Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Transcript

1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για τον ορισμό της πράξης του πολλαπλασιασμού σ ένα αλγεβρικό σύστημα. Ο δεκαδικός πίνακας πολλαπλασιασμού, γνωστός και ως προπαίδεια, διδάσκεται στις πρώτες τάξεις του δημοτικού, αφού αποτελεί τη βάση για τη κατανόηση του πολλαπλασιασμού και την εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών με αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα. Η απομνημόνευση του πίνακα αυτού κρίνεται απαραίτητη από τους νεαρούς μαθητές. Οι πίνακες πολλαπλασιασμού μπορούν να παρουσιάζονται με διάφορους τρόπους Σχ. 1 Σχ. 2 Το σχ. 1 είναι ένας πίνακας διπλής εισόδου με τους αριθμούς από το 1 έως το 9, έτσι ώστε το γινόμενο δύο από αυτών, π.χ 5 και 8 να μπορεί να διαβαστεί, είτε στη θέση της τομής της 5ης σειράς και της 8ης στήλης είτε στη θέση της τομής της 8ης στήλης και της 5ης σειράς. Το σχ. 2 είναι γνωστό ως βεδικό τετράγωνο. Προέρχεται από το σχήμα 1 αν αντικαταστήσουμε τους αριθμούς που υπερβαίνουν το 9 με το άθροισμα των ψηφίων τους, έως ότου πάρουμε μονοψήφια αποτελέσματα. Για παράδειγμα, από την 8η γραμμή και την 7η στήλη στο σχ. 1 προκύπτει ότι 8 x 7 = 56, = 11 και αφού το 11 υπερβαίνει το 9, μια περαιτέρω αλλαγή δίνει = 2, το οποίο βρίσκουμε στην αντίστοιχη θέση στο σχ.2. Όπως στο βασικό 3 3 μαγικό τετράγωνο, στο 9 9 Λατινικό τετράγωνο και στο 9 9 Sudoku, όλες οι καταχωρήσεις στο βεδικό τετράγωνο είναι αριθμοί από το 1 μέχρι το 9. Το σχ.2 αναφέρεται ως βεδικό τετράγωνο, επειδή προέρχεται από τις Βέδες. Οι Βέδες είναι ένα σύνολο κειμένων που πραγματεύονται την έννοια και τη λειτουργία του Σύμπαντος και οι οποίες γράφτηκαν περίπου το π.χ στα Σανσκριτικά και θεωρούνται τα αρχαιότερα φιλοσοφικά-θρησκευτικά κείμενα. Η πολυθεϊστική φιλοσοφία των Βεδών μεταφερόταν αρχικά από στόμα σε στόμα αποκλειστικά από τους ιερείς μέχρι να καταγραφούν. Οι Βέδες είναι αρχαία ινδικά κείμενα γραμμένα έμμετρα που περιέχουν ένα αρχείο της ανθρώπινης εμπειρίας και γνώσης και για τους Ινδούς είναι ότι για εμάς η " Βίβλος". Βεδικά μαθηματικά είναι το όνομα που δίνεται στο αρχαίο σύστημα των ινδικών μαθηματικών που επανακαλύφθηκαν από τις Βέδες μεταξύ 1911 και 1918 από τον Μπαράτι Κρίσνα Τιρτατζί (Sri Bharati Krsna Tirthaji ) ο οποίος τα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

2 μελέτησε και τα δημοσίευσε το Σύμφωνα με την έρευνά του όλα τα μαθηματικά που περιέχουν οι Βέδες, είναι βασισμένα σε δέκα έξι κανόνες (Sutras, ή λέξεις-τύπους), οι οποίοι στα σανσκριτικά δημιουργούν και ομοιοκαταληξίες. Αυτοί οι κανόνες περιγράφουν απλούς τρόπους να εκτελούνται από μνήμης πολύπλοκοι υπολογισμοί. Είναι δηλαδή ένα σύστημα εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών το όποιο, όπως ισχυρίζονται όσοι το χρησιμοποιούν, είναι 10 με 15 φορές ταχύτερο από γνωστό μας σύστημα. Για παράδειγμα σύμφωνα με το sūtra: πολλαπλασιάστε «με ένα περισσότερο από το προηγούμενο» για να υπολογίσουμε το γινόμενο 32x38 βρίσκουμε τα πρώτα ψηφία του αριθμού πολλαπλασιάζοντας 3 x (3+1) = 12 ενώ τα δεύτερα ψηφία πολλαπλασιάζοντας 2 x 8 = 16. Αποτέλεσμα : Όμοια για το γινόμενο έχουμε (3 4) = 12, 7 3 =21, αποτέλεσμα : Ο κανόνας αυτός λειτουργεί με δύο διψήφιους αριθμούς, όταν αυτοί έχουν ίδια δεκάδα και το άθροισμα των μονάδων τους δίνει αποτέλεσμα 10. Και οι δύο προαναφερθέντες πίνακες πολλαπλασιασμού αποτελούν μια πλούσια πηγή ανακάλυψης αριθμητικών και γεωμετρικών σχέσεων. Είναι όμως ανέφικτο, να προβληθούν όλα τα «σχέδια» και οι σχέσεις που περιλαμβάνονται στα αριθμητικά δεδομένα των πινάκων πολλαπλασιασμού. Γι αυτό θα σταθούμε σε ορισμένα οπτικά πρότυπα και «σχήματα» που δημιουργούνται στο βεδικό τετράγωνο και θα τονίσουμε ορισμένες από τις μαθηματικές πτυχές τους. Αριθμητικές ιδιότητες των αριθμών του βεδικού τετραγώνου - Όπως προαναφέρθηκε στα αρχαία ινδικά μαθηματικά, ένα βεδικό τετράγωνο είναι μια παραλλαγή ενός τυπικού πίνακα πολλαπλασιασμού 9 9. Σε κάθε τετράγωνό του τοποθετούμε το μονοψήφιο άθροισμα του γινομένου της αντίστοιχης γραμμής και στήλης που δεν είναι άλλο από το υπόλοιπο της διαίρεσης του γινομένου των αριθμών της αντίστοιχης σειράς και στήλης με το 9 (modulo 9).Tο υπόλοιπο 0 στο βεδικό πίνακα αντιπροσωπεύεται από το 9. - Στο βεδικό τετράγωνο είναι εμφανής η συνεχής εμφάνιση του αριθμού 9 ο οποίος είναι κομβικός αριθμός γι αυτό. Επιπλέον αν σε οποιονδήποτε αριθμό του βεδικού τετραγώνου προσθέσουμε τον αριθμό 9, ο αριθμός παραμένει ο ίδιος, δεν αλλάζει. Π.χ. : =10, 1+ 0 = 1, όμοια =11, 1+ 1= 2, 9 + 3=12, = 3 κ.τ.λ. Οπτικά πρότυπα (Pattern) - Παρατηρούμε ότι σε κάθε γραμμή εμφανίζονται ορισμένα pattern - Πολλαπλασιασμός με Pattern 1 η σειρά η σειρά η σειρά η σειρά η σειρά η σειρά η σειρά η σειρά η σειρά Οι αριθμοί σε ένα βεδικό τετράγωνο είναι συμμετρικοί ως προς τη μια διαγώνιο του (από άνω αριστερά έως κάτω δεξιά). - Το άθροισμα των αντίστοιχων ψηφίων της 2ης και της 7ης γραμμής δίνουν τα αντίστοιχα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/2

3 ψηφία της 9ης γραμμής. Ενώ το άθροισμα των αντίστοιχων ψηφίων της 3ης και της 5ης γραμμής παράγουν τα αντίστοιχα ψηφία της 8ης γραμμής. - Όμοια, το άθροισμα των αντίστοιχων ψηφίων της 2ης και της 7ης στήλης, παράγουν τα αντίστοιχα ψηφία της 9ης στήλης, ενώ το άθροισμα των αντίστοιχων ψηφίων της 3ης και 5ης στήλης παράγουν τα αντίστοιχα ψηφία της 8ης στήλης του βεδικού πίνακα. - Για κάθε στήλη αριθμών στο βεδικό τετράγωνο, υπάρχει μια ίδια γραμμή αριθμών. Π.χ 2 η γραμμή και 2 η στήλη, κ.τ.λ. αφού όπως προαναφέρθηκε οι αριθμοί σε ένα βεδικό τετράγωνο είναι συμμετρικοί ως προς τη μια διαγώνιο του (από άνω αριστερά έως κάτω δεξιά). - Ένα μοτίβο βρίσκεται στη διαγώνιο του βεδικού πίνακα. Στο σχήμα 3 υπολογίζουμε τα γινόμενα 1x1, 2x2, 3x3, 20x20. Παρατηρούμε ότι αν προσθέσουμε τα ψηφία κάθε γινομένου μέχρι να καταλήξουμε σε μονοψήφιο αποτέλεσμα η ακολουθία των αριθμών που προκύπτει από τα εννιά πρώτα γινόμενα επαναλαμβάνεται διαρκώς δημιουργώντας ένα μοτίβο (σχ.3). Το μοτίβο είναι : 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, Σχ. 3 Σχ. 4 Η ακολουθία των ψηφίων της διαγωνίου από πάνω αριστερά έως κάτω δεξιά στο βεδικό τετράγωνο σημαίνει ότι για να είναι ένας θετικός αριθμός τέλειο τετράγωνο, πρέπει το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του να είναι είτε 1, 4, 7 ή 9 και το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να είναι 0, 1, 4, 9, 6 ή 5. Έτσι για παράδειγμα μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι ο αριθμός παρόλο που λήγει σε 0 δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού γιατί το άθροισμα των ψηφίων του είναι 3. Σχήματα αριθμών στο βεδικό τετράγωνο Οι αριθμοί στο βεδικό τετράγωνο έχουν «σχήματα». Για να βρούμε το «σχήμα» του αριθμού 1, τοποθετούμε διαφανές χαρτί και σημειώνουμε με μια τελεία το κέντρο κάθε μικρού τετραγώνου στο οποίο εμφανίζεται το 1. Οι κουκίδες μας δίνουν μια ιδέα για το ποιο θα είναι το «σχήμα» του αριθμό 6 στο βεδικό τετράγωνο (σχ. 5)το οποίο θα πάρουμε αν ενώσουμε τα έξι σημεία με ευθ. τμήματα. Με την ίδια διαδικασία βρίσκουμε τα «σχήματα» και των υπολοίπων αριθμών. Παρατηρούμε ότι ανά δύο τα σχήματα αυτά είναι συμμετρικά. Για παράδειγμα τα «σχήματα» των αριθμών 1 και 8, 2 και 7, 3 και 6, 4 και 5 είναι συμμετρικά. Το «σχήμα» του αριθμού 9 είναι μοναδικό και είναι ένα τετράγωνο. Στο σχ. 6 έχουμε ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/3

4 σχεδιάσει με διαφορετικό χρώμα όλα τα «σχήματα» των αριθμών σ ένα βεδικό τετράγωνο. Σχήμα 5 Σχήμα 6 Εάν αγνοήσουμε την τελευταία γραμμή και στήλη, ένα βεδικό τετράγωνο αποτελείται από τέσσερα ομόκεντρα τετράγωνα (σχ.7). Στο εσωτερικό τετράγωνο τα τετραγωνάκια κάθε πλευράς του περιέχουν τα ψηφία 2 και 7 και το άθροισμά τους ισούται με 9. Τα «σχήματα» των αριθμών 2 και 7 είναι συμμετρικά το ένα του άλλου (σχ. 5 και 6). Στο επόμενο τετράγωνο τα τετραγωνάκια κάθε πλευράς του περιέχουν τα ψηφία 9, 6, και 3, και το μονοψήφιο άθροισμά τους είναι επίσης 9. Και τα «σχήματα» των συμπληρωμάτων του 9, που σ αυτήν την περίπτωση είναι το 3 και το 6, είναι επίσης ανακλάσεις το ένα του άλλου (σχ.5 και 6) Σχήμα 7 Στο επόμενο τετράγωνο τα τετραγωνάκια κάθε πλευράς του περιέχουν τα ψηφία 5, 3, 1, 8 6 και 4 και πάλι το μονοψήφιο άθροισμά τους είναι 9 ενώ συμμετρία υπάρχει μεταξύ των «μορφών» των 1 και 8, 3 και 6 και εκείνων των 4 και 5. Στο τελευταίο τετράγωνο τα τετραγωνάκια κάθε πλευράς του περιέχουν τους αριθμούς από 1 έως 8 που και πάλι το μονοψήφιο άθροισμά τους είναι 9 και φυσικά τα σχήματα των συμπληρωματικών του 9 αριθμών είναι συμμετρικά. Ορισμένα από τα γεωμετρικά σχήματα και τις συμμετρίες που μπορούν να παρατηρηθούν σ ένα βεδικό τετράγωνο τα βρίσκουμε συχνά στην παραδοσιακή ισλαμική τέχνη. Χαρακτηριστικά είναι τα παρακάτω σχέδια (σχ.7) που προέρχονται από το «σχήμα» του 8 και του 5 στο βεδικό τετράγωνο. Με τα σχέδια αυτά οι ισλαμιστές καλλιτέχνες κοσμούσαν αντικείμενα κεραμεικής, μεταλλοτεχνίας, χρυσοχοΐας, υφαντικής, ξυλογλυπτικής, υαλουργίας κ.ά. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/4

5 Σχήμα 7 Στο παρακάτω σχέδιο σ ένα βεδικό τετράγωνο χρωματίσαμε με το ίδιο χρώμα τα τετράγωνα με τους ίδιους αριθμούς. Αν επαναλάβουμε πολλές φορές το χρωματισμένο αρχικό τετράγωνο προκύπτει το δεύτερο σχέδιο (Σχ. 8). Σχήμα 8 Με το ίδιο τρόπο έχουν προκύψει από το βεδικό τετράγωνο και τα παρακάτω σχέδια. Βιβλιογραφία George Gheverghese Joseph (1993). Appendix: Multiplication tables can be fun, in David Nelson, George Gheverghese Joseph and Julian Williams, Multicultural Mathematics,Teaching Mathematics from a Global Perspective, Oxford University Press, p Pritchard, Chris (2003). The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching. Great Britain: Cambridge University Press. pp Ντάλα Γεωργία (2006). Τα αρχαία ινδικά Mαθηματικά μέχρι τον 7ο μ.x. αιώνα, διπλωματική εργασία για το μεταπτυχιακό δίπλωμα ειδίκευσης, από το ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/5