Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ"

Ιλαρίων Γιαννόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Δινεται μια συναρτηση f : [α, ]. Να δωσετε τον ορισμο της συνεχειας της f στο διαστημα [α, ]. Μοναδες 6 A. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α) Αν η f ειναι συνεχης στο [α, ] και η F ειναι μια παραγουσα της f, τοτε ισχυει : f(x) dx = F() - F(α) α (μοναδες ) ) Το ευρος των τιμων μιας μεταλητης δεν επηρεαζεται απο τις ακραιες τιμες της. (μοναδες ) γ) Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο και c μια σταθερα. τοτε ισχυει (c fx) (x) = f (x) + c. (μοναδες ) δ) (x α )' = α x α+1, x > 0, α *. ε) Αν η f ειναι συνεχης στο [α, ], τοτε ισχυει : α f(x) dx = - f(x) dx α. (μοναδες ) (μοναδες ) Μοναδες 10 A3. Να μεταφερετε στο τετραδιο σας τις παρακατω ισοτητες και να τις συμπληρωσετε: α) Aν οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο, τοτε: (f g) (x) = (μοναδες 3) ) συνx dx =... α γ) Aν, lim f(x) =, τοτε : lim f(x) =... x x0 x x0 (μοναδες 3) (μοναδες 3)

3 1o ΛΥΣΗ Α1. Μια συναρτηση f : [α, ] λεγεται συνεχης σ ενα διαστημα [α,], αν ειναι συνεχης σε καθε x 0 (α, ) και επιπλεον εχουμε οτι : lim f(x) = f(α), + - x a x Α. α) Σωστο ) Λαθος γ) Λαθος δ) Λαθος ε) Σωστο lim f(x) = f() Α3. a) (f g) (x) = f (x) g (x) ) α συνx dx = [ημx] = ημ - ημα γ) lim f(x) = x x 0 α

4 o ΘΕΜΑ 3 Δινεται η συνεχης συναρτηση f: για την οποια ισχυει: x f(x) f(x) = x 4 για καθε x. B1. δειξετε οτι: B. Να ρειτε το: x - 4 f(x) =, για x. x - x B3. Να ρειτε το f(). x - 4 lim. x - Μοναδες 7

5 o ΛΥΣΗ 4 Β1. x f(x) f(x) = x 4 (x ) f(x) = x 4 x - 4 f(x) =, για x. x - Β. x - 4 (x + )( x - ) lim = lim = lim (x + ) = + = 4 x x - x x x - Β3. H f ειναι συνεχης στο, οποτε ειναι συνεχης και στο x 0 =. Ετσι f() = x x x - 4 lim f(x) = lim = 4 x -

6 3o ΘΕΜΑ 5 Στο παρακατω πινακα παρουσιαζονται οι ηλικιες των υπαλληλων μιας εταιρειας : Α Α Ηλικιες υπαλληλων Συχνοτητα (αριθμος υπαλληλων) v i 1 η κλαση [5, 35) 100 η κλαση 3 η κλαση 4 η κλαση [35, 45) [45, 55) [55, 65) Συνολα ν = 00 Κεντρο Κλασης x i xi vi Σχετικη Συχνοτητα f i % Γ1. Να μεταφερετε στο τετραδιο τον παραπανω πινακα και να τον συμπληρωσετε. Μοναδες 7 Γ. Να υπολογισετε τη μεση ηλικια των υπαλληλων. Μοναδες 5 Γ3. Να υπολογισετε ποσοστο των υπαλληλων που εχουν ηλικια τουλαχιστον σαραντα πεντε (45) ετων. Μοναδες 4 Γ4. Απο την εταιρεια αποχωρουν πεντε (5) υπαλληλοι της 4 ης κλασης, πεντε (5) υπαλληλοι της ης κλασης και ταυτοχρονα προσλαμανονται δεκα (10) υπαλληλοι με ηλικιες στη 1 ης κλαση. Να υπολογισετε τη νεα μεση τιμη της ηλικιας των υπαλληλων.

Να υπολογισετε τη μεση ηλικια των υπαλληλων. Μοναδες 5 Γ3. Να υπολογισετε ποσοστο των υπαλληλων που εχουν ηλικια τουλαχιστον σαραντα πεντε (45) ετων. Μοναδες 4 Γ4.

7 3o ΛΥΣΗ 6 Γ1 Α Α Ηλικιες υπαλληλων Συχνοτητα (αριθμος υπαλληλων) v i Κεντρο Κλασης x i xi vi Σχετικη Συχνοτητα f i % 1 η κλαση [5, 35) η κλαση [35, 45) η κλαση [45, 55) η κλαση [55, 65) Συνολα ν = Γ. Ειναι x = Σ x v = 7600 = 38 i = 1 i i v 00 Γ3: Το ποσοστο των υπαλληλων που εχουν ηλικια τουλαχιστον 45 ετη ειναι : f % + f % = 0% + 5% = 5% 3 4 Γ4: Αν x' ειναι η νεα μεση τιμη ηλικιων, τοτε x' = = = =

Ειναι 4 1 1 x = Σ x v = 7600 = 38 i = 1 i i v 00 Γ3: Το ποσοστο των υπαλληλων που εχουν ηλικια τουλαχιστον 45 ετη ειναι : f % + f % = 0%

8 4o ΘΕΜΑ 7 Δινεται η συναρτηση f(x) = e x (x 1), x. Δ1. Να αποδειξετε οτι : f (x) = f(x) + e x. Μοναδες 6 Δ. Να μελετησετε τη συναρτηση f ως προς τη μονοτονια και να ρειτε τa τοπικα της ακροτατα. Δ3. Αν g(x) = f(x) + e x, x, να υπολογισετε το εμαδον του χωριου που περικλειεται απο τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g, τον αξονα x x και τις ευθειες με εξισωσεις x = - 1 και x = 1. των συναρτησεων g(x) και h(x).. Μοναδες 10

Αν g(x) = f(x) + e x, x, να υπολογισετε το εμαδον του χωριου που περικλειεται απο τη γραφικη παρασταση

9 4o ΛΥΣΗ 9 Δ1 Η f ειναι παραγωγισιμη στο με f (x) = (e x (x 1)) = (e x ) (x 1) + e x (x 1) = e x (x 1) + e x 1 = = e x (x 1) + e x = f(x) + e x Δ f (x) = 0 f(x) + e x = 0 e x (x 1) + e x = 0 e x (x 1 + 1) = 0 e x x = 0 x e 0 x = 0 f (x) > 0 f(x) + e x > 0 e x (x 1) + e x > 0 e x (x 1 + 1) > 0 e x x > 0 H f γν.αυξουσα στo[0,+ ) H f γν.φθινουσα στο (-,0] x e > 0 x > 0 H f παρουσιαζει ελαχιστο για x = 0 το f(0) = e 0 (0 1) = - 1. Δ3 g(x) = f (x) = e x x O πινακας προσημου της g δινει x g Eτσι,το ζητουμενο εμαδον: Ε(Ω) = g(x) dx = - g(x) dx + g(x) dx = - f'(x) dx + f'(x) dx = = - [f(x)] + [f(x)] = - (f(0) - f(- 1)) + (f(1) - f(0)) = - f(0) + f(- 1) + f(1) - f(0) = = f(- 1) + f(1) - f(0) = e (- 1-1) + e (1-1) - e (0-1) = - e - 1 (- 1) = e - 1 = - e + = - τ.μ. x f - + f

φθινουσα στο (-,0] x e > 0 x > 0 H f παρουσιαζει ελαχιστο για x = 0 το f(0) = e 0 (0 1) = - 1.

Σχετικά έγγραφα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Εστω συνεχης συναρτηση f : [α, ] με παραγουσα συναρτηση F. Τι ονομαζεται ορισμενο