ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ.

ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ. Ιωάννα Μαµωνά-Downs Ιωάννης Παπαδόπουλος Πανεπιστήµιο Πατρών Σωρεία µελετών εξετάζουν την κατανόηση της έννοιας του εµβαδού επίπεδων σχηµάτων την οποία είτε ήδη κατέχουν είτε αναπτύσσουν µαθητές του δηµοτικού σχολείου ή των πρώτων τάξεων του γυµνασίου. Στην παρούσα εργασία, το ερευνητικό ενδιαφέρον µετατίθεται στη θεώρηση των δεξιοτήτων επίλυσης προβληµάτων που, πιθανόν, συσσωρεύονται µέσα από την ενασχόληση των µαθητών µε δραστηριότητες σχετικές µε τον υπολογισµό εµβαδού. Πιο συγκεκριµένα, εξετάζεται η εργασία δυο µαθητών της Α Γυ- µνασίου πάνω σε µια συγκεκριµένη δραστηριότητα σε αντιπαραβολή µε ορισµένα ζητή- µατα εκτελεστικού ελέγχου (executive control)που αφορούν την επιλογή, τον τρόπο εφαρµογής και την προσαρµογή µέσα από ένα σύνολο ήδη γνωστών µεθόδων οι οποίες συνδέονται µε τον ακριβή καθορισµό του εµβαδού. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλές εµπειρικές µελέτες παιδαγωγών που ερευνούν το πώς οι µαθητές κατανοούν µαθηµατικές έννοιες, συχνά αξιοποιούν µη-τετριµµένες δραστηριότητες προκειµένου να ελέγξουν και να προκαλέσουν σε µεγάλο βαθµό την γνώση (cognition) των µαθητών γύρω από τις µελετώµενες έννοιες. Όµως, η χρήση µη-τετριµµένων δραστηριοτήτων θα µπορούσε να φέρει στο προσκήνιο όψεις της επίλυσης προβληµάτων βασισµένες στην επιλογή στρατηγικών, οι οποίες δεν συµβάλλουν απαραίτητα στην ο- ποιαδήποτε νέα εµβάθυνση της εικόνας της έννοιας (concept image). (Βλέπε για παράδειγµα, Tall & Vinner, 1981, για την ιδέα της εικόνας της έννοιας.) Από την άλλη, τα τεχνάσµατα που έλαβαν χώρα στην αντιµετώπιση τέτοιου είδους δραστηριοτήτων τείνουν να αναφέρονται στο σχετικό εννοιολογικό σκηνικό που υποδηλώνεται από τη δραστηριότητα. Όταν την προσοχή των µαθητών τη µονοπωλεί το στοιχείο της στρατηγικής, τότε θα λέµε ότι οι µαθητές απασχολούνται µε δραστηριότητες επίλυσης προβληµάτων συµπληρωµατικά γύρω από µια έννοια, σε αντιπαράθεση µε τον εµπλουτισµό της έννοιας ο οποίος καταδεικνύεται από την ενασχόληση µε µη-τετριµµένες δραστηριότητες. Καθώς το στοιχείο της στρατηγικής εξακολουθεί να είναι σχετικό µε την έννοια, αν και σε πιο λειτουργικό ρόλο, µπορεί να θεωρηθεί ενδιάµεσο στοιχείο στη διδασκαλία σχετικά µε την επίλυση προβληµάτων και στη διδασκαλία µέσω της επίλυσης προβληµάτων, µια διάκριση που συχνά απαντάται στη βιβλιογραφία (για παράδειγµα, Schroeder & Lester, 1989). Στην εργασία αυτή παρουσιάζουµε µέρος µιας µελέτης η οποία, µέσα από τις προσεκτικά σχεδιασµένες δραστηριότητες που δόθηκαν στους µαθητές που συµµετείχαν, ενεθάρρυνε την επίλυση προβληµάτων συµπληρωµατικά γύρω από την έννοια του 1

εµβαδού. Το κίνητρο για την πραγµατοποίηση της µελέτης αυτής υπήρξε ένα ερευνητικό µας έργο που προηγήθηκε, το οποίο περιελάµβανε µαθητές δηµοτικού και οργανώθηκε για να εξετάσει και να επεκτείνει την κατανόηση του εµβαδού και τη διατήρησή του κάτω από συγκεκριµένες ενέργειες. Τα αποτελέσµατα από αυτό το προηγηθέν εγχείρηµα, µολονότι αποκαλύπτουν πολλά νέα ενδιαφέροντα στοιχεία µέσα από το νεωτεριστικό διδακτικό υλικό (χρήση υπολογιστών), είχαν εν τούτοις οµοιότητες µε αποτελέσµατα άλλων εργασιών που διαπραγµατεύτηκαν το ίδιο θέµα, στο ίδιο επίπεδο, και την ίδια βαθµίδα (για παράδειγµα, Baturo & Nasons, 1996; Clements & Stephan, 1998). Παρατηρήσαµε όµως ότι οι µαθητές είχαν πρόβληµα στο να οργανώσουν τις µεθόδους τους προκειµένου να εφαρµόσουν τη γνώση τους για την έννοια (πέρα από το απλά να προκαλέσουν τη γνώση αυτή). Αν και αυτή η οπτική γωνία για την επίλυση προβληµάτων αποτελεί µια προοπτική που αξίζει α- ναµφίβολα να εξεταστεί, είναι κάτι που µέχρι τώρα δεν έχει αποτελέσει σαφές αντικείµενο έρευνας και δικαιολογεί την παρούσα µελέτη. Η µελέτη µας πραγµατοποιείται µε δυο µαθητές της Α Γυµνασίου που είχαν λάβει µέρος σε ευρύτερη προηγούµενη έρευνά µας. To θέµα της έρευνας ήταν, και συνεχίζει κι εδώ να είναι, η µέτρηση του εµβαδού. Στην παρούσα εργασία περιοριζόµαστε σε µια περίπτωση που περιλαµβάνει µια δραστηριότητα και τους δυο µαθητές. επειδή παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον από την άποψη του εκτελεστικού ελέγχου που ασκείται κατά την εφαρµογή και προσαρµογή ενός συνόλου µεθόδων γνωστών στους µαθητές σχετικών µε τον υπολογισµό ή τη σύγκριση εµβαδών. (Για µια αναλυτική περιγραφή του εκτελεστικού ελέγχου, βλέπε Schoenfeld, 1985). Προφανώς, η επικέντρωση σε αυτές τις µεθόδους σηµαίνει ότι ο έλεγχος θα πρέπει να σχετίζεται µε το γνωστικό υπόβαθρο του /των µαθητή(ών), κι εποµένως αποκτούν ιδιαίτερο ενδιαφέρον µια σειρά από θέµατα, όπως: Εκµεταλλεύτηκαν οι µαθητές το απόθεµα των ήδη από πριν γνωστών µεθόδων και αν ναι, µε ποιον τρόπο; Κατά τη διάρκεια της επίλυσης οι µαθητές πραγµατοποίησαν αλλαγές στην κατεύθυνση µε την οποία προσέγγιζαν το πρόβληµα. Ποια ήταν η ποιότητα του σκεπτικού που συνόδευε τις αλλαγές αυτές; Τι τύπους επαλήθευσης επέλεξαν να χρησιµοποιήσουν στη διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος οι µαθητές; Η εργασία θα περιγράψει τη δραστηριότητα επίλυσης προβλήµατος συµπληρωµατικά-γύρω-από την έννοια του εµβαδού όπως αναδεικνύεται µέσα από τη δουλειά των δυο µαθητών, ειδικά σε σχέση µε τα τρία παραπάνω ερωτήµατα που αφορούν στον εκτελεστικό έλεγχο. 2. Η ΥΠΟ ΟΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ, ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι δυο µαθητές (Νίκος και Κατερίνα) φοιτούσαν στην Α Γυµνασίου σε σχολεία της Θεσσαλονίκης. Μέσα από τις κανονικές παραδόσεις στο µάθηµα των µαθηµατικών είχαν διδαχθεί κάποιες βασικές έννοιες της γεωµετρίας συµπεριλαµβανοµένων ορι- 2

σµένων σχηµάτων και των ιδιοτήτων τους (τα σχήµατα αυτά περιορίζονται κυρίως στα τρίγωνα, τετράπλευρα και κύκλους). Επίσης οι µαθητές γνώριζαν τους τύπους για τον υπολογισµό του εµβαδού κάθε είδους των παραπάνω σχηµάτων. Επιπλέον, και οι δυο µαθητές συµµετείχαν σε προγενέστερα στάδια της έρευνάς µας που διεξήχθη παράλληλα µε την κανονική διδασκαλία των µαθηµάτων τους στο σχολείο. Το γεγονός ότι συµµετείχαν στην προηγούµενη έρευνά µας τους παρείχε εµπειρία στη χρήση ποικίλλων εργαλείων που τους επέτρεπαν να υπολογίζουν το εµβαδόν µη-κανονικών επίπεδων σχηµάτων. Σε αυτά τα διαθέσιµα εργαλεία περιλαµβάνονται: η χρήση πλέγµατος σε έναν γεωπίνακα, η υποδιαίρεση µιας µονάδας µέτρησης επιφάνειας (συνήθως ένα τετράγωνο) σε υπο-µονάδες, εργαλεία µέτρησης µήκους τα οποία επιτρέπουν τον υπολογισµό του εµβαδού ιδιαίτερα των ξεχωριστών µερών στα οποία διαιρούνταν ένα µη-κανονικό σχήµα και επίσης η µέθοδος της αποκοπήςεπικόλλησης. εδοµένου ότι από τη σκοπιά της επίλυσης προβληµάτων και οι δυο µαθητές απεδείχθησαν ιδιαίτερα ικανοί, αυτό που αναµέναµε ήταν ότι θα τα κατάφερναν καλύτερα από άλλους µαθητές στην περίπτωση που ο σχεδιασµός των δραστηριοτήτων θα έδινε έµφαση σε δεξιότητες ελέγχου (κάτι στο οποίο αποσκοπούσε το τελευταίο στάδιο της έρευνάς µας). Στην παρούσα εργασία επιλέγουµε µια από τις δραστηριότητες από αυτήν την τελική φάση και παρουσιάζουµε τη συµπεριφορά επίλυσης προβληµάτων των µαθητών σε σχέση µε τη δραστηριότητα αυτή. Εικόνα 1: Παρουσίαση της δραστηριότητας Επιτρέπεται µόνο δυο φορές να κόψεις ένα κοµµάτι και να το κολλήσεις όπου νοµίζεις ότι ταιριάζει ώστε το τρίγωνο να µετασχηµατιστεί στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι µεγαλύτερο, µικρότερο ή ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου; Το σκεπτικό µας σχετικά µε το σχεδιασµό της παραπάνω δραστηριότητας είναι το ακόλουθο: Οι µαθητές ήταν εξοικειωµένοι µε την τεχνική της αποκοπής-επικόλλησης, και όντως είχαν εµπειρία µε δραστηριότητες όπου απαιτούνταν αρκετές φορές η τεχνική αυτή. Όµως, ποτέ δεν είχαν αντιµετωπίσει την περίπτωση να πρέπει να πραγµατοποιήσουν πολλαπλές ενέργειες κατά τρόπο ώστε οι διαφορετικές ενέργειες να είναι αλληλοεξαρτώµενες, όπως συµβαίνει στην περίπτωση της δραστηριότητας που τους δόθηκε παραπάνω. Μιλώντας µε όρους της επίλυσης προβληµάτων θα µπορούσαµε να πούµε 3

ότι το ιδιαίτερο ενδιαφέρον της δραστηριότητας έγκειται στο να δούµε κατά πόσο οι µαθητές θα µπορούσαν να συντονίσουν τις δυο ενέργειες. Για να κάνουν την πρώτη τους ενέργεια θα έπρεπε να προβλέψουν τη δεύτερη. Μια άλλη ενδιαφέρουσα παρά- µετρος είναι το κατά πόσο οι µαθητές θα προσπαθούσαν να λύσουν το πρόβληµα χρησιµοποιώντας άλλες µεθόδους παρά το γεγονός ότι η εκφώνηση του προβλήµατος τους προσανατόλιζε προς συγκεκριµένη κατεύθυνση. Η δραστηριότητα αυτή αποτελεί µέρος µιας συνεδρίας περίπου δυο ωρών κατά την οποία οι µαθητές ήρθαν αντιµέτωποι µε ακόµη τέσσερις δραστηριότητες. Οι µαθητές εργάστηκαν ατοµικά και τους ζητήθηκε να εκφράζουν µεγαλοφώνως τις σκέψεις τους ενόσω προσπαθούσαν να λύσουν το πρόβληµα. Αυτό ζητήθηκε µε βάση την ανάλυση πρωτοκόλλου όπως αυτή έχει παρουσιαστεί συστηµατικά από τους Simon & Ericsson (1984). Η ανάλυση πρωτοκόλλου που αποτελεί κατάληξη µιας συνεδρίας επίλυσης προβληµάτων χωρίς µεσολαβήσεις από την πλευρά των ερευνητων, θεωρείται ιδιαίτερα πρόσφορη για την τεκµηρίωση της παρουσίας ή απουσίας εκτελεστικών αποφάσεων στην επίλυση προβληµάτων και την επεξήγηση των συνεπειών αυτών των εκτελεστικών αποφάσεων (Schoenfeld, 1992). Η ανάλυση πρωτοκόλλου από τη φύση της ελαχιστοποιεί την παρέµβαση µιας συνέντευξης (από την πλευρά των ερευνητών). Κρίναµε όµως ότι θα ήταν χρήσιµο για την έρευνα να ρωτήσουµε απευθείας τους δύο µαθητές σχετικά µε τα κίνητρα των αποφάσεων τους στη διάρκεια της εργασία τους µε τη δραστηριότητα. Για το λόγο αυτό τους καλέσαµε σε συνέντευξη λίγες µέρες µετά τη συνεδρία. Και οι δυο τύποι δεδοµένων ηχογραφήθηκαν και µεταγράφηκαν για τους σκοπούς της παρούσας έρευνας. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Η ΠΟΡΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΡΙΝΑΣ. Η Κατερίνα, αµέσως µετά την ανάγνωση του προβλήµατος έθεσε σε εφαρµογή µια θεωρούµενη πορεία επίλυσης. Αρχικά κατασκεύασε το τετραγωνικό πλέγµα στο ε- σωτερικό του τριγώνου και του ορθογωνίου. Αυτό ήταν προφανής συνέπεια της επίδρασης του γεγονότος ότι κατά τα δυο τελευταία χρόνια είχε συσσωρεύσει εµπειρία από προβλήµατα που το περιβάλλον τους περιείχε µια τέτοια διάταξη τελειών και συνεπώς η κατασκευή του τετραγωνικού πλέγµατος ήταν µια οικεία στρατηγική γι αυτήν. Το επόµενο βήµα (επίσης απόρροια της παρελθοντικής της εµπειρίας) ήταν να διαιρέσει τις µη πλήρεις τετραγωνικές µονάδες σε υποµονάδες. Όταν κατά τη διάρκεια της συνέντευξης της ζητήσαµε να εξηγήσει της επιλογή της αυτή, η απάντησή της ήταν: «Μόλις είδα το πρόβληµα, αµέσως θυµήθηκα τα προβλήµατα που είχαµε λύσει όσο ήµαστε στο δηµοτικό σχολείο». Όµως, λίγα δευτερόλεπτα αργότερα απέρριψε αυτήν την αρχική της προσέγγιση, πραγµατοποιώντας την πρώτη της αλλαγή κατεύθυνσης στη διαδικασία σκέψης: K.4.5. Αυτό που έκανα δε χρησιµεύει σε τίποτα. Τη ρωτήσαµε γιατί απέρριψε την πρώτη της σκέψη. Η απάντησή της ήταν: Οι οδηγίες µιλούν για δυο κινήσεις. Εάν συνέχιζα µε τα τετραγωνάκια θα έπρεπε να τα µετακινώ 4

ένα-ένα και εποµένως θα χρειαζόµουν περισσότερες από δυο κινήσεις προκειµένου να λύσω το πρόβληµα. Αποφάσισε τότε να διαιρέσει το τρίγωνο σε τρία µέρη α, β and γ (Εικόνα 2): K.4.10. Το τµήµα γ δε χρειάζεται να το µετακινήσω καθόλου γιατί ήδη βρίσκεται µέσα στο ορθογώνιο. Η Κατερίνα πολύ γρήγορα ξεκαθάρισε ότι το κοµµάτι γ ήταν η κοινή επιφάνεια των δυο σχηµάτων, ένα εύρηµα που θα τη βοηθούσε να προχωρήσει στην επίλυση του προβλήµατος. Ο τρόπος όµως που προσέγγισε τη λύση µετά την απόφασή της αυτή ήταν εντελώς αριθµητικός. Προσπάθησε να υπολογίσει το εµβαδόν κάθε υποσχήµατος βασισµένη πάλι στις τετραγωνικές µονάδες που σχηµάτιζε η διάταξη των τελειών που υπήρχε στο σχήµα. Η ύπαρξη όµως µη-πλήρων τετραγωνικών µονάδων ήταν ένα εµπόδιο. Ως αντίδραση στο εµπόδιο αυτό, η Κατερίνα πραγµατοποίησε τη δεύτερη αλλαγή κατεύθυνσης της σκέψης της. Παρατήρησε την ορθή γωνία στο κοµµάτι δ εξωτερικά του τριγώνου. Αποφάσισε έτσι να µεταφέρει το κοµµάτι α (που είναι ορθογώνιο τρίγωνο) µέσα στο υπόλοιπο εσωτερικό µέρος του ορθογωνίου έτσι ώστε να συµπίπτουν οι ορθές γωνίες. Εικόνα 2. Η διαίρεση του τριγώνου από την Κατερίνα και η µεταφορά των µερών που προέκυψαν. Στο σηµείο αυτό παρέµενε ανοικτό το ερώτηµα πως η µαθήτρια κατάφερε να σχεδιάσει την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου στη νέα του θέση. Στη συνέντευξη η αντίδρασή της ήταν: «Μέτρησα τις τελείες. Ήξερα ότι η ορθή γωνία χωράει ακριβώς στην άκρη. Έτσι µέτρησα την απόσταση ανάµεσα στις άκρες». Έπειτα, µετέφερε το κοµµάτι β όπως φαίνεται στην εικόνα 2. Τέλος, η Κατερίνα κάνει µια εκτίµηση για τη διατήρηση του εµβαδού µέσα στο πλαίσιο αυτό. Στο ερώτηµα: ποιο εµβαδόν είναι µεγαλύτερο, η απάντησή της ήταν: «Ακριβώς το ίδιο. Αφού δεν περισσεύει κανένα κοµµάτι». 3.2 Η ΠΟΡΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΝΙΚΟΥ. Ο Νίκος αρχικά κατανάλωσε ένα µέρος του χρόνου του στο να εξοικειωθεί µε το πρόβληµα προτού αποφασίσει για το πώς να προχωρήσει. Η αρχική του σκέψη ήταν ότι το τρίγωνο ΑΒΧ ήταν ισοσκελές (Εικόνα 3). Προσπάθησε να το αποδείξει µετρώντας τα µήκη των δυο υποτιθέµενων ίσων πλευρών. Η προσπάθειά του βασίστηκε στις τελείες του πίνακα, όµως οι µετρήσεις του δεν ήταν ακριβείς επειδή ο πίνακας επιτρέπει ακριβείς µετρήσεις µόνο οριζόντια ή κατακόρυφα (ενώ οι πλευρές του τριγώνου κείνται πλάγια). Είναι προφανές ότι αυτό που πέτυχε ήταν να βρει προ- 5

σεγγίσεις των πραγµατικών µηκών. Κατά συνέπεια οι µετρήσεις των πλευρών δεν έδωσαν ίσα εξαγόµενα και αυτό τον παρακίνησε να δηλώσει πως αυτές οι µετρήσεις δεν στάθηκαν ικανές να τον βοηθήσουν. Στο σηµείο αυτό πραγµατοποίησε την πρώτη του αλλαγή στην κατεύθυνση της σκέψης του: Figure 3. Η διαίρεση του τριγώνου από το Νίκο. N.4.17 Ίσως πρέπει να κόψω αυτό το τρίγωνο.αυτό που περισσεύει έξω και να το βάλω µέσα στο άλλο σχήµα. Σχεδίασε στη συνέχεια τα τρίγωνα Β Ω και ΕΩΧ. Ήδη είχε πραγµατοποιήσει µια κατάλληλη διαίρεση σε επιµέρους κοµµάτια όµως δεν µπορούσε ακόµη να δει το πως θα πρέπει να µεταφέρει τα κοµµάτια που προέκυψαν από τη διαίρεση αυτή µέσα στο ορθογώνιο: N.4.46 Πρέπει να βρω κάποιο τρίγωνο που θα είναι ακριβώς το ίδιο µε το ΑΓΕ. Λόγω της αδυναµίας του να δουλέψει σε ένα γεωµετρικό πλαίσιο στράφηκε προς ένα αριθµητικό, για δεύτερη φορά κατά τη διάρκεια αυτής της δραστηριότητας, συγκρίνοντας µήκη. Στο σηµείο αυτό διατύπωσε τη γνώµη ότι το σηµείο Ε είναι το µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΧ. N.4.71 N.4.72 N.4.76 N.4.81 N.4.82 Το σηµείο E χωρίζει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΧ ακριβώς στη µέση. Έτσι, το ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ θα προσαρµόζει ακριβώς πάνω στο ΕΧ. Και µας περισσεύει µια περιοχή Είναι µια ορθή γωνία. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να τοποθετήσω το τρίγωνο κατά τέτοιο τρόπο ώστε η πλευρά ΕΧ να εφάπτεται στην ΕΑ.. Λογικά τα δυο τρίγωνα ΕΩΧ και Β Ω θα πρέπει να έχουν και τα δυο µαζί εµβαδόν ίσο µε αυτό του τριγώνου ΑΕΓ. Πρέπει να επαληθεύσω ότι αυτό είναι σωστό. Θα βρω το εµβαδόν των δυο πρώτων τριγώνων και θα το συγκρίνω µε το εµβαδόν του ΑΓΕ. Μολονότι η διαίσθησή του τον πληροφόρησε ότι τα δυο τρίγωνα µαζί είχαν το ίδιο εµβαδόν µε το τρίτο, ο ίδιος αισθάνθηκε ότι πρέπει να σιγουρευτεί γι αυτό. Κατέφυγε λοιπόν ξανά σε µια αριθµητική προσέγγιση. Μέτρησε κατά προσέγγιση βάσεις και ύψη, εφάρµοσε το γνωστό τύπο για τον υπολογισµό του εµβαδού τριγώνου, όµως τα δυο επιµέρους εξαγόµενα ήταν διαφορετικά. Ο Νίκος το απέδωσε στο ότι έκανε λανθασµένες µετρήσεις. N.4.89 N.4.90 Αυτό σηµαίνει ότι µάλλον έχω κάνει κάποιο λάθος στον υπολογισµό των εµβαδών των προηγουµένων σχηµάτων. Πρέπει να το ξανακοιτάξω. Το ένστικτό του, λοιπόν, τον έκανε να επιµένει στην αρχική του διαίσθηση, πράγµα που υποδηλώνει πως αυτή η διαίσθηση ήταν τόσο ισχυρή ώστε να υποθέτει ότι η α- 6

ποτυχία του στην επαλήθευση οφειλόταν σε λανθασµένους υπολογισµούς. Πράγµατι, όταν αργότερα τον ρωτήσαµε γιατί επέµενε τόσο, απάντησε: Ήµουν τόσο σίγουρος ότι το εµβαδόν των δυο τριγώνων µαζί, του ΕΩΧ και του ΩΒ, ήταν ίσο µε το εµβαδόν του ΑΕΓ, ώστε να πιστεύω πως το ότι δεν µπορούσα να το επιβεβαιώσω µε τους αριθµούς, ο- φειλόταν σε δικούς µου λανθασµένους υπολογισµούς και συνεπώς έπρεπε να ξαναπροσπαθήσω µε αριθµούς. Τέλος στράφηκε ξανά σε µια γεωµετρική προσέγγιση. N.4.114 Θα κόψω το τρίγωνο ΒΩ και θα το προσαρµόσω στη γωνία ΑΓΕ. N.4.115 Μετά, θα κόψω το τρίγωνο ΕΧΩ και θα το κολλήσω µε τέτοιο τρόπο ώ- στε η πλευρά ΕΧ να εφάπτεται στην πλευρά ΑΕ και η κορυφή Ω να κοιτά προς το σηµείο Γ. Ενδιαφέρουσα είναι τέλος η εξήγηση που δίνει ο Νίκος σχετικά µε την καθυστέρησή του να φτάσει στη λύση του προβλήµατος: N.4.122 N.4.123 Νοµίζω ότι άργησα πολύ να φτάσω στη λύση επειδή από την αρχή ασχολήθηκα µε τους τύπους και δεν το κοίταξα σαν να ήταν ένα σχήµα. εν έψαξα να βρω τη σχέση που είχε το σχήµα που µου ζητούνταν να φτιάξω µέσω του µετασχηµατισµού, µε το σχήµα που ήδη υπήρχε. 4. ΣΧΟΛΙΑ Στη συνέχεια παραθέτουµε µια ερµηνεία των αποτελεσµάτων που προέκυψαν από τα στοιχεία που συλλέξαµε: 1) Τι τεχνικές επέλεξαν να χρησιµοποιήσουν οι µαθητές στη διάρκεια της επίλυσης; Η Κατερίνα διάβασε το πρόβληµα και αµέσως επέλεξε να εφαρµόσει µια µέθοδο από το απόθεµα αυτών που κατά το παρελθόν είχε συναντήσει και που ήταν σχετικές µε τη µέτρηση του εµβαδού. Υπάρχουν ενδείξεις ότι η απόφασή της αυτή επηρεάστηκε από το γεγονός ότι το πρόβληµα δίνονταν σε πλέγµα τελειών. Η διάταξη των τελειών ενεργοποίησε, στην Κατερίνα, τη συµπλήρωση και καταµέτρηση τετραγωνικών µονάδων που βρίσκονταν εξολοκλήρου µέσα στο σχήµα, ως µέθοδο επίλυσης. (Στην εργασία της Mamona-Downs, 2002, διατυπώνεται ο ισχυρισµός ότι κάποιοι σχηµατισµοί ( cues ) δρουν ως νοητά ερεθίσµατα που πυροδοτούν την πρόσβαση σε συγκεκριµένες περιοχές γνώσης). Αυτό συνέβη παρά τη ρητή οδηγία να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος αποκοπής-επικόλλησης. Η αρχική συµπεριφορά του Νίκου µε την οποία αντιµετωπίζει το πρόβληµα έρχεται σε αντίθεση µε αυτήν της Κατερίνας. Αρχικά, αφιέρωσε κάποιο χρόνο για να εξοικειωθεί µε το περιβάλλον του προβλήµατος και να κάνει µια προκαταρκτική διερεύνηση. Αυτό θα µπορούσε να συσχετιστεί µε το πρώτο βήµα που εισηγήθηκε ο Polya για την επίτευξη µιας λύσης κατά την επίλυση προβληµάτων, γνωστού ως Αποκτώντας εξοικείωση?? [Κατανοώντας το πρόβληµα??], (βλέπε Polya, 1973, σ. 33). Επίσης, το σηµείο εκκίνησης του Νίκου ε- µπλέκει µια δοµική εικασία (structural conjecture) (ένα συγκεκριµένο τρίγωνο είναι ισοσκελές). Η εικασία αυτή ανασύρει στην επιφάνεια προηγούµενή του εµπειρία σχετικά µε τη µέτρηση µηκών µέσα στο δεδοµένο πλέγµα τελειών, ως κριτήριο της 7

εγκυρότητας. Στην πραγµατικότητα και οι δυο µαθητές κατέφυγαν στη µέθοδο αυτή προκειµένου να ελέγξουν τις γεωµετρικές τους ιδέες. Όµως, το πιο σηµαντικό ίσως ήταν ότι στο τέλος και οι δυο πραγµατοποίησαν την πρώτη από τις δυο µεταφορές κατά τρόπο που να µην συνάδει ακριβώς µε το πρωτόκολλο της αποκοπής και επικόλλησης. Και αυτό γιατί το κοµµάτι που µεταφέρθηκε τοποθετήθηκε µέσα στο εναποµείναν ορθογώνιο, όχι όµως έτσι ώστε να έχει κοινή τη µια του πλευρά µε το αρχικό σχήµα από το οποίο είχε αποκοπεί. Η ευρετική του Polya σχετικά µε το µπορείς να χρησιµοποιήσεις το αποτέλεσµα; φάνηκε να επηρεάζει τους µαθητές ούτως ώστε αυτοί να διευρύνουν µια γνωστή τους από την προηγούµενη εµπειρία τους µέθοδο σε µια περισσότερο ευέλικτη η οποία προσεγγίζει περισσότερο την γενικότερη εικόνα της διαίρεσης ενός πολύπλοκου σχήµατος σε επί µέρους υπο-σχήµατα, όπως αυτή η διαίρεση περιγράφεται από τον Hartshorne, 2000, σ.213. 2) Η λήψη αποφάσεων Και οι δυο µαθητές πραγµατοποίησαν ποικίλες αλλαγές στην προσέγγιση του προβλήµατος κατά τη διάρκεια επίλυσης. Η Κατερίνα απορρίπτει την αρχική της ιδέα για τη χρήση του πλέγµατος επειδή η µέθοδος αυτή δεν ανταποκρίνεται στις δεδοµένες προδιαγραφές του προβλήµατος σχετικά µε τις δυο κινήσεις. Όµως, αυτή η αιτιολόγηση θα µπορούσε να αποτελεί µια έµµεση θεώρηση που θα στόχευε στο να εξηγηθεί το προηγούµενό της σχόλιο: Αυτό που έκανα δε χρησιµεύει σε τίποτα. Προφανώς συνάντησε δυσκολίες στη µέθοδό της, όµως αντί να προσπαθήσει να ξεκαθαρίσει τη σκέψη της προτιµά να προσέξει περισσότερο µια συνθήκη του προβλήµατος την οποία πρωτύτερα είχε αγνοήσει. Όµως, αυτό στην πράξη αποδείχθηκε µια χρήσι- µη ενέργεια ελέγχου: Αν µια µέθοδος που χρησιµοποιείς δε φαίνεται να αποδίδει, κοίτα πίσω στην εκφώνηση του προβλήµατος για να σιγουρευτείς εάν δεν υπάρχει κάποιος υπαινιγµός για το πώς να προχωρήσεις προς µια άλλη κατεύθυνση. Αυτό επέτρεψε την Κατερίνα να αλλάξει εντελώς την επικέντρωση του της, και έτσι υλοποιεί το χωρισµό του τριγώνου σε τρία µέρη. ιατυπώνει µια δικαιολογία γι αυτό: ένα µέρος είναι κοινό τόσο στο τρίγωνο όσο και στο ορθογώνιο και άρα θα παρέµενε αµετάβλητο, αφήνοντας έτσι τα άλλα δύο µέρη που µπορούν να µεταφερθούν. Αυτό θα µπορούσε να θεωρηθεί ως µια ενέργεια ελέγχου, βασισµένη στην αξιοποίηση δοµικών οµοιοτήτων που η Κατερίνα έχει αντιληφθεί (Mamona-Downs & Downs, 2005). Ο Νίκος ξεκίνησε την προσπάθειά του επιχειρώντας να δείξει ότι ένα τρίγωνο ήταν ισοσκελές, τη στιγµή που αυτό δε φαινόταν να εξυπηρετεί κάποια σκοπιµότητα σε σχέση µε τις απαιτήσεις του προβλήµατος. (Η ανάληψη τέτοιων τυφλών κατευθύνσεων και τα αποτέλεσµατά τους έχουν καλυφθεί από τον Schoenfeld, 1985.) Σύντοµα απορρίπτει την προσέγγιση αυτή, αλλά όπως και η Κατερίνα, το κάνει αυτό χωρίς να έχει µια πρακτική θεώρηση: η ορθότητα της βασικής ιδέας παραµένει αδιαµφισβήτητη. Αργότερα, ο Νίκος αντιµετωπίζει µια σύγκρουση µεταξύ κάποιων δεδοµένων που επιτεύχθηκαν από µετρήσεις και της γεωµετρικής του διαίσθησης. Παίρνει µια απόφαση: να θεωρήσει τη µέτρηση λανθασµένη, και να κατευθύνει την προσοχή του στο πως να ενισχύσει το επιχείρηµά του βασισµένος τώρα στην εξεικόνιση (visualization) απαξιώνοντας έτσι την αξία της µέτρησης. Και αυτό πράγµατι κάνει και µάλιστα αρ- 8

κετά πειστικά στο τέλος. Τέλος, σε ένα από τα σχόλια µε τα οποία κλείνει ο Νίκος (N.4.123) δηλώνει ότι κάνοντας µια ανασκόπηση της εργασίας ένιωσε ότι θα έπρεπε να ήταν περισσότερο προσανατολισµένη προς το ζητούµενο του προβλήµατος, υποδεικνύοντας και πάλι την ευρετική του Polya Μπορείς να χρησιµοποιήσεις το αποτέλεσµα;. 3) Επαλήθευση Σε προηγούµενες ασκήσεις όπου οι µαθητές είχαν να αντιµετωπίσουν τη µέθοδο της αποκοπής και επικόλλησης, η µεταφορά της περιοχής γινόταν αντιληπτή µε το µάτι. Το περισσότερο εξεζητηµένο πλαίσιο αυτού του προβλήµατος ωστόσο έκανε και τους δυο µαθητές να αισθανθούν την ανάγκη να επαληθεύσουν ότι οι δυο µεταφορές πράγµατι εξασφάλιζαν το ζητούµενο. Αυτό από µόνο του αποτελεί µια σηµαντική ενέργεια ελέγχου. Το συνταίριασµα των κοµµατιών δεν ήταν τόσο ευδιάκριτο ώστε να αφεθεί χωρίς να συζητηθεί. Τελικά οι δυο µαθητές επαλήθευσαν µε διαφορετικό τρόπο: Η Κατερίνα βασίστηκε στη µέτρηση και ο Νίκος στην εξεικόνιση. Ο τρόπος επαλήθευσης της Κατερίνας, συγκρινόµενος µε του Νίκου, ήταν περισσότερο πρακτικός ενώ η λύση, όπως την αντιλαµβάνεται τελικά ο Νίκος, χαρακτηρίζεται από µεγαλύτερη γνωστική εµβάθυνση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο εκτελεστικός έλεγχος αφορά την αξιολόγηση από µέρους του λύτη της κατάστασης της εργασίας του/της όπως εξελίσσεται εκείνη τη στιγµή σε αντιπαραβολή µε τις προθέσεις του/της. Γενικά, αυτό απαιτεί ώριµη περίσκεψη στην προβολή του δυνα- µικού της σκέψης εκείνη τη στιγµή συναρµοσµένου µε µια πρόβλεψη του πως αυτή σκέψη θα µπορούσε να εναρµονιστεί µε το σύστηµα που υποδηλώνεται από το ίδιο το πρόβληµα. Ο Schoenfeld (1985) έχει καταδείξει ότι πολλοί προπτυχιακοί φοιτητές έχουν περιορισµένες δεξιότητες εκτελεστικού ελέγχου. Από την άλλη, ο ίδιος παρατήρησε ότι µερικοί, αρκετά µικροί, µαθητές φαίνεται να έχουν την ικανότητα να παίρνουν προσεκτικές αποφάσεις που οδηγούν σε αποτελεσµατικές αλλαγές στον τρόπο προσέγγισης του προβλήµατος (1992) συµβάλλοντας στο ερευνητικό ερώτη- µα: Τι δεξιότητες εκτελεστικού ελέγχου µπορούµε να περιµένουµε από τους µικρότερους µαθητές; Η παρούσα µελέτη, που εµπλέκει δωδεκάχρονους µαθητές, απαντά στο προηγούµενο ερώτηµα και αποκαλύπτει ότι: (i) Οι µαθητές έχουν την ικανότητα να προσαρµόζουν και να επεκτείνουν γνωστές µεθόδους ανταποκρινόµενοι σε µη τετριµµένες καταστάσεις επίλυσης προβλη- µάτων, όποτε κατανοήσουν ότι η προβληµατική κατάσταση µπορεί να δεχτεί µια ευρύτερη προσέγγιση. (ii) Οι µαθητές προκαλούν αλλαγές στην προσέγγιση, αν και οι ενδείξεις της παρούσας µελέτης αφήνουν να εννοηθεί ότι αυτές οι αλλαγές υποκινούνται περισσότερο από την αδυναµία τους να προχωρήσουν περαιτέρω παρά από το γεγονός ότι είναι σε θέση να ανακαλύψουν µε ακρίβεια γιατί η συγκεκριµένη προσέγγιση δεν αποδίδει όπως θα επιθυµούσαν. Οι µαθητές εκµεταλλεύονται τα φανερά δοµικά χαρακτηρι- 9

στικά που εµφανίζονται µέσα στο περιβάλλον του προβλήµατος και τα οποία πλαισιώνουν τις στρατηγικές τους. (iii) Όταν οι µαθητές συλλάβουν σε γενικές γραµµές ένα σχέδιο που θα οδηγήσει πιθανόν στην επίλυση του προβλήµατος, δραστηριοποιούνται και επιµένουν στη δια- µόρφωση επαληθεύσεων και δεν περιορίζονται µόνο στην υπόθεση ότι απλά το νοητικό τους σχέδιο λύνει το πρόβληµα. Βιβλιογραφία Baturo Annette and Nasons Rod (1996). Student teachers' subject matter knowledge within the domain of area measurement. Educational Studies in Mathematics, (31), 235-268. Clements Douglas & Stephan Michele (1998). Measurement in Pre K2 mathematics. In Clements D, Sarama J, and Dibiase AM (Eds), Engaging young people in mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education, (pp. 299-320), Mahwah, NJ, Lawrence Erlbaum Ass. Hartshorne Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer - Verlag. Mamona-Downs J. (2002). Accessing knowledge for problem solving. In Vakalis I., Hughes Hallet D, et al (Compilers), Proceedings of the 2 nd Conference on the teaching of mathematics at the undergraduate level (electronic form), Iraklion (Greece), John Wiley, NY. Mamona-Downs J, Downs M (2005). The identity of problem solving. Journal of Mathematical Behavior (24), 385-401. Polya, G. (1973 Edition). How to solve it. Princeton: Princeton University Press. Schoenfeld H Alan (1985). Mathematical problem solving. Academic Press, Inc. Schoenfeld H Alan (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In Grouws D (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. (pp. 334-370). New York: MacMillan. Schroeder L Thomas & Lester K Frank (1989). Developing Understanding in Mathematics via Problem Solving. In Traftor R Paul (Ed.), New Directions for Elementary School Mathematics (pp. 31-42). Reston: NCTM. Simon H & Ericsson A (1984) Protocol Analysis. Verbal Reports as Data. Cambridge, MA: MIT Press. Tall, D. O. & Vinner, S. (1981) " Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity, Educational Studies in Mathematics, 12(2), 151-169. 10