2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Transcript

1 1 2.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ Εφαπτοµένη οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε εφαπτοµένη της γνίας και συµβολίζουµε µε εφ το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείµενη κάθετη πλευρά. ηλαδή εφ = 2. Κλίση δρόµου : ν είναι ένας δρόµος και το οριζόντιο επίπεδο τότε την εφαπτοµένη της γνίας την ονοµάζουµε κλίση του δρόµου Κλίση της ευθείας y = α : Θυµίζουµε ότι ο λόγος α = y y Ο y = α ονοµάζεται κλίση της ευθείας y = α και είναι α = y = εφ ηλαδή η κλίση της ευθείας y = α είναι ίση µε την εφαπτοµένη της γνίας που σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα τν

2 2 ΣΧΟΛΙ Προσδιορισµός της εφ : ια να βρούµε την εφαπτοµένη µιας οξείας γνίας, ή χρησιµοποιούµε τριγνοµετρικούς πίνακες, ή κοµπιουτεράκι. 2. Κατασκευή µε τον χάρακα και τον διαβήτη γνίας µε δεδοµένη εφαπτοµένη Έστ ότι εφ = β γ. y Κατασκευάζουµε ορθή γνία y. Με κέντρο το και ακτίνα γ γράφουµε κύκλο, που τέµνει την στο. Με κέντρο το και ακτίνα β γράφουµε κύκλο, που τέµνει την y στο. Φέρουµε τη. Τότε η ζητούµενη γνία είναι η αφού εφ = = β γ β γ Κλίση δρόµου σε ποσοστό % : Η έκφραση ο δρόµος έχει κλίση α %, σηµαίνει ότι για κάθε 100m οριζόντιας απόστασης ο δρόµος ανεβαίνει ή κατεβαίνει α m. Οπότε κλίση = εφ = α 100 = 0,0α ΣΚΗΣΕΙΣ Χαρακτηρίστε τις παρακάτ προτάσεις µε Σ αν είναι σστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες α) ν θ οξεία τότε εφθ = 0 β) εφ5 ο = 2 γ) Κλίση ενός δρόµου ονοµάζεται η γνία που σχηµατίζει ο δρόµος µε το οριζόντιο επίπεδο δ) Η ευθεία y = 2 έχει κλίση 2 ε) ν θ οξεία τότε πάντα η εφθ είναι δεκαδικός αριθµός α) Λάθος αφού για κάθε οξεία γνία θ είναι εφθ > 0 β) Λάθος αφού εφ5 ο = 1 γ) Λάθος αφού κλίση είναι η εφ δ) Σστό, όπς προκύπτει από την θερία ε) Λάθος, µπορεί η εφθ να είναι και θετικός ακέραιος

3 3 2. Στα παρακάτ σχήµατα επιλέξτε την σστή απάντηση α) β). εφ = 29. εφ > εφφ εφ = εφφ. εφ < εφφ. εφφ = φ φ. εφ = 6 8. εφ = 29. εφφ = α) Είναι εφφ = 10 8 και εφ = 8 10 και επειδή 10 8 > 8, είναι εφφ > εφ 10 β) Οµοίς εφφ = άρα σστό το Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε την απόσταση Στο τρίγνο έχουµε ότι Σχόλιο 1 εφ ο = 5 άρα 0,36 = οπότε 13,7 Στο τρίγνο έχουµε ότι εφ50 ο = άρα 1,1918 = οπότε 16,3 13,7 Εποµένς = ,3 =,3 περίπου ο 50 ο 5. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το ύψος της κεραίας Στο τρίγνο είναι εφ23 ο = άρα 30 0,25 = οπότε 30 = 12,7 m περίπου 1 o 23 o 30m Στο τρίγνο είναι εφ1 ο = άρα 30 0,8693 = οπότε 30 = 26 m περίπου To ύψος της κεραίας είναι = = 26 12,7 = 13,3 m

4 5. Στο διπλανό σχήµα η κλίση της µπάρας είναι 10 % και το σηµείο βρίσκετε 5 m ψηλότερα από το Να βρείτε την κλίση της µπάρας. εφε Ε Ε = άρα 0,1 = 0 0 οπότε Ε = m 0m B E 1m K Σχόλιο 3 φού το βρίσκεται 5 m ψηλότερα από το, είναι Κ = 5 = 25 m Κλίση = εφκ ɵ = Κ Κ = 25 = 0,2 περίπου 1 6. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος της υποτείνουσας. εφ65 ο = άρα 2,15 = οπότε = 1,86 περίπου ɵ = 90 ο 65 ο = 25 ο και εφ25 ο = άρα 0,663 = οπότε = 8,57 περίπου συνεπώς = + = 1,86 + 8,57 = 10,3 65ο 7. Στο διπλανό σχήµα είναι εφ = 2εφθ. δείξτε ότι το είναι µέσο του. Είναι εφ = και εφθ = Η υπόθεση εφ = 2εφθ γίνεται = 2 άρα = 2 = 2 θ Πράγµα που σηµαίνει ότι το είναι µέσο του

5 5 8. Στο διπλανό ορθογώνιο να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του ορθογνίου. εφ0 ο = άρα 0,8391 = = 23,8 cm περίπου Η περίµετρος Π του ορθογνίου είναι Π = ,8 = 0 + 7,6 = 87,6 cm Το εµβαδόν Ε είναι Ε = 23,8 = 76 cm 2 0 ο cm 9. Στα παρακάτ σχήµατα να βρείτε το µήκος και τις υποτείνουσες τν τριγώνν 5 5 o 30o Στο πρώτο τρίγνο, επειδή µία οξεία γνία του ορθογνίου τριγώνου είναι 5 ο, αυτό είναι ισοσκελές. Άρα = 5 ν y είναι η υποτείνουσα, από το Πυθαγόρειο έχουµε ότι y 2 = = 2 2 = 50 y = 50 = 7,07 περίπου Στο δεύτερο τρίγνο, είναι εφ30 ο = άρα 0,577 = = 6,9 περίπου και για την υποτείνουσα z, z 2 = = 6, = 63,61 z = 63,61 = 7,97 περίπου 10. Στο διπλανό σχήµα είναι εφ = 3 και = 18 m. Να υπολογίσετε την περίµετρο και το εµβαδόν του τριγώνου. εφ = άρα 3 = 18 οπότε = 13,5 m πό Πυθαγόρειο έχουµε 2 = = = ,5 2 = = ,25 = = 506,25 Οπότε = 506, 25 = 22,5 m Περίµετρος = + + = ,5 + 13,5 = 5 m 18 13,5 Το εµβαδόν Ε είναι Ε = = = 1,5 m B