Ημερομηνία: Κυριακή 29 Οκτωβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 9 Οκτωβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Ολικό μέγιστο συνάρτησης β) Γνησίως αύξουσα συνάρτηση γ) Περιττή συνάρτηση Μονάδες 15 A Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος α Η συνάρτηση f έχει μέγιστο στο 0 A, όταν: f ( ) f ( 0) για κάθε A β Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιττή, αν για κάθε A Aκαι f ( ) f ( ) ισχύει γ Η συνάρτηση f ( ) 3 4 έχει πεδίο ορισμού το R και για οποιουσδήποτε 1, ΘΕΜΑ Β R με 1 ισχύει f ( 1) f ( ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Μονάδες 10 Β1 α) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι: i) γνησίως αύξουσα και ii) γνησίως φθίνουσα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

2 γ) Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) των συναρτήσεων καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών y y y O O -3 O y f ( ) y g( ) y h( ) Μονάδες 13 Β Να λυθεί το σύστημα 3 5y y 3 με τη μέθοδο των οριζουσών Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Γ α Γ1 Δίνεται η συνάρτηση f( ), της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το 1 σημείο Μ(,) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) Να βρεθεί το α iii) Αν α=3, να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και yy iv) Αν α=3, να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι περιττή ή άρτια y 1 Γ Να λυθεί το σύστημα y 1 Μονάδες 16 Μονάδες 9 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

3 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση 3 f ( ) 5 Δ1 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα Μονάδες 7 Δ Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Δ3 Να λύσετε την ανίσωση f ( 6) f ( 3 ) Μονάδες 6 Δ4 Να βρείτε την τιμή f (1) και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση f( ) 7 0 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Δ5 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f, κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 9 Οκτωβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Θεωρία Α α Λάθος β Σωστό γ Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1 α) Η f είναι περιττή Η g είναι άρτια Η h δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R H g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [0, ) Η h είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) Η f δεν παρουσιάζει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για 0 το f (0) 3 και δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο Η h δεν παρουσιάζει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο 3 5y Β Έχουμε y 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 4

5 Είναι 3 5 D 310 7, 1 D , 3 1 D y Επειδή D 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση τη: D D 7 7, D y 5 5 y D 7 7 ΘΕΜΑ Γ Γ1 i) Πρέπει και αρκεί και 1, οπότε 1,1 ii) Η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,) αρα ισχύει α f () α 6 α iii) Σημεία τομής με τον άξονα : f ( ) , άρα το 1 0,0 Σημεία τομής με τον άξονα yy : 30 f (0) 0 01, άρα το 0,0 iv) Για κάθε A ισχύει A και Άρα η f είναι περιττή 3( ) 3 f ( ) f ( ) ( ) 1 1 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4

6 Γ Έχουμε: y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 ( 1 ) y 1 y 1 y 1 0 ( 1) 0 0 ή 1 Για 0, y 1 και για 1, y 1 ( 1) 0 άρα ( y, ) (0, 1) ή (,y) ( 1,0) ΘΕΜΑ Δ Δ1 Df R Για κάθε 1, R με 1, έχουμε: και άρα 5 5 f ( ) f ( ) Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Δ Για κάθε R ισχύει R και f ( ) ( ) 5( ) 5 ( 5 ) f ( ) Άρα η f είναι περιττή, επομένως η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων f Δ3 f ( 6) f ( 3 ) Δ4 3 f (1) οπότε: f ( ) 7 0 f ( ) 7 f ( ) f (1) 1 f Δ5 g f 3 ( ) ( ) 1 ( ) 5( ) 1 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 4

7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 4