Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις
|
|
|
- Καλλίστρατος Πρωτονοτάριος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Ό ες οι υπο ο ίσιμες συναρτήσεις είναι μερικές αναδρομικές και ό ες οι αποκρίσιμες σχέσεις είναι αναδρομικές Υπενθύμιση: Μια σχέση R λέγεται αναδρομική όταν η χαρακτηριστική της συνάρτησης χ R είναι αναδρομική, όπου: 1 αν R(x, y) χ R(x, y) = 0 αλλιώς Συνέπεια της θέσης του Church: Για να δείξουμε οτι μια συνάρτηση ή σχέση είναι (μερική) αναδρομική, αντί μιας ακολουθίας τυπικών συνεπαγωγών (με πρωταρχικές συναρτήσεις και σχήματα) ή αντί ενός πλήρους προγράμματος ή TM, αρκεί να δίνουμε ενορατικά (αλλά ορθά) επιχειρήματα για τον τρόπο υπολογισμού τους Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
2 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θέση Church-Turing II Έτσι φαίνεται τελικά οτι καταλήξαμε στον τυπικό πια ορισμό της εννοιας υπολογίσιμος Φυσικά υπάρχουν πολλλές συναρτήσεις που δεν είναι υπολογίσιμες Θεώρημα Υπάρχουν μη υπο ο ίσιμες συναρτήσεις Απόδειξη Απαριθμούμε όλες τις μερικές αναδρομικές συναρτήσεις φ 0, φ 1, φ 2, Άσκηση: Χρησιμοποιώντας κωδικοποίηση, απαρίθμησε μηχανιστικά την κλάση PR ή όλα τα προγράμματα while Άρα υπάρχουν άπειρες μεν, αλλά μόνο αριθμήσιμες το πλήθος μερικές αναδρομικές συναρτήσεις (ℵ 0 ) Από την άλλη μεριά όμως, υπάρχουν μη αριθμήσιμες το πλήθος συναρτήσεις γενικώς (2 ℵ 0 δείχνεται με διαγωνιοποίηση) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
3 Υπολογισιμότητα Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θέση Church-Turing III Παράδειγμα μιας μη υπολογίσιμης συνάρτησης: Το πρόβλημα τερματισμού (halting problem) g(x, y) = 1, αν φ x(y) Ó 0, α ιώς Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
4 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Universal Machine I Καθολικό Πρόγραμμα (universal program): ένα πρόγραμμα που παίρνει για είσοδο οποιοδήποτε πρόγραμμα με τα δεδομένα εισόδου του και προσομοιάζει την εκτέλεσή του Αυτή η έννοια είναι παρόμοια με τη λειτουργία ενός επόπτη (monitor), μεταφραστή (compiler) ή διερμηνέα (interpreter) σ ένα πραγματικό υπολογιστή Μιλήσαμε για την ισοδυναμία των μοντέλων, άρα μπορούμε να μιλάμε είτε για καθολικό While program, είτε για καθολικό Goto program, είτε για καθολική μηχανή Turing (ιστορικά έτσι πρωτοχρησιμοποιήθηκε η έννοια της καθολικότητας), είτε για καθολική μερική αναδρομική συνάρτηση Καθολικό While program ω n (x, y) με είσοδο x = κωδικός ενός Goto προγράμματος π με n μεταβλητές είσοδο y = κωδικός των n τιμών εισόδου [a 1, a 2,, a n ] για τις n μεταβλητές του π και έξοδο την ίδια με την έξοδο του π[a 1, a 2,, a n ] Καθολική αναδρομική συνάρτηση φ y φ e (x, y)» φ x (y) όπου το» σημαίνει: είτε είναι και οι δυο πλευρές ορισμένες και ίσες, είτε καμία πλευρά δεν είναι ορισμένη Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
5 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Universal Machine II πρώτος σκελετός για ω n (x, y): label := 0; while label ď maxlab do εκτέλεσε εντολή της label; βρές επόμενη label end Δεύτερη προσέγγιση για ω n (x, y): label := 0; maxlab := decodesearch(x); while label ď maxlab do instruction := decode(x at label); label := execnext(instruction,y); y:= execvalue(instruction,y) end Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
6 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Universal Machine III Εφαρμόζουμε την ακόλουθη κωδικοποίηση: Κωδικοποίηση για την είσοδο: xa 1, a 2,, a n y ÞÑ C f (a 1, a 2,, a n ) Για τις εντολές του GOTO προγράμματος: l i : assignment goto l j είναι: ÞÑ C f (0, i, C f (assignment), j) όπου η κωδικοποίηση για τις αναθέσεις, Αναθέσεις Κ δικοποίηση κενή εντολή C f (0, 0, 0) x i := 0 C f (1, i, 0) x i := x j C f (2, i, j) x i := x j + 1 x i := x j 1 C f (3, i, j) Cf (4, i, j) l i : if x m ăą 0 then goto l j else goto l k ÞÑ C f (1, i, m, j, k) Έτσι τα προγράμματα goto θα κωδικοποιούνται ως εξής: goto πρόγραμμα με m εντολές ÞÑ C f (C f (εντολή 0 ),, C f (εντολή m 1 )) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
7 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Universal Machine IV Τρίτη βελτίωση για ω n (x, y): label:=0; maxlab := decodesearch(x); while label<= maxlab do z := D f label (x); if D f 0 (z) = 0 then ass := D f 2 (z); label := D f 3 (z) end else m := D f 2 (z); if m <> 0 then label := D f 3 (z) else label := Df 4 (z) end y := execvalue(ass, y) end Η execvalue αποκωδικοποιεί την ass και ανάλογα μεταβάλλει τις τιμές των μεταβλητών του προγράμματος Τέταρτη βελτίωση για ω n (x, y): κοκ Ασκηση Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
8 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θεώρημα Κανονικής μορφής Kleene I Παρατήρηση Λόγω της μηχανιστικής ισοδυναμίας των προγραμμάτων while και goto, έπεται η εξής πρόταση: Υπάρχει ένα καθο ικό πρό ραμμα while ω n, που έχει μόνο ένα πρα ματικό while βρόχο και ίσ ς πο ούς for βρόχους (ή if εντο ές ), έτσι ώστε ια κάθε πρό ραμμα while π και ια κάθε είσοδο να ισχύει: ω n (κ δικός(π), είσοδος)» π(είσοδος) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
9 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θεώρημα Κανονικής μορφής Kleene II Αν μεταφράσουμε την προηγούμενη πρόταση σε ορολογία μερικών αναδρομικών συναρτήσεων, καταλήγουμε στο εξής: Θεώρημα κανονικής μορφής Kleene (Kleene normal form Dψ, T P P PR n (PR n μερικές αναδρομικές συναρτήσεις με n ορίσματα) D δείκτης y f( y)» ψ(µz[t(x, y, z) = 0], x, y) όπου: f: αντιστοιχεί στο πρόγραμμα π y: αντιστοιχεί στην είσοδο του π x: αντιστοιχεί στον κώδικο του π (δείκτης της f) z: αντιστοιχεί στον αριθμό επαναλήψεων του βρόχου while στο ω n T: πρωταρχική αναδρομική συνάρτηση που αντιστοιχεί στο σώμα του while στο ω n ψ: πρωταρχική αναδρομική συνάρτηση που αντιστοιχεί στο τμήμα του ω n έξω από τον βρόχο while Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
10 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θεώρημα Κανονικής μορφής Kleene III Παρατηρήσεις: 1 T λέγεται συνήθως κατη όρημα Κleene 2 Αρκεί μια μόνο εφαρμογή του τελεστή µ για να περιγραφεί οποιαδήποτε μερική αναδρομική συνάρτηση 3 Tο παραπάνω θεώρημα (ΚΝF) δίνει μια μηχανιστική απαρίθμηση tφ xu όλων των μερικών αναδρομικών συναρτήσεων Σαν εφαρμογή θα δείξουμε το εξής (περίφημο) απότελεσμα αποκρισιμότητας: Θεώρημα To HP (πρόβ ημα τερματισμού), είναι μη επι ύσιμο, δη αδή η συνάρτηση g δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x (y) Ó g(x, y) = 0, α ιώς Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
11 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θεώρημα Κανονικής μορφής Kleene IV Απόδειξη (διαγωνιοποίηση και εις άτοπον απαγωγή) Ας υποθέσουμε ότι η g ήταν αναδρομική Ορίζουμε: φ x(x) + 1, αν g(x, x) = 1 φ x(x) + 1, αν φ x(x) Ó h(x) = = 0, αλλιώς 0, αλλιώς Η συνάρτηση h μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της υπολογίσιμης g Aρα, λόγω θέσης Church-Turing, η h είναι (ολική) αναδρομική Aρα, λόγω της κανονικής μορφής Kleene, έχει κάποιο δείκτη (έστω) y, δηλαδή φ y = h (ολική συνάρτηση) Τότε όμως: φ y (y) + 1, αν φ y (y) Ó φ y (y) = h(y) = = φ y (y) + 1, : φ y (y) Ó 0, αλλιώς Άτοπο Συνεπώς η g δεν είναι αναδρομική Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
12 Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θεώρημα Κανονικής μορφής Kleene V Εναλλακτική απόδειξη του ίδιου με προγράμματα: Έστω μηχανιστική απαρίθμηση προγραμμάτων: π 0, π 1, π 2, Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει πρόγραμμα halt(x, y) που αποκρίνεται αν το x-οστό πρόγραμμα με είσοδο y σταματάει Το εξής πρόγραμμα (με είσοδο x): l 0: if halt(x, x) then goto l 0 (* loop forever *) else goto l 1 (* stop *) θα εμφανίζεται κάπου στην απαρίθμηση (έστω) με δείκτη i Τότε όμως: π i (i) σταματάει ανν not halt(i, i) ανν π i (i) δεν σταματάει Ατοπο Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
13 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβ ημα ο ικής συνάρτησης) είναι μη επι ύσιμο, δη αδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν f(x) = 1 φ x (x) + 1, αν φ x ολική = 0, αλλιώς 0, αλλιώς Όπως στο προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση h θα ήταν υπολογίσιμη αν υποθέταμε ότι η f ήταν αναδρομική, άρα η h θα ήταν (ολική) αναδρομική, άρα θα είχε κάποιο δείκτη y Tότε: φ y (y) + 1, αν φ y ολική φ y (y) = h(y) = = φ y (y) + 1, αφού φ y ολική 0, αλλιώς Άτοπο Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
14 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Αναγωγές Δηλαδή: δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μπορεί να αποφασίζει αν ένα δεδομένο πρόγραμμα σταματά για όλες τις δυνατές εισόδους Παρόμοια αποδεικνύεται ότι: δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μπορεί να αποφασίσει αν δυο δεδομένα προγράμματα είναι ισοδύναμα (δηλαδή έχουν την ίδια συμπεριφορά εισόδου - εξόδου) Αντί να δείχνουμε κατευθείαν (δηλαδή με διαγωνιοποίηση) ότι ένα τέτοιο πρόβλημα είναι μη επιλύσιμο, μπορούμε να χρησιμοποιούμε την ακόλουθη μέθοδο αναγωγής (reduction): Για να δείξουμε ότι η f δεν είναι υπο ο ίσιμη, ανά ουμε το HP στην f, δη αδή, δείχνουμε ότι αν ήταν υπο ο ίσιμη η f τότε θα ήταν επι ύσιμο το HP (πρά μα που δεν α ηθεύει!) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
15 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Θεώρημα S-m-n I Θεώρησε ένα πρόγραμμα π με δυο εισόδους a, b για τις μεταβλητές y και z Τώρα (κρατήστε το y σαν παράμετρο) φτιάξε ένα νέο πρόγραμμα π 1 : y := a; π με μόνο μια είσοδο b για την μεταβλητή z H έξοδος είναι η ίδια Έτσι αν ο κωδικός του π είναι x και ο κωδικός του π 1 είναι s ισχύει: φ x (a, z)» φ s (z) Παρατηρούμε ότι ο κωδικός του π 1 μπορεί να υπολογιστεί βάσει του κωδικού του y := a και του κωδικού του π, με απλό τρόπο Άρα η s είναι (LOOP-)υπολογίσιμη συνάρτηση του x και του y, δηλαδή s(x, y) και συνεπώς: Θεώρημα παραμέτρων Ds P y, z φ x (y, z)» φ s(x,y) (z) Και γενικά (για πολλές μεταβλητές και πολλές παραμέτρους): Θεώρημα S-m-n DS n m P y, z φ x(y 1,, y m, z 1,, z n)» φ S n m (x,y 1,,y m )(z 1,, z n) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
16 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Θεώρημα S-m-n II Θεώρημα Υπάρχει g P P ώστε φ x (φ y (z))» φ g(x,y) (z) (Δη αδή ο κ δικός της παράθεσης δυο προ ραμμάτ ν, π 1 ; π 2, είναι υπο ο ίσιμος βάσει τ ν κ δικών τ ν π 1 και π 2 ) Απόδειξη Θεώρησε ένα καθολικό πρόγραμμα: ω 1 (x, y, z)» (π 1 ; π 2 )(z), όπου: y = κωδικός(π 1 ), x = κωδικός(π 2 ) και z = είσοδος για π 1 Το ω 1 έχει (έστω) δείκτη u: φ u(x, y, z)» φ x(φ y(z)) Λόγω του S-m-n έχουμε: φ u (x, y, z)» φ S 2 1 (u,x,y)(z) Αρα: φ x (φ y (z))» φ S 2 1 (u,x,y)(z), οπότε θέτουμε: g(x, y) = S 2 1(u, x, y) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
17 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Παράδειγμα αναγωγής I Θεώρημα To CONST (πρόβ ημα σταθερής συνάρτησης) είναι μη επι ύσιμο, δη αδή η συνάρτηση f δεν είναι αναδρομική, όπου: 1, αν φ x σταθερή συνάρτηση f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη: Ορίζουμε: h(x, y)» 5, αν φ x(x) Ó Ò, αλλιώς Η h είναι υπολογίσιμη: βρες τo x-οστό πρόγραμμα, τρέξε το με είσοδο x, αν και όταν σταματήσει δώσε έξοδο 5 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
18 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Παράδειγμα αναγωγής II Λόγω της θέσης Church-Turing η h είναι μερική αναδρομική Λόγω της κανονικής μορφής Kleene η h έχει δείκτη (έστω) u: φ u (x, y)» h(x, y) Λόγω του S-m-n: φ S(u,x) (y)» h(x, y) Θέτουμε g(x) = S(u, x) Έτσι έχουμε φ g(x) (y)» h(x, y) και η g είναι υπολογίσιμη Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε την f: f(g(x)) = 1, αν φ g(x) σταθ συν 1, 1, φ x (x) Ó = = 0, αλλιώς 0, αλλιώς 0, αλλιώς = HP Αν η f ήταν υπολογίσιμη τότε και η σύνθεση f(g( )) θα ήταν υπολογίσιμη δηλαδή το HP θα ήταν επιλύσιμο Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
19 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Παράδειγμα αναγωγής III Άσκηση: Δείξτε με αναγωγή ότι τα εξής προβλήματα δεν είναι επιλύσιμα: 1 t(x, y) φ x = φ y u 2 t(x, y, z) φ x (y) = zu 3 tx το πεδίο της φ x είναι άπειροu Παρατήρηση Ας διαφοροποιήσουμε τώρα τις δυο εκδοχές του HP που έχουμε χρησιμοποιήσει για να είμαστε ακριβείς: K 0 = t(x, y) φ x (y) Óu K = tx φ x (x) Óu Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
20 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Θεώρημα Rice I Η παραπάνω τεχνική αναγωγής του HP μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ένα πολύ πιο γενικό αποτέλεσμα: Κάθε μη τετριμμένη ιδιότητα υπο ο ίσιμ ν συναρτήσε ν αντιπροσ πεύει ένα μη επι ύσιμο πρόβ ημα (Θεώρημα Rice) Πριν την ακριβή διατύπωση του θεωρήματος του Rice θα πρέπει να διευκρινίσουμε κάτι πολύ σημαντικό Οποιαδήποτε τεχνική απαρίθμησης κι αν εφαρμόσουμε για τις μερικές αναδρομικές συναρτήσεις (είτε μέσω προγραμμάτων while, είτε μέσω του μαθηματικά ορισμένου επαγωγικού πεδίου κτλ), δεν μπορούμε να πετύχουμε μονοσήμαντη κωδικοποίηση για μια συνάρτηση (αναφερόμαστε στην ουσία της συνάρτησης) Δηλαδή μια συνάρτηση, στις διάφορες ισοδύναμες μορφές της, θα αντιστοιχεί σε πολλούς δείκτες στην απαρίθμηση Έτσι το σύνολο C που αναφέρεται στο θεώρημα του Rice είναι σύνολο συναρτήσεων και όχι σύνολο δεικτών Ορισμός PR 1 : Η κλάση των μερικών αναδρομικών συναρτήσεων με ένα όρισμα Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
21 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Θεώρημα Rice II Θεώρημα (Rice) Έστ C Ĺ PR 1, C H Τότε το tx φ x P Cu είναι μη επι ύσιμο, δη αδή η συνάρτηση f δεν είναι αναδρομική, όπου: 1, φ x P C f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη: Έστω k μια συνάρτηση της κλάσης C Έστω Ω η πουθενά ορισμένη συνάρτηση, δηλαδή Ω(x) Περίπτ ση 1: Ω R C Ορίζουμε: h(x, y)» k(y), φ x (x) Ó Ò, αλλιώς Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
22 Μη επιλυσιμότητα Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Θεώρημα Rice III Όπως στο προηγούμενο θεώρημα έχουμε: φ g(x) (y)» h(x, y) και g είναι υπολογίσιμη Τότε, αφού Ω R C: 1, φ f(g(x)) = g(x) P C 1, φ = g(x)» k 1, φ x(x) Ó = 0, αλλιώς 0, αλλιώς 0, αλλιώς = HP Συνεπώς η f δεν είναι υπολογίσιμη Περίπτ ση 2: Ω P C Αλλά τότε το Ω δεν ανήκει στο C Δείχνουμε ομοίως ότι: tx φ x P Cu μη επιλύσιμο Αλλά τότε και το συμπλήρωμά του δεν είναι επιλύσιμο: tx φ x P Cu = tx φ x P Cu Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ & Πολυπλ Μάρτιος / 329
Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.
Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις
Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =
Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν
Θεώρημα Υπάρχουν υπολογίσιμες συναρτήσεις που δεν είναι πρωταρχικές αναδρομικές.
Υπολογισιμότητα Θεώρημα Υπάρχουν υπολογίσιμες συναρτήσεις που δεν είναι πρωταρχικές αναδρομικές. Απόδειξη: Διαγωνιοποίηση. Μηχανιστική απαρίθμηση πρωταρχικών αναδρομικών συναρτήσεων: φ 0, φ 1, φ 2, Ορίζουμε:
Recursive and Recursively Enumerable sets I
Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)
Μηχανές Turing (T.M) I
Μηχανές Turing (T.M) I Οι βασικές λειτουργίες μιας TM είναι: Διάβασε το περιεχόμενο του τρέχοντος κυττάρου Γράψε 1 ή 0 στο τρέχον κύτταρο Κάνε τρέχον το αμέσως αριστερότερο ή το αμέσως δεξιότερο κύτταρο
Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I
Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 1900 στο Παρίσι, ο David Hilbert έκανε μια ομιλία για τα 23 πιο σπουδαία μαθηματικά προβλήματα που κληρονομούσε ο 20ος αιώνας από τον 19ο. Το 10ο ήταν: Απόφανση περί επιλυσιμότητας
Απαρίθμηση ζευγών φυσικών αριθμών I. C(0, 0) = 0 C(2, 1) = 7 κωδικοποίηση κατά Cantor D 1 (7)=2, D 2 (7)=1 : αποκωδικοποίηση
Κωδικοποίηση Απαρίθμηση ζευγών φυσικών αριθμών I 0 0 1 2 3 4... 1 2 3 4...... C(0, 0) = 0 C(2, 1) = 7 κωδικοποίηση κατά Cantor D 1 (7)=2, D 2 (7)=1 : αποκωδικοποίηση C(m, n) = (n+m)(n+m+1) 2 + m, η C είναι
Σχήματα McCarthy I. Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα:
Σχήματα McCarthy I Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα: f(x, y) = if g(...) = 0 then h(...) else k(...) όπου g(...), h(...) και k(...) είναι όροι-συναρτήσεις που κατασκευάζονται
Αναδρομικές Συναρτήσεις και Σχέσεις I
Προγράμματα WHILE και μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Αναδρομικές Συναρτήσεις και Σχέσεις I Ορισμός Η ολική συνάρτηση h( x, y) είναι κανονική (regular): @ x Dy h( x, y) = 0 Παρατήρηση Η f( x) = µy[h( x,
f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα
Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ.
Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού
Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation
Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα
Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά
Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ.
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα
B = {x A : f(x) = 1}.
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 12. Θεωρία Υπολογισιμότητας 30Μαρτίου, 17 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Θέση Church-Turing Τι μπορεί να υπολογιστεί και τι δεν μπορεί να υπολογιστεί?
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Αλγόριθμοι για αυτόματα
Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Παραλλαγές και επεκτάσεις αυτομάτων I
Παραλλαγές, επεκτάσεις και εφαρμογές FA/REGEXP Παραλλαγές και επεκτάσεις αυτομάτων I Ορισμός Ένα two-way deterministic FA (2DFA) είναι μία πεντάδα M = (Q, Σ, δ, q 0, F), όπου τα Q, Σ, q 0 και F είναι όπως
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ.
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι
Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Υπολογίσιμες Συναρτήσεις
Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις
Blum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος
Blum Complexity Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ Παναγιώτης Γροντάς µπλ Δεκέμβριος 2011 Ιστορικά Στοιχεία Manuel Blum (1938, Caracas Venezuela) Turing Award (1995) Foundations Of Computational Complexity
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC i, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. Process P i :
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Περιεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.
Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:
1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5
Άσκηση 1 (α) {x = 12 y = 7} skip {y = 7} Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Η προδιαγραφή αυτή είναι ορθή τόσο με την έννοια της μερικής ορθότητας όσο και με την έννοια της ολικής ορθότητας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός
4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές
Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 2 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
244 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 8. ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η f είναι μία μερική συνάρτηση στο πεδίο X, αν και μόνο αν η συνάρτηση ορίζεται για μηδέν ή περισσότερα στοι
Κεφάλαιο 8 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σύνοψη Εχοντας αναπτύξει τη θεωρία γύρω από τις Μηχανές Turing (ΜΤ) δεν περιοριζόμαστε πλέον μόνο στην ανάλυση προβλημάτων απόφασης γλωσσών (βλ. Ενότητα 1.2.3). Οι ΜΤ
Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων
Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Τα προγράμματα μιας (κλασικής) γλώσσας προγραμματισμού
(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια:
Εργαστήριο 6: 6.1 Δομές Επανάληψης Βρόγχοι (Loops) Όταν θέλουμε να επαναληφθεί μια ομάδα εντολών τη βάζουμε μέσα σε ένα βρόχο επανάληψης. Το αν θα (ξανα)επαναληφθεί η εκτέλεση της ομάδας εντολών καθορίζεται
Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.
Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα
Τυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα
Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες
S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,
![S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,](/thumbs/73/69530046.jpg "S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,")
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών
j=1 x n (i) x s (i) < ε.
Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)
![ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)](/thumbs/80/82069494.jpg "ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)")
Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μέρος 5ο ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1 Η ΕΝΤΟΛΗ for Με την εντολή for δημιουργούμε βρόχους επανάληψης σε
Προγραμματισμός Ι (HY120)
Προγραμματισμός Ι (HY120) #6 εκτέλεση σε επανάληψη 1 Σπύρος Λάλης Εκτέλεση σε επανάληψη: while while () lexpr body true false Όσο η λογική συνθήκη επανάληψης lexpr αποτιμάται σε μια τιμή
B = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Φροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ](/thumbs/53/32687636.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική
2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
n = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
α) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
Φροντιστήριο 9 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία
Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α.
Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α. Δύο Π.Α. Μ 1 και Μ 2 είναι ισοδύναμα ανν L(M 1 ) = L(M 2 ). Έστω Μ = (Q, Σ, q 0, Δ, F) μη Αιτ. Π.Α. Για κάθε κατάσταση q Q, ορίζουμε ως Ε(q) Q το σύνολο των καταστάσεων
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (
. Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,
d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING
Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n
a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 11: Καθολική μηχανή Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Αποτελέσματα προόδου
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://courses.softlab.ntua.gr/progintro/ Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) Δημήτρης Φωτάκης (fotakis@cs.ntua.gr)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )
Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα
Ψευδοκώδικας. November 7, 2011
Ψευδοκώδικας November 7, 2011 Οι γλώσσες τύπου ψευδοκώδικα είναι ένας τρόπος περιγραφής αλγορίθμων. Δεν υπάρχει κανένας τυπικός ορισμός της έννοιας του ψευδοκώδικα όμως είναι κοινός τόπος ότι οποιαδήποτε
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια: