Financial Economic Theory and Engineering Formula Sheet

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1 Financial Economic heory and Engineering Formula Sheet 2011 Morning and afternoon exam booklets will include a formula package identical to the one attached to this study note. he exam committee felt that by providing many key formulas, candidates would be able to focus more of their exam preparation time on the application of the formulas and concepts to demonstrate their understanding of the syllabus material and less time on the memorization of the formulas. he formula sheet was developed sequentially by reviewing the syllabus material for each major syllabus topic. Candidates should be able to follow the flow of the formula package easily. We recommend that candidates use the formula package concurrently with the syllabus material. Not every formula in the syllabus is in the formula package. Candidates are responsible for all formulas on the syllabus, including those not on the formula sheet. Candidates should carefully observe the sometimes subtle differences in formulas and their application to slightly different situations. For example, there are several versions of the Black-Scholes-Merton option pricing formula to differentiate between instruments paying dividends, tied to an index, etc. Candidates will be expected to recognize the correct formula to apply in a specific situation of an exam question. Candidates will note that the formula package does not generally provide names or definitions of the formula or symbols used in the formula. With the wide variety of references and authors of the syllabus, candidates should recognize that the letter conventions and use of symbols may vary from one part of the syllabus to another and thus from one formula to another. We trust that you will find the inclusion of the formula package to be a valuable study aide that will allow for more of your preparation time to be spent on mastering the learning objectives and learning outcomes. 1

2 General Formulas Lognormal distribution: { 1 fx) = xσ 2π exp 1 } lnx) µ) 2 2 σ 2 ) EX = e µ+σ2 /2 VX = e 2µ+σ2 e σ2 1 ) lnx) µ PrX x = Φ σ x > 0 Normal distribution: fx) = 1 { σ 2π exp 1 } x µ) 2 2 σ 2 Capital Asset Pricing Model: ER i = R f + β i ER m R f ) where β i = CovR i, R m ) VarR m Weighted Average Cost of Capital: B WACC = 1 τ c )k b B + S + k S s B + S where k b =return on debt, k s =return in equity. GARCH1,1) Model Y t = µ + σ t ɛ t σ 2 t = α 0 + α 1 Y t 1 µ) 2 + βσ 2 t 1 RSLN-2 Model Y t ρ t N µ ρt, σ 2 ρ t ) where {ρt }, t = 1, 2,..., is a Markov process with 2-states. p ij = Prρ t+1 = j ρ t = i Conditional ail Expectation For loss L, continuous at V α = F 1 L α): CE α L) = EL L > V α L) If there is a probability mass at V α, define β = max{β : V α = V β }, then CE α L) = 1 β )E X X > V α + β α)v α 1 α 2

3 Vasicek Model dr = ab r)dt + σdz Pt, ) = At, )e Bt,)rt) t) 1 e a Bt, ) + t)a 2 b σ 2 /2) Bt, ) = At, ) = exp σ2 Bt, ) 2 a a 2 4a Cox Ingersoll Ross Model dr = ab r)dt + σ rdz Bt, ) = Ho-Lee Model 2e γ t) 1) γ + a)e γ t) 1) + 2γ dr = θt)dt + σdz rt) t) Pt, ) = At, )e lnat, ) = ln Pt, ) = At, )e Bt,)rt) At, ) = θt) = F t 0, t) + σ 2 t P0, ) P0, t) + t)f0, t) 1 2 σ2 t t) 2 Hull-White Extended Vasicek) Model dr = θt) ar)dt + σdz Pt, ) = At, )e Bt,)rt) a+γ) t)/2 2γe γ + a)e γ t) 1) + 2γ θt) = F t 0, t) + af0, t) + σ2 ) 1 e 2at 2a t) 1 e a Bt, ) = a P0, ) 1 lnat, ) = ln + Bt, )F0, t) e a e at) 2 e 2at 1 ) P0, t) 4a 3σ2 Itô s Lemma Let X be an Itô process such that dx t = ut, X t )dt + vt, X t )dw t, and let gt, x) denote a twice differentiable function, then for Y t = gt, X t ) dy t = gt, X t) t dt + gt, X t) x Geometric Brownian Motion dx t gt, X t ) x 2 dx t ) 2. 2ab/σ 2 ds t S t = µdt + σ dz t Black-Scholes Pricing Formulas c t = S t Nd 1 ) Ke r t) Nd 2 ) 3

4 p t = Ke r t) N d 2 ) S t N d 1 ) where d 1 = lns t/k) + r + σ 2 /2) t) σ t and d 2 = d 1 σ t 4

5 Copeland, Weston, Shastri: Financial heory and Corporate Policy Chapter 2 2.2) Rev t + m t S t = Div t + W&S) t + I t 2.5) NI t = Rev t W&S) t dep t 2.7) NI t A t S 0 = 1 + k s ) t t=1 2.13) FCF = EBI1 τ c ) + dep I Chapter ) R jt = ER jt ) + β j δ mt + ε jt 6.36) R jt R ft = R mt R ft )β j + ε jt 6.36) R pt = γ 0 + γ 1 β p + ε pt 6.37) R it = α i + β i R mt + ε it 6.38) ER i ) = ER Z ) + ER m ) ER Z ) β i 6.40) ER i ) R f = b i ER m ) R f + s i ESMB) + h i EHML) 6.41) λ i = ER m ) ER Z ) 6.46) R it = γ 0t + γ 1t β it + ε it 6.49) ER i ) = ER z,i ) + ER I ) ER z,i )β i,i 6.50) R i = E R i ) + b i1 F b ik F k + ε i 6.57) E R i ) = λ 0 + λ 1 b i λ k b ik 6.59) ER i ) R f = δ1 R f bi δk R f bik 6.60) b ik = CovR i, δ k )/V arδ k ) Chapter 9 9.1) CS A, S B, ) = S A Nd 1 ) S B Nd 2 ) where d 1 = lns A /S B ) + V 2 /V ; d 2 = d 1 V and V 2 = V 2 A 2ρ AB V A V B + V 2 B Chapter ) V η) m qm) max a pe m)ua, e) V η 0 ) e 5

6 10.4) pr c 2 ) + 1 p)dr c 2 ) = pr/d c 1 ) + 1 p)r c 1 ) 10.7) Fair Game: ε j,t+1 = P j,t+1 P jt P jt EP j,t+1 η t ) P jt P jt = a) Submartingale: EP j,t+1 η t ) P jt P jt = Er j,t+1 η t ) > b) Martingale: EP j,t+1 η t ) P jt = Er j,t+1 η t ) = 0 P jt 10.14) ER jt β jt ) = R jt + ER mt β mt ) R ft βjt Chapter ) R jt = α j + β 1j R mt R ft ) + β 2j RLE t RSE t ) + β 3j HBM t LBM t ) + ε jt 11.3) NI jt = â + ˆb j m t + ε jt 11.4) NI j,t+1 = â + ˆb j m t+1 Chapter ) V α) = 1 µα) λ 1 + r) 12.3) W 0 = X + βv M + Y 1 α)v α) 12.4) W 1 = αµ + ε µα) + λ + β M 1 + r)v M r)w 0 X) + µα) λ )) E U W 1 ) 12.5) = E U W1 µ + ε µα) + λ + 1 α)µ α ) = 0 α )) E U W 1 ) 12.6) = E U W 1 ) M 1 + r)v M = 0 where µ α = µ β α ) E U W 1 ε + λ) 12.7) 1 α)µ α = ) E U W ) ED) = 1 V D) + µ τ p D β 1 + r 12.16) ED) = r D X V D) + t2 τ pd β D2 2t 12.17) V D ) = τ p + β D t 12.18) V D t) = 1 t r 2 τ pd t) β D t) 2 2t 6 X D)fX)dX

7 12.20) V D t) = τ p + βa)d t) 12.21) τp 1 + r τp A = + β 1 + 2r β 12.22) I + D = C + Np e = C + P e L τ p D ) max D 12.25) τ p = τ p + P ) D 1 + r r P + τp D L P + τ p D + I C L + I C P + τ p D + I C X 12.26) DX) = 1 τ p maxi C + L, 0)ln X 12.30) V0 old = P E + S + a + b) P + E 12.36) W 0 z) = αpz) + βp m, P) 12.37) W s n, z) = α Pn, z) + βp n, p) 12.38) W n = α P n t 2 p γ 1 = 0 ) X 12.40) Pn, z) = kn + cz) 1/γ where k = t 2 γ/α) 1/γ β1 + 2r) τ 2 p 1 + r) ) Mn, z) = Pn, z) n, P) = k1 t 1 )n + cz) 1/γ t 2 nk 1 γ n + cz) 1 γ)/γ 12.45) V 0 = 1 t)x ) EX n) = Xn) = X 0s 0 + Ŷmn)s m s 0 + s m 12.47) V 1 n) = Xn) n) C 12.50) V 2, Y ) = X 0s 0 + Ŷ m s m + Y Fs E s 0 + s m + Fs XtX/n), Ŷm, Y C X 0 s 0 +Y ms m s 0 +s m )Fs X 0 s 0 + Ŷ m s m ) EV 2 ) Y m = C s 0 + s m + Fs ) ) dα B 12.54) V n) Bn, D) αd) = 0 dd D ) ) ) ) d 2 α dα B 2 B 12.55) V n) Bn, D) 2 αd) < 0 dd 2 dd D D ) α D n)) V n) B n, D n)) V n) I = 0 d 2 α dα B 12.57) V B) 2 dd2 dd D B dd α 2 D 2 dn = dα dd 12.58) εα, D) = a D 0 ) 2 + D 2 1 α α 2 7 B n dv dn ) ) 2 B + α n D

8 αɛ γ) 12.59) D = X 1 1 α)1 ɛ)γ 12.60) max U s cs, p) fs, p a)dsdp 12.61) 12.63) cs,p),a V cs, p) fs, p a)dsdp Ga) V U s cs, p) V cs, p) 12.65) max Uk) + λ a 12.68) max cs),a 12.70) 12.73) max cs,p),a 12.74) 12.75) = λ V cs, p)fs, p a)dsdp Ga) V Us cs)fs a)ds + λ +µ V cs) f a s a)ds G a) U s cs) = λ + µ f as a) V cs) fs a) U s cs, p) fs, p a)dsdp+λ +µ U s cs, p) V cs, p) U s cp) V cp) V cs, p)f a s, p a)dsdp G a) = λ + µ f as, p a) fs, p a) V cs)fs a)ds Ga) V f a1 p a) = λ + µ 1 fp a) + µ f a1 p a) 2 fp a) µ f a1 p a) n fp a) 12.81) max cs,p,m),am),mm) E s,p,m U s cs,p, m) am) 12.82) Subject to for all m) E s,p m V cs,p, m) Gam) am) V V X ) X = PX ) X CX ) X = ) S = 1 β)es) α λ1 β)covs, R M) 1 + r f 12.86) max α,β V cs, p)fs, p a)dsdp Ga) V 1 β)es) α λ1 β)covs, R M ) 1 + r f +µ a EW) + α + βes) b VarW) + 2βCovW, s) + β 2 Vars) V ) 12.90) β = λacovs, R M) CovW, s) 2bVars) Vars) { ) V + db 12.94) B new B = D P D + dd, 1,, r f, σ V + P 8 )} V D, 1,, r f, σ V = D P X +P Y )

9 Chapter ) V U = E FCF) or V U = EẼBI)1 τ c ) ρ ρ ) 15.3) ÑI + k d D = Rev Ṽ C FCC dep 1 τ c ) + k d Dτ c 15.4) V L = EẼBI)1 τ c ) ρ 15.6) V L = V U + τ c B 15.9) 15.11) V L I = S0 I + Sn + B 0 I 1 τ c ) EEBI) I > ρ + k ddτ c k b = S0 I + 1 ) 1 τ c B I 15.18) k s = NI/ S = ρ + 1 τ c )ρ k b ) B S 15.20) G = V L V U = τ c B 15.21) V U = EEBI)1 τ c)1 τ ps ) ρ 15.23) V L = V U τ c)1 τ ps ) 1 τ pb ) 15.28) β L = τ c ) B S β U B where B = k d D1 τ pb )/k b 15.33) R f S L + λ 1 τ c )CovEBI, R m ) λ 1 τ c )B CovR bj, R m ) = EEBI)1 τ c ) ER bj )B1 τ c ) 15.38) ds = S S dv + V t dt S V 2 dt 2 2 V 2σ ) r s = S V V S r V 15.43) S = V Nd 1 ) e r f DNd 2 ) 15.46) β S = 1 1 D/V )e r f Nd 2 )/Nd 1 ) β V 15.47/8) k s = R f + R m R f )Nd 1 ) V S β V = R f + Nd 1 )R v R f ) V S 15.52) k b = R f + ρ R f )N d 1 ) V B Note: his is a correction to the formula in the reading ) dv V = µv, t)dt + σdw 9

10 15.57) 1 2 σ2 V 2 F V V V ) + rv F V V ) rfv ) + C = ) FV ) = A 0 + A 1 V + A 2 V 2r/σ2 ) 15.59) V = V B BV ) = 1 α)v B V BV ) C/r 15.61) BV ) = 1 p B )C/r + p B 1 α)v B where p B = V/V B ) 2r/σ ) V = V B DCV ) = αv B V DCV ) ) DCV ) = αv B V/V B ) 2r/σ ) V L V ) = V U V ) + c BV ) DCV ) = V U V ) + c B p B c B αv B p B { V1 if V 15.68) M = 1 + r)γ 0 V 0 + γ 1 D 1 V 1 C if V 1 < D 15.69) { γ0 1 + r) V 1a 1+r M a = 1V 1a if D < D V 1a γ r) V 1b 1+r 1V 1a if D < D 15.70) { γ0 1 + r) V 1a 1+r M b = 1V 1b C) if D D V 1a γ r) V 1b 1+r 1V 1b if D < D Chapter ) V i t) = Div it + 1) + n i t)p i t + 1) 1 + k u t + 1) 16.8) Ṽ i t) = ẼBI it + 1) Ĩit + 1) + Ṽit + 1) 1 + k u t + 1) ) 16.9) Ỹ di = ẼBI rdc 1 τ c ) rd pi 1 τ pi ) 16.10) Ỹ gi = ẼBI rd c )1 τ c )1 τ gi ) rd pi 1 τ pi ) 16.26) S 1 ES 1 ) = ε γ = EBI 1 E 0 EBI 1 ) 1 + k 16.27) Div it = a i + c i Div it Div i,t 1 ) + U it 16.33) Div t = β 1 Div t 1 + β 2 NI t + β 3 NI t 1 + Z t 16.35) P it = a + bdiv it + cre it + ε it 16.38) Rj = γ 0 + Rm γ 0 β j + γ 1 DY j DY m /DY m + ε j ) W PE P 0 P P ) = 1 F P ) + F P N 0 P 0 P 0 P γ 1 + k 10

11 Hull: Options Futures and Other Derivatives Chapter 12: Binomial rees 12.1) = f u f d S 0 u S 0 d 12.5/6) f = e r t pf u + 1 p)f d where p = er t d u d 12.13/14) u = e σ t d = e σ t Chapter 13: Wiener Processes and Itôs Lemma 13.17) G = lns dg = µ σ 2 /2 ) dt + σ dz Chapter 14: he Black-Scholes-Merton model f f 14.9) df = µs + S t + 1 ) 2 f S 2 dt + f 2 S 2σ2 S σsdz 14.16) f t + rs f S σ2 S 2 2 f S 2 = rf Chapter 18: Greek Letters 18. ) call) = Nd 1 ) put) = Nd 1 ) ) Θcall) = S 0N d 1 )σ ) Θput) = S 0N d 1 )σ ) Γcall) = Γput) = N d 1 ) S 0 σ 18.4) Θ + rs σ2 S 2 Γ = rπ rke r Nd 2 ) 18. ) Vcall) = Vput) = S 0 N d 1 ) 18. ) rhocall) = Ke r Nd 2 ) 18. ) rhoput) = Ke r N d 2 ) + rke r N d 2 ) Chapter 20: Basic Numerical Procedures 20.8) = f 1,1 f 1,0 S 0 u S 0 d 11

12 20.9) Γ = f 2,2 f 2,1 )/S 0 u 2 S 0 ) f 2,1 f 2,0 )/S 0 S 0 d 2 ) h 20.10) Θ = f 2,1 f 0,0 2 t 20.12) p = eft) gt) t d u d 20.27) a j f i,j 1 + b j f i,j + c j f i,j+1 = f i+1,j where a j = 1 2 r q)j t 1 2 σ2 j 2 t, b j = 1 + σ 2 j 2 t + r t and c j = 1 2 r q)j t 1 2 σ2 j 2 t 20.34) f i,j = a j f i+1,j 1 + b j f i+1,j + c j f i+1,j+1 where a j = r t 2 r q)j t + 1 ) 2 σ2 j 2 t, b j = 1 1 σ 2 j 2 t ) 1 + r t and c 1 1 j = 1 + r t 2 r q)j t + 1 ) 2 σ2 j 2 t 20.35) α j f i,j 1 + β j f i,j + γ j f i,j+1 = f i+1,j where α j = t ) r q σ2 2 Z 2 and γ j = t ) r q σ2 2 Z 2 t 2 Z 2σ2 t 2 Z 2σ2 β j = 1 + t Z 2σ2 + r t 20.36) α jf i+1,j 1 + βjf i+1,j + γj f i+1,j+1 = f i,j where α 1 j = t ) r q σ2 1 + r t 2 Z 2 and βj = 1 1 t ) 1 + r t Z 2σ2 and γ j = r t t 2 Z r q σ2 2 ) + t 2 Z 2σ2 + t 2 Z 2σ2 Chapter 22: Estimating Volatilities and Correlations 22.7) σ 2 n = λσ2 n λ)u2 n ) σn 2 = γv L + αu 2 n 1 + βσ2 n 1 m 22.12) lnv i ) u2 i i= ) E σn+t 2 = VL + α + β) ) t σn 2 V L v i 12

13 Chapter 25: Exotic Options Call on a call S 0 e q 2 M a 1, b 1 ; ) 1 / 2 K 2 e r 2 M a 2, b 2 ; ) 1 / 2 e r 1 K 1 Na 2 ) where a 1 = lns 0/S ) + r q + σ 2 /2) 1 σ 1 a 2 = a 1 σ 1 b 1 = lns 0/K 2 ) + r q + σ 2 /2) 2 σ 2 b 2 = b 1 σ 2 Put on a call K 2 e r 2 M a 2, b 2 ; ) 1 / 2 S 0 e q 2 M a 1, b 1 ; ) 1 / 2 + e r 1 K 1 N a 2 ) Call on a put K 2 e r 2 M a 2, b 2 ; ) 1 / 2 S 0 e q 2 M a 1, b 1 ; ) 1 / 2 e r 1 K 1 N a 2 ) Put on a put S 0 e q 2 M a 1, b 1 ; ) 1 / 2 K 2 e r 2 M a 2, b 2 ; ) 1 / 2 + e r 1 K 1 Na 2 ) Chooser maxc, p) = c + e q 2 1 ) max 0, Ke r q) 2 1 ) S 1 ) Barrier Options λ = r q + σ2 /2 σ 2 x 1 = lns 0/H) σ If H K y = lnh2 /S 0 K) σ + λσ y 1 = lnh/s 0) σ + λσ + λσ c di = S 0 e q H/S 0 ) 2λ Ny) Ke r H/S 0 ) 2λ 2 N If H K c do = S 0 Nx 1 )e q Ke r N x 1 σ ) S 0 e q H/S 0 ) 2λ Ny 1 ) + Ke r H/S 0 ) 2λ 2 N If H > K c ui = S 0 Nx 1 )e q Ke r N x 1 σ ) S 0 e q H/S 0 ) 2λ N y) N y 1 ) +Ke r H/S 0 ) 2λ 2 y + σ ) N 13 y σ ) y 1 σ ) y 1 + σ )

14 If H K p ui = S 0 e q H/S 0 ) 2λ N y) + Ke r H/S 0 ) 2λ 2 N If H K p uo = S 0 N x 1 )e q + Ke r N x 1 + σ ) +S 0 e q H/S 0 ) 2λ N y 1 ) Ke r H/S 0 ) 2λ 2 N y + σ ) y 1 + σ ) If H K p di = S 0 N x 1 )e q + Ke r N x 1 + σ ) + S 0 e q H/S 0 ) 2λ Ny) Ny 1 ) Ke r H/S 0 ) N 2λ 2 y σ ) N y 1 σ ) Lookback Options c fl = S 0 e q Na 1 ) S 0 e q σ 2 where a 1 = lns 0/S min )+r q+σ 2 /2) σ a 3 = lns 0/S min )+ r+q+σ 2 /2) σ Y 1 = 2r q σ2 /2)lnS 0 /S min ) σ 2 p fl = S max e r Nb 1 ) where b 1 = lnsmax/s 0)+ r+q+σ 2 /2) σ b 2 = b 1 σ b 3 = lnsmax/s 0)+r q σ 2 /2) σ Y 2 = 2r q σ2 /2)lnS max/s 0 ) σ 2 Exchange Options 25.5) V 0 e q V Nd 1 ) U 0 e q U Nd 2 ) 2r q) N a 1) S min e r a 2 = a 1 σ where d 1 = lnv 0/U 0 ) + q U q V + ˆσ 2 /2) ˆσ and ˆσ = σu 2 + σ2 V 2ρσ Uσ V Realized volatility: σ = 252 n 1 ln n ) Ê V ) = 2 ln F 0 S 2 ) Na 2 ) σ2 2r q) ey 1 N a 3 ) σ2 2r q) ey 2 N b 3 ) )+S 0 e q σ 2 2r q) N b 2) S 0 e q Nb 2 ) i=1 F0 S Si+1 14 S i S K=0 d 2 = d 1 ˆσ ) pk)dk + ck)dk K 2er K=S K 2er

15 25.7) L var Ê V ) V K e r 25.8) S K=0 25.9) Ê σ) = 1 K 2er pk)dk + Ê V ) ck)dk = K 2er { } 1 1 var V ) 8 Ê V ) 2 K=S 1 ) 2 F ) Ê V ) = S n i=1 K i e r QK Ki 2 i ) n i=1 K i e r QK Ki 2 i ) Chapter 26: More on Models and Numerical Procedures 26.2, 3) ds S = r q)dt + V dz S dv = av L V )dt + ξv α dz V Chapter 27: Martingales and Measures 27.4) Π = σ 2 f 2 )f 1 σ 1 f 1 ) f ) Π = µ 1 σ 2 f 1 f 2 µ 2 σ 1 f 1 f 2 ) t 27.7) df = µdt + σdz f 27.8) µ r = λ σ n 27.13) µ r = λ i σ i 27.14) d i=1 ) f = σ f σ g ) f g g dz 27.20) f 0 = P0, )E f ) 27.23) st) = Pt, 0) Pt, N ) At) f 27.25) f 0 = A0)E A A) 27.26) c = P0, )E maxs K, 0) ) V 27.31) f 0 = U 0 E U max 1, 0 U 27.32) f 0 = V 0 Nd 1 ) U 0 Nd 2 ) 27.35) α v = ρσ v σ w 15

16 Chapter 28: Interest Rate Derivatives: he Standard Market Models 28.1) c = P0, )F B Nd 1 ) KNd 2 ) 28.2) p = P0, )KN d 2 ) F B N d 1 ) where d 1 = lnf B/K) + σ 2 B/2 σ B 28.3) F B = B 0 I P0, ) 28.4) σ B = Dy 0 σ y d 2 = d 1 σ B 28.7, Caplet) Lδ k P0, t k+1 )F k Nd 1 ) R K Nd 2 ) where d 1 = lnf k/r K ) + σ 2 k t k/2 σ k tk d 2 = d 1 σ k tk 28.8, Floorlet) Lδ k P0, t k+1 )R K N d 2 ) F k N d 1 ) 28.10) LA s 0 Nd 1 ) s k Nd 2 ) where A = 1 m mn i=1 P0, i ) Chapter 29: Convexity, iming, and Quanto Adjustments 29.1) E y ) = y y2 0σ 2 y G y 0 ) G y 0 ) 29.2) E R ) = R 0 + R2 0σ 2 Rτ 1 + R 0 τ 29.3) α V = ρ V W σ V σ W 29.4) E V ) = E V )exp ρ V Rσ V σ R R 0 ) 1 + R 0 /m Chapter 30: Interest Rate Derivatives: Models of the Short Rate 30.20) c = LP0, s)nh) KP0, )Nh σ p ) p = KP0, )N h + σ p ) LP0, s)n h) h = 1 σ p ln σ p = σ a 30.24) P m+1 = LP0, s) P0, )K + σ p 2 1 e as ) 1 e 2a n m 2a j= n m Q m,j exp g α m + j x) t 16

17 Chapter 32: Swaps Revisited 32.1) F i + F 2 i σ 2 i τ i t i 1 + F i τ i 31.2) y i 1 2 y2 i σ 2 y,it i G i y i) G i y i) y iτ i F i ρ i σ y,i σ F,i t i 1 + F i τ i 32.3) V i + V i ρ i σ W,i σ V,i t i Hardy: Investment Guarantees Chapter 2 AR1) 2.7): 2.7) Y t = µ + ay t 1 µ) + σε t ARCH1) 2.8-9): ε t independent and identically distributed iid), ε t N0, 1) 2.8) Y t = µ + σ t ε t 2.9) σt 2 = a 0 + a 1 Y t 1 µ) 2 ARCH1) with AR1) stock price ): 2.10) Y t = µ + ay t 1 µ) + σ t ε t ε t iid N0, 1) 2.11) σt 2 = a 0 + αy t 1 µ) 2 GARCH1,1) ): 2.12) Y t = µ + σ t ε t 2.13) σ 2 t = a 0 + α 1 Y t 1 µ) 2 + βσ 2 t 1 GARCH1,1) with AR1) stock price ): 2.14) Y t = µ + ay t 1 µ) + σ t ε t ε t iid N0, 1) 2.15) σ 2 t = α 0 + α 1 Y t 1 µ) 2 + βσ 2 t 1 Chapter 3 3.1) Lθ) = fx 1, X 2,..., X n ; θ) 3.2) Lθ) = n fx t ; θ) lθ) = t=1 n logfx t ; θ) t=1 17

18 3.3) Lθ) = fx 1 ; θ)fx 2 ; θ x 1 )fx 3 ; θ x 1, x 2 ) fx n ; θ x 1,..., x n 1 ) n 3.4) lθ) = logfx t ; θ x 1,..., x t 1 ) t=1 3.5) EY t = µ for all t 3.6) EY t µ)y t j µ) = γ j for all t and j 3.7) bθ) = Eˆθ θ Lognormal model ,22-23): 3.13) ˆµ = ȳ n t=1 3.14) ˆσ = y t ˆµ) 2 n ) σ 3.22) Σ = 2 /n 0 0 σ 2 /2n ) ˆσ 3.23) Σ 2 /n 0 0 ˆσ 2 /2n AR1) model ): 3.24) Y t Y t 1 Nµ1 a) + ay t 1, σ 2 ) t = 2, 3,..., n 1 a , 26) lµ, σ, a) = log 2πσ exp 2 + n log t=2 { 1 2 { 1 2πσ 2exp 1 2 )} ) Y1 µ) 2 1 a 2 ) σ 2 )} ) Yt 1 a)µ ay t 1 ) 2 = n 2 log2π) log1 a2 ) nlogσ { 1 Y1 ) µ) 2 1 a 2 ) n ) } Yt 1 a)µ ay t 1 ) σ 2 σ 2 t=2 σ ) V ˆµ ARCH1) ): σ 2 n1 a 2 ) V ˆσ σ2 2n 1 a2 V â n 3.28) Y t = µ + σ t ε t 3.29) σ 2 t = a 0 + a 1 Y t 1 µ) ) Y t Y t 1 N µ, a 0 + a 1 Y t 1 µ) 2) t = 2, 3,..., n 18

19 GARCH1,1) ): 3.31) Y t = µ + σ t ε t 3.32) σ 2 t = α 0 + α 1 Y t 1 µ) 2 + βσ 2 t ) Y t Y t 1 Nµ, σt 2 ) t = 2, 3,..., n 3.35) µ = ȳ σ = s y Chapter 8 8. ) F = F 0 S S 0 1 m) 8.3) P 0 = Ge r Φ d 2 ) S 0 1 m) Φ d 1 ) where d 1 = log S 0 1 m) /G ) + r + σ 2 /2) σ d 2 = d 1 σ ) n 8.8) H0) = Ge rt Φ d 2 ) ) n tp τ x µd) x,t dt + S0 1 m) t Φ d 1 ) ) tp τ x µd) x,t dt 0 8.9) H0, t 3 ) = P S t 1 ) + S 0 1 m) t 1) { 1 + Pt2 t 1 )1 + Pt 3 t 2 )) + 1 m) t 2 t 1 Pt 3 t 2 ) } 8.15) α = S 0 1 m) t 1 where P S t 1 ) = BSPS 0 1 m) t 1, G, t 1 ) B S 0 ä τ x:n i 8.19) HE t = Ht) + t 1 q d x G Ft ) +) Ht ) 8.22) C t = τ S t Ψ t Ψ t 1 0 FE and FE : Doherty; Integrated Risk Management Chapter 13 p. 465) p. 481) V E) = V F) V D) = V F) D DF + PV F), D) = CV F), D) V F) = S + D 1 + m ) n p. 494) V R E) = C + V RF) D + P {V r F), D} = C + V R D + P R V NE) = V N F) D + P {V N F), D} = V N D + P N 19

20 Chapter ) + E + P)1 + r i ) L 16.2) E) = E P RI; S))1 + ER i )) ELa)) + hci; S) a 16.3) E) a = ELa)) a 1 + h C I I L L a = 0 Manistre and Hancock; Variance of the CE Estimator p. 130) C Êα) = 1 k k j=1 x j) p. 131) V ARC Ê) = EV ARC Ê X k) ) + V AREC Ê X k) ) p. 131) V ARC Ê) V ARx 1),..., x k) ) + α C Ê x k) ) 2 p. 132) C Êα) = 1 k p. 133) IF V ar x) = k i=1 x i) 1 α) fv ar) k V ârα) = x k) x < V ar 0 x = V ar x > V ar α fv ar) { V ar CE x < V ar p. 133) IF CE x) = V ar CE + x > V ar x V ar 1 α p. 133) V ARC Ê n ) EIF CE) 2 n = V ARX X > V ar) + α CE V ar)2 n 1 α) p. 133) V ARV âr n ) EIF V ar) 2 n = α 1 α) n fv ar) 2 p. 133) CovC Ê n, V âr n ) EIF CE IF V ar n = α CE V ar) n fv ar) p. 134) FSECE) = V ARX 1),..., X k) ) + α C Ê X k) ) 2 20 n 1 α)

21 p. 134) FSEV ar) = 1 α 1 α) ˆfV ar) n p. 134) CôvCE, V ar) = α C Ê X k) ) n ˆfV âr) p. 146) V ARV âr n ) E GIF V ar ) 2 n = V AR GWH n fv ar) 2 p. 146) V ARC Ê n ) E GIF CE ) 2 n = V AR GWX V ar)h n 1 α) 2 p. 146) CovC Ê n, V âr n ) E GIF CE IF V ar n = Cov GWH, WHX V ar) n fv ar) 1 α) p. 146) V ARV âr n ) 1 α) EFW X V ar 1 + α n fv ar) 2 p. 146) V ARC Ê n ) V AR F WHX V ar) n 1 α) 2 = E FW X V ar V AR F X V ar n 1 α) + CE V ar)2 E F W X V ar 1 + α) n 1 α) + Cov FW, X V ar) 2 X V ar n 1 α) p. 146) CovC Ê, V âr) Cov FW, X V ar X V ar n fv ar) + 1 α n fv ar) {E FW X V ar 1 + α} 21

22 FE : Ho and Lee, he Oxford Guide to Financial Modeling Chapter 5: Interest Rate Derivatives: Interest Rate Models 5.10) dr = a 1 + b 1 l r)dt + rσ 1 dz dl = a 2 + b 2 r + c 2 l)dt + lσ 2 dw 5.12) dv = Mt, r)dt + Ωt, r)dz Mt, r) = V t + µt, r)v r σt, r)2 V rr Ωt, r) = σt, r)v r Chapter 6: Implied Volatility Surface: Calibrating the Models 6.10) Lk, j + 1) = Lk, j)exp k i=j ) P, i ; ) = P + ) P ) Li,j) Λ 1+Li,j) i j 1Λ k j 1 Λ2 k j t= 1 t=1 ht) ht) δ i where ht) = δ t ) + k j 1 Z FE : Capital Allocation in Financial Firms p.116 NPV = 1 d)v {S + } C µ) 1 + m)v {S } = µ dv {S + } + mv {S }) V {S + } V {S } z = σnz)+znz)) 1+r) = σnz) zn z)) 1+r) = C1 + r)/σ FE : Babbel and Merrill, Real and Illusory Value Creation by Insurance Companies 2) V E) = F + V A ) PV L) + O Smith: Investor & Management Expectations of the Return on Equity Measure vs. Some Basic ruths of Financial Accounting E t EV t = t ROEx IRR)E x IRR) t x x=1 22