Κυκλώματα Συνεχούς Σταθερής Τάσης / Έντασης Μόνιμης Κατάστασης

Transcript

1 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Κυκλώματα Συνεχούς Σταθερής Τάσης Έντασης Μόνιμης Κατάστασης Θεωρητικές Ερωτήσεις ) Διατυπώστε το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα. Η βασική σχέση του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα είναι η ακόλουθη, όπου τα εισερχόμενα ρεύματα θεωρούνται θετικά και τα εξερχόμενα αρνητικά: Θα μπορούσε να θεωρηθεί και η αντίστροφη θεώρηση (θετικά τα εξερχόμενα και αρνητικά τα εισερχόμενα), αλλά θα πρέπει να διατηρηθεί σταθερή η σύμβαση προς αποφυγή λαθών. Οπότε στον διπλανό κόμβο Α ισχύει ότι: 5 0 Αποτελεί ουσιαστικά εφαρμογή της αρχής διατήρησης του φορτίου. n i 0 (.) i Σχήμα.: Παράδειγμα του νόμου των ρευμάτων στο συνεχές ρεύμα ) Διατυπώστε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα. Η βασική σχέση του νόμου των τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα σε ένα κλειστό βρόγχο είναι η ακόλουθη, όπου οι τάσεις των στοιχείων των οποίων συναντιέται πρώτα ο θετικός πόλος κατά τη φορά διαγραφής του βρόγχου θεωρούνται θετικές, διαφορετικά είναι αρνητικές: Θα μπορούσε να θεωρηθεί και η αντίστροφη σύμβαση. Οπότε στο διπλανό βρόγχο ισχύει ότι: E E 0 Αποτελεί ουσιαστικά εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας. n i 0 (.) i Ι 5 Ι Α Ι Ι Ι Ε Σχήμα.: Παράδειγμα του νόμου των τάσεων στο συνεχές ρεύμα ) Δώστε τον ορισμό της ισχύος σε μία αντίσταση. Η ισχύς που καταναλώνεται πάνω σε μία ωμική αντίσταση σε ένα κύκλωμα συνεχούς ρεύματος δίνεται από τη σχέση: P (.) Όπου είναι η τάση στα άκρα της αντίστασης και Ι η ένταση του ρεύματος που τη διαρρέει με συνδεδεμένη φορά. Η ισχύς είναι ουσιαστικά το καταναλισκόμενο έργο πάνω στην ωμική αντίσταση ή εναλλακτικά ο ρυθμός μεταβολής της καταναλισκόμενης ενέργειας πάνω στην ωμική αντίσταση. Η σχέση (.) αποδείχτηκε αρχικά πειραματικά μέσω του νόμου του Joule, όπου η καταναλισκόμενη ενέργεια πάνω σε μία ωμική αντίσταση που διαρρέεται από συνεχές ρεύμα δίνεται από τη σχέση: E t (.) Εναλλακτικά μπορεί να αποδειχθεί μέσω της πεδιακής θεωρίας (βλ. Ι..Κ. Χατζηλάου: «Μέθοδοι επίλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων», σελ. 7-8). Η μονάδα ισχύος είναι το Watt που ισούται με το γινόμενο olt A. ) Καθορίστε τη μονάδα του έργου στο S.. και δώστε και άλλες μονάδες ισχύος που τυχόν γνωρίζετε. Η μονάδα ισχύος στο Διεθνές Σύστημα (S..) είναι το Watt, το οποίο είναι το έργο που χρησιμοποιείται, όταν διαφορά δυναμικού olt κινεί φορτίο Coulomb ανά δευτερόλεπτο μέσω ενός αγωγού, δηλαδή olt επί A ισούται Watt ισχύος. Άλλες χρήσιμες σχέσεις μονάδων ισχύος είναι: ergsec(cgs) = 0-7 Watt, kpmsec (MKS Τεχνικό σύστημα) =9.8 Watt, HP (horsepower) = 76 Watt = 76 kpmsec, C (γαλλικός ίππος) = PS = 76 Watt = 75 kpmsec, Btuhr (μονάδα ισχύος σε κλιματισμό) = (,) Watt= 0,99Watt 5) Ποια είναι η μονάδα ενέργειας στο S.. και δώστε και άλλες μονάδες ενέργειας που τυχόν γνωρίζετε. Η μονάδα ενέργειας στο Διεθνές Σύστημα είναι το Joule (=Watt sec). Άλλες χρήσιμες σχέσεις μονάδων ισχύος είναι: cal (θερμίδα) =,86 Joule, Btu = 055Joule, erg (CGS)= 0-7 Joule, kpm (MKS Τεχνικό σύστημα)=9.8 Joule, kwh (μονάδα μέτρησης ηλεκτρικής ενέργειας από ηλεκτρικές εταιρείες) = 600kJoule = 860 kcal Συνεχή κυκλώματα - Ε

2 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας 6) Δώστε εναλλακτικές σχέσεις της καταναλισκόμενης ηλεκτρικής ισχύος πάνω σε μία αντίσταση. Η ισχύς που καταναλώνεται πάνω σε μία ωμική αντίσταση σε ένα κύκλωμα συνεχούς ρεύματος προσδιορίζεται από την επόμενη σχέση, αν είναι γνωστά η ένταση του ρεύματος Ι που τη διαρρέει και η τιμή της ωμικής αντίστασης : P (.5) Η ισχύς που καταναλίσκεται πάνω σε μία ωμική αντίσταση σε ένα κύκλωμα συνεχούς ρεύματος προσδιορίζεται από την επόμενη σχέση, αν είναι γνωστά η εφαρμοζόμενη τάση πάνω στα άκρα της αντίστασης και η τιμή της ωμικής αντίστασης : P (.6) 7) Δώστε τον ορισμό της απόδοσης μίας συσκευής ενός συστήματος. Η απόδοση ενός συστήματος ή μίας συσκευής εκφράζει γενικά το μέρος της προσφερόμενης ενέργειας (ή ισχύος) που μετατρέπεται σε παραγώμενη εκμεταλλεύσιμη ενέργεια (ή ισχύς) στην έξοδο του συστήματος συσκευής. Γενικά ορίζεται συνήθως ως ποσοστό απόδοσης η: E ό P ό 00% 00% (.7) E ό P ό Όπου Ε εξόδου είναι η ενέργεια στην έξοδο του συστήματος, Ε εισόδου η ενέργεια στην είσοδο του συστήματος, Ρ εξόδου η ισχύς στην έξοδο του συστήματος, Ρ εισόδου η ισχύς στην είσοδο του συστήματος, 8) Ποιες αντιστάσεις λέμε ότι είναι συνδεδεμένες σε σειρά; Οι αντιστάσεις που διαρρέονται από κοινό ρεύμα λέμε ότι είναι συνδεδεμένες σε σειρά. Στο σχήμα. (α) οι αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες σε σειρά, ενώ στο σχήμα. (β) σχηματίζουν έναν αστέρα, όπου οι τρεις αντιστάσεις δεν έχουν ούτε κοινό ρεύμα, ούτε κοινό δυναμικό στα άκρα τους (εφόσον είναι συνδεδεμένα και τα τρία άκρα τους). (α) Συνδεσμολογία αντιστάσεων σε σειρά (β) σε αστέρα ΟΧΙ σε σειρά παρά κοινό κόμβο Σχήμα.: Συνδεσμολογία τριών αντιστάσεων (α) σε σειρά και (β) σε αστέρα 9) Προσδιορίστε τη σχέση υπολογισμού της συνολικής αντίστασης n αντιστάσεων σε σειρά. Έστω ότι υπάρχουν n αντιστάσεις που διαρρέονται από κοινό ρεύμα, δηλαδή είναι συνδεδεμένες σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Σχήμα.: Συνδεσμολογία n αντιστάσεων σε σειρά Εφαρμόζοντας τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα προκύπτει ότι:... n Από τους αντίστοιχους νόμους του Ohm ισχύουν ότι: tot series,,,..., n n Οπότε με εφαρμογή των σχέσεων του νόμου του Ohm σε νόμο τάσεων του Kirchhoff προκύπτει ότι: n tot series n totseries n Δηλαδή στο συνεχές ρεύμα η συνολική αντίσταση tot series n αντιστάσεων σε σειρά δίνεται από τη σχέση: tot series... n (.8) 0) Ποιες αντιστάσεις λέμε ότι είναι συνδεδεμένες παράλληλα; Οι αντιστάσεις των οποίων τα άκρα τους έχουν κοινή τάση λέμε ότι είναι συνδεδεμένες παράλληλα. Στο σχήμα.5 (α) οι αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα, ενώ στο σχήμα.5 (β) σχηματίζουν ένα τρίγωνο, όπου οι τρεις αντιστάσεις δεν έχουν ούτε κοινό ρεύμα, ούτε κοινή τάση διαφορά δυναμικού στα άκρα τους. n Συνεχή κυκλώματα -

3 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ι Ι Ι (α) Συνδεσμολογία αντιστάσεων παράλληλα (β) τρίγωνο ΟΧΙ σε σειρά ή παράλληλα Σχήμα.5: Συνδεσμολογία τριών αντιστάσεων (α) παράλληλα και (β) σε τρίγωνο ) Προσδιορίστε τη σχέση υπολογισμού της συνολικής αντίστασης n αντιστάσεων παράλληλα. Έστω ότι υπάρχουν n αντιστάσεις που εφαρμόζεται στα άκρα τους κοινή τάση, δηλαδή είναι συνδεδεμένες παράλληλα, όπως φαίνεται στο σχήμα.6. Ι Ι Ι n n Σχήμα.6: Συνδεσμολογία n αντιστάσεων παράλληλα Εφαρμόζοντας τον κανόνα των εντάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα προκύπτει ότι:... n Από τους αντίστοιχους νόμους του Ohm ισχύουν ότι: tot par,,,..., n n,, tot par Οπότε με εφαρμογή των σχέσεων του νόμου του Ohm στο νόμο εντάσεων του Kirchhoff προκύπτει ότι: totpar n totpar n Δηλαδή στο συνεχές ρεύμα η συνολική αντίσταση tot par n αντιστάσεων παράλληλα δίνεται από τη σχέση: tot par n,..., n... (.9) Εναλλακτικά η αντίστοιχη σχέση μπορεί να εκφραστεί μέσω των αγωγιμοτήτων Gtot par, G, G,, G n, δηλαδή ισχύει ότι: Gtot par G G... Gn (.0) ) Γράψτε τις δύο ισοδύναμες σχέσεις υπολογισμού της συνολικής αντίστασης αντιστάσεων παράλληλα. Από τη γενική σχέση (.9) προκύπτει ότι η συνολική αντίσταση των αντιστάσεων, συνδεδεμένων παράλληλα είναι ίση με: ή (.) ) Σε ένα παράλληλο κύκλωμα, από ποια αντίσταση η συνολική αντίσταση είναι μικρότερη; Η συνολική αντίσταση είναι μικρότερη από τη μικρότερη αντίσταση, καθώς, αν min min,,..., n max,,..., max min n Τότε ισχύει από τη σχέση (.) ότι:... tot par min tot par n max min n Συνεχή κυκλώματα -

4 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας ) Σε ένα κύκλωμα σειράς από ποια αντίσταση η συνολική αντίσταση είναι μεγαλύτερη; Η συνολική αντίσταση είναι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη αντίσταση, καθώς, αν max,,..., Τότε ισχύει από τη σχέση (.8) ότι: max... tot series n max 5) Ποιο είναι το κύκλωμα του διαιρέτη τάσης δύο αντιστάσεων; Προσδιορίστε την τάση εξόδου χωρίς φορτίο και με φορτίο. Έστω ότι έχουμε n αντιστάσεις σε σειρά, όπως στο σχήμα. ή στο σχήμα.7. Έστω επιθυμούμε να βρούμε την τάση στα άκρα της αντίστασης. Το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα είναι ίσο με: E E totseries... n Οπότε η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι ίση με: E E... n... n Αντίστοιχα αν εφαρμόσουμε την ίδια μεθοδολογία και στις υπόλοιπες αντιστάσεις, τότε για την i-ιοστή Ε αντίσταση i η αντίστοιχη τάση ίση με: E i i i i E... n... n i i E (.) n Σχήμα.7: Διαιρέτης τάσης n n n k Στην περίπτωση που το κύκλωμα αποτελείται μόνο από δύο αντιστάσεις (έστω και ) και ζητείται η αντίστοιχη τάση στα άκρα της μίας αντίστασης (έστω ): E (.) Επειδή η συνολική τάση Ε μοιράζεται διαιρείται σε επιμέρους τμήματα ανάλογα με το λόγο της αντίστασης πάνω στην οποία μετράμε την τάση και της συνολικής αντίστασης του κυκλώματος.7, όλη η διάταξη καλείται «διαιρέτης τάσης». Στην περίπτωση που τοποθετηθεί μία ωμική αντίσταση ως φορτίο στα άκρα της αντίστασης της οποίας προσδιορίζουμε την τάση, η τάση θα μεταβληθεί. Συγκεκριμένα στην περίπτωση του διαιρέτη τάσης δύο αντιστάσεων με σύνδεση μίας αντίστασης φορτίου L στα άκρα της (σχήμα.8α), η αντίστοιχη ισοδύναμη διάταξη θα είναι πάλι ένας διαιρέτης τάσης, όπου όμως στη θέση της είναι L (σχήμα.8β). k Ε Ε L L L= out L = out (α) Σχήμα.8: Διαιρέτης τάσης δύο αντιστάσεων με φορτίο (β) Συνεχή κυκλώματα -

5 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Οπότε η ισοδύναμη τάση εξόδου δίνεται από την επόμενη σχέση: L L L L L L out E E E E L L L L L L L L out L E (.) Στην περίπτωση ανοικτοκύκλωματος ( L= ) ισχύει ότι: out lim E lim E E L L 0 L Στην περίπτωση βραχυκυκλώματος ( L=0) ισχύει ότι: out lim E lim E 0 L0 0 L 6) Ποιο είναι το κύκλωμα του διαιρέτη έντασης n αντιστάσεων που τροφοδοτείται από μία ανεξάρτητη πηγή έντασης; Προσδιορίστε την ένταση στην εκάστοτε αντίσταση. Τι συμβαίνει στην περίπτωση των δύο αντιστάσεων; Έστω ότι έχουμε n αντιστάσεις συνδεδεμένες παράλληλα, όπως στο σχήμα.6 ή στο σχήμα.9. Έστω επιθυμούμε να βρούμε την ένταση που διαρρέει την αντίσταση. L Ι Ι Ι n n Σχήμα.9: Διαιρέτης έντασης n αντιστάσεων Η συνολική τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του κυκλώματος δίνεται από τη σχέση: tot par n G G Gn G Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση είναι ίση με: G G Gtotpar Gtotpar tot par Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την i-ιοστή αντίσταση i είναι ίση με: Gi Gi i i Gi Gi n n i Gtot par Gtot par G G k k k k tot par (.5) Στην περίπτωση που το κύκλωμα αποτελείται μόνο από δύο αντιστάσεις (έστω και ) και ζητείται η αντίστοιχη ένταση που διαρρέει την αντίσταση (έστω ), τότε: G (.6) G G Επειδή η συνολική ένταση Ι μοιράζεται διαιρείται σε επιμέρους τμήματα ανάλογα με τον λόγο της αγωγιμότητας την οποία διαρρέει το ρεύμα που μετράμε προς τη συνολική αγωγιμότητα του κυκλώματος.9, όλη η διάταξη καλείται «διαιρέτης έντασης». Συνεχή κυκλώματα - 5

6 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας Στην περίπτωση που τοποθετηθεί μία ωμική αντίσταση ως φορτίο παράλληλα με μία συγκεκριμένη αντίσταση, η ένταση της υπό μελέτη αντίστασης θα μεταβληθεί (αλλά και των υπολοίπων). Συγκεκριμένα στην περίπτωση του διαιρέτη έντασης δύο αντιστάσεων με σύνδεση μίας αντίστασης φορτίου L στα άκρα της (σχήμα.0α), η αντίστοιχη ισοδύναμη διάταξη θα είναι πάλι ένας διαιρέτης έντασης, όπου όμως στη θέση της είναι L (σχήμα.0β). Οπότε: out L L Ι Ι Ι Ι L L Ι Ι L Σχήμα.0: Διαιρέτης έντασης δύο αντιστάσεων με φορτίο Η ένταση του ρεύματος στο συνολικό φορτίο L είναι ίση με: L L L L (.7) Στην περίπτωση ανοικτοκύκλωματος ( L= ) ισχύει ότι: lim lim L L 0 L Στην περίπτωση βραχυκυκλώματος ( L=0) ισχύει ότι: lim lim, L 0 out 0 0 L 0 L 7) Ποια είναι η διάταξη της γέφυρας Wheatstone και ποια η χρησιμότητά της; Στο σχήμα.α είναι σχεδιασμένο το κύκλωμα της γέφυρας Wheatstone στη συνηθισμένη του μορφή (μορφή ρόμβου). Αποτελείται από τέσσερις αντιστάσεις, μία ανεξάρτητη πηγή τάσης στις δύο απέναντι κορυφές του ρόμβου Α και Γ και ένα ζεύγος ακροδεκτών εξόδου στις δύο άλλες απέναντι κορυφές του ρόμβου Β και Δ. Όμοια διάταξη είναι και του σχήματος.β. Ε Β Α Ε out Δ out Γ (α) Σχήμα.: Γέφυρα Wheatstone (α) διάταξη μορφής ρόμβου, (β) διάταξη μορφής διαιρέτη τάσης Η γέφυρα Wheatstone χρησιμοποιείται για την ακριβή μέτρηση αντιστάσεων, με αισθητήρες προς μέτρηση φυσικών ποσοτήτων, όπως θερμοκρασίας, επιμήκυνσης, πίεσης κτλ. (μέσω μετρήσεων ακριβείας μικρών μεταβολών αντίστασης του αισθητήρα), και προς προσδιορισμό θέσης βλάβης σε υπόγειους αγωγούς. Συνεχή κυκλώματα - 6 (β)

7 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ 8) Πότε η γέφυρα Wheatstone είναι σε ισορροπία και ποια είναι η αντίστοιχη σχέση σύνδεσης των τεσσάρων αντιστάσεών της; Η γέφυρα Wheatstone είναι σε συνθήκη ισορροπίας, όταν η τάση εξόδου, δηλαδή η τάση μεταξύ των ακροδεκτών εξόδου Β και Δ του σχήματος.α, είναι μηδέν. Δηλαδή όταν ισχύει ότι: out 0 (Συνθήκη ισορροπίας γέφυρας Wheatstone) (.8α) ή αλλιώς 0 0 (.8β) Σ αυτήν την περίπτωση ισχύουν ότι: λόγω 0 Δηλαδή ισχύει ότι: λόγω 0 (.9) Λόγω ανοικτοκυκλωμένων ακροδεκτών Β και Δ για τα ρεύματα ισχύουν ότι και. Οπότε με εφαρμογή του νόμου του Ohm στην τελευταία σχέση προκύπτει ότι: (.0) 9) Ποια είναι η γενική σχέση της τάσης της διάταξης της γέφυρας Wheatstone με ανοικτοκυκλωμένους τους ακροδέκτες εξόδου; Εφόσον οι ακροδέκτες εξόδου Β και Δ είναι ανοικτοκυκλωμένοι, ισχύει ότι και. Οπότε, αν εφαρμόσουμε το διαιρέτη τάσης στις αντιστάσεις και στα άκρα των οποίων εφαρμόζεται τάση Ε και διαρρέεται από κοινό ρεύμα έντασης, τότε ισχύει: E Αν εφαρμόσουμε το διαιρέτη τάσης στις αντιστάσεις και στα άκρα των οποίων εφαρμόζεται τάση Ε και διαρρέεται από κοινό ρεύμα έντασης, τότε ισχύει: E Σε αυτήν την περίπτωση η τάση στους ακροδέκτες εξόδου είναι ίση με: out E E 0) Με βάση τη γενική σχέση της τάσης της διάταξης της γέφυρας Wheatstone με ανοικτοκυκλωμένους τους ακροδέκτες εξόδου προσδιορίστε τη σχέση σύνδεσης των τεσσάρων αντιστάσεών της σε συνθήκη ισορροπίας. Με βάση τη συνθήκη ισορροπίας 0 και τη σχέση (.) προκύπτει ότι: out E E E E out 0 (χρήση ιδιότητας κλασμάτων a a ) ) Έστω ότι έχουμε μία γέφυρα Wheatstone όπου στη θέση της αντίστασης υπάρχει μία μεταβλητή αντίσταση μ, στη θέση της αντίστασης υπάρχει μία άγνωστη αντίσταση x. Οι άλλες δύο αντιστάσεις είναι σταθερές και γνωστές. Αν ρυθμίσουμε τη μεταβλητή αντίσταση έτσι, ώστε ένα γαλβανόμετρο (ευαίσθητο αμπερόμετρο) να δείχνει μηδενικό ρεύμα μεταξύ ακροδεκτών εξόδου, τότε υπολογίστε την άγνωστη αντίσταση x. Λόγω του μηδενικού ρεύματος που διαρρέει το γαλβανόμετρο (είναι πιο ευαίσθητο από ένα βολτόμετρο) ισχύει η συνθήκη ισορροπίας της γέφυρας Wheatstone, δηλαδή 0, οπότε προκύπτει ότι: out x x (.) (.) (.) (.) Συνεχή κυκλώματα - 7

8 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας ) Έστω ότι έχουμε μία γέφυρα Wheatstone προς προσδιορισμό θέσης σφάλματος καλωδίου ως προς γη. Δώστε την προτεινόμενη διάταξη (Διάταξη Murray) και τις αντίστοιχες σχέσεις προσδιορισμού της θέσης [7]. Προσδιορίστε τα αντίστοιχα στοιχεία που πρέπει να έχετε ως δεδομένα. Στην περίπτωση που έχουμε ένα μονοπολικό καλώδιο η αντίστοιχη διάταξη παρουσιάζεται στο σχήμα.. Θεωρούμε ότι σε άγνωστη απόσταση L X υπάρχει σφάλμα διαρροής ως προς γη. Προς επίλυση του προβλήματος πρέπει να είναι γνωστές οι μεταβλητές αντιστάσεις,, η αντίσταση ανά μονάδα μήκους r του μονοπολικού αγωγού που ζητείται η εύρεση της θέσης σφάλματος, το αντίστοιχο μήκος του αγωγού L, η αντίσταση ανά μονάδα μήκους του βοηθητικού αγωγού r, το αντίστοιχο μήκος του αγωγού L. Ε Σχήμα.: Γέφυρα Wheatstone προς προσδιορισμό θέσης σφάλματος μονοπολικού καλωδίου Αν παρατηρήσουμε τη σχηματιζόμενη γέφυρα Wheatstone, στη θέση της αντίστασης υπάρχει η ισοδύναμη αντίσταση του μονοπολικού αγωγού μήκους L X (σημείο προ του σφάλματος), ενώ στη θέση της υπάρχει η συνολική αντίσταση της ισοδύναμης αντίστασης του μονοπολικού αγωγού μήκους L - L X σε σειρά με την αντίσταση του βοηθητικού αγωγού μήκους L. Δηλαδή ισχύει ότι: r L r L L r L X X Όταν η διάταξη είναι σε θέση ισορροπίας (δηλαδή το γαλβανόμετρο δείχνει μηδέν), τότε ισχύει η σχέση (.0), οπότε προκύπτει ότι: r LX r LX r L LX r L r L L r L X Γ Bοηθητικός αγωγός μήκους L L X Μονοπολικός αγωγός μήκους L r L r L L r L r L r L r L r L X X X X r L r L r LX r LX r L r L LX r L - L X Σημείο σφάλματος δ Πειραματικό βραχυκύκλωμα σε σημείο γνωστής θέσης Στην περίπτωση που έχουμε ένα πολυπολικό καλώδιο (έστω ένα τριφασικό) και το σφάλμα διαρροής παρουσιάζεται μόνο σε έναν αγωγό, τότε μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε βοηθητικό αγωγό, αλλά κάποιον από τους υπόλοιπους υγιείς αγωγούς. Η αντίστοιχη διάταξη παρουσιάζεται στο σχήμα.. Προς επίλυση του προβλήματος πρέπει να είναι γνωστές οι μεταβλητές αντιστάσεις,, και το μήκος του καλωδίου L, (άλλωστε είναι ίδιο και για όλους τους αγωγούς που υπάρχουν εντός του καλωδίου). Η αντίσταση ανά μονάδα μήκους του κάθε αγωγού είναι r (κατά κανόνα οι αγωγοί εντός ενός καλωδίου είναι της ίδιας διατομής), αλλά, όπως θα δειχθεί δεν χρειάζεται να είναι γνωστό. (.5) Υγιής αγωγός L Γ Πειραματικό βραχυκύκλωμα σε σημείο γνωστής θέσης Ε L X L - L X Αγωγός μήκους L Σημείο σφάλματος δ Σχήμα.: Γέφυρα Wheatstone προς προσδιορισμό θέσης σφάλματος πολυπολικού καλωδίου με βεβλαμμένο έναν αγωγό και υγιή τουλάχιστον ένα Αν παρατηρήσουμε τη σχηματιζόμενη γέφυρα Wheatstone, στη θέση της αντίστασης υπάρχει η ισοδύναμη αντίσταση του αγωγού μήκους L X (σημείο προ του σφάλματος), ενώ στη θέση της υπάρχει η συνολική αντίσταση της ισοδύναμης αντίστασης του αγωγού μήκους L- L X σε σειρά με την αντίσταση του υγιούς αγωγού μήκους L. Δηλαδή ισχύει ότι: r L r L L r L X X Συνεχή κυκλώματα - 8

9 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Όταν η διάταξη είναι σε θέση ισορροπίας (δηλαδή το γαλβανόμετρο δείχνει μηδέν), τότε ισχύει η σχέση (.0) ή μετά από πράξεις η σχέση (.5) με r =r =r και L =L =L. Οπότε προκύπτει ότι: r L r L LX LX L (.6) r ) Πώς θα συνδέσετε ένα αμπερόμετρο, προκειμένου να μετρήσετε την ένταση του ρεύματος ενός κυκλώματος; Πόση πρέπει να είναι η αντίσταση του αμπερομέτρου, ώστε το αντίστοιχο σφάλμα να τείνει στο μηδέν; Το αμπερόμετρο μετρά την ένταση του ρεύματος σε μία συγκεκριμένη διατομή του κυκλώματος, οπότε πρέπει να συνδέεται σε σειρά στον κλάδο του οποίου την ένταση θα μετρήσουμε, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Προκειμένου να μην αλλοιωθεί η ένταση του κυκλώματος, πρέπει να έχει αντίσταση πολύ μικρότερη των υπόλοιπων στοιχείων που εμπλέκονται στον αντίστοιχο κλάδο (θεωρητικά μηδενική). Όπως φαίνεται στο σχήμα., χωρίς την ύπαρξη του αμπερομέτρου το ρεύμα Ι είναι ίσο με: E Αν υπάρχει αμπερόμετρο αντίστασης A, τότε το αντίστοιχο ρεύμα γίνεται Ι : E Οπότε το αντίστοιχο σχετικό σφάλμα ε είναι ίσο με: E E A A (.7) E A Οπότε, για να μηδενισθεί το σφάλμα ( 0 ) ή διαφορετικά η μέτρηση Ι να είναι κοντά στην πραγματική τιμή έντασης Ι του κυκλώματος ( ), πρέπει να ισχύει είτε A, είτε A 0. A Ε Ε Α Διάταξη προς μέτρηση ρεύματος Διάταξη με αμπερόμετρο σε σειρά Σχήμα.: Συνδεσμολογία αμπερομέτρου προς μέτρηση έντασης ρεύματος Ι ) Πώς θα συνδέσετε ένα βολτόμετρο, προκειμένου να μετρήσετε την τάση στα άκρα της αντίστασης ενός κυκλώματος; Πόση πρέπει να είναι η αντίσταση του βολτόμετρου, ώστε το αντίστοιχο σφάλμα να τείνει στο μηδέν; Το βολτόμετρο μετρά την τάση μεταξύ δύο συγκεκριμένων σημείων του κυκλώματος (έστω μεταξύ των άκρων μίας αντίστασης), οπότε πρέπει να συνδέεται παράλληλα στο στοιχείο (ή γενικότερα στον κλάδο) του οποίου την τάση θα μετρήσουμε, όπως φαίνεται στο σχήμα.5. Προκειμένου να μην αλλοιωθεί η τάση του κυκλώματος, το βολτόμετρο πρέπει να έχει αντίσταση πολύ μεγαλύτερη των υπόλοιπων στοιχείων που εμπλέκονται στον αντίστοιχο κλάδο (θεωρητικά άπειρη). Όπως φαίνεται στο σχήμα.5, χωρίς την ύπαρξη του βολτομέτρου η τάση είναι ίση με: E Αν υπάρχει βολτόμετρο αντίστασης, τότε η αντίστοιχη τάση γίνεται : E E E Οπότε το αντίστοιχο σχετικό σφάλμα ε είναι ίσο με: E E E Οπότε, για να μηδενισθεί το σφάλμα ( 0 ) ή διαφορετικά η μέτρηση πάνω στην αντίσταση του κυκλώματος (. Συνεχή κυκλώματα - 9 (.8) να είναι κοντά στην πραγματική τιμή τάσης ), πρέπει να ισχύει είτε &, είτε

10 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας Ε Ε Διάταξη προς μέτρηση τάσης σε Διάταξη με βολτόμετρο παράλληλα σε Σχήμα.5: Συνδεσμολογία βολτομέτρου προς μέτρηση τάσης 5) Με τι ισοδυναμεί ένα ιδανικό βολτόμετρο και με τι ένα ιδανικό αμπερόμετρο στην ανάλυση κυκλωμάτων; Το ιδανικό βολτόμετρο είναι ουσιαστικά ένα ανοικτοκύκλωμα, ενώ το αμπερόμετρο είναι ένα ιδανικό βραχυκύκλωμα. 6) Πως θα συνδέσετε ένα βολτόμετρο και ένα αμπερόμετρο στα άκρα της αντίστασης L του κυκλώματος του σχήματος.8α, προκειμένου να μετρήσουμε την καταναλισκόμενη ισχύ της; Ποιο άλλο μέγεθος μπορούμε να προσδιορίσουμε; Για να πραγματοποιήσουμε την αντίστοιχη μέτρηση, πρέπει να τοποθετήσουμε ένα βολτόμετρο παράλληλα προς την αντίσταση L και ένα αμπερόμετρο σε σειρά με τη L. Από τις αντίστοιχες ενδείξεις των οργάνων και του σχήματος.6 μπορούμε να υπολογίσουμε τόσο την ισχύ P, όσο και την αντίσταση L (αν θεωρήσουμε ιδανικά τα όργανα). Δηλαδή προκύπτει ότι: P και L Ε Ε A L L L A L L L (α) Διάταξη όπου το βολτόμετρο μετρά την τάση σε άκρα της αντίστασης L και του αμπερομέτρου Α (β) Διάταξη όπου το αμπερόμετρο μετρά την ένταση της αντίστασης L και του βολτομέτρου Σχήμα.6: Μέτρηση καταναλισκόμενης ισχύος της αντίστασης L, καθώς και της τιμής της L Στην πραγματικότητα υπεισέρχονται σφάλματα στους υπολογισμούς. Συγκεκριμένα στην περίπτωση της διάταξης του σχήματος.6α, όπου το βολτόμετρο μετρά την τάση στα άκρα της αντίστασης L και του αμπερομέτρου Α, η ισχύς που μετράται είναι το σύνολο της καταναλισκόμενης ισχύος σε αμπερόμετρο Ρ Α και της αντίστασης Ρ L, ενώ η ισοδύναμη αντίσταση περιλαμβάνει και τις δύο αντιστάσεις L και Α σε σειρά, δηλαδή ισχύει ότι: PA PL και A L Στην περίπτωση της διάταξης του σχήματος.6β, όπου το αμπερόμετρο μετρά την ένταση της αντίστασης L και του βολτομέτρου, η ισχύς που μετράται είναι το σύνολο της καταναλισκόμενης ισχύος σε βολτόμετρο Ρ και της αντίστασης Ρ L, ενώ η ισοδύναμη αντίσταση περιλαμβάνει και τις δύο αντιστάσεις L και εν παραλλήλω, δηλαδή ισχύει ότι: P PL και L Συνεχή κυκλώματα - 0

11 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ 7) Έστω μία πραγματική πηγή τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε και εσωτερικής αντίστασης r εν σειρά. Μπορεί να αναπαρασταθεί ως ισοδύναμη πηγή έντασης Ι P και εσωτερικής αντίστασης r εν παραλλήλω; Έστω το κύκλωμα του σχήματος.7α, που αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε και εσωτερικής αντίστασης r εν σειρά, η οποία τροφοδοτεί μία μεταβλητή αντίσταση φορτίου L. Οπότε η ένταση του ρεύματος Ι που διαρρέει την αντίσταση φορτίου, καθώς και η αντίστοιχη τάση στα άκρα της δίνονται από: E r και L L E L L r Ουσιαστικά πρόκειται για ένα διαιρέτη τάσης δύο αντιστάσεων. Αντίστοιχα στο κύκλωμα του σχήματος.7β διαμορφώνεται μία πηγή έντασης Ι p και εσωτερικής αντίστασης r εν παραλλήλω, η οποία τροφοδοτεί μία μεταβλητή αντίσταση φορτίου L. Οπότε η ένταση του ρεύματος Ι που διαρρέει την αντίσταση φορτίου, καθώς και η αντίστοιχη τάση στα άκρα της δίνονται από: r r L P και P r L P r L r L Ουσιαστικά πρόκειται για ένα διαιρέτη έντασης δύο αντιστάσεων. Ε r L Ι P r L (α) πηγή τάσης Σχήμα.7: Εύρεση ισοδυναμίας πραγματικής πηγής έντασης και πηγής τάσης (β) πηγή έντασης Από την εξίσωση των αντίστοιχων σχέσεων προκύπτει ουσιαστικά ότι: r E P για κάθε L (.9) r L r L Στην περίπτωση βραχυκύκλωσης (δηλαδή για L =0), τότε προκύπτει ότι: r E E P P r r r (.0) Οπότε, αν είναι επιθυμητό να ισχύει η σχέση (.9) για κάθε L, τότε: r P r r r P r r r L r r r r r L r r (.) r L r L r L r L Δηλαδή η εσωτερική αντίσταση της πηγής έντασης r είναι ίδια με την εσωτερική αντίσταση της πηγής τάσης r, ενώ η ισοδύναμη πηγή ρεύματος Ι P είναι ίση με Εr. Επίσης η διαδικασία ισχύει και κατά την αντίστροφη πορεία, δηλαδή, αν είναι δεδομένη η πηγή έντασης μπορεί να προσδιορισθεί η αντίστοιχη πηγή τάσης, όπου η εσωτερική αντίσταση της πηγής τάσης r είναι ίδια με την εσωτερική αντίσταση της πηγής έντασης r, ενώ η ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε είναι ίση με Ι P r. Δηλαδή: P E P r (.) g r g r (.) Όπου g είναι η αντίστοιχη αγωγιμότητα της εσωτερικής αντίστασης r (καθώς συνηθίζεται να αναπαρίσταται με τη μορφή αγωγιμότητας). 8) Έστωσαν πραγματικές πηγές τάσης, όπου η καθεμία έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε i και εσωτερική αντίσταση r i εν σειρά. Προσδιορίστε την ισοδύναμη πηγή τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε tot και εσωτερικής αντίστασης r tot εν σειρά στην περίπτωση εν σειράς συνδεσμολογίας. Έστωσαν Ν πηγές τάσης σε σειρά συνδεδεμένες, όπως φαίνεται στο σχήμα.8. Οπότε άμεσα μπορούν να αθροιστούν αλγεβρικά (λαμβάνοντας υπόψη και την πολικότητα των πηγών τάσης) οι ηλεκτρεγερτικές δυνάμεις των πηγών, καθώς και οι αντίστοιχες αντιστάσεις σε σειρά προκύπτοντας ότι: Etot E E... E (.) r tot r r... r (.5) Συνεχή κυκλώματα -

12 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας r r r r tot r i i E E E Υπολογισμοί E tot Ei i Σχήμα.8: Εύρεση ισοδύναμης πηγής τάσης από τον εν σειρά συνδυασμό Ν πηγών τάσης 9) Έστωσαν πραγματικές πηγές τάσης, όπου η καθεμία έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε i και εσωτερική αντίσταση r i εν σειρά. Προσδιορίστε την ισοδύναμη πηγή τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε tot και εσωτερικής αντίστασης r tot εν σειρά στην περίπτωση παράλληλης συνδεσμολογίας. Έστωσαν Ν πηγές τάσης παράλληλα συνδεδεμένες, όπως φαίνεται στο σχήμα.9. Κάθε ανεξάρτητη πηγή τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε i και εσωτερικής αντίστασης r i εν σειρά μετατρέπεται μέσω των σχέσεων (.0) και (.) σε μία ισοδύναμη πηγή έντασης i Ei ri με παράλληλη αντίσταση ίση με r i. Ακολούθως συγκεντρώνουμε τις Ν ισοδύναμες πηγές έντασης και τις αντίστοιχες εν παραλλήλω αντιστάσεις τους και σχηματίζουμε μία ισοδύναμη πηγή έντασης με την αντίστοιχη εσωτερική αντίστασή της tot, η οποία είναι ουσιαστικά το άθροισμα των επιμέρους αγωγιμοτήτων. Έπειτα μετασχηματίζεται η πραγματική πηγή έντασης σε μία πηγή τάσης με μία εν σειρά αντίστασης σύμφωνα με τις σχέσεις (.) και (.). Δηλαδή το κύκλωμα αναπαριστάνεται με μία ισοδύναμη πηγή τάσης Ε tot με μία εσωτερική αντίσταση που δίνονται από τις σχέσεις: E Ei E E E... r r r r E g E g... E g... gg... g r r r r i i tot tot tot (.6) g tot... g g... g r r r r r (.7) tot i i Ουσιαστικά πρόκειται για την απόδειξη του θεωρήματος Millman σε κυκλώματα συνεχούς ρεύματος κατά το μετασχηματισμό πηγών τάσης εν σειρά συνδεσμολογίας. E E E E Ε tot r r r r r tot Μετατροπή κάθε πηγή τάσης σε πηγή έντασης Μετατροπή συνολικής πηγής έντασης σε ισοδύναμη πηγή τάσης E r G r E E r G r G r r Υπολογισμοί tot i i G tot Gi i Σχήμα.9: Εύρεση ισοδύναμης πηγής τάσης από τον παραλληλισμό Ν πηγών τάσης 0) Έστωσαν πραγματικές πηγές έντασης, όπου η καθεμία έχει πηγή σταθερής έντασης Ι i και εσωτερική αγωγιμότητας g i εν παραλλήλω. Προσδιορίστε την ισοδύναμη συνολική πηγή έντασης Ι tot και εσωτερικής αγωγιμότητας g tot εν σειρά στην περίπτωση που οι αντίστοιχες πηγές είναι παράλληλα συνδεδεμένες. Έστωσαν Ν πηγές έντασης παράλληλα συνδεδεμένες, όπως φαίνεται στο σχήμα.0. Οπότε άμεσα μπορούν να αθροιστούν αλγεβρικά (λαμβάνοντας υπόψη και την φορά των ρευμάτων των πηγών έντασης) τα ρεύματα των πηγών, καθώς και οι αντίστοιχες αγωγιμότητες σε παράλληλη συνδεσμολογία προκύπτοντας ότι: tot... (.8) g tot g g... g (.9) Συνεχή κυκλώματα -

13 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ g g g Υπολογισμοί tot i i g tot g i i Σχήμα.0: Εύρεση ισοδύναμης πηγής έντασης από τον παραλληλισμό Ν πηγών έντασης ) Έστωσαν πραγματικές πηγές έντασης, όπου η καθεμία έχει πηγή σταθερής έντασης Ι i και εσωτερική αγωγιμότητας g i εν παραλλήλω. Προσδιορίστε την ισοδύναμη συνολική πηγή έντασης Ι tot και εσωτερικής αγωγιμότητας g tot εν σειρά στην περίπτωση που οι αντίστοιχες πηγές είναι σε σειρά συνδεδεμένες. Έστωσαν Ν πηγές έντασης εν σειρά συνδεδεμένες, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Κάθε ανεξάρτητη πηγή έντασης Ι i και εσωτερική αγωγιμότητας g i εν παραλλήλω μετατρέπεται μέσω των σχέσεων (.) και (.) σε μία ισοδύναμη πηγή τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ei i gi και εσωτερικής αντίστασης r i=g i. Ακολούθως συγκεντρώνουμε τις Ν ισοδύναμες πηγές τάσης και τις αντίστοιχες σε σειρά αντιστάσεις τους και σχηματίζουμε μία ισοδύναμη πηγή τάσης με την αντίστοιχη εσωτερική αντίστασή της tot, η οποία είναι ουσιαστικά το άθροισμα των επιμέρους αντιστάσεων. Έπειτα μετασχηματίζεται η πραγματική πηγή τάσης σε μία πηγή έντασης με μία εν παραλλήλω αγωγιμότητα σύμφωνα με τις σχέσεις (.0) και (.). tot g g g g tot r g Μετατροπή κάθε πηγή έντασης σε πηγή τάσης r g r g Μετατροπή συνολικής πηγής τάσης σε ισοδύναμη πηγή έντασης rtot ri i E g E g Σχήμα.: Εύρεση ισοδύναμης πηγής τάσης από τον παραλληλισμό Ν πηγών τάσης E g Υπολογισμοί E tot Ei i Δηλαδή το κύκλωμα αναπαριστάνεται με μία ισοδύναμη πηγή έντασης Ι tot με μία εσωτερική αγωγιμότητα g tot που δίνονται από τις σχέσεις: i... i gi g g g r r... r tot (.0)... r r... r g g g g tot rtot r r r g g g g g (.) tot i i Ουσιαστικά πρόκειται για την απόδειξη του θεωρήματος Millman στα συνεχή ρεύματα κατά το μετασχηματισμό πηγών έντασης εν παραλλήλω συνδεσμολογίας. ) Εξηγείστε μέσω παραδειγμάτων πώς βρίσκουμε σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα με δύο τουλάχιστον ηλεκτρικές πηγές πότε μία ηλεκτρική πηγή (τάσης ρεύματος) «παράγει ισχύ» τροφοδοτώντας το υπόλοιπο κύκλωμα και πότε «καταναλώνει ισχύ» από το υπόλοιπο κύκλωμα. Έστωσαν το κύκλωμα του σχήματος. με δύο πηγές τάσεις με ηλεκτρεγερτικές δυνάμεις Ε και E που διασυνδέονται μέσω μίας ωμικής αντίστασης. Η ένταση του ρεύματος Ι που διαρρέει το κύκλωμα είναι ίση με: E E Ουσιαστικά με αυτήν τη φορά η πηγή τάσης Ε τροφοδοτεί το κύκλωμα, δηλαδή «παράγει ισχύ» εκφορτιζόμενη δίνοντας φορτία. Αντίθετα η πηγή τάσης Ε τροφοδοτείται από το κύκλωμα, δηλαδή «καταναλώνει ισχύ» φορτιζόμενη λαμβάνοντας Συνεχή κυκλώματα -

14 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας φορτία. Αν θεωρηθούν οι πηγές τάσεις με συνδεδεμένη φορά ρευμάτων τάσης, τότε παρατηρείται ότι για την πηγή τάσης Ε ισχύει ότι η αντίστοιχη ισχύς προκύπτει αρνητική (δηλαδή «παραγόμενη») όντας ίση με: P E E E 0 Για την πηγή τάσης Ε ισχύει ότι η αντίστοιχη ισχύς προκύπτει θετική (δηλαδή καταναλισκόμενη) όντας ίση με: P E E E 0 Γενικότερα παρατηρείται ότι, μία πηγή (είτε τάσης, είτε ρεύματος) παράγει ισχύ, όταν η υπολογιζόμενη ισχύς ως γινόμενο της τάσης και του ρεύματος που τη διαρρέει με συνδεδεμένη φορά των δύο μεγεθών είναι αρνητική. Διαφορετικά καταναλώνει ισχύ. E E Σχήμα.: Προσδιορισμός παραγωγής κατανάλωσης σε πηγές ) Εξηγείστε την έννοια του ισοζυγίου ισχύος σε ένα κύκλωμα συνεχούς ρεύματος. Κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα συνεχούς ρεύματος μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα κλειστό ενεργειακό σύστημα όπου η παρεχόμενη ισχύς είναι ίση με αυτήν που καταναλώνεται στο σύστημα. Δηλαδή σε ένα κλειστό κύκλωμα το άθροισμα των ισχύων που δίνονται από τις πηγές που «εκφορτίζονται» ισούται με το άθροισμα των ισχύων που καταναλώνονται στις αντιστάσεις και στις πηγές που «φορτίζονται». Ή διαφορετικά σε ένα κλειστό κύκλωμα το άθροισμα των ισχύων που δίνονται από τις πηγές που «εκφορτίζονται» μειωμένες από το άθροισμα των ισχύων των πηγών που «φορτίζονται» ισούται με το άθροισμα των ισχύων που καταναλώνονται στις αντιστάσεις. Δηλαδή: εκφορτιζόμενες πηγές φορτιζόμενες πηγές αντιστάσεις P P P (.) k m j k m j πηγές εκφορτιζόμενες πηγές φορτιζόμενες πηγές αντιστάσεις P P P P (.) i k m j i k m j Εναλλακτικά σε ένα κλειστό κύκλωμα το αλγεβρικό άθροισμα των ισχύων στα Ν ηλεκτρικά στοιχεία (όπου η ισχύς κάθε στοιχείου έχει προκύψει ως γινόμενο της τάσης και του ρεύματος που το διαρρέει με συνδεδεμένη φορά των δύο μεγεθών) ισούται με το μηδέν. Δηλαδή: P 0 (.5) i i i i i Οι σχέσεις (.) ως (.5) εκφράζουν ουσιαστικά το «ισοζύγιο ισχύος». ) Αναφέρατε τα πλεονεκτήματα μειονεκτήματα της εν σειράς συνδεσμολογίας ηλεκτρικών στοιχείων. Κατά την εν σειρά συνδεσμολογία ηλεκτρικών στοιχείων τα βασικά πλεονεκτήματα είναι: Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε όλο το κύκλωμα είναι ίδια και μικρή (έναντι της παράλληλης διασύνδεσης των στοιχείων). Οι αντίστοιχες απώλειες του κυκλώματος είναι περιορισμένες στα παθητικά στοιχεία. Η δομή του κυκλώματος είναι απλή. Αντίθετα τα βασικά μειονεκτήματα είναι: Αν ένα από τα εν σειρά στοιχεία τεθεί εκτός λειτουργίας (π.χ. ένα λαμπάκι σε μία χριστουγεννιάτικη γιρλάντα με φωτάκια), τότε τίθεται εκτός λειτουργίας όλο το κύκλωμα και πρέπει να ερευνηθούν όλα τα στοιχεία για την αποκατάσταση του κυκλώματος. Η ισοδύναμη αντίσταση των παθητικών στοιχείων του κυκλώματος ισούται με το άθροισμα των αντιστάσεων των καταλανωτών που είναι σε σειρά. Αυτό έχει ως συνέπεια η ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής πρέπει να είναι υψηλή (εσε σχέση με μία παράλληλη συνδεσμολογία) προκειμένου να ρεύσει το αναγκαίο ρεύμα στα παθητικά στοιχεία, το οποίο οδηγεί σε αύξηση του επιπέδου μόνωσης των αγωγών που συνδέουν τα παθητικά στοιχεία (και αντίστοιχει αύξηση του κόστους). 5) Αναφέρατε τα πλεονεκτήματα μειονεκτήματα της παράλληλης συνδεσμολογίας ηλεκτρικών στοιχείων. Κατά την παράλληλη συνδεσμολογία ηλεκτρικών στοιχείων τα βασικά πλεονεκτήματα είναι: Κάθε καταναλωτής λειτουργεί ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, που είναι αναγκαίο για το χρονικό διαχωρισμό λειτουργίας κάθε καταναλωτή. Αν ένας καταναλωτής ή μία πηγή καταστραφεί για οποιονδήποτε λόγο, οι υπόλοιπες εξακολουθούν να λειτουργούν. Συγχρόνως είναι εύκολος ο εντοπισμός της βλάβης. Όλοι οι καταναλωτές βρίσκονται κάτω από την ίδια τάση, οπότε είναι δυνατόν να τυποποιηθεί η κατασκευή καταναλωτών διευκολύνοντας τη χρήση τους. Αντίθετα τα βασικά μειονεκτήματα είναι: Συνεχή κυκλώματα -

15 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Η ένταση του ρεύματος στους κύριους αγωγούς τροφοδοσίας είναι μεγάλη, καθώς προκύπτει ως άθροισμα ρευμάτων των επιμέρους καταναλώσεων. Οι αντίστοιχες απώλειες είναι αυξημένες, εκτός και αν χρησιμοποιηθούν αγωγοί μεγαλύτερης διατομής (ανεβάζοντας όμως το βάρος υλικών και το κόστους κατασκευής). Η δομή του κυκλώματος είναι πιο περίπλοκη (περισσότερες καλωδιώσεις μεγαλύτερα μήκη). 6) Αναφέρατε τα αναγκαία βήματα για τη συστηματική επίλυση ενός ηλεκτρικού κυκλώματος με τη βοήθεια των νόμων του Kirchhoff. Για τη συστηματική επίλυση ενός ηλεκτρικού κυκλώματος με χρήση των νόμων των εντάσεων (κόμβων) και τάσεων (βρόχων) του Kirchhoff πραγματοποιούμε τα ακόλουθα βήματα: Α) Ορίζουμε γράμματα στα σημεία σύνδεσης των διαφόρων στοιχείων. Β) Προσδιορίζουμε τους πραγματικούς κόμβους του κυκλώματος πλήθους κ, ενώ οι υπόλοιποι αποτελούν τους ψευδοκόμβους. Γ) Θέτουμε ένα συγκεκριμένο σημείο του κυκλώματος ως σημείο αναφοράς μηδενικού δυναμικού, στο οποίο το αντίστοιχο δυναμικό θεωρείται ότι είναι 0 olt. Τα δυναμικά των υπόλοιπων κόμβων μετριούνται σε σχέση με το σημείο αναφοράς. Δ) Προσδιορίζουμε τους κλάδους του κυκλώματος πλήθους λ. Ε) Θέτουμε τις εντάσεις ρευμάτων σε κάθε κλάδο που διαρρέεται από διαφορετικό ρεύμα. Συνήθως τα ρεύματα ορίζονται με τέτοιο τρόπο, ώστε να εξέρχονται των αντίστοιχων ανεξάρτητων πηγών τάσης ή έντασης. Στην περίπτωση που υπάρχουν ανεξάρτητες πηγές ρευμάτων οι εντάσεις των αντίστοιχων κλάδων είναι πλήρως γνωστές, ενώ στην περίπτωση των εξαρτημένων πηγών ρεύματων υπάρχει συσχέτιση με άλλο μέγεθος που χρειάζεται να αξιοποιηθεί. ΣΤ) Προσδιορίζουμε με βάση τις υποτιθέμενες εντάσεις του προηγούμενου βήματος την πολικότητα της τάσης όλων των παθητικών στοιχείων (από εκεί που εισέρχεται το ρεύμα η τάση είναι θετική). Για τις πηγές τάσης ο θετικός πόλος είναι δεδομένος, καθώς επίσης και για τις πηγές έντασης λαμβάνεται συνήθως ως θετικός πόλος από εκεί που εξέρχεται το ρεύμα. Ζ) Εφαρμόζουμε το νόμο των εντάσεων του Kirchhoff σε (κ-) πραγματικούς κόμβους του κυκλώματος θεωρώντας τα εισερχόμενα ρεύματα σε κάθε κόμβο θετικά και τα εξερχόμενα αρνητικά. Η εξίσωση του τελευταίου κόμβου δεν χρειάζεται να γραφτεί, διότι λόγω της αρχής διατήρησης του φορτίου μπορεί να προκύψει από το άθροισμα των (κ-) προηγούμενων εξισώσεων εντάσεων ρευμάτων. Η) Προσδιορίζουμε τους βρόχους του κυκλώματος στους οποίους πρόκειται να εφαρμοστεί ο νόμος των τάσεων. Συνήθως λαμβάνονται οι οφθαλμοί θεμελιώδεις βρόχοι (ειδικά όταν υπάρχουν μόνο πηγές τάσεις και αντιστάσεις ως δεδομένα), το πλήθος των οποίων είναι ίσο με λ-κ. Το πλήθος αυτών των βρόχων προκύπτει μέσω της θεωρίας των γράφων. Ουσιαστικά είναι το πλήθος των εξισώσεων που χρειάζονται να γραφτούν αν από τα άγνωστα ρεύματα των κλάδων αφαιρεθούν οι ανεξάρτητες εξισώσεις των ρευμάτων του προηγούμενου βήματος. Θ) Εφαρμόζουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στους βρόχους του κυκλώματος. Προκειμένου να καταγράψουμε ορθά τις πολικότητες των τάσεων, θέτουμε την ίδια φορά διαγραφής των βρόχων (είτε ωρολογιακή, είτε ανθωρολογιακή φορά). Το πρόσημο που λαμβάνουμε είναι θετικό στην περίπτωση που συναντάμε πρώτα το θετικό πόλο του στοιχείου κατά τη διαγραφή του βρόχου, διαφορετικά αρνητικό. Το πλήθος των ανεξάρτητων εξισώσεων τάσεων είναι ίσο με λ-κ. Στην περίπτωση ύπαρξης πηγών ρευμάτων (των οποίων στα άκρα τους αναπτύσσεται άγνωστη τάση) αποφεύγουμε τη γραφή αντίστοιχων εξισώσεων τάσεων που θα συμπεριλαμβάνουν τους αντίστοιχους κλάδους. Δηλαδή η γραφή των εξισώσεων τάσεων στους οφθαλμούς δεν είναι μοναδικός τρόπος γραφής. Ι) Καταγράφουμε τις σχέσεις τάσεων ρευμάτων των ηλεκτρικών στοιχείων, όπως είναι του νόμου του Ohm για τις γραμμικές ωμικές αντιστάσεις, των μη γραμμικών σχέσεων σε μη γραμμικές αντιστάσεις, των σχέσεων αναλογίας στις εξαρτημένες πηγές κτλ. Το τελευταίο βήμα μπορεί να συμπεριληφθεί σε προηγούμενο βήμα στην περίπτωση των γραμμικών κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Από τα βήματα (Ζ) και (ΘΙ) έχουν προκύψει οι αναγκαίες εξισώσεις για την επίλυση του κυκλώματος. Μετά την επίλυση του μαθηματικού συστήματος εξισώσεων προσδιορίζονται τα οποιαδήποτε μεγέθη (τάσεις, ρεύματα, ισχύες κτλ.). 7) Αναφέρατε τα αναγκαία βήματα για τη συστηματική επίλυση ενός γραμμικού ηλεκτρικού κυκλώματος μικτής συνδεσμολογίας που τροδοτείται από μία πηγή. Για τη συστηματική επίλυση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου ηλεκτρικού κυκλώματος μικτής συνδεσμολογίας (δηλαδή που περιέχει παθητικά στοιχεία σε συνδεσμολογίες σειράς και παράλληλα) που περιέχει όμως μία μόνο πηγή δεν χρειάζεται να γίνει η αναλυτική καταγραφή των εξισώσεων τάσεων εντάσεων Kirchhoff, αλλά πραγματοποιούμε τα ακόλουθα βήματα: Α) Αντικαθιστούμε κάθε ομάδα παράλληλων αντιστάσεων με την ισοδύναμη αντίστασή τους και επανασχεδιάζουμε το κύκλωμα. Β) Αντικαθιστούμε κάθε ομάδα αντιστάσεων εν σειρά με την ισοδύναμη αντίστασή τους και επανασχεδιάζουμε το κύκλωμα. Γ) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία των βημάτων (α) και (β) μέχρι να καταλήξουμε σε μία και μόνη συνολική αντίσταση που βρίσκεται μεταξύ των πόλων της πηγής. Δ) Εφαρμόζεται ο νόμος του Ohm στο τελευταίο ισοδύναμο κύκλωμα και προσδιορίζουμε το αντίστοιχο ρεύμα, αν διατίθεται πηγή τάσης ή αντίστοιχη τάση, αν διατίθεται πηγή έντασης. Ε) Μεταβαίνουμε σταδιακά στα προηγούμενα κυκλώματα κατά την αντίστροφη πορεία προσδιορίζοντας τα αντίστοιχα ρεύματα τάσεις με διάφορους τρόπους, όπως στοιχειώδεις εφαρμογές του νόμου του Ohm, διαιρετών τάσης (συνήθως εξυπηρετεί σε στοιχεία συνδεσμολογίας σειράς), διαιρετών ρεύματων (συνήθως εξυπηρετεί σε στοιχεία παράλληλης συνδεσμολογίας). ΣΤ) Προσδιορίζουμε τα αντίστοιχα ζητούμενα μεγέθη (ισχύες κτλ.) Συνεχή κυκλώματα - 5

16 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας Ασκήσεις ) Σ ένα μη επανδρωμένο υποβρύχιο σκάφος κατά τη διάρκεια της ετήσιας επιθεώρησης παρατηρήθηκε ότι ο κύριος ζυγός φορτίων συνεχούς ρεύματος (η κύρια ηλεκτρική σύνδεση διανομής ισχύος συνεχούς ρεύματος) ήταν αντικατεστημένος από τον προηγούμενο ιδιοκτήτη του σκάφους. Ένας τρόπος να ελεχθεί η λειτουργική ικανότητα αυτού του ζυγού είναι να καθορίσει την πραγματική ικανότητα φόρτισής του και να τη συγκρίνει με το πραγματικό συνολικό φορτίο του σκάφους. Από τα κατασκευαστικά στοιχεία του ζυγού καθορίστηκε ότι η μέγιστη επιτρεπόμενη ένταση ρεύματος είναι 60Α. Ο ζυγός του φορτίου είναι μέσα στα επιτρεπτά όρια έντασης ρεύματος, αν τα αντίστοιχα κυκλώματα που είναι συνδεδεμένα πάνω στο ζυγό είναι του πίνακα.; Ο αντίστοιχος συντελεστής ταυτοχρονισμού είναι μονάδα, δηλαδή θεωρούμε ότι όλα τα φορτία μπορούν να ζητηθούν συγχρόνως. Πίνακας.: Κυκλώματα φόρτισης μικρού μη επανδρωμένου βαθυσκάφους Είδος Φορτίου σε συνεχές κύκλωμα 8 Ένταση ρεύματος (Α) Θέρμανση μεγάλων βαθών 0 (=Ι ) Σύστημα & φώτα ναυσιπλοΐας (=Ι ) Τηλεπικοινωνίες-αυτοματισμοί (=Ι ) Κινητήρας αντλίας έρματος (=Ι ) Κινητήρας πτερυγίων 8 (=Ι 5) Κύριος κινητήρας πρόωσης 6 (=Ι 6) Κινητήρες αντλιών λοιπών υδραυλικών συστημάτων 6 (=Ι 7) Λύση: Ουσιαστικά ζητείται η εφαρμογή του νόμου των εντάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα, δηλαδή της σχέσης (.), οπότε ισχύει ότι: tot load A A AA 8A6A 6A 59A Εφόσον το συνολικό φορτίο ισχύος του κύριου ζυγού είναι 59Α και μπορεί να φέρει με ασφάλεια ένταση ρεύματος ίση με 60Α, θεωρούμε ότι η διάταξη μπορεί να λειτουργήσει με ασφάλεια. ) Στο σκάφος της άσκησης πρόκειται να τοποθετηθεί μία γεννήτρια συνεχούς ρεύματος, η οποία πρέπει να τροφοδοτεί τόσο το κύριο ζυγό φορτίου συνεχούς ρεύματος, όσο και το συσσωρευτή μέγιστης ζήτησης ισχύος 0Α. Οι εγκεκριμένες γεννήτριες συνεχούς τάσης 8olt έχουν ονομαστικά ρεύματα 0 Α, 60 Α και 90 Α. Ποια θα επιλέξετε και γιατί; Λύση: Ουσιαστικά πάλι πρόκειται για εφαρμογή του νόμου των εντάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα, δηλαδή της σχέσης (.), οπότε ισχύει ότι: tot tot load bat 59A 0A 79A Εφόσον το συνολικό φορτίο ισχύος του κύριου ζυγού και του συσσωρευτή είναι 79Α, τότε αναγκαστικά πρέπει να τοποθετήσουμε τη γεννήτρια των 90 Α. Το ακριβές μέγεθός της καθορίζεται από τις εκάστοτε προδιαγραφές, οι οποίες καθορίζουν και τα όρια εφεδρείας ισχύος των γεννητριών ανάλογα με το είδος του σκάφους, το πλήθος των γεννητριών και τον τρόπο διασύνδεσής τους. ) Ποια αντίσταση θα έπρεπε να συνδεθεί στη σειρά με έναν λαμπτήρα σε ένα κύκλωμα 8, ώστε το ρεύμα λειτουργίας του λαμπτήρα να είναι 0,5 Α; Ποια είναι η ισοδύναμη αντίσταση λειτουργίας του λαμπτήρα; Λύση:Η ισοδύναμη διάταξη προς επίλυση είναι η ακόλουθη: Ε x Διάταξη Λαμπτήρας Σχήμα.: Κύκλωμα με άγνωστη αντίσταση x συνδεδεμένο σε σειρά με λαμπτήρα δεδομένης τάσης - έντασης Αν εφαρμόσουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα (σχέση.) με ωρολογιακή φορά και με αρχή το σημείο Ο των 0olt, θα προκύψει ότι: E x 0 (Νόμος τάσεων σε κλειστό βρόχο) Λαμβάνοντας υπόψη ότι η τάση της πηγής Ε είναι ίση με 8olt, η ένταση του ρεύματος Ι ίση με 0,5Α και η τάση του λαμπτήρα Λ ίση με olt, προκύπτει ότι η αντίσταση που πρέπει να προστεθεί είναι ίση με: E 8 5 E x 0 x 50 0,5A 0,5A Η ισοδύναμη αντίσταση του λαμπτήρα δίνεται από το νόμο του Ohm, οπότε με βάση τη σχέση (.6γ) ισχύει ότι: 6 0,5A ) Έστω ότι πρόκειται να τοποθετηθεί μια νέα ηλεκτρική αντλία καυσίμων συνεχούς ρεύματος σε ένα μικρό σκάφος, όπου η ρύθμιση ροής καυσίμων γίνεται με την αλλαγή τάσης στην ηλεκτρική αντλία. Αυτή η αλλαγή τάσης μεταβάλλει την ταχύτητα Ε Συνεχή κυκλώματα - 6 x x Ο 0 olt Κύκλωμα προς επίλυση Λ

17 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ περιστροφής της αντλίας, ως εκ τούτου μεταβάλλει και την αντίστοιχη ροή καυσίμων. Για να υλοποιηθεί αυτή η μεταβολή τάσης, το αντίστοιχο ηλεκτρικό κύκλωμα του σκάφους περιέχει μία μεταβλητή αντίσταση σε σειρά με τον ηλεκτροκινητήρα της αντλίας καυσίμων. Εάν το εγχειρίδιο του σκάφους απαιτεί μία ελάχιστη τάση 8 olt με ένταση ρεύματος Α και μία μέγιστη τάση 0 olt με ένταση ρεύματος 8Α να εφαρμόζεται στον ηλεκτροκινητήρα της αντλίας καυσίμων και η τάση του ηλεκτρικού συστήματος του σκάφους είναι 8 olt, μεταξύ ποιων τιμών πρέπει να κυμαίνεται η μεταβλητή αντίσταση που θα τοποθετηθεί; Λύση: Η ισοδύναμη διάταξη προς επίλυση είναι η ακόλουθη: Σχήμα.: Κύκλωμα με μεταβλητή αντίσταση μ συνδεδεμένο σε σειρά με κινητήρα δεδομένων τάσεων - εντάσεων Αν εφαρμόσουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα (σχέση.) με ωρολογιακή φορά και με αρχή το σημείο Ο των 0olt, θα προκύψει ότι: EK E K 0 (Νόμος τάσεων σε κλειστό βρόχο) Στην περίπτωση ελάχιστης τάσης η τάση της πηγής Ε είναι ίση με 8olt, η ένταση του ρεύματος Ι ίση με Α και η τάση του ηλεκτροκινητήρα Κ ίση με 8olt, οπότε η αντίσταση που πρέπει να προστεθεί είναι ίση με: EK A A Στην περίπτωση μέγιστης τάσης η τάση της πηγής Ε είναι ίση με 8olt, η ένταση του ρεύματος Ι ίση με 8Α και η τάση του ηλεκτροκινητήρα Κ ίση με 0olt, οπότε η αντίσταση που πρέπει να προστεθεί είναι ίση με: EK A 8A Συνεπώς η μεταβλητή αντίσταση πρέπει να κυμαίνεται μεταξύ Ω και 0 Ω. 5) Προσδιορίστε την ισχύ που χρησιμοποιείται σε ένα συνεχές κύκλωμα στο οποίο η συνεχής τάση είναι 0 olt και η ένταση του ρεύματος είναι 05 Α. Λύση: Με βάση τη σχέση (.) έχουμε ότι: P 0olt 05A.550 A.550Watt kw,550kw 6) Ποια ένταση ρεύματος απαιτείται για να οδηγηθεί ένας ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος 5HP, όταν τροφοδοτείται από ένα κύκλωμα συνεχούς τάσης 0 olt και η μηχανή έχει συντελεστή απόδοσης 60%; Λύση: Με βάση τη σχέση (.) έχουμε ότι η ηλεκτρική ισχύς εισόδου : P ό με =0olt, άγνωστο. Η πραγματική αποδιδόμενη ισχύς στον άξονα της μηχανής είναι 5HP ή 5 76Watt=70Watt, η οποία είναι ουσιαστικά η ισχύς εξόδου. Αν η απόδοση της μηχανής είναι 60%, τότε με βάση τη σχέση (.7) βρίσκουμε την ισχύ εισόδου (την ηλεκτρική ισχύ): E ό P ό 70Watt 00% P ό 00% 00% 66, 667Watt E ό 60% Οπότε από το (.) βρίσκουμε ότι η ένταση του ρεύματος είναι ίση με: P ό 66, 667Watt P ό 56, 555A 56, 5A 0 7) Ποια είναι η συνολική αντίσταση όταν συνδέονται παράλληλα οι αντιστάσεις Ω, Ω, 6Ω και 8 Ω; Ποια είναι η συνολική αντίσταση αν συνδεθούν σε σειρά; Λύση: Στην περίπτωση που συνδέονται παράλληλα οι τέσσερις αντιστάσεις Ω, Ω, 6Ω και 8 Ω (έστω,, και αντίστοιχα), τότε με βάση τη σχέση (.9) ισχύει ότι: 0, 0, 5 0, ,5 0, tot par Ε μ Διάταξη Κινητήρας tot par,857857, 0,875 Η συνολική αντίσταση των εν παραλλήλω αντιστάσεων είναι μικρότερη από τη μικρότερη αντίσταση εκ των τεσσάρων που συνδέονται παράλληλα, δηλαδή από τα Ω. Στην περίπτωση που συνδέονται οι τέσσερις αντιστάσεις σε σειρά, τότε με βάση τη σχέση (.8) ισχύει ότι: tot series 6 8 Η συνολική αντίσταση των εν σειρά αντιστάσεων είναι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη αντίσταση εκ των τεσσάρων που συνδέονται σε σειρά, δηλαδή από τα 8Ω. Συνεχή κυκλώματα - 7 Ε μ μ Ο 0 olt Κύκλωμα προς επίλυση Κ

18 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας 8) Δίνεται η διάταξη του σχήματος.5. Προσδιορίστε τις τάσεις, τις εντάσεις και τις αντιστάσεις των αντίστοιχων μεγεθών (όπου δεν δίνονται). Τα μεγέθη είναι: Ε=, = Ω, = Ω. Ε =? =Α Σχήμα.5: Κύκλωμα διάταξης τριών αντιστάσεων σε σειρά (δύο γνωστών μίας άγνωστης με δεδομένη ένταση ρεύματος) Κύκλωμα εκφώνησης άσκησης 8 Λύση: Η ισοδύναμη διάταξη προς επίλυση είναι η ακόλουθη του σχήματος.6: Ε =Α Ο 0 olt Σχήμα.6: Κύκλωμα επίλυσης άσκησης 8 Επειδή οι τρεις αντιστάσεις είναι σε σειρά, το ρεύμα που τις διαρρέει είναι κοινό, οπότε για τις αντίστοιχες εντάσεις ισχύει ότι: E A Η συνολική ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος δίνεται από τη σχέση (.6γ): E t E A Επειδή οι τρεις αντιστάσεις είναι σε σειρά, τότε με βάση τη σχέση (.8) ισχύει ότι: t t Αν εφαρμόσουμε το νόμο του Ohm για τις τρεις αντιστάσεις (σχέση.6α), θα προκύψει ότι: A A 6 A Εναλλακτικά, αν δεν έχουμε υπολογίσει την αντίσταση, τότε εφαρμόζουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα (σχέση.) με ωρολογιακή φορά και με αρχή το σημείο Ο των 0olt, οπότε προκύπτει ότι: E 0 E A A 6 Οπότε η αντίστοιχη αντίσταση υπολογίζεται μέσω της σχέσης (.6γ): A 9) Δίνεται η διάταξη του σχήματος.7. Προσδιορίστε τις τάσεις και τις εντάσεις των αντίστοιχων αντιστάσεων. Τα μεγέθη είναι: Ε=, = 0kΩ, = 0kΩ, = 8kΩ. Ε Σχήμα.7: Κύκλωμα εκφώνησης άσκησης 9 Λύση: Η ισοδύναμη διάταξη προς επίλυση είναι η ακόλουθη του σχήματος.8 (είναι της ίδιας μορφής με του σχήματος.6, απλώς δεν δίνεται η ένταση του ρεύματος, αλλά όλες οι αντιστάσεις). Επειδή οι τρεις αντιστάσεις είναι σε σειρά, το ρεύμα που τις διαρρέει είναι κοινό, οπότε για τις αντίστοιχες εντάσεις ισχύει ότι: Με βάση τη σχέση (.8) προκύπτει η ισοδύναμη συνολική αντίσταση ότι: t 0k 0k 8k 8k Συνεχή κυκλώματα - 8

19 ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ε Ο 0 olt Σχήμα.8: Κύκλωμα επίλυσης άσκησης 9 Η αντίστοιχη ένταση ρεύματος δίνεται από τη σχέση (.6β): E 0,50 A 0,5mA t 8k 80 Αν εφαρμόσουμε το νόμο του Ohm για τις τρεις αντιστάσεις (σχέση.6α), θα προκύψει ότι: 0,5mA 0k 0,5 0 A00 5 ma k A 0,5 0 0, ma k A 0,5 8 0, ) Δίνεται η διάταξη του σχήματος.9. Προσδιορίστε τις τάσεις και τις εντάσεις των αντίστοιχων γνωστών αντιστάσεων, την τάση, την ένταση και την αποδιδόμενη ισχύ της αντίστοιχης πηγής, την ένταση, την αντίσταση και την καταναλισκόμενη ισχύ της αντίστασης. Τα μεγέθη είναι: =0, = kω, = 6kΩ, = kω, t= 0kΩ (συνολική αντίσταση). Ε Σχήμα.9: Κύκλωμα εκφώνησης άσκησης 0 Λύση: Η ισοδύναμη διάταξη προς επίλυση είναι η ακόλουθη του σχήματος.0: Ε Ο 0 olt Σχήμα.0: Κύκλωμα επίλυσης άσκησης 0 Επειδή οι τέσσερις αντιστάσεις είναι σε σειρά, το ρεύμα που τις διαρρέει είναι κοινό, οπότε για τις αντίστοιχες εντάσεις ισχύει ότι: Με βάση τη σχέση (.8) προκύπτει η ισοδύναμη συνολική αντίσταση ότι: t t 0k k 6k k 0k Η αντίστοιχη ένταση ρεύματος εντός της δίνεται από τη σχέση (.6β): A ma 0k 00 Συνεπώς όλο το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης ma, οπότε ma. Οι αντίστοιχες τάσεις που αναπτύσσονται σύμφωνα με το νόμο του Ohm (σχέση.6α) είναι οι ακόλουθες: ma k 0 A 0 8 ma k A ma k 0 A0 8 Συνεχή κυκλώματα - 9

20 Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Πρόχειρες Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι.Τσεκούρας Η τάση της πηγής Ε μπορεί να υπολογιστεί με το νόμο του Ohm μέσω της ισοδύναμης συνολικής αντίστασης: E t ma 0k 0 A00 0 Εναλλακτικά μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff για συνεχές ρεύμα (σχέση.) με ωρολογιακή φορά και με αρχή το σημείο Ο των 0olt, οπότε προκύπτει ότι: E 0 E 0 ma k ma 6k mak E A A A Με βάση τη σχέση (.) προσδιορίζουμε την ισχύ της πηγής, η οποία είναι ίση με: P E 0olt ma 0 ma 80 0 A 0, 80Watt Με βάση τη σχέση (.) προσδιορίζουμε την καταναλισκόμενη ισχύ της αντίστασης, η οποία είναι ίση με: P 0olt ma 0 ma 600 A 0,60Watt ) Δίνονται οι διατάξεις του σχήματος.. Προσδιορίστε τη συνολική αντίσταση. Τα μεγέθη είναι: = 00Ω, = 00Ω, =50Ω, = 5Ω. Ε (α) Ε Ε (β) Σχήμα.: Κυκλώματα εκφώνησης άσκησης Λύση: Στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις όλες οι αντιστάσεις είναι εν παραλλήλω. Συγκεκριμένα στο σχήμα. παρουσιάζουμε τα αντίστοιχα σχήματα με τις φορές των τάσεων και εντάσεων λόγω της υπάρχουσας πηγής τάσης. (γ) Ε Ι Ι Ι Σχήμα.: Επίλυση κυκλωμάτων άσκησης Η συνολική αντίσταση στις περιπτώσεις (α) και (β) είναι με βάση τη σχέση (.9): 0,005 0,0 0,0 0, tot ( a) tot( a) 8, , 57 0,05 Στην περίπτωση (γ) η συνολική αντίσταση είναι ίση με βάση τη σχέση (.9) ισχύει ότι: 0,005 0,0 0,0 0,0 0, tot( ) Ι Ι Ι (β) Ε,, 0,075 tot ( ) (α) Ι Ι Ι Ι (γ) Ε Συνεχή κυκλώματα - 0