7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = αx 2

Transcript

1 1 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() = α ΘΕΩΡΙΑ 1. Μορφή της συνάρτησης g() = (Παραβολή) O g( ) = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού = R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα Είναι γν.φθίνουσα στο διάστηµα (, 0] Είναι γν.αύξουσα στο διάστηµα [0, + ) Για κάθε R ισχύει g() 0 = g(0), άρα παρουσιάζει ελάχιστο, το g(0) = 0 Όταν, τότε g() + και όταν +, τότε g() + Προσπάθησε, από τη γρ.παράσταση να συµπεραίνεις τις ιδιότητες. Μορφή της συνάρτησης h() = - h( ) = - Ιδιότητες Πεδίο ορισµού = R (Παραβολή) Είναι γν.αύξουσα στο διάστηµα (, 0] Είναι γν.φθίνουσα στο διάστηµα [0, + ) Για κάθε R ισχύει h() 0 = h(0), άρα παρουσιάζει µέγιστο, το h(0) = 0 Όταν το, τότε h() και όταν το +, τότε g() Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα

2 . Μορφή της συνάρτησης f() = α Όταν α > 0 : Είναι σαν τη, αλλά αλλάζει η καµπυλότητα. Όσο µεγαλώνει το α, τόσο η καµπύλη κλίνει. Όταν α < 0 : Είναι σαν τη, αλλά αλλάζει η καµπυλότητα. Όσο το α µικραίνει, τόσο η καµπύλη κλίνει. 4. Μορφή των συναρτήσεων φ() = και φ() = α µε α > 0 φ( ) = - 5. Μορφή των συναρτήσεων φ() = και φ() = α µε α < 0 φ( ) = - -

3 ΣΧΛΙΑ - ΜΕΘ Ι 1. Από τη γραφική παράσταση στις ιδιότητες Θυµόµαστε τη γραφική παράσταση και από αυτή συµπεραίνουµε τις ιδιότητες. Όχι ανάποδα.. Το σύµβολο Για κάθε τι που διαβάζουµε, σχηµατίζουµε την εικόνα του στη φαντασία µας + τότε f() + σηµαίνει ότι, όταν µεγαλώνει προς τα δεξιά τότε οι τιµές f() µεγαλώνουν προς τα πάνω. + τότε f() σηµαίνει ότι, όταν µεγαλώνει προς τα δεξιά τότε οι τιµές f() µικραίνουν προς τα κάτω. τότε f() + σηµαίνει ότι, όταν µικραίνει προς τα αριστερά τότε οι τιµές f() µεγαλώνουν προς τα πάνω. τότε f() σηµαίνει ότι, όταν µικραίνει προς τα αριστερά τότε οι τιµές f() µικραίνουν προς τα κάτω. Το πεδίο ορισµού στο σύστηµα αξόνων Είναι η προβολή της γραφικής παράστασης στον άξονα.

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συµβολίστε µε µαθηµατικό σύµβολο την έκφραση : i) Η µεταβλητή έχει την ιδιότητα να γίνεται µεγαλύτερη από κάθε αριθµό που ii) iii) φανταζόµαστε. Η µεταβλητή έχει την ιδιότητα να γίνεται µικρότερη από κάθε αριθµό που φανταζόµαστε. Σε µια συνάρτηση = f(), όταν το µεγαλώνει απεριόριστα τότε η τιµή f() µικραίνει απεριόριστα. Απάντηση i) + ii) iii) Όταν + τότε f() Σχόλιο. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [1, ]. Να εξετάσετε αν είναι γν.αύξουσα ή γν.φθίνουσα και αν παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο. 4 Μ Χαράζουµε τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f() = µε πεδίο ορισµού το R. C f Από τα σηµεία Α(1, 0) και Β(, 0) φέρνουµε κάθετες στον άξονα, που τέµνουν τη C f στα σηµεία Λ, Μ αντίστοιχα. Η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι το Λ κοµµάτι της C f που βρίσκεται µεταξύ των O Β παραλλήλων ΑΛ, ΒΜ, συµπεριλαµβανοµένων Α των σηµείων Λ και Μ Σχηµατικά βλέπουµε ότι η f είναι f γν. αύξουσα στο [1, ], αλλά ας το αποδείξουµε. Για κάθε 1, [1, ] µε 1 < 1 < f( 1) < f( ) άρα f γν.αύξουσα στο [1, ]. Σχηµατικά βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο Λ και µέγιστο στο Μ, αλλά ας το αποδείξουµε. Αρκεί, για κάθε [1, ] να αποδείξουµε ότι f(1) f() f() 1 που ισχύει αφού [1, ] 1

5 5. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = µε πεδίο ορισµού το διάστηµα (1, ). Να εξετάσετε αν είναι γν.αύξουσα ή γν.φθίνουσα και αν παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο. 4 Μ Χαράζουµε τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f() = µε πεδίο ορισµού το R. C f Από τα σηµεία Α(1, 0) και Β(, 0) φέρνουµε κάθετες στον άξονα, που τέµνουν τη C f στα σηµεία Λ, Μ αντίστοιχα. Η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι το Λ κοµµάτι της C f που βρίσκεται µεταξύ των O Β παραλλήλων ΑΛ, ΒΜ, χωρίς τα σηµεία Λ και Μ. Α Σχηµατικά βλέπουµε ότι η f είναι f γν. αύξουσα στο (1, ), αλλά ας το αποδείξουµε. Για κάθε 1, (1, ) µε 1 < 1 < f( 1) < f( ) άρα f γν.αύξουσα στο (1, ). Η f δεν παρουσιάζει ελάχιστο, αφού δεν υπάρχει συγκεκριµένο 0 (1, ) τέτοιο, ώστε να ισχύει f() f( 0 ) για κάθε. µοίως δεν παρουσιάζει µέγιστο. 4. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = ( 1 ) +. Επίσης γραφικά να εντοπίσετε τα διαστήµατα µονοτονίας και το ακρότατο. Πεδίο ορισµού το R Θεωρούµε τη συνάρτηση ω() = Η. C f προκύπτει από τη µετακίνηση της C ω κατά 1 µονάδα δεξιά και κατά µονάδες πάνω. Η f είναι γν. φθίνουσα στο διάστηµα (, 1] και γν. αύξουσα στο διάστηµα [1, + ) Επίσης παρουσιάζει ελάχιστο το f(1) = C ω C f 4 1

6 6 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = ( 1 ) +. Επίσης γραφικά να εντοπίσετε τα διαστήµατα µονοτονίας και το ακρότατο. Πεδίο ορισµού το R Θεωρούµε τη συνάρτηση ω() =. Η C f προκύπτει από τη µετακίνηση της C ω κατά 1 µονάδα δεξιά και κατά µονάδες πάνω. Η f είναι γν. αύξουσα στο διάστηµα (, 1] και γν. φθίνουσα στο διάστηµα [1, + ) Επίσης παρουσιάζει µέγιστο το f(1) = - O 1 6. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = ( + 1 ) Πεδίο ορισµού το R Θεωρούµε τη συνάρτηση ω() =, R Η C f προκύπτει από τη µετακίνηση της C ω κατά 1 µονάδα αριστερά και κατά µονάδες κάτω Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = Η συνάρτηση γράφεται f() = < ( ), 0, 0 C ω C σ f() =, < 0, 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση ω() = µε < 0 και τη συνάρτηση σ() = µε 0

7 7 8. Να βρείτε την εξίσωση παραβολής του διπλανού σχήµατος Επειδή η ζητούµενη παραβολή έχει µέγιστο, θα προκύπτει από τη µετακίνηση παραβολής ω() = α µε α < 0 κατά 1 µονάδα δεξιά και κατά µονάδες πάνω. Άρα (η ζητούµενη παραβολή ) θα είναι η γραφική παράσταση συνάρτησης f() = α( 1 ) + µε α < 0. (1) 1 O 1 Επειδή, όµως, η C f διέρχεται από το σηµείο (0, 1), η εξίσωση (1) θα επαληθεύεται από αυτό: 1 = α(0 1 ) + 1 = α + α = Η (1) γίνεται f() = ( 1 ) + 9. Στο διπλανό σχήµα, το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι τετράγωνο. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών. Έστω (α, (Κ) = (ΚΑ) Άρα Α(1, 1) α ) µε α > 0 οι συντεταγµένες του Α. α = α α = 1 (ΚΓ) = (ΚΑ) και ΑΓ// Γ( 1, 1) (Β) = (Κ) (Β) = 1 = Άρα Β(0, ) Γ B Κ O A =

8 8 10. Στο διπλανό σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων f() = και g() = +. Να απαντήσετε, για ποια η ψηλότερα από τη C g. f Πεδίο ορισµού το R και για την f και για τη g. g C f είναι Έστω Α, Β τα σηµεία τοµής των δύο συναρτήσεων. ι τετµηµένες των Α, Β είναι 1 και αντίστοιχα. Cf Λ K A M() -1 Από τυχαίο σηµείο Μ() του άξονα, φέρνουµε κατακόρυφη ευθεία, που τέµνει τη C g στο Κ και τη Παρατηρούµε ότι : C f στο Λ. Τότε είναι (ΜΚ) = g() και (ΜΛ) = f(). Για κάθε (, 1) ή (, + ), το Λ είναι ψηλότερα από το Κ. Άρα, για τα παραπάνω, η C f είναι ψηλότερα από τη 4 C g. C g B