3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Transcript

1 . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ λέγεται σταθερός όρος.. Γραµµική εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Λύση της εξίσωσης α + β = γ: νοµάζουµε κάθε ζεύγος αριθµών (, ) που την επαληθεύει. Γραφική παράσταση της εξίσωσης α + β = γ µε α 0 ή β 0 Είναι η παρουσίαση σε ένα σύστηµα συντεταγµένων όλων των σηµείων Μ(, ) των οποίων οι συντεταγµένες επαληθεύουν την εξίσωση. Η γραφική παράσταση της παραπάνω εξίσωσης είναι µία ευθεία γραµµή έστω ε Την εξίσωση α + β = γ την ονοµάζουµε εξίσωση της ευθείας ε. 5. Σηµείο σε ευθεία : Αν ένα σηµείο Μ(, ) ανήκει σε µία ευθεία ε, τότε οι συντεταγµένες του σηµείου επαληθεύουν την εξίσωση της ε και αντίστροφα Αν οι συντεταγµένες ενός σηµείου Μ(, ) επαληθεύουν την εξίσωση µιας ευθείας ε τότε το Μ(, ) ανήκει στην ευθεία ε 6. ιερεύνηση της γραφικής παράστασης της εξίσωσης α + β = γ µε α 0 ή β 0 Αν α 0 και β 0, η εξίσωση λυόµενη ως προς παίρνει τη µορφή α = + γ β β η οποία έχει γραφική παράσταση ευθεία γραµµή που τέµνει τους άξονες.

2 Αν α = 0, τότε η εξίσωση λυόµενη ως προς παίρνει τη µορφή = γ β η οποία έχει γρ. παράσταση ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα των Αν β = 0, τότε η εξίσωση λυόµενη ως προς παίρνει την µορφή = γ α η οποία έχει γρ. παράσταση ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα των Συµπεράσµατα : ) Κάθε εξίσωση της µορφής = λ + µ µε λ 0 έχει γραφική παράσταση ευθεία γραµµή η οποία τέµνει τους άξονες. Ειδικότερα, αν η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, η εξίσωση της γίνεται = λ ) Κάθε εξίσωση της µορφής = κ έχει γραφική παράσταση ευθεία γραµµή, η οποία είναι παράλληλη στον άξονα των και τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (0, κ). ) Κάθε εξίσωση της µορφής = κ έχει γραφική παράσταση ευθεία γραµµή, η οποία είναι παράλληλη στον άξονα των και τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (κ, 0). ) άξονας των έχει εξίσωση την = 0 ενώ ο άξονας των την = 0 7. Η εξίσωση α + β = γ µε α = 0 και β = 0 Αν γ 0, η εξίσωση παίρνει τη µορφή = γ 0, η οποία είναι αδύνατη, αφού δεν επαληθεύεται για κανένα ζεύγος τιµών (, ), οπότε δεν έχει γραφική παράσταση κάποια ευθεία γραµµή. Αν γ = 0, η εξίσωση παίρνει τη µορφή = 0, η οποία επαληθεύεται για οποιοδήποτε ζεύγος τιµών (, ) (αόριστη εξίσωση) Όµως τα ζεύγη (, ) που την επαληθεύουν έχουν γραφική παράσταση σηµεία τα οποία δεν βρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία γραµµή, άρα και σε αυτή την περίπτωση η γραφική παράσταση δεν είναι κάποια ευθεία γραµµή.

3 ΣΧΛΙΑ. Πλήθος λύσεων γραµµικής εξίσωσης Αν µία γραµµική εξίσωση έχει µία λύση τότε έχει άπειρες λύσεις. Προσδιορισµός µιας λύσης της εξίσωσης α + β = γ Για να βρούµε µια λύση της παραπάνω εξίσωσης βάζουµε στη θέση του ενός αγνώστου µία οποιαδήποτε τιµή και λύνουµε ως προς τον άλλο. Μορφή απείρων λύσεων Εκφράζουµε τον έναν άγνωστο συναρτήσει του άλλου. Υπενθύµιση: ι ευθείες = όταν α = α και β β α + β και = α + β είναι παράλληλες 5. Σχεδίαση της γραφικής παράστασης της εξίσωσης α + β = γ µε α 0 και β 0 : Επειδή η παραπάνω εξίσωση έχει γραφική παράσταση ευθεία γραµµή, για να την σχεδιάσουµε βρίσκουµε τις συντεταγµένες δύο σηµείων από τα οποία διέρχεται η ευθεία και τα ενώνουµε

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Η εξίσωση = έχει λύση το ζεύγος (0, 0) Λ Η εξίσωση είναι γραµµική Λ γ) Η ευθεία = είναι παράλληλη στον άξονα των Σ δ) Η ευθεία = τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (0, ) Σ ε) Το σηµείο (0, 0) ανήκει στην ευθεία + = 0 Σ Θεωρία στ) ι ευθείες = και = είναι παράλληλες Σ ζ) Η διχοτόµος της ης γωνίας των αξόνων έχει εξίσωση την = Σ η) Η εξίσωση (λ + ) + λ = παριστάνει ευθεία για κάθε τιµή του λ Σ Για = 0 και = 0 η εξίσωση γίνεται 0 = ψευδές, άρα η πρόταση είναι λάθος Προφανώς όχι αφού υπάρχει ο όρος, άρα η πρόταση είναι λάθος γ) Ναι διότι είναι της µορφής = κ, άρα η πρόταση είναι σωστή δ) Ναι διότι επαληθεύεται για = 0, =, άρα η πρόταση είναι σωστή ε) Για = 0 και = 0 η εξίσωση γίνεται 0 = 0 αληθές, άρα η πρόταση είναι σωστή στ) Ναι διότι και οι δύο είναι παράλληλες προς τον άξονα των άρα η πρόταση είναι σωστή ζ) Ναι είναι γνωστό από την θεωρία άρα η πρόταση είναι σωστή η ) Επειδή οι συντελεστές λ + και λ των και δεν µηδενίζονται ταυτόχρονα, η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιµή του λ, άρα η πρόταση είναι σωστή

5 5. Στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση Η ευθεία + = τέµνει τον άξονα των στο σηµείο Α(, 0) Β(, 0) Γ(, ) (, ) Ε(, 0) Η ευθεία = είναι παράλληλη Α. στον άξονα Β. στην ευθεία = Γ. στην ευθεία =. στον άξονα των γ) Αν η ευθεία + = κ διέρχεται από το σηµείο Α(, ), το κ είναι ίσο µε Α. 0 Β. Γ.. 5 Ε. δ) Η µορφή των λύσεων της εξίσωσης + = είναι Α. (, ) Β. (, ) Γ(, ).(, ) ε) Η ευθεία = είναι παράλληλη Α. στον άξονα των Β. στον άξονα των Γ. στην ευθεία µε εξίσωση =. στην ευθεία µε εξίσωση 6 = 7 Θεωρία --5-6, σχόλιο Για = 0 έχουµε =, άρα το σηµείο τοµής µε τον άξονα των είναι το (, 0), οπότε σωστό είναι το Ε Επειδή είναι της µορφής = κ, είναι παράλληλη στον άξονα των. πότε σωστό είναι το γ) Για = και = η εξίσωση γίνεται 5 = κ, οπότε σωστό είναι το δ) Λύνοντας ως προς βρίσκουµε =. Εποµένως λύσεις είναι όλα τα ζεύγη της µορφής (, ), οπότε σωστό είναι το ε) 7 Η εξίσωση γίνεται = και η 6 = 7 γίνεται = Αυτές οι δύο είναι παράλληλες οπότε σωστό είναι το

6 6. Στο διπλανό σχήµα, σε κάθε ευθεία αντιστοιχίστε την εξίσωση της και συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Α. = Β. = Γ. =. + = Ε. = ε 5 ε ε ε ε ε ε ε 5 Ε Α Β Γ Από την θεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση = είναι η εξίσωση της ε η εξίσωση = είναι η εξίσωση της ε η εξίσωση = είναι η εξίσωση της ε 5 η εξίσωση + = είναι η εξίσωση της ε η εξίσωση = είναι η εξίσωση της ε Πίνακας συµπληρωµένος φαίνεται παραπάνω ε ε. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις ευθείες ε : = ε : = 7 ε : = Τι παρατηρείτε; Με τη βοήθεια των παρακάτω πινάκων τιµών 0 ε ε 7 ε σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση των τριών ευθειών. Παρατηρούµε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες Σχόλιο 5,5-5 ε ε ε -,5 -

7 7 5. Να βρείτε τις θετικές ακέραιες λύσεις τις εξίσωσης + = 6 και να κάνετε τη γραφική τους παράσταση. Η εξίσωση γίνεται = 6 5 Α Για = έχουµε = 5 σηµείο Α(, 5) Β = = Β(, ) = = Γ(, ) Γ = = (, ) = 5 = Ε(5, ) Ε 5 6. Έστω η εξίσωση (µ ) + (µ + ) = 5 Να αποδείξτε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για οποιαδήποτε τιµή του µ. Να βρείτε την τιµή του µ ώστε η ευθεία να είναι i) παράλληλη στον άξονα των ii) παράλληλη στον άξονα των συντελεστής µ του µηδενίζεται για µ = και ο συντελεστής µ + του µηδενίζεται για µ =. Επειδή δεν υπάρχει τιµή του µ που να µηδενίζει ταυτόχρονα τους συντελεστές των και, η δοθείσα εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιµή του µ. i) Για να είναι παράλληλη στον άξονα των, πρέπει να είναι της µορφής = κ. Άρα θα πρέπει µ = 0 δηλαδή µ = ii) Για να είναι παράλληλη στον άξονα των, πρέπει να είναι της µορφής = κ. Άρα θα πρέπει µ + = 0 δηλαδή µ = 7. Έστω η ευθεία ε : + + = λ Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε η ε να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Για την µεγαλύτερη από τις παραπάνω τιµές να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ε. Πρέπει η εξίσωση της ε να επαληθεύεται για = 0 και = 0. Εποµένως πρέπει : = λ άρα λ = λ = ή λ = Για λ = η εξίσωση γίνεται + = 0 οπότε = Η γραφική παράσταση φαίνεται δίπλα = - -

8 8 8. Μία τυρόπιτα κοστίζει και ένα σάντουιτς κοστίζει. ιαθέτουµε 0. Αν αγοράσαµε τυρόπιτες και σάντουιτς, να βρείτε µία γραµµική εξίσωση που να συνδέει τα και. Πόσες τυρόπιτες και πόσα σάντουιτς µπορεί να έχουµε αγοράσει δεδοµένου ότι έχουµε αγοράσει και από τα δύο είδη ; Η δαπάνη για τις τυρόπιτες είναι = και για τα σάντουιτς = Η ζητούµενη εξίσωση είναι η + = 0 Ζητάµε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης που είναι > 0 9 Για = έχουµε =, λύση που δεν είναι δεκτή αφού το δεν είναι ακέραιος. Για = έχουµε = 9, λύση που είναι δεκτή µοίως συνεχίζοντας βρίσκουµε τις λύσεις ( = και = 8) ( = 6 και = 7) ( = 8 και = 6) ( = 0 και = 5) ( = και = ) ( = και = ) ( = 6 και = ) ( = 8 και = ) 9. Ένα δροµέας ξεκινάει από την πόλη Α προς την πόλη Β µε ταχύτητα 8km / h και ένας άλλος δροµέας από την πόλη Β προς την πόλη Α µε ταχύτητα 0 km / h. ι δροµείς ξεκινούν ταυτόχρονα και συναντιούνται µετά από t ώρες. Αν ο µέχρι την στιγµή της συνάντησης είχε διανύσει km και ο km, Να βρείτε µία γραµµική εξίσωση που να συνδέει τα και Αν η απόσταση των δύο πόλεων είναι 5 km, να βρείτε µετά από πόσες ώρες συναντήθηκαν και την απόσταση που είχε διανύσει ο κάθε δροµέας. Από τη Φυσική ξέρουµε ότι για τον δροµέα ισχύει = 8t άρα t = 8 () και για τον ότι = 0t άρα t = 0 () Από τις () και () έχουµε 8 = 0 εποµένως 5 = 0 Είναι φανερό ότι + = 5 άρα 8t + 0t = 5 8t = 5 t = ηλαδή οι δροµείς θα συναντηθούν µετά από τρεις ώρες και ο θα έχει διανύσει = km ενώ ο θα έχει διανύσει = 0 km

9 9 0. Η ευθεία + = λ διέρχεται από το σηµείο Μ(, ). Να βρείτε την τιµή του λ Για λ = να βρείτε τα σηµεία τοµής της ευθείας µε τους άξονες. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ευθεία µε τους άξονες Αφού η ευθεία διέρχεται από το Μ, ισχύει + = λ λ = Για λ= η εξίσωση γίνεται + = Για = 0 έχουµε =. Άρα το σηµείο τοµής µε τον άξονα των είναι Α 0, Για = 0 έχουµε =. Άρα το σηµείο τοµής µε τον άξονα των είναι Β(, 0) γ) Όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήµα, το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι (ΑΒ) = Α Β 8 = = 6 τ. µονάδες 5 A 8 B 5. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες µε εξισώσεις ε : =, ε : =, ε : =. Η ε τέµνει τις ε και ε στα Α και Β. Μία άλλη ευθεία ε µε εξίσωση = κ, όπου κ < 0, τέµνει την ε στο Γ και την ε στο έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓ να έχει εµβαδόν 50. Να βρείτε την τιµή του κ. Είναι φανερό ότι (ΑΒΓ ) = ΑΒ Α = = 5 ( κ)* = =0 5κ Όµως (ΑΒΓ ) = 50 Άρα 0 5κ = 50 5κ = 0 κ = 6 *το στο κ µπαίνει αφού κ < 0 Α ε : = κ Γ ε : = Β ε : = ε : = κ

10 0. Έστω η ευθεία ε : + = 5 Να εξετάσετε αν τα σηµεία Α(, ) και Β(, ) βρίσκονται στην ευθεία. Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σηµείο Μ(λ, λ ) Για = και = η εξίσωση γίνεται + = 5, αληθές. πότε το σηµείο Α βρίσκεται στην ε Για = και = η εξίσωση γίνεται + 9 = 5 αληθές. πότε το σηµείο Β βρίσκεται στην ε Για να διέρχεται η ε από το Μ πρέπει (λ ) + (λ ) = 5 οπότε λ + λ = 0 = και λ, = ± = ± = 7 ή