BAΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a / x. Πεδιο Ορισμου: Α = =(-,0) (0, + ) (αφου πρεπει x 0) * 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον;. Aν α, θετικοι. Συνολο Τιμων: f(α) = (αφου, να συγκρινεται για x 0 τους ειναι αριθμους και f(x)= Α α = α +, Β = α + α x 0) 3. Συμμετριες: Για καθε x και το -x. Aκομα Ετσι : η f ειναι περιττη στο 4. Σημεια Τομης με Αξονες: Απο την εξισωση 3 3. α α f(-x) = = - = -f(x) -x x α y = x εχουμε xy=α 0 Αρα x 0 και y 0, που σημαινει οτι δεν υπαρχουν σημεια τομης με τους αξονες. 5. Μονοτονια: Η μονοτονία της f(x)= α x εξαρτάται από το α. Aν α > 0 τοτε f στο (-,0) και f στο (0, + ) Aν α < 0 τοτε f στο (-,0) και f στο (0, + ) Σχολιο: Η f δεν ειναι γνησιως φθινουσα η αυξουσα σ ολο το. Ειναι γν. φθινουσα η αυξουσα κατα διαστηματα. 6. Ακροτατα: Απο τον πινακα μονοτονιας προκυπτει οτι η f δεν εχει ακροτατα στο α 7. Γραφικη Παρασταση: Η γραφικη παρασταση εχει εξίσωση y = και παριστανει x μια καμπυλη που λεγεται υπερολη. Αποτελειται απο δυο κλαδους συμμετρικους ως προς την αρχη των αξονων. α > 0 α < 0 Οταν η μεταλητη x παιρνει πολυ μεγαλες τιμες, αυξανομενη συνεχως, λεμε οτι το x τείνει στο + και συμολίζουμε x +. Οταν η μεταλητη x παιρνει πολυ μικρες τιμες, μειουμενη συνεχως, λεμε οτι το x τείνει στο - και συμολίζουμε x -. Οταν η μεταλητη x παιρνει τιμες πολυ κοντα στο 0, πλησιαζοντας απο τα θετικα, + λεμε οτι το x τεινει στο 0 απο δεξια και συμολίζουμε x 0. Οταν η μεταλητη x παιρνει τιμες πολυ κοντα στο 0, πλησιαζοντας απο τα αρνητικα, H Εννοια του διανυσματος - λεμε οτι το x τεινει στο 0 απο αριστερα και συμολίζουμε x 0.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς : f ( x ) = / x κ α ι f ( x ) = - / x Η γραφικη παρασταση των συναρτησεων ειναι υπερολη με κεντρο συμμετριας την αρχη των αξονων και φαινεται στα παρακατω σχηματα: f(x) = g(x) = - x x Αν x + τοτε x Αν x - τοτε x 0 Αν x + τοτε - 0 x 0 Αν x - τοτε - 0 x Λεμε οτι ο αξονας x x ειναι ασυμπτωτος της γραφικης παραστασης, δηλαδη καθως το x αυξανεται (ή μειωνεται) η γραφικη παρασταση πλησιαζει συνεχως τον x x χωρις να τον τεμνει. Αν Αν + x 0 τοτε x + Αν + x 0 τοτε - x - - x 0 τοτε x - Αν - x 0 τοτε - x + Λεμε οτι ο αξονας y y ειναι ασυμπτωτος της γραφικης παραστασης, δηλαδη καθως το x πλησιάζει στο 0 η γραφικη παρασταση πλησιαζει συνεχως τον y y χωρις να τον τεμνει.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a x. Πεδιο Ορισμου: Α = (αφου f(x) οριζεται για καθε x ) f(a) = [0,+ ), αν α > 0. Συνολο Τιμων: f(a) = (-,0], αν α < 0 3. Συμμετριες: Για καθε x και το -x. Aκομα f(-x) = α(-x) = αx = f(x) Ετσι : η f ειναι αρτια στο 4. Σημεια Τομης με Αξονες: Για x=0 ρισκουμε y = 0. Ετσι η παραολη διερχεται απο την αρχη των αξονων Ο(0,0) και δεν τεμνει τους αξονες σε κανενα αλλο σημειο. 5. Μονοτονια: Η μονοτονία της f(x) = αx εξαρτaται από το α. Aν α > 0 τοτε f στο (-,0] και f στο [0, + ) Aν α < 0 τοτε f στο (-,0] και f στο [0, + ) 6. Ακροτατα: Απο τον πινακα μονοτονιας προκυπτει οτι η f: aν α > 0 εχει ελαχιστο στο x = 0, το f(x) = 0 aν α < 0 εχει μεγιστο στο x = 0, το f(x) = 0 7. Γραφικη Παρασταση: Η γραφικη παρασταση εχει εξίσωση y = αx και παριστανει μια καμπυλη που λεγεται παραολη. Εχει αξονα συμμετριας τον αξονα y y και κορυφη την αρχη των αξονων. Οταν α > 0 ρισκεται πανω απ τον αξονα x x, ενω αν α < 0 τοτε ειναι κατω απ τον αξονα x x. Σημειωση Η παραολη δεν εχει ασυμπτωτες, αφου: α > 0 α < 0 αν x + τοτε αx + (aν a > 0) η αx - (aν a < 0) αν x - τοτε αx + (aν a > 0) η αx - (aν a < 0) Παρατηρηση: Για αντιθετες τιμες του α εχουμε δυο παραολες συμμετρικες ως προς τον x x. Καθως μεγαλωνει η α η παραολη γινεται πιο κλειστη. Καθως μικραινει η α η παραολη γινεται πιο ανοικτη.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a x + x + γ. Πεδιο Ορισμου: Α = (αφου f(x) οριζεται για καθε x ) Δ f(a) = [-,+ ), αν α > 0. Συνολο Τιμων: Δ f(a) = (-,- ], αν α < 0 3. Συμμετριες: Η παραολη εχει αξονα συμμετριας την ευθειa x = - α 4. Σημεια Τομης με Αξονες: H παραολη διερχεται απο τo (0,γ) του y y και απο τα - - Δ - + Δ (,0), (,0) του x x. α α 5. Μονοτονια: Η μονοτονία της f(x) = αx εξαρτaται από το α. Aν α > 0 τοτε f στο (-,- ] και f στο [-, + ) α α Aν α < 0 τοτε f στο (-,- ] και f στο [-, + ) α α 6. Ακροτατα: Απο τον πινακα μονοτονιας προκυπτει οτι η f: Δ αν α > 0 εχει ελαχιστο για x = -, το f(- ) = - α α Δ αν α < 0 εχει μεγιστο για x = -, το f(- ) = - α α 7. Γραφικη Παρασταση: Η γραφικη παρασταση εχει εξίσωση y = αx +x+γ και παριστα- Δ νει μια καμπυλη που λεγεται παραολη. Εχει κορυφη το σημειο (-,- ) α α > 0 α < 0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γινει η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = x. Ειναι g(x)=x Αν g(x)=x τoτε f(x)= g(x)-, οποτε η γραφικη παρασταση της f θα προκυψει απ την γραφικη παρασταση της g αν την f(x)=x - μετατοπισουμε κατακορυφα κατα μοναδα προς τα κατω. - Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γινει η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = (x - 3). g(x)=x f(x)=(x-3) Ειναι Αν g(x)=x τoτε f(x)= g(x-3), οποτε η γραφικη παρασταση της f θα προκυψει απ την γραφικη παρασταση της g αν την 0 3 μετατοπισουμε οριζοντια κατα 3 μοναδα προς τα δεξιa. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γινει η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = x x + 7. g(x)=x h(x)=(x-3) Ειναι f(x) = x -x+7 = (x - 6x + 7 ) =(x -3x +3-3 + 7 ) 0 3 =[(x-3) - ] = - (x-3) f(x)=(x-3) - Αν g(x)=x τoτε h(x)= g(x-3) και f(x)=h(x)- οποτε η γραφικη παρασταση της f θα προκυψει απ την γραφικη παρασταση της g αν την μετατοπισουμε δεξια κατα 3 μοναδες και προς τα κατω.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να γινει μελετη και γραφικη παρασταση της συναρτησης : f(x) = -x + 4x - 3 Ειναι 4 α.(-) α = - < 0 - = - = Δ = 4-4.(-).(-3) = 6 - = 4 -Δ -4-4 ± 3 = = x = = ± =, 4.(-) - Πεδιο ορισμου : A =. f Moνοτονια : Αφου α = - < 0, τοτε : Στο (-,] η συναρτηση f ειναι γν.αυξουσα. Στο [, + ) η συναρτηση f ειναι γν.φθινουσα. Ακροτατα : Η f παρουσιαζει μεγιστο για x = - =, το f() =. α Σημεια τομης με αξονες : x'x : Toν αξονα x'x στα σημεια (, 0) και (3, 0). y'y : Toν αξονα y'y στo σημειo (0, -3). Κορυφη : Το σημειο Κ(,) Αξονας συμμετριας : Η ευθεια x =. Γραφικη παρασταση : Δινεται η συναρτηση f(x) = x - (κ + λ)x + 5κ + λ. Να ρειτε τα κ και λ ωστε η f να εχει ριζα τον αριθμο και να παρουσιαζει ελαχιστο στο x = 4. Αφου ο αριθμος ειναι ριζα της συναρτησης, τοτε : - (κ κ - 6λ = -4 () + λ) + 5κ + λ = 0 4-4κ - 8λ + 5κ + λ = 0 y 0 3 x Αφου η f παρουσιαζει ελαχιστο για x = 4, τοτε : -(κ + λ) x = 4 - = 4 - = 4 κ + λ = 4 () α Απο () και (), εχουμε : κ - 6λ = -4 κ = 6λ - 4 κ = 6λ - 4 κ = 6. - 4 κ = κ + λ = 4 6λ - 4 + λ = 4 8λ = 8 λ = λ =
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Δινεται η παραολη f(x) = x - (κ + )x + κ. Να ρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις : η παραολη εφαπτεται στον αξονα x'x. η παραολη δεν τεμνει τον αξονα x'x. η παραολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (,0). η παραολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,). η παραολη παρουσιαζει ελαχιστο για x =. η παραολη εχει ελαχιστο το. η παραολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 3. Ειναι Δ = [-(κ + )] - 4..κ = κ + κ + - 4κ = κ - κ + = (κ - ) η παραολη εφαπτεται στον αξονα x'x, αν : Δ = 0 (κ - ) = 0 κ - = 0 η παραολη δεν τεμνει τον αξονα x'x, αν : Δ < 0 κ = (κ - ) < 0, αδυνατο. Αρα, δεν υπαρχει τιμη του κ, ωστε η παραολη να μην τεμνει τον x'x. η παραολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (, 0), αν ειναι ριζα της. Δηλαδη : - (κ + ). + κ = 0 4 - κ - + κ = 0 κ = η παραολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,), αν f(x) = και x = 0. Δηλαδη = 0 - (κ + ).0 + κ κ = η παραολη παρουσιαζει ελαχιστο για x =, αν - =. α -(κ + ) Δηλαδη : - = κ + = 4 κ = 3. Δ η παραολη εχει ελαχιστο το 3, αν - =. (κ - ) Δηλαδη : - = (κ - ) - 4 = 0 (κ - + 4)(κ - - 4) = 0 4. κ = -3 (κ + 3)(κ - 5) = 0 κ = 5 η παραολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 3, αν - = 3. α -(κ + ) Δηλαδη : - = 3 κ + = 6 κ = 5.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 Να γινει μελετη και γραφικη παρασταση των συν - αρτησεων : f(x) = x - 5x + 6 g(x) = -3x + x + Δινεται η συναρτηση h(x) = x - 3x + λ +, που εχει ριζες τους αριθμους x = και x =. -Δ Βρες Δ, ρ, ρ,-, και... α κοιτα και πιο πανω. Να ρειτε την τιμη του λ και τον τυπο της συναρτησης. Να μελετησετε τη συναρτηση και να κανετε τη γραφικη της παρασταση. Δινεται η συναρτηση f(x) = x - (κ + )x + λ. H f(x) = αx + x + γ, παρου - Να ρειτε τα κ και λ ωστε η f να εχει ριζα τον αριθ - σιαζει για : μο και να παρουσιαζει ελαχιστο στο x = -. α < 0 ελαχιστο στο x = -, α Δινεται η συναρτηση f(x) = x - (μ + )x + μ. Αν η γραφικη της παρασταση διερχεται απ'το σημει - ο (, 3), τοτε : να προσδιορισετε τον αριθμο μ. για την τιμη του μ που ρηκατε, να μελετησετε τη μονοτονια και να ρειτε τα ακροτατα της συναρτη - σης f. Δινεται η παραολη f(x) = x + (κ + )x + κ. Να ρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις : η παραολη εφαπτεται στον αξονα x'x. η παραολη τεμνει τον αξονα x'x σε δυο σημεια. η παραολη εχει κορυφη το σημειο με τετμημενη f(3). η παραολη εχει ακροτατο το 0. η παραολη εχει ελαχιστο το 4. η παραολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x =. -Δ το. α > 0 μεγιστο στο x = -, α -Δ το. H f(x) = αx + x + γ, εχει : Ακροτατα : για x = -, α -Δ το f(- ) =. α Σημεια τομης με αξονες : τον x'x στα σημεια (x,0) Η αποσταση δυο σημειων, και (x,0), (x, x ριζες) Α(x, y ) και Β(x, y ), τον y'y στo σημειο (0,γ). δινεται απ'το τυπο : Αξονας συμμετριας : x = -. (ΑΒ) = (x - x ) + (y - y α )