1 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για τη λύση του προβλήµατος : ιαβάζουµε µε µεγάλη προσοχή το πρόβληµα Ξεχωρίζουµε τα δεδοµένα από τα ζητούµενα Συµβολίζουµε τον άγνωστο µε µία µεταβλητή Καταστρώνουµε την εξίσωση που περιγράφει το πρόβληµα και την επιλύουµε ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σ ένα ορθογώνιο, µία διάσταση είναι τριπλάσια της άλλης. Αν η περίµετρος είναι 48 cm, να βρεθεί το εµβαδόν του ορθογωνίου. Έστω η µικρότερη διάσταση τότε η µεγαλύτερη είναι και αφού η περίµετρος είναι 48, έχουµε την εξίσωση + + + = 48 8 = 48 = 6 Συνεπώς οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι η µία 6 cm και η άλλη 6 = 18cm Άρα το εµβαδόν Ε είναι Ε = 6 18 = 108 cm. Ο Κώστας αγόρασε 0 m ύφασµα µε έκπτωση 8% και πλήρωσε 160 ευρώ. Να βρεθεί πόσο κόστιζε το µέτρο το ύφασµα. πριν την έκπτωση. Έστω η αξία του υφάσµατος πριν την έκπτωση. 8 Τότε η έκπτωση είναι = 0,08 100 Εποµένως τα χρήµατα που δόθηκαν για την αγορά του υφάσµατος είναι 0,08 = 0,9. Με βάση το πρόβληµα έχουµε 0,9 = 160 άρα = 16 = 17,91 ευρώ 0,9 Εποµένως κάθε µέτρο του υφάσµατος κόστιζε πριν την έκπτωση 17,91 = 8,70 ευρώ 0
. Ο Πέτρος αγόρασε ένα τραπέζι µε συντελεστή Φ.Π.Α. 16% και πλήρωσε συνολικά 10,1 ευρώ. Να βρεθεί η αξία του τραπεζιού χωρίς τον Φ.Π.Α. Έστω η αξία του τραπεζιού χωρίς τον ΦΠΑ. 16 Τότε ο ΦΠΑ είναι = 0,16 100 Εποµένως τα χρήµατα που δόθηκαν για την αγορά του τραπεζιού είναι + 0,16 = 1,16 Με βάση το πρόβληµα έχουµε 1,16 = 10,1 άρα = 10,1 = 88 ευρώ 1,16 Εποµένως το τραπέζι πριν την έκπτωση κόστιζε 88 ευρώ 4. Να βρεθούν δύο αριθµοί που έχουν άθροισµα 7 και το τετραπλάσιο του µεγαλύτερου να ισούται µε το πενταπλάσιο του µικρότερου. Έστω ο ποιο µικρός αριθµός τότε ο µεγαλύτερος είναι 7. Με βάση το πρόβληµα έχουµε 4(7 ) = 5 88 4 = 5 88 = 9 = 88 9 = Εποµένως ο µικρότερος αριθµός είναι το και ο µεγαλύτερος το 7 = 40 5. Ο πατέρας του Νίκου είναι 6 χρόνια µεγαλύτερος από τον Νίκο. Αν πριν 5 χρόνια οι ηλικίες τους είχαν άθροισµα 40, να βρεθεί η ηλικία καθενός. Έστω η σηµερινή ηλικία του Νίκου. Τότε η σηµερινή ηλικία του πατέρα του είναι + 6 Πριν 5 χρόνια οι ηλικίες ήταν 5 και + 6 5 αντίστοιχα. Με βάση το πρόβληµα έχουµε 5 + + 6 5 = 40 = 4 = 1 Εποµένως ο Νίκος σήµερα είναι 1 ετών και ο πατέρας του 1 + 6 = 8 ετών
6. Ένας πτηνοτρόφος πούλησε το 1 των αυγών που είχε και ακόµη, µετά πούλησε τα 5 4 των υπολοίπων και ακόµη. Έτσι του έµειναν 8 αυγά. Να βρεθεί πόσα αυγά είχε. Έστω ότι ο πτηνοτρόφος είχε αυγά. Το πλήθος των αυγών που πούλησε την πρώτη φορά είναι 1 + Εποµένως του έµειναν 1 + = 1 = Το πλήθος των αυγών που πούλησε την δεύτερη φορά είναι 4 5 + Εποµένως του έµειναν 4 + 5 = 8 8 + 15 5 = 8 15 + 8 5 = 8 15 + 8 5 4 Με βάση το πρόβληµα έχουµε 8 15 + 8 5 4 = 8 15 8 15 15 +15 8 15 4 = 15 8 5 10 8 + 4 60 = 40 = 40 4 + 60 = 456 άρα = 8 Συνεπώς ο πτηνοτρόφος είχε 8 αυγά.
4 7. Να βρεθούν τρείς διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί, ώστε το µισό του µικρότερου συν το 1 του µεγαλύτερου να ισούται µε τον µεσαίο ελαττωµένο κατά. Έστω ο µικρότερος. Τότε η ζητούµενη τριάδα των αριθµών σε αύξουσα σειρά είναι, + 1, +. 1 Με βάση το πρόβληµα έχουµε + 1 ( + ) = + 1 1 + 1 ( + ) = Ε Κ Π (, ) = 6 6 1 + 6 1 ( + ) = 6 6 + ( + ) = 6 1 + + 4 = 6 1 = 16 Εποµένως οι τρεις αριθµοί είναι οι 16, 17, 18 8. Μία βρύση γεµίζει µία δεξαµενή σε 1 λεπτά, µία άλλη σε 0 λεπτά και µία τρίτη σε 0 λεπτά. Να βρεθεί σε πόσα λεπτά θα γεµίσει η δεξαµενή αν τρέχουν και οι τρείς βρύσες µαζί. Έστω ότι η δεξαµενή θα γεµίσει σε λεπτά τρέχοντας και οι τρείς βρύσες µαζί. Η πρώτη βρύση γεµίζει την δεξαµενή σε 1 λεπτά. 1 Οπότε στο 1 λεπτό γεµίζει το της δεξαµενής 1 και σε λεπτά γεµίζει τα της δεξαµενής 1 Οµοίως οι άλλες βρύσες, σε λεπτά γεµίζουν τα αντίστοιχα Οπότε σε λεπτά κάθε µία βρύση γεµίζει τα : 1 = 5 60, 0 = 60, 0 = 60 0 και 0 της δεξαµενής αντίστοιχα Τρέχοντας και οι τρεις µαζί για λεπτά γεµίζει η δεξαµενή, άρα γεµίζουν τα 60 της δεξαµενής. 60 Εποµένως ισχύει ότι 5 60 + 60 + 60 = 60 60 5 + + = 60 10 = 60 = 6 ηλαδή η δεξαµενή θα γεµίσει σε 6 λεπτά. της δεξαµενής
5 9. Ο Νίκος δάνεισε τα 4 των χρηµάτων του µε % και τα υπόλοιπα µε 4 %. Μετά ένα χρόνο πήρε τόκο 100. Να βρεθεί πόσα χρήµατα είχε ο Νίκος, πόσα δάνεισε µε % και πόσα µε 4 %. Έστω ότι ο Νίκος είχε ευρώ, τότε τα 4 αυτών είναι 4 Ο τόκος αυτού του ποσού για έναν χρόνο είναι 100 9 = 4 400 Το υπόλοιπο ποσό είναι 1 και ο τόκος του για ένα χρόνο είναι 4 4 100 1 4 = 1 100 Με βάση το πρόβληµα έχουµε 9 400 + 1 100 = 100 9 400 400 + 400 1 100 = 400 100 9 + 4 = 50000 1 = 50000 = 40000 Άρα ο Νίκος είχε 40000 ευρώ και δάνεισε µε % τα 4 40000 = 0000 ευρώ και µε 4% το υπόλοιπο ποσό των 10000 ευρώ 10. Η περίµετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 80cm. Να βρεθούν οι πλευρές του αν κάθε µία από τις ίσες πλευρές είναι κατά 7 cm µεγαλύτερη από την βάση του τριγώνου. Έστω το µήκος της βάσης. Τότε κάθε µία από τις ίσες πλευρές είναι + 7 Με βάση το πρόβληµα έχουµε + 7 + + 7 + = 80 = 66 = ηλαδή η βάση είναι cm και κάθε µία από τις ίσες πλευρές είναι + 7 = 9 cm.
6 11. ύο γωνίες είναι συµπληρωµατικές. Αν η µεγαλύτερη ισούται µε το τετραπλάσιο της µικρότερης ελαττωµένο κατά 0 ο, να βρεθούν οι δύο γωνίες. Έστω η µικρότερη γωνία τότε η µεγαλύτερη είναι 4 0 και αφού οι γωνίες είναι συµπληρωµατικές, έχουµε + 4 0 = 90 5 = 110 = Πράγµα που σηµαίνει ότι η µικρότερη γωνία είναι ο και η µεγαλύτερη 90 ο ο = 68 ο 1. Σ ένα αγρόκτηµα υπάρχουν ζώα (κότες και κατσίκες). Αν τα ζώα έχουν συνολικά 10 πόδια και 50 κεφάλια, να βρεθεί πόσες είναι οι κότες και πόσες οι κατσίκες. Είναι φανερό ότι, αφού όλα τα ζώα έχουν 50 κεφάλια το πλήθος των ζώων είναι 50. Έστω ότι υπάρχουν κότες. Τότε οι κατσίκες είναι 50 Οι κότες έχουν πόδια και οι 50 κατσίκες έχουν 4(50 ) πόδια Σύµφωνα µε το πρόβληµα έχουµε + 4(50 ) = 10 + 00 4 = 10 = 80 = 40 Εποµένως υπάρχουν 40 κότες και 10 κατσίκες 1. Η µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι 4 cm µεγαλύτερη από την µικρότερη βάση. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 15 cm και το εµβαδόν του 10 cm να βρεθούν οι βάσεις του τραπεζίου. Έστω το µήκος της µικρής βάσης β, τότε η µεγάλη βάση B είναι + 4 (B + β)υ Ο τύπος Ε = που µας δίνει το εµβαδόν του τραπεζίου κατά το πρόβληµα ( + 4 + )15 ( + 4 + )15 γίνεται 10 = άρα 10 = 40 = ( + 4)15 40 = 0 + 60 60 = 0 = 1 Εποµένως η µικρή βάση είναι 1 cm και η µεγάλη 1 + 4 = 16 cm
7 14. Σ ένα τρίγωνο η γωνία Α είναι 5 ο µεγαλύτερη της Β, και η της Γ. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. Έστω ότι Γ = µοίρες. Τότε Β = και Α = + 5 Όµως το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο µε 180 ο Άρα + + + 5 = 180 7 = 175 = 5 Εποµένως Γ = 5 ο, Β = 75 ο και Α = 80 ο Β είναι τριπλάσια 15. Τρείς διαδοχικοί άρτιοι φυσικοί αριθµοί έχουν άθροισµα 4. Να βρεθούν οι αριθµοί. Έστω ότι είναι ο µικρότερος αριθµός τότε η τριάδα αυτών σε αύξουσα σειρά είναι, +, + 4 και σύµφωνα µε το πρόβληµα έχουµε + + + + 4 = 4 = 6 = 1 Εποµένως οι αριθµοί είναι οι 1, 14, 16.