6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

Transcript

1 1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό, να πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) και η τιµή του άλλου µε τον ίδιο αριθµό β) Εξετάζουµε αν τα ποσά συνδέονται µε µία σχέση αναλογίας, δηλαδή µε σχέση της µορφής y = α γ) Εξετάζουµε αν το πηλίκο όλων των αντιστοίχων τιµών είναι το ίδιο 2. Επίλυση προβλήµατος αναλογιών Αφού συµβολίσουµε µε µία µεταβλητή τον άγνωστο του προβλήµατος, φτιάχνουµε τον πίνακα της αναλογίας και στη συνέχεια εξισώνουµε τους ίσους λόγους. ΣΧΟΛΙΟ Για τα ανάλογα ποσά : Αν τα ποσά α και β είναι ανάλογα των γ και δ, α τότε ισχύει γ = β (1) δ Θυµίζουµε ότι η (1) είναι ισοδύναµη µε τις σχέσεις α β = γ δ και αδ = βγ και ότι α γ =β δ = α + β γ + δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Από 7,5 kg αλεύρι βγαίνουν 10 kg ψωµί. Να βρείτε πόσα κιλά ψωµί βγαίνουν από 18 kg αλεύρι. Έστω ότι από 18 kg βγαίνουν kg ψωµί. Τότε έχουµε τον παρακάτω πίνακα Κιλά αλεύρι 7,5 18 Κιλά ψωµί 10 Επειδή τα ποσά αλεύρι ψωµί είναι ανάλογα, έχουµε την αναλογία 7,5 = 18 οπότε 7,5 = 180 άρα = 180 : 7,5 = ηλαδή από 18kg αλεύρι θα παραχθούν 24 kg ψωµί

2 2 2. Ένα φυτό έχει ύψος 80 cm και ρίχνει σκιά 50cm. Αν η σκιά ενός δένδρου είναι 8m, πόσο είναι το ύψος του ; Έστω cm το ύψος του δέντρου. ύψος 80 σκιά Επειδή 8m = 800cm έχουµε τον διπλανό πίνακα 80 Τα ποσά ύψος σκιά είναι ανάλογα, οπότε 50 = = = 1280 Εποµένως το δέντρο έχει ύψος 1280 cm = 12,80 m 3. Τα 40 κιλά ελιές βγάζουν 5 κιλά λάδι. Πόσα κιλά ελιές βγάζουν 120 κιλά λάδι; Έστω ότι 120 kg λάδι βγαίνουν από kg ελιές. Τότε έχουµε τον παρακάτω πίνακα Κιλά ελιές 40 Κιλά λάδι Επειδή τα ποσά ελιές λάδι είναι ανάλογα, έχουµε την αναλογία = οπότε 5 = 4800 = 4800 : 5 = 960 ηλαδή 120 kg λάδι βγαίνουν από 960 kg ελιές 4. Ένα ακίνητο πουλήθηκε µε έκπτωση 10%. Ποιά είναι η αρχική τιµή αν το ακίνητο πουλήθηκε ; Είναι φανερό ότι, αν η αξία του ακινήτου είναι 100, µετά την έκπτωση αυτό πωλείται 90. Αν η ζητούµενη αρχική τιµή είναι τότε έχουµε τον πίνακα Αρχική τιµή 100 Τιµή πώλησης Επειδή τα ποσά αρχική τιµή τιµή πώλησης είναι ανάλογα, έχουµε 100 = οπότε 90 = άρα = : 90 = ηλαδή η αρχική τιµή ήταν 30000

3 3 5. Έµπορος αγόρασε 20 ζεύγη παπούτσια µε 40 το ένα, και κάποια από αυτά τα πούλησε µε κέρδος 50%. Τα τελευταία 5 ζευγάρια στις εκπτώσεις τα πούλησε µε έκπτωση 30% στην αρχική τιµή πώλησης. Ποιό είναι το ποσοστό του τελικού κέρδους ; Κόστος παπουτσιών = = 800 Τα 15 ζευγάρια πουλήθηκαν µε κέρδος 50% 50 Κέρδος από το κάθε ένα από τα παραπάνω ζευγάρια = 40 = Τιµή πώλησης του κάθε ενός από αυτά τα ζευγάρια = = 60 Είσπραξη από την πώληση = = Έκπτωση για το καθένα από τα 5 τελευταία ζευγάρια = 60 = Τιµή πώλησης κάθε ενός από τα 5 τελευταία ζευγάρια = = 42 Είσπραξη από τα 5 ζευγάρια = 42 5= 210 Συνολική είσπραξή = = 1110 Συνολικό κέρδος = = 310 Αν % είναι το τελικό ποσοστό κέρδους, θα έχουµε τον πίνακα Έξοδα αγοράς Κέρδος 310 Τα ποσά έξοδα αγοράς κέρδος είναι ανάλογα, οπότε ηλαδή το τελικό ποσοστό κέρδους ήταν 38,75% = οπότε = = 31000:800 = 38,75 6. Βιοµηχανία λαµπτήρων έκανε έλεγχο της ποιότητας και έβγαλε 2% λαµπτήρες ελαττωµατικούς. Σε παραγγελία 5000 λαµπτήρων πόσους επιπλέον λαµπτήρες πρέπει να στείλει για να αποφύγει τυχόν παράπονα; Ή τι έκπτωση πρέπει να κάνει στην τιµή ; Οι ελαττωµατικοί λαµπτήρες στούς 5000 χιλιάδες λαµπτήρες είναι = 100 λαµπτήρες 100 Εποµένως για να µήν υπάρχουν παράπονα η εταιρία πρέπει να στείλει επιπλέον 100 καλούς λαµπτήρες, ή να µήν χρεώσει το 2% των λαµπτήρων, εποµένως να κάνει έκπτωση 2%.

4 4 7. Τα 250 gr χρυσού κοστίζουν Να βρείτε πόσο κοστίζει το κιλό ο χρυσός. Έστω η αξία του 1kg= 1000gr χρυσού Από τον πίνακα Βάρος χρυσού Αξία 7560 και επειδή τα ποσά βάρος αξία είναι ανάλογα έχουµε ηλαδή το κιλό ο χρυσός κοστίζει = οπότε = = :250 = ύο φίλοι έβγαλαν κέρδος από µία επιχείρηση ίσο µε τα 7 2 του κεφαλαίου που είχαν επενδύσει. Αν το κέρδος του πρώτου ήταν 3000 και του δεύτερου 4000, να βρείτε πόσο ήταν το κεφάλαιο που επένδυσε ο καθένας. Το συνολικό κέρδος ήταν = 7000 και αντιπροσωπεύει τα 7 2 του κεφαλαίου που επένδυσαν. Εποµένως, αν ήταν το κεφάλαιο που επένδυσαν, θα έχουµε 7 2 = 7000 οπότε = 7000 : 7 2 = = = = ηλαδή το συνολικό κεφάλαιο της επένδυσης ήταν Μετά από αυτά, αν είναι το κεφάλαιο που επένδυσε ο πρώτος φίλος, τότε για τον πρώτο φίλο έχουµε τον πίνακα επένδυση κέρδος Και επειδή τα ποσά κεφάλαιο επένδυσης κέρδος είναι ανάλογα, έχουµε = οπότε 7000 = = : 7000 = ηλαδή ο πρώτος φίλος επένδυσε και εποµένως ο δεύτερος = 14000

5 5 9. ύο αθλητικοί όµιλοι κάνουν τις εξής προσφορές. Ο πρώτος όµιλος 500 εγγραφή και 100 το χρόνο και ο δεύτερος 200 το χρόνο α) Να βρείτε τις σχέσεις που εκφράζουν τη δαπάνη στον κάθε όµιλο για έτη. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των σχέσεων αυτών δίνοντας στο τις τιµές 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 γ) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε µε ποιές προϋποθέσεις συµφέρει ο ένας ή ο άλλος όµιλος. α) Ο 1 ος όµιλος για έτη έχει συνδροµή y = και ο 2 ος y = 200 β) Με την βοήθεια των παρακάτω πινάκων τιµών Σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση των σχέσεων Η οποία φαίνεται παρακάτω γ) y = y = απάνη Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι µέχρι και τον 4 ο χρόνο συµφέρει ο 2 ος όµιλος ( η µαύρη γραµµή είναι χαµηλότερα από την κόκκινη), τον 5 ο χρόνο η δαπάνη είναι ίδια και από τον 6 ο χρόνο και πάνω συµφέρει ο 1 ος όµιλος ος όµιλος ος όµιλος O Έτη

6 6 10. Βιβλίο πωλήθηκε µε ΦΠΑ 8% στο ποσό των 270. Να βρείτε πόση ήταν η αξία πριν τον ΦΠΑ και πόσο ήταν ο ΦΠΑ. Αν το βιβλίο είχε αξία 100, σύµφωνα µε την υπόθεση θα επωλείτο µαζί µε τον ΦΠΑ 108. Τώρα που πουλήθηκε 270, αν υποθέσουµε ότι η αρχική του αξία χωρις τον ΦΠΑ ήταν, έχουµε τον πίνακα Αρχική τιµή 100 Τιµή µε ΦΠΑ Τα ποσά αρχική τιµή ΦΠΑ είναι ανάλογα, εποµένως = οπότε 108 = = 27000:108 = 250 ηλαδή η αρχική αξία του βιβλίου ήταν 250 και εποµένως ο ΦΠΑ ήταν ύο παιδιά ηλικίας 8 και 12 ετών µοιράστηκαν 4000 ανάλογα µε την ηλικία τους. Να βρείτε το ποσόπου πήρε το κάθε παιδί. Έστω το µερίδιο του πρώτου παιδιού και y του δεύτερου. Με βάση την υπόθεση έχουµε + y = 4000 και Όµως 8 = y 12 = + y 20 = 4000 = = y 12 Σχόλιο Οπότε 8 = 200 άρα = 1600 και y = 200 άρα y = Συνεπώς το πρώτο παιδί πήρε 1600 και το δεύτερο 2400

7 7 12. Το οξυγόνο και το άζωτο στον ατµοσφαιρικό αέρα βρίσκονται σε αναλογία 6 : 19. Να βρείτε πόση ποσότητα από το κάθε αέριο βρίσκονται σε 15 kg ατµοσφαιρικού αέρα. Έχτω kg το οξυγόνο και y kg το άζωτο στα 12 kg του ατµοσφαιρικού αέρα. Με βάση την υπόθεση έχουµε + y = 12 και y = 6 Σχόλιο 19 Όµως, από τη σχέση y = 6 προκύπτει ότι 19 6 = y 19 άρα 6 = y 19 = + y = = 0,48 25 Οπότε 6 = 0,48 συνεπώς = 2,88 και y = 0,48 συνεπώς y = 9,12 19 ηλαδή στα 12 kg ατµοσφαιρικού αέρα υπάρχουν 2,88 kg οξυγώνο και 9,12 kg άζωτο 13. Ένα αυτοκίνητο κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα κάλυψε τα 5 4 µιας διαδροµής σε 3 ώρες. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα καλύψει την υπόλοιπη διαδροµή. Αν το υπόλοιπο 5 1 το καλύψει σε ώρες, τότε από τον δίπλα πίνακα, επειδή τα ποσά τµήµα απόστασης χρόνος είναι ανάλογα, έχουµε = 1 5 άρα 4 3 = 5 5 Τµήµα 4 1 απόστασης 5 5 χρόνος οπότε = : = = ηλαδή την υπόλοιπη απόσταση θα την καλύψει σε 4 3 ώρες = 45 λεπτά

8 8 14. Τρείς συνέταιροι ίδρυσαν επιχείρηση και έβαλαν κεφάλαιο 6000 ο πρώτος, 9000 ο δεύτερος και 5000 ο τρίτος. Αν η επιχείρηση είχε κέρδη 60000, να βρείτε τι ποσό θα πάρει ο καθένας. Έστω τα κέρδη του πρώτου y του δεύτερου και ω του τρίτου. Είναι φανερό ότι + y + ω = και ότι για να είναι δίκαιη η µοιρασιά, τα κέρδη πρέπει να είναι ανάλογα του κεφαλαίου που επένδυσε ο καθένας. ηλαδή 6000 = y 9000 = ω Σχόλιο 5000 Όµως 6000 = y 9000 = ω 5000 = + y + ω = = Οπότε = 3 άρα = y = 3 άρα y = και 9000 ω = 3 άρα ω = Συνεπώς ο πρώτος θα πάρει κέρδος 18000, ο δεύτερος και ο τρίτος Ένα καλοριφέρ ανάβει 2 ώρες το πρωί, 1 ώρα το µεσηµέρι και 3 το βράδυ και καταναλώνει σε 16 ηµέρες 1000 λίτρα πετρέλαιο. Αν η λειτουργία αυξηθεί κατά 1 ώρα το πρωί και κατά 1 ώρα το βράδυ, πόσο πετρέλαιο θα καταναλωθεί σε 30 ηµέρες; Τα ποσά χρόνος λειτουργίας κατανάλωση πετρελαίου είναι ανάλογα. Από την υπόθεση, τα 1000 λίτρα πετρέλαιο καταναλώνονται όταν το καλοριφέρ λειτουργεί 6 ώρες την ηµέρα για 16 ηµέρες δηλαδή σε 6 16 = 96 ώρες. Αν η λειτουργία αυξηθεί κατά 2 ώρες την ηµέρα, τότε σε 30 ηµέρες το καλοριφέρ θα λειτουργήσει (6 + 2) 30= 240 ώρες. Οπότε αν είναι η ποσότητα του πετρελαίου που θα καταναλωθεί έχουµε τον παρακάτω πίνακα Ώρες λειτουργίας Κατανάλωση πετρελαίου Άρα = οπότε 96 = άρα = ηλαδή το καλοριφέρ θα καταναλώσει 2500 λίτρα πετρέλαιο

9 9 16. Ένα προϊόν πωλείται µε έκπτωση 20%. Να βρείτε πόσο θα πουληθεί αν πριν την έκπτωση αξίζει 230. Αν το προϊόν άξιζε 100 θα επωλείτο µετά την έκπτωση 80. Τώρα που αξίζει 230, έστω ότι θα πουληθεί. Εποµένως έχουµε τον πίνακα Τιµή πριν την έκπτωση Τιµή µετα την έκπτωση 80 Τα ποσά τιµή πριν την έκπτωση και τιµή µετά την έκπτωση είναι ανάλογα Εποµένως = άρα 100 = οπότε = ηλαδή το προϊόν θα πουληθεί Η τιµή ενός προϊόντος αυξήθηκε από 1,20 σε 1,80. Να υπολογίσετε την % αύξηση της τιµής του προϊόντος. Στην τιµή του 1,20 είχαµε αύξηση 1,80 1,20 = 0,60 Έστω ότι στην τιµή των 100 έχουµε αύξηση. Τότε έχουµε τον πίνακα Αρχική τιµή 1, Αύξηση 0,60 Και επειδή τα ποσά αρχική τιµή αύξηση είναι ανάλογα ηλαδή η αύξηση ήταν 50% 1,20 = 100 0,60 1,20 = 60 = 50 άρα 18. Μία µηχανή συσκευασίας προϊόντος λειτουργώντας 8 ώρες την ηµέρα συσκευάζει 2000 πακέτα βάρους 0,5 κιλά το καθένα. Αν αυξηθεί ο χρόνος λειτουργίας σε 20 ώρες την ηµέρα, να βρείτε πόσα κιλά του προϊόντος θα συσκευάσει σε 30 ηµέρες. Έστω ότι λειτουργώντας 20 ώρες θα συσκευάσει πακέτα. Τότε έχουµε τον πίνακα Ώρες λειτουργίας 8 20 Πακέτα 2000 Και επειδή τα ποσά χρόνος λειτουργίας πακέτα είναι ανάλογα, 8 έχουµε = 20 άρα 8 = οπότε = ηλαδή την ηµέρα θα συσκευάζει 5000 πακέτα βάρους ,5 = 2500 κιλών. Συνεπώς σε 30 ηµέρες θα συσκευάσει = κιλά = 75 τόνους προϊόντος