3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
|
|
- Σάπφιρα Ελευθερόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει ότι και ( ) και ( ). Ο αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης. Οι πιο γνωστές περιοδικές συναρτήσεις είναι οι,, τις οποίες και θα μελετήσαμε. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει ( ) για κάθε (πράγματι ( ) ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης περιόδου Τ=π στο διάστημα μιας Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,4π], [4π,6π], [-π,0], [-4π,-π] κτλ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1
2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της 3 δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα 3 τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης 3 0 ( ) γίνεται για την 3 0 ( ) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες. Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
3 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. (Άσκηση 1 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων. i., g( ) 0,5, h( ), 0 Λύση i. Για τις συναρτήσεις, g( ) 0,5, h( ) ισχύει άρα σχηματίζουμε τον πίνακα g( ) 0,5 0 0, 5 0 0, 5 h( ) Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων. (Άσκηση σελ. 81 Α ομάδας) Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) 1 και h( ) 1. Λύση Η γραφική παράσταση της g( ) 1 προκύπτει αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα πάνω τη γραφική παράσταση της, ενώ της h( ) 1 αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα κάτω τη γραφική παράσταση της. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3
4 3. (Άσκηση 3 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g( ) 3 0 Λύση Η συνάρτηση g( ) 3 είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 3 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το 3. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) g( ) 3 Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των ) ( και g( ) 3 είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4
5 4. (Άσκηση 5 σελ. 81 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Λύση 1 Η συνάρτηση είναι της μορφής, με και. Άρα έχει μέγιστη τιμή και ελάχιστη τιμή. Η περίοδος της συνάρτησης 3 είναι 4, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε 1 με το 1 ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή 0,,, 3 και 4, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5
6 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι άρτια συνάρτηση άρα ισχύει ( ) για κάθε (πράγματι ( ) ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y. Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης μιας περιόδου Τ=π στο διάστημα Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,4π], [4π,6π], [-π,0], [-4π,-π] κτλ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6
7 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της 3 δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα 3 τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης 3 0 ( ) γίνεται για την και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες. Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7
8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. (Άσκηση 1 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii., g( ) 0,5, h( ) 0 Λύση ii. Για τις συναρτήσεις, g( ) 0,5, h( ) ισχύει άρα σχηματίζουμε τον πίνακα g( ) 0,5 0, 5 0 0, 5 0 0, 5 h( ) 0 0 Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων 6. (Άσκηση 4 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g( ) 3 0 Λύση Η συνάρτηση g( ) 3 είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 3 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το 3. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8
9 g( ) Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των και g( ) 3 είναι 7. (Άσκηση 6 σελ. 8 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση. Ποια είναι η μεγίστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Λύση 1 Η συνάρτηση είναι της μορφής, με και. Άρα έχει μεγίστη τιμή και ελάχιστη τιμή. Η περίοδος της συνάρτησης 3 είναι 4, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε 1 με το 1 ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή 0,,, 3 και 4, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9
10 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού /,, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει ( ) για κάθε (πράγματι ( ) ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Ορίζεται στο διάστημα, αλλά και σε κάθε διάστημα της μορφής, στα οποία είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα. Τέλος έχει ασύμπτωτες τις κατακόρυφες ευθείες και και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 10
11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8. (Άσκηση 7 σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων i. ii. g( ) 1 iii. h( ) 1 στο ίδιο σύστημα αξόνων. Λύση Η γραφική παράσταση της g( ) 1 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της κατά μια μονάδα προς τα πάνω, ενώ της h( ) 1 κατά μια μονάδα προς τα κάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 11
2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του
Διαβάστε περισσότερα7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του
Διαβάστε περισσότεραΗμερομηνία: Παρασκευή 28 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 8 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση β) Ολικό ελάχιστο
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότεραΗ συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Διαβάστε περισσότερα< και δεδομένου ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συμπεραίνουμε ότι
_1696 α) f ( 5) = f ( 4) = 9 Αφού
Διαβάστε περισσότερα4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f
Διαβάστε περισσότερα7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x
7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ () = α ΘΕΩΡΙΑ. Μορφή της συνάρτησης (Ισοσκελής υπερβολή) Ιδιότητες Πεδίο ορισµού g() = R = (, 0) (0, + ) Είναι περιττή, άρα συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Είναι γν.φθίνουσα
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f (x) = 2 (Σχ.1) είναι. Γ το διάστηµα ( 0,
Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f () = 2 (Σχ.1) είναι Α. το διάστηµα [ 0, Β. το διάστηµα Γ. το σύνολο R ( 0,. το σύνολο R - {1}
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης
7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΗμερομηνία: Κυριακή 29 Οκτωβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 9 Οκτωβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Ολικό μέγιστο συνάρτησης β) Γνησίως
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α.
BAΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a / x. Πεδιο Ορισμου: Α = =(-,0) (0, + ) (αφου πρεπει x 0) * 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον;. Aν α, θετικοι. Συνολο Τιμων: f(α) = (αφου,
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότερα4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραα) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ
Διαβάστε περισσότεραΖ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2
Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου)
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Η γνησίως αύξουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) < f ( x ). Η
Διαβάστε περισσότερα5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) 3 x έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Οx. Σ Λ., τότε ισχύει
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2
Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και
7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται
Διαβάστε περισσότερα2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤ ΗΣΕΙΣ ΣΤ Α ΘΕΜΑΤ Α ΕΞΕΤ ΑΣΕΩΝ 2016.
ΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤ ΗΣΕΙΣ ΣΤ Α ΘΕΜΑΤ Α ΕΞΕΤ ΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό Βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό Βιβλίο σελ 141 Α Σχολικό Βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότερα6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Διαβάστε περισσότεραΙ. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)
Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
Διαβάστε περισσότερα2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα2. Ιδιότητες Συναρτήσεων
Ιδιότητες Συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Το πρώτο βήμα για τη λύση μιας άσκησης που περιέει μια συνάρτηση είναι ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της α) Κάθε πολυωνυμική
Διαβάστε περισσότερα3.4 ΤΡIΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. και g( x) 3x
1 ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc ΤΡIΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕ ΥΝΑΡΤΗΕΙ 1 ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΑσύμπτωτες. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Ασύμπτωτες Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Άπειρα όρια: Οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες Έστω η f()=1/, τότε παρατηρούμε ότι: καθώς +, (1/) 0 & καθώς -, (1/) 0 & 1 lim ( ) = 0 + 1 lim ( ) =
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότερα( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α
.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
Διαβάστε περισσότεραΣυνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f
Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα
Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο 2 78 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 9 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 78 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 10-610.178
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους
Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραμε παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).
Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΑ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος 014-15 ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 Α ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: y y6 y 5 1 : 1 : 3 : y 6 0 y 5
Διαβάστε περισσότερα6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0,
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 Μαθηματικά προσανατολισμού Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 60 ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 69 Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 80 Α4 α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)
Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)
Διαβάστε περισσότεραΑ2. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 134 ΣΧΟΛΙΟ): Πχ. για την
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο (έκδοση 8) σελ. 7 Α. α. Ψ β. Σχολικό
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ)
ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) A. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Συναρτήσεων-Άρτια και περιττή Συνάρτηση Η ανάλυση των πεδίων ορισμού για τις διαφορετικές πραγματικές
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραg x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως
ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». {,3,5,7,... } { / = ν +, ν Ν} =. = {} 0 3. Αν Α Β τότε Α Β = Α 4. 5 {,3,5,7 } 5. Αν Α= {, 3,7} και Β= {,3} 7, τότε Α=Β 6.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότερα. Το σύνολο R* E. Το σύνολο R-{1}
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f () = log (Σχ.) είναι y y=log A. το διάστηµα [ 0, + ) Β. το διάστηµα ( 0, + ) Γ. το σύνολο R. το σύνολο R* E. το σύνολο R -{}. *
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση προαγωγικών εξετασεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος
Προσομοίωση προαγωγικών εξετασεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος 04-05 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 05-06 ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ (4) ΘΕΜΑ ο Α.Να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 106 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία Πολυώνυμα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 106 Β' Λυκείου Ον/μο:. Γεν. Παιδείας Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία - 15-01-17 Πολυώνυμα Θέμα 1 ο : Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται περιοδική με περίοδο T;
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3)
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότερα