλητές και y μεταβλητές: y K x N z = 1 x M = B K,M B K,N d K y L = B L,M B L,N = O d L Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [4 / 23]
10 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (Ι) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Κρίσιμη Παρατήρηση: Είναι δυνατόν να βρούμε ένα διάνυσμα λύσεων ( x, ȳ, z) τ.ώ. ȳ = 0 και z = 1; Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [5 / 23]
11 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (Ι) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Κρίσιμη Παρατήρηση: Είναι δυνατόν να βρούμε ένα διάνυσμα λύσεων ( x, ȳ, z) τ.ώ. ȳ = 0 και z = 1; ΑΝ ναι (πώς ελέγχεται αυτό;) ΤΟΤΕ το Ax = b είναι επιλύσιμο (μια λύση είναι το x), ΑΛΛΙΩΣ το Ax = b είναι μη επιλύσιμο. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [5 / 23]
12 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (ΙΙ) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Εστω ότι υπάρχει λύση ( x, ȳ, z) : ȳ = 0, z = 1. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [6 / 23]
13 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (ΙΙ) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Εστω ότι υπάρχει λύση ( x, ȳ, z) : ȳ = 0, z = 1. ΑΝ d L 0 ΤΟΤΕ 0 = ȳ L = B L,M ȳ K + d L 0 (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [6 / 23]
14 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (ΙΙ) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Εστω ότι υπάρχει λύση ( x, ȳ, z) : ȳ = 0, z = 1. ΑΝ d L 0 ΤΟΤΕ 0 = ȳ L = B L,M ȳ K + d L 0 (ΑΤΟΠΟ) ΑΛΛΙΩΣ (d L = 0) οι λύσεις περιγράφονται ως εξής: ȳ K = 0, ȳ L = 0, z = 1 / «ενδιαφέρουσες» περιπτώσεις για Ax = b / x N R N / «ανεξάρτητες» μεταβλητές / x M = B K,N x N + d K / «εξαρτημένες» μεταβλητές / Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [6 / 23]
15 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (ΙΙ) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Εστω ότι υπάρχει λύση ( x, ȳ, z) : ȳ = 0, z = 1. ΑΝ d L 0 ΤΟΤΕ 0 = ȳ L = B L,M ȳ K + d L 0 (ΑΤΟΠΟ) ΑΛΛΙΩΣ (d L = 0) οι λύσεις περιγράφονται ως εξής: ȳ K = 0, ȳ L = 0, z = 1 / «ενδιαφέρουσες» περιπτώσεις για Ax = b / x N R N / «ανεξάρτητες» μεταβλητές / x M = B K,N x N + d K / «εξαρτημένες» μεταβλητές / Το Ax = b είναι μη επιλύσιμο ΑΝΝ L d L 0. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [6 / 23]
16 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (ΙΙ) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Εστω ότι υπάρχει λύση ( x, ȳ, z) : ȳ = 0, z = 1. ΑΝ d L 0 ΤΟΤΕ 0 = ȳ L = B L,M ȳ K + d L 0 (ΑΤΟΠΟ) ΑΛΛΙΩΣ (d L = 0) οι λύσεις περιγράφονται ως εξής: ȳ K = 0, ȳ L = 0, z = 1 / «ενδιαφέρουσες» περιπτώσεις για Ax = b / x N R N / «ανεξάρτητες» μεταβλητές / x M = B K,N x N + d K / «εξαρτημένες» μεταβλητές / Το Ax = b είναι μη επιλύσιμο ΑΝΝ L d L 0. Q Μία ή άπειρες λύσεις, όταν L = d L = 0; Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [6 / 23]
17 Επιλυσιμότητα Γραμμικών Συστημάτων (ΙΙ) x M x N z = 1 y K = A K,M A K,N b K y L = A L,M A L,N b L ρ pivots x M = y K B K,M x N B K,N z = 1 d K y L = B L,M B L,N = O d L Εστω ότι υπάρχει λύση ( x, ȳ, z) : ȳ = 0, z = 1. ΑΝ d L 0 ΤΟΤΕ 0 = ȳ L = B L,M ȳ K + d L 0 (ΑΤΟΠΟ) ΑΛΛΙΩΣ (d L = 0) οι λύσεις περιγράφονται ως εξής: ȳ K = 0, ȳ L = 0, z = 1 / «ενδιαφέρουσες» περιπτώσεις για Ax = b / x N R N / «ανεξάρτητες» μεταβλητές / x M = B K,N x N + d K / «εξαρτημένες» μεταβλητές / Το Ax = b είναι μη επιλύσιμο ΑΝΝ L d L 0. Q Μία ή άπειρες λύσεις, όταν L = d L = 0; Μοναδική λύση (δεδομένης επιλυσιμότητας) ΑΝΝ N = (καμιά x μεταβλητή στις στήλες). Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [6 / 23]
18 Σκελετός Ομιλίας 1 Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 2 Χαρακτηρισμός Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 3 Πολυπλοκότητα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων 4 εύτερη Εργαστηριακή Άσκηση Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [7 / 23]
19 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (Ι) Πρόταση (PROP [FMW2007]) Εστω μητρώο A R n n. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: 1 Το A είναι αντιστρέψιμο (non-singular). / Γραμ. ανεξ. γραμμές του A / 2 x R n, Ax = 0 x = 0 / ns(a) = {0} και rank(a) = n / 3 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάθε b R n. 4 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάποιο b R n. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [8 / 23]
20 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (Ι) Πρόταση (PROP [FMW2007]) Εστω μητρώο A R n n. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: 1 Το A είναι αντιστρέψιμο (non-singular). / Γραμ. ανεξ. γραμμές του A / 2 x R n, Ax = 0 x = 0 / ns(a) = {0} και rank(a) = n / 3 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάθε b R n. 4 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάποιο b R n. ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) (1) (2) : ΕΣΤΩ (μοναδικό) A 1 : AA 1 = A 1 A = eye(n). Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [8 / 23]
21 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (Ι) Πρόταση (PROP [FMW2007]) Εστω μητρώο A R n n. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: 1 Το A είναι αντιστρέψιμο (non-singular). / Γραμ. ανεξ. γραμμές του A / 2 x R n, Ax = 0 x = 0 / ns(a) = {0} και rank(a) = n / 3 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάθε b R n. 4 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάποιο b R n. ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) (1) (2) : ΕΣΤΩ (μοναδικό) A 1 : AA 1 = A 1 A = eye(n). ΑΝ x 0 : Ax = 0 Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [8 / 23]
22 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (Ι) Πρόταση (PROP [FMW2007]) Εστω μητρώο A R n n. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: 1 Το A είναι αντιστρέψιμο (non-singular). / Γραμ. ανεξ. γραμμές του A / 2 x R n, Ax = 0 x = 0 / ns(a) = {0} και rank(a) = n / 3 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάθε b R n. 4 Το Ax = b έχει μοναδική λύση, για κάποιο b R n. ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) (1) (2) : ΕΣΤΩ (μοναδικό) A 1 : AA 1 = A 1 A = eye(n). ΑΝ x 0 : Ax = 0 ΤΟΤΕ x 0 : x = eye(n)x = A 1 Ax = A 1 0 = 0 (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [8 / 23]
23 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
24 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
25 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (3) (4) : Τετριμμένο. (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
26 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (3) (4) : Τετριμμένο. (4) (1) : (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
27 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (3) (4) : Τετριμμένο. (4) (1) : ΕΣΤΩ b R m : το Ax = b έχει μοναδική λύση. (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
28 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (3) (4) : Τετριμμένο. (4) (1) : ΕΣΤΩ b R m : το Ax = b έχει μοναδική λύση. ΤΟΤΕ Μπορούν να εκτελεστούν και τα n pivots: x z = 1 y = A b n pivots y z = 1 x = B d (ΑΤΟΠΟ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
29 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (3) (4) : Τετριμμένο. (4) (1) : ΕΣΤΩ b R m : το Ax = b έχει μοναδική λύση. ΤΟΤΕ Μπορούν να εκτελεστούν και τα n pivots: x z = 1 y = A b n pivots y z = 1 x = B d (ΑΤΟΠΟ) ΤΟΤΕ z = eye(n)y = y = Ax = ABy (ισοδύναμα Γ.Σ.Ε). ΤΟΤΕ s = eye(n)x = x = By = BAx (ισοδύναμα Γ.Σ.Ε). Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
30 Χαρακτηρισμός Επιλυσιμότητας Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) ΕΞΗΓΗΣΗ: (PROP [FMW2007]) συνέχεια (2) (3) : ΕΣΤΩ x R n, Ax = 0 x = 0. ΑΝ x, x : x x A x = b A x = b ΤΟΤΕ ˆx = x x 0 : Aˆx = 0 (3) (4) : Τετριμμένο. (4) (1) : ΕΣΤΩ b R m : το Ax = b έχει μοναδική λύση. ΤΟΤΕ Μπορούν να εκτελεστούν και τα n pivots: x z = 1 y = A b n pivots y z = 1 x = B d (ΑΤΟΠΟ) ΤΟΤΕ z = eye(n)y = y = Ax = ABy (ισοδύναμα Γ.Σ.Ε). ΤΟΤΕ s = eye(n)x = x = By = BAx (ισοδύναμα Γ.Σ.Ε). eye(n) = AB = BA και B = A 1 (μοναδικότητα A 1 ). Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [9 / 23]
31 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (Ι) ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Να επιλυθούν τα ακόλουθα γραμμικά συστήματα. Αν υπάρχουν άπειρες λύσεις, να περιγραφούν οι εξαρτημένες μεταβλητές ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές (που θα θεωρήσετε). Να δοθεί επίσης, όπου υπάρχει, η σχέση εξάρτησης μεταξύ των γραμμικών περιορισμών που εκφράζει κάθε σύστημα: Ax = a : A = a = 1 Bx = b : B = Cx = c : C = b = c = Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [10 / 23]
32 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) 1 ΑΣΚΗΣΗ 2-4-6: Επίλυση του Ax = a Παραδείγματα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων (ΙI) A = >> a = [ 1; 1; 5]; >> T = totbl(a,a); x1 x2 x3 x y1 = y2 = y3 = >> T = ljx(t,1,1); y1 x2 x3 x x1 = y2 = y3 = >> T = ljx(t,2,2); y1 y2 x3 x x1 = x2 = y3 = Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [11 / 23]
33 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) 1 ΑΣΚΗΣΗ 2-4-6: Επίλυση του Ax = a A = >> a = [ 1; 1; 5]; >> T = totbl(a,a); Παραδείγματα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων (ΙI) Άπειρες λύσεις: Χ 1 = 1/3 * Χ 3 +1, Χ 2 = 1/3 * Χ 3 + Χ Χ 3,Χ 4 R Εξάρτηση: Υ 3 = 3Υ 1 + 2Υ 2 x1 x2 x3 x y1 = y2 = y3 = >> T = ljx(t,1,1); y1 x2 x3 x x1 = y2 = y3 = >> T = ljx(t,2,2); y1 y2 x3 x x1 = x2 = y3 = Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [11 / 23]
34 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (ΙΙΙ) 2 ΑΣΚΗΣΗ 2-4-6: Επίλυση του Bx = b Παραδείγματα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων (ΙII) B = >> b = [ 2;1;1]; >> T=totbl(B,b); x1 x2 x3 x y1 = y2 = y3 = >> T=ljx(T,1,1); y1 x2 x3 x x1 = y2 = y3 = >> T=ljx(T,2,2); y1 y2 x3 x x1 = x2 = y3 = Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [12 / 23]
35 2 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (ΙΙΙ) ΑΣΚΗΣΗ 2-4-6: Επίλυση του Bx = b B = >> b = [ 2;1;1]; >> T=totbl(B,b); Παραδείγματα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων (ΙII) Μη επιλύσιμο σύστημα. Εξάρτηση? OXI (γιατί???) x1 x2 x3 x y1 = y2 = y3 = >> T=ljx(T,1,1); y1 x2 x3 x x1 = y2 = y3 = >> T=ljx(T,2,2); y1 y2 x3 x x1 = x2 = y3 = Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [12 / 23]
36 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (IV) 3 ΑΣΚΗΣΗ 2-4-6: Επίλυση του Cx = c Παραδείγματα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων (ΙV) Σ. 2016) 4η ενότητα [13 / 23] >> T=totbl(C,c); x1 x2 x y1 = y2 = y3 = y4 = >> T=ljx(T,1,1); y1 x2 x x1 = y2 = y3 = y4 = >> T=ljx(T,2,2); y1 y2 x x1 = x2 = y3 = y4 = >> T=ljx(T,3,3); y1 y2 y x1 = x2 = x3 = y4 = Κοντογιάννης, Χ Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο
37 Παράδειγμα Ελέγχου Γ.Σ.Ε. (IV) 3 ΑΣΚΗΣΗ 2-4-6: Επίλυση του Cx = c Παραδείγματα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων (ΙV) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [13 / 23] >> T=totbl(C,c); Eπιλύσιμο σύστημα. x1 x2 x Μοναδική λύση: y1 = Χ y2 = = 1, Χ 2 = -1, Χ 3 = 1 y3 = Εξάρτηση? ΝΑΙ y4 = >> T=ljx(T,1,1); y1 x2 x x1 = y2 = y3 = y4 = >> T=ljx(T,2,2); y1 y2 x x1 = x2 = y3 = y4 = >> T=ljx(T,3,3); y1 y2 y x1 = x2 = x3 = y4 =
38 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
39 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
40 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Q2 Αποκλείεται να υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
41 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Q2 Αποκλείεται να υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A2 rank(a) m <n. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
42 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Q2 Αποκλείεται να υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A2 rank(a) m <n. Q3 Υπάρχει το πολύ μια λύση, ανάλογα με το b R m. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
43 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Q2 Αποκλείεται να υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A2 rank(a) m <n. Q3 Υπάρχει το πολύ μια λύση, ανάλογα με το b R m. A3 rank(a) = n n. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
44 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Q2 Αποκλείεται να υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A2 rank(a) m <n. Q3 Υπάρχει το πολύ μια λύση, ανάλογα με το b R m. A3 rank(a) = n n. Q4 Υπάρχουν άπειρες λύσεις, ανεξάρτητα από το b R m. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
45 Παραδείγματα Κατανόησης για Επίλυση Γ.Σ.Ε. ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): ώστε παραδείγματα μητρώων A R m n (δλδ ικανές συνθήκες, όχι όμως απαραίτητα αναγκαίες) ώστε για το σύστημα Ax = b να ισχύει κάποια από τις ακόλουθες ιδιότητες (χωριστά): Q1 Υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A1 rank(a) = m = n. Q2 Αποκλείεται να υπάρχει μοναδική λύση, για κάθε b R m. A2 rank(a) m <n. Q3 Υπάρχει το πολύ μια λύση, ανάλογα με το b R m. A3 rank(a) = n n. Q4 Υπάρχουν άπειρες λύσεις, ανεξάρτητα από το b R m. A4 rank(a) = m <n. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [14 / 23]
46 Αντιστρεψιμότητα Γινομένων Μητρώων ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Νδο για οποιαδήποτε τετραγωνικά μητρώα A, B R n n, ισχύει ότι τα A, B είναι αντιστρέψιμα ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το A B είναι αντιστρέψιμο. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [15 / 23]
47 Αντιστρεψιμότητα Γινομένων Μητρώων ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Νδο για οποιαδήποτε τετραγωνικά μητρώα A, B R n n, ισχύει ότι τα A, B είναι αντιστρέψιμα ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το A B είναι αντιστρέψιμο. ΕΞΗΓΗΣΗ: (Ex [FMW2007]) Εστω αντιστρέψιμα μητρώα A, B, άρα υπάρχουν (και είναι μοναδικά) τα A 1, B 1.. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [15 / 23]
48 Αντιστρεψιμότητα Γινομένων Μητρώων ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Νδο για οποιαδήποτε τετραγωνικά μητρώα A, B R n n, ισχύει ότι τα A, B είναι αντιστρέψιμα ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το A B είναι αντιστρέψιμο. ΕΞΗΓΗΣΗ: (Ex [FMW2007]) Εστω αντιστρέψιμα μητρώα A, B, άρα υπάρχουν (και είναι μοναδικά) τα A 1, B 1. y = ABx A 1 y = A 1 ABx = Bx B 1 A 1 y = B 1 Bx B 1 A 1 y = x B 1 A 1 = (AB) 1 / από μοναδικότητα αντίστροφου /. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [15 / 23]
49 Αντιστρεψιμότητα Γινομένων Μητρώων ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Νδο για οποιαδήποτε τετραγωνικά μητρώα A, B R n n, ισχύει ότι τα A, B είναι αντιστρέψιμα ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το A B είναι αντιστρέψιμο. ΕΞΗΓΗΣΗ: (Ex [FMW2007]) Εστω αντιστρέψιμα μητρώα A, B, άρα υπάρχουν (και είναι μοναδικά) τα A 1, B 1. y = ABx A 1 y = A 1 ABx = Bx B 1 A 1 y = B 1 Bx B 1 A 1 y = x B 1 A 1 = (AB) 1 / από μοναδικότητα αντίστροφου / Εστω αντιστρέψιμο μητρώο A B. ΑΝ A (ή B) μη αντιστρέψιμο : z 0 : z A = 0. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [15 / 23]
50 Αντιστρεψιμότητα Γινομένων Μητρώων ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Νδο για οποιαδήποτε τετραγωνικά μητρώα A, B R n n, ισχύει ότι τα A, B είναι αντιστρέψιμα ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το A B είναι αντιστρέψιμο. ΕΞΗΓΗΣΗ: (Ex [FMW2007]) Εστω αντιστρέψιμα μητρώα A, B, άρα υπάρχουν (και είναι μοναδικά) τα A 1, B 1. y = ABx A 1 y = A 1 ABx = Bx B 1 A 1 y = B 1 Bx B 1 A 1 y = x B 1 A 1 = (AB) 1 / από μοναδικότητα αντίστροφου / Εστω αντιστρέψιμο μητρώο A B. ΑΝ A (ή B) μη αντιστρέψιμο : z 0 : z A = 0 ΤΟΤΕ z 0 : z AB = 0 B = 0 ΤΟΤΕ AB μη αντιστρέψιμο (ΑΤΟΠΟ). Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [15 / 23]
51 Αντιστρεψιμότητα Γινομένων Μητρώων ΑΣΚΗΣΗ (Ex [FMW2007]): Νδο για οποιαδήποτε τετραγωνικά μητρώα A, B R n n, ισχύει ότι τα A, B είναι αντιστρέψιμα ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το A B είναι αντιστρέψιμο. ΕΞΗΓΗΣΗ: (Ex [FMW2007]) Εστω αντιστρέψιμα μητρώα A, B, άρα υπάρχουν (και είναι μοναδικά) τα A 1, B 1. y = ABx A 1 y = A 1 ABx = Bx B 1 A 1 y = B 1 Bx B 1 A 1 y = x B 1 A 1 = (AB) 1 / από μοναδικότητα αντίστροφου / Εστω αντιστρέψιμο μητρώο A B. ΑΝ A (ή B) μη αντιστρέψιμο : z 0 : z A = 0 ΤΟΤΕ z 0 : z AB = 0 B = 0 ΤΟΤΕ AB μη αντιστρέψιμο (ΑΤΟΠΟ) Τα A, B είναι αντιστρέψιμα.. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [15 / 23]
52 Αποδοτικότητα Επίλυσης Γ.Σ.Ε. (Ι) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πόσο κοστίζει η επίλυση ενός m n γραμμικού συστήματος με pivots (μετράμε στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις); Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [16 / 23]
53 Αποδοτικότητα Επίλυσης Γ.Σ.Ε. (Ι) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πόσο κοστίζει η επίλυση ενός m n γραμμικού συστήματος με pivots (μετράμε στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις); ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Pivot Element: (r, s) K = [1 : r 1, r + 1, m] / δηλαδή, K = [m] {r} / J = [1 : s 1, s + 1 : n] / δηλαδή, J = [n] {s} / # Πράξεων (flops) Λειτουργία 1 B(r, s) = 1 n 1 B(r, J) = [ A(r,s) ] A(r,j) A(r,s) [ ] j s A(k,s) = A(r, J) B(r, s) m 1 B(K, s) = = A(K, s) B(r, s) A(r,s) [ k r ] 2(m 1)(n 1) B(K, J) = A(k, j) A(k,s) A(r,j) 2mn m n + 1 p 2 (2q 1) p(q 1) A(r,s) k r,j s = A(K, J) B(K, s) A(r, J) Κόστος ΜΙΑΣ ανταλλαγής Jordan (pivot) Επίλυση του Ax = b, για A R m n, p = min{m, n}, q = max{m, n} Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [16 / 23]
54 Σκελετός Ομιλίας 1 Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 2 Χαρακτηρισμός Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 3 Πολυπλοκότητα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων 4 εύτερη Εργαστηριακή Άσκηση Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [17 / 23]
55 Αποδοτικότητα Επίλυσης Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) LU Decomposition Θεώρημα (THM [FMW2007]) χωρίς απόδειξη Εστω οποιοδήποτε μητρώο A R n n. Υπάρχουν μεταθετικά μητρώα R, Q, κάτω τριγωνικό μητρώο L και άνω τριγωνικό μητρώο U, τ.ώ.: PAQ = LU. Επιπλέον: ΑΝ το A είναι αντιστρέψιμο ΤΟΤΕ το Q είναι το μοναδιαίο μητρώο, και άρα PA = LU. Το συνολικό κόστος υπολογισμού των P, Q, L, U είναι 2 3 n 3 + O ( n 2) flops. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [18 / 23]
56 Αποδοτικότητα Επίλυσης Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) LU Decomposition Θεώρημα (THM [FMW2007]) χωρίς απόδειξη Εστω οποιοδήποτε μητρώο A R n n. Υπάρχουν μεταθετικά μητρώα R, Q, κάτω τριγωνικό μητρώο L και άνω τριγωνικό μητρώο U, τ.ώ.: PAQ = LU. Επιπλέον: ΑΝ το A είναι αντιστρέψιμο ΤΟΤΕ το Q είναι το μοναδιαίο μητρώο, και άρα PA = LU. Το συνολικό κόστος υπολογισμού των P, Q, L, U είναι 2 3 n 3 + O ( n 2) flops. Μεταθετικό Μητρώο: Προκύπτει από αναδιάταξη των γραμμών του μοναδιαίου μητρώου. Άνω (Κάτω) Τριγωνικό Μητρώο: Όλα τα στοιχεία ΚΑΤΩ (ΠΑΝΩ) από την κύρια διαγώνιο έχουν τιμή 0. Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [18 / 23]
57 Αποδοτικότητα Επίλυσης Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) Gaussian Elimination ΕΣΤΩ A αντιστρέψιμο n n μητρώο. ΤΟΤΕ Υπάρχουν μητρώα P, L, U τ.ώ. PA = LU. ΤΟΤΕ Ax = b LUx = Pb {Lw = Pb; Ux = w} Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [19 / 23]
58 Αποδοτικότητα Επίλυσης Γ.Σ.Ε. (ΙΙ) Gaussian Elimination ΕΣΤΩ A αντιστρέψιμο n n μητρώο. ΤΟΤΕ Υπάρχουν μητρώα P, L, U τ.ώ. PA = LU. ΤΟΤΕ Ax = b LUx = Pb {Lw = Pb; Ux = w} GaussianElimination (1) Υπολογισμός των P, L, U 2 3 n 3 + O ( n 2) flops / forward substitution / (2) w = Pb; w(1) = w(1) 2n flops L(1,1) (3) for i = 2 : 1 : n n 2 1 flops (3.1) J = [1 : i 1]; w(i) = w(i) L(i,J) w(j) ; L(i,i) / backward substitution / (4) x = w; x(n) = x(n) U(n,n) 1 flop (5) for i = n 1 : 1 : 1 n 2 1 flops (5.1) J = [i + 1 : n]; x(i) = x(i) U(i,J) x(j) ; U(i,i) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [19 / 23]
59 Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα Πράξεων Στοιχειωδών σε Μητρώα Στοιχειωδών Πράξεων Πινάκων Operation Input Output Method Complexity (#flops) Matrix Multiplication two nxn matrices one nxn matrix Schoolbook matrix multiplication O(n 3 ) Strassen algorithm O(n ) Coppersmith-Winograd algorithm O(n ) Williams algorithm O(n ) Matrix Inversion one nxn matrix one nxn matrix Gauss-Jordan Elimination / LU Decomposition O(n 3 ) Strassen algorithm O(n ) Coppersmith-Winograd algorithm O(n ) Determinant one nxn matrix one nxn matrix Laplace expansion O(n!) LU decomposition O(n 3 ) Bareiss algorithm O(n 3 ) Fast matrix multiplication O(n ) Back Substitution Low- Triangular Matrix n solutions Backwards substitution O(n 2 ) Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [20 / 23]
60 Σκελετός Ομιλίας 1 Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 2 Χαρακτηρισμός Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων με Pivots 3 Πολυπλοκότητα Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων Εξισώσεων 4 εύτερη Εργαστηριακή Άσκηση Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [21 / 23]
61 2η Εργαστηριακή Άσκηση Τρόπος Παράδοσης: Κώδικας (σε Matlab) / Παρουσίαση στο διδάσκοντα. Ημερομηνία Παράδοσης: ευτέρα, 12 εκεμβρίου Όροι ιεξαγωγής Άσκησης: Οι ασκήσεις είναι ατομικές και προαιρετικές, ενώ θα παρουσιαστούν από κάθε φοιτητή / φοιτήτρια στο διδάσκοντα. Εκφώνηση Άσκησης: 1 Γράψτε σε Matlab ρουτίνα που για είσοδο μητρώο A R n n, και θα υπολογίζει (ι) τον βαθμό του A, (ιι) τον αντίστροφό του (αν το A έχει πλήρη βαθμό), ή (ιιι) μια γραμμική εξάρτηση των γραμμών του A (που θα αποτελεί και αποδεικτικό μη αντιστρεψιμότητας του A). 2 Γράψτε σε Matlab μια ρουτίνα που θα δέχεται ως είσοδο ένα m n γραμμικό σύστημα εξισώσεων Ax = a (ΕΙΣΟ ΟΣ: A, a), και θα διαπιστώνει: (ι) είτε ότι είναι μη επιλύσιμο, ή (ιι) ότι είναι επιλύσιμο με μοναδική λύση, την οποία θα επιστρέφει, ή (ιιι) ότι έχει άπειρες λύσεις, τις οποίες θα περιγράφει με ένα υποσύστημα της μορφής x M = B K,N x N + d K ( ΕΞΟ ΟΣ: B K,N, d K ). Χρησιμοποιήστε ως βασικό εργαλείο τις ανταλλαγές Jordan (pivots).. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [22 / 23]
62 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Ερωτήσεις / Σχόλια ; Σ. Κοντογιάννης, Χ. Ζαρολιάγκης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 4η ενότητα [23 / 23]
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Σπύρος Κοντογιάννης kontog@cse.uoi.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Επίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cse.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Η εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.
Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων
τους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Αναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές
Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Σχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Εφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο
( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,
- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να
- 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Αναγνώριση Προτύπων 1
Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος
21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Ερμηνευτικό Λεξικό Λ-501
Ερμηνευτικό Λεξικό Α Αθροισμα γραμμής: [row sum] Το άθροισμα των στοιχείων μιας γραμμής μιας μήτρας. Αθροισμα στήλης [column sum]: Το άθροισμα των στοιχείων μιας στήλης μιας μήτρας. Ακραίο ή συνοριακό
ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης
Ring Routing and Wavelength Conversion Γιώργος Ζώης Ενότητες της παρουσίασης 1. Directed Ring Routing Wavelength Conversion σε WDM δίκτυα. 2. Wavelength Conversion σε shortest path δρομολογήσεις. 3. Επιπλέον
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο
Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος
Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ
Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Διανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Μαθηματικά Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η «μάχη» για καλούς αλγορίθμους έχει σε αδρές γραμμές 4 επίπεδα: Υπάρχει αλγόριθμος; Υπάρχει «δραστικός»
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Στατιστική επαγωγή στο απλό γραμμικό. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Στατιστική επαγωγή στο απλό γραμμικό υπόδειγμα Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/41
G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων
Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις
Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης
Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών
Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον