Δένδρα επικάλ επικ υψης ελάχιστου στους

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δένδρα επικάλ επικ υψης ελάχιστου στους"

Τελεσφόρος Ζάνος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους Αλγόριθμος Kruskal

2 Αλγόριθμος Kruskal Ξεκινάμε από ένα δάσος από n δένδρα, κάθε ένα δένδρο εκφυλισμένο σε ένα μεμονωμένο κόμβο. Σε κάθε επανάληψη, προσθέτουμε τη πλευρά με το μικρότερο κόστος και η οποία δεν δημιουργεί κύκλο με τις ήδη επιλεγμένες πλευρές. Σταματάμε όταν έχουμε ένα δένδροδ επικάλυψης (γράφος συνεκτικός) ή όταν δεν ευρίσκουμε πλέον πλευρά να προσθέσουμε (ο γράφος δεν είναι συνεκτικός)

Σε κάθε επανάληψη, προσθέτουμε τη πλευρά με το μικρότερο κόστος και η οποία δεν δημιουργεί

3 Αλγόριθμος Kruskal - Παράδειγμα Δ ια& τ αξη π λευρω& ν κατα& α & υ ξουσα τ & α ξη 3, : κοστος &, : κ & ο σ τος 3, : κοστος & 3 3, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κ & ο σ τος, : κοστος & 3, : κ & ο σ τος, : κοστος &

4 Αριθμός συνιστωσών n = αριθμός μεμονομένων κόμβων Δ ι & α τ αξη π λευρω& ν κατα& αυξουσα & ταξη &, 3 : κ & ο σ τος, : κοστος &, : κ & ο στος 3 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κ & ο σ τος, 3, : κοστος & : κ & ο στος 3, : κοστος &, : κοστος &

5 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα Διαταξη & πλευρων & κατα& αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος &

6 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα Διαταξη & πλευρων & κατα& αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος &

7 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα 3 Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

8 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

9 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

10 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

11 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα 7 Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3 δέντρο επικάλυψης: τέλος

12 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα 8 Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

13 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα 9 Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

14 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα 0 Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

15 Αλγόριθμος Kruskal: βήμα 0 Διαταξη & πλευρων & κατα & αυξουσα & ταξη & 3, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος & 3 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3, : κοστος &, : κοστος & 3

16 Αλγόριθμος Kruskal T while ( T < n-) and (E ) do e smallest edge in E; E E - {e}; if (T {e} has no cycle) then T T {e} if ( T < n-) then write network disconnected ; (****) Πολυπλκότητα: O(mlogn) Πολυπλκότητα: O(mlogn) Εξακρίβωση σχηματισμού κύκλου σε O(logn)

17 Αλγόριθμος Kruskal - Δάσος Επικάλυψης Αν ο γράφος είναι μη συνεκτικός, γιαναβρούμε ένα δάσος επικάλυψης με τον αλγόριθμο λό Pi Prim θα πρέπει να επαναλάβουμε τον αλγόριθμο σε κάθε συνεκτική συνιστώσα Ο λό θ K k l ί θί έ Ο αλγόριθμος Kruskal ευρίσκει απ ευθείας ένα δάσος επικάλυψης ελάχιστου κόστους.

επαναλάβουμε τον αλγόριθμο σε κάθε συνεκτική συνιστώσα Ο λό θ K k l ί θί έ

18 Αλγόριθμος Kruskal - Πολυπλοκότητα Ταξινόμηση πλευρών: Ο(m logn) (m αριθμός πλευρών) Εξακρίβωση σχηματισμού κύκλου: Ο(logn) Επαναλήψεις: m Ο(mlogn) + Ο(mlogn) =Ο(mlogn) δεδομένου ότι m < n

19 Σύγκριση των αλγορίθμων ( ) Prim : O n Kruskal = O( mlogn) πυκνοι& m = O ( n ) ( ) ( ) Prim O n < O n logn Αραιοι& m = O ( n) O ( ) O ( ) n > nlogn Kruskal

20 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ G = ( V, E) ) G συνεκτικός Έστω F= F,F,...F με F = V,E ένα δάσος του γράφου και u, v [ ] ένα άκρο στο V ( ) ( ) k i i i η πλευρά με το ελάχιστο κόστος έχουσα Τότε, ανάμεσα σε όλα τα δένδρα επικάλυψης που περιέχουν αυτό το δάσος, υπάρχει ένα, το καλύτερο το οποίο περιέχει αυτή την πλευρά.

η πλευρά με το ελάχιστο κόστος έχουσα Τότε, ανάμεσα σε όλα τα δένδρα επικάλυψης

21 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ - Απόδειξη k U U i= ` Ε στω T = E οι πλευρε& ς του δ & α σους F. i y F 3 x u v F F

22 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ - Απόδειξη k U U i= ` Ε στω T = E οι πλευρε& ς του δ & α σους F. i y F 3 x u v F F

23 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ - Απόδειξη y F 3 x u v F F Ai δέντρο επικάλυψης που περιέχει το Τ Α δέντρο επικάλυψης περιέχον το Τ αλλά όχι τη πλευρά [u,v], με Κ(Α) < Κ(Ai )

24 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ - Απόδειξη y F 3 x u v F F Πρόσθεση της πλευράς [u, v] δημιουργεί κύκλο και υπάρχει [x, y] με x V και y V\V. W > W [ uv, ] T. x y u v

25 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ - Απόδειξη y F 3 x u v F F ( [ uv ] [ xy ] ) A= V,E U, \, W > W xy uv Κ & οστος <Κ ' ( ) ( ) ( ) K A K A K A i ( A ) & οστος ( A ) αδύνατο

Σχετικά έγγραφα

Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους και το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem: TSP)

Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους και το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem: TSP) Αλγόριθμος Prim Ξεκινάμε από ένα δένδρο Τ αποτελούμενο από ένα μόνο κόμβο. Στη συνέχεια, σε κάθε