c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28

Σχετικά έγγραφα
12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3

P( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4

, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2

xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

P (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

P = 0 1/2 1/ /2 1/

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι

200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

P (M = 9) = e 9! =

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

Pr (a X b, c Y d) = c. f XY (x, y) dx dy, (15.1) Pr ((X, Y ) R) = f XY (x, y) dx dy. (15.2)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

f X,Y (x, y)dxdy = 1,

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π.

/ / 38

Πανελλαδικές εξετάσεις Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου. Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων. Θέµα Β. (α) ϑεωρία. (ϐ) i, ii) ϑεωρία.

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

P (Ηρ) = 0.4 P (Αρ) = 0.32 P (Απ) = 0.2

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

159141,9 64 x n 1 n

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β )

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

p B p I = = = 5

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων


Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

P(200 X 232) = =

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)

u 2 2 = u a 1 (x 2 x 1 ) = (0) 2 = (50) 2 + 2( 10)(x 2 x 1 ) x 2 = x m (1)

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

y = u i t 1 2 gt2 y = m y = 0.2 m

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

3. Κατανομές πιθανότητας

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Transcript:

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c (xy + y 5 = ( c x + 5 )dx = c = c = (ϐ) Οι περιθωριακές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y γίνονται : και f X (x) = 5 f X,Y (x, y)dy = 5 x + y = ( xy y + 5 ) = ( x + 5 ) f Y (y) = 6 f X,Y (x, y)dx = 6 x + y dx == ( x ) 6 + yx = (3 + 4y) (γ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (3 < X < 4, Y > ) = 4 5 + y)dxdy = x=3 y=(x 3 (δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (X > 3) = 6 5 (x + y)dxdy = 3 x=3 y= 8 (ε) Η Ϲητούµενη πιθανότητα προκύπτει από το σχήµα ;; P (X + Y > 4) = P (X + Y 4) = 4 x= 4 x y= (x + y)dxdy = 35 = 33 35 (στ) Παρατηρούµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες, εφόσον : f(x, y) f (x)f (y)

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα : Σχήµα ασκ. (ε) Ασκηση. (α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται : f X (x) = f X,Y (x, y)dy = xy( x)dy = x( x) [ y = x( x) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ Y ϑα είναι : ] = 6 x ydy ( x) = 6x( x) f Y (y) = f X,Y (x, y)dx = xy( x)dx = y [ x = x x dx = y x3 3 = y( 3 ) = y 6 = y (ϐ) Για να είναι οι τ.µ X, Y ανεξάρτητες ϑα πρέπει να ισχύει : Εχουµε ότι : f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y), x, y (, ) x ( x)dx f X (x)f Y (y) = 6x( x) y = xy( x) = f X,Y, x, y (, ) Εποµένως, οι X, Y είναι ανεξάρτητες τ.µ. (γ) (i) Η µέση τιµή της τ.µ X γίνεται : ] E[X] = x f X (x)dx = = 6 x 6x( x)dx = 6 [ x x x 3 3 dx = 6 3 x4 4 x ( x)dx ] = 6( 3 4 ) =

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 3 Για την µέση τιµή της τ.µ Y έχουµε : E[Y ] = (ii) Η διασπορά της τ.µ X γίνεται : yf Y (y)dy = y dy = 3 [y 3] = 3 var[x] = E[X ] (E[X]) Υπολογίζουµε τη ϱοπή δεύτερης τάξης E[X ] ως εξής : E[X ] = Εποµένως, έχουµε : x f X (x)dx = x 6x( x) = 6 [ x 4 = 6 4 x5 5 ] [ = 6 4 ] = 3 5 x 3 ( x)dx = 6 x 3 x 4 var[x] = E[X ] (E[X]) = 3 ( Αντίστοιχα, η διασπορά της τ.µ Y γίνεται : ) = var[y ] = E[Y ] (E[Y ]) = = = ( y f Y (y)dy 3) y ydy 4 9 y 3 dy 4 [ 9 = y4 ] 4 4 9 = 4 4 9 = 8 (δ) Στο (ϐ) ερώτηµα δείξαµε ότι οι τ.µ X, Y είναι ανεξάρτητες. Εποµένως, η συνδιασπορά τους ϑα είναι ίση µε µηδέν, cov(x, Y ) =. Ασκηση 3. (α) Η γραφική παράσταση της απο κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ϕαίνεται στο σχή- µα (ϐ) Για να υπολογίσουµε τη σταθερά c,γνωρίζουµε ότι µπορούµε να ολοκληρώσουµε την απο κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας : + + f X,Y (x, y)dxdy = Μπορούµε επίσης να χρησιµοποιήσουµε και το εµβαδόν του χωρίου που παριστάνεται στο σχήµα, και έχουµε : c = c = (γ) Οι περιθωριακές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τ.µ X και Y γίνονται :

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 4 Σχήµα : Σχήµα ασκ.3 (α) Για x, f X (x) = Για x, f X (x) = +x x cdy = + x cdy = x Άρα έχουµε : + x, x f X (x) = x, x, αλλού Οµοίως,για y, Οπότε : f Y (y) = + f Y (y) = f X,Y (x, y)dy = y y { ( y), y, αλλού cdx = ( y) Σχήµα 3: Σχήµα ασκ.3 (γ)

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 5 Από το σχήµα 3 παρατηρούµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες, εφόσον ισχύει : f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y) (γ) Παρατηρώντας το σχήµα 4, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : Σχήµα 4: Σχήµα ασκ.3 (δ) P (X Y ) = 3 = 6 (δ) Από το σχήµα 5, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : Σχήµα 5: Σχήµα ασκ.3 (ε) P (X + Y ) = c E = c (E E ) = ( 3 3 4 ) = 7 6

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 6 Ασκηση 4. Εστω X και Y οι αποστάσεις των ϐολών του Κώστα και της Μαρίας, αντίστοιχα. Οι ϐολές είναι ανεξάρτητες, οπότε η κοινή τους συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ϑα ισούται µε : y f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) = 6 e 6, X, Y, αλλιώς Θα έχουµε : (α) (ϐ) P (Y > ) = P (X = 75) = 75 75 dx = 6 e y 6 dy = e 6, 889 (γ) Είναι : E[X] = 5, E[Y ] = 6. (δ) Θέλουµε να ϐρούµε την πιθανότητα P (X > Y ) και να την συγκρίνουµε µε την πιθανότητα P (X < Y ). Για να το κάνουµε αυτό, εξετάζουµε το κοινό δειγµατικό χώρο του σχήµατος 6. Εποµένως, ϑα έχουµε : Σχήµα 6: Η πιθανότητα P (X > Y ) P (X > Y ) = x f X,Y (x, y)dydx = x 6 e y 6 dydx, 533 Παροµοίως ϐρίσκουµε ότι : P (Y > X) = P (X > Y ), 4867. Απλώς κοιτάζοντας τις αναµενόµενες τιµές των ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών, ϑα έλεγε κανείς ότι είναι πιο πιθανό η Μαρία να ϱίξει πιο µακριά. Οµως, τελικά ϐρήκαµε ότι η πιθανότητα ότι ο Κώστας ϑα ϱίξει παραπάνω είναι ελαφρώς υψηλότερη. (ε) Είναι : f Y X (y/75) = f Y (y) διότι οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες.

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 7 (στ) Εστω W = Y X. Πρώτα, ϐρίσκουµε τη κοινή συνάρτηση κατανοµής της W : Το γεγονός ϕαίνεται στο σχήµα 3. Για W έχουµε : F W (w) = Για W έχουµε : F W (w) = P (W w) = P (Y X w) = P (Y X + w) x+w w f X,Y (x, y)dydx = = (6 e 6 (w+) + w + 4) x+w w 6 e y 6 dydx F W (w) = x+w f X,Y (x, y)dydx = x+w 6 e y 6 dydx = 3 5 e w 6 (e 5 3 ) + Εν τέλει, διαφορίζοντας τις προηγούµενες εξισώσεις παίρνουµε ότι : f W (w) = d ( e 6 (w+) ), w dw F W (w) = e w 6 ( e 5 3 ), w, αλλιώς Σχήµα 7: υο περιπτώσεις για τις τιµές της F W (w)

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 8 Ασκηση 5. Εστω X και Y δύο τυχαίες µεταβλητές που µοντελοποιούν τις ώρες άφιξης των δύο ϕοιτητών µετά τις 8 : π.µ. Υποθέτοντας ότι ίσα χρονικά διαστήµατα, έχουν ίσες πιθανότητες άφιξης, οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y γίνονται : {, x f (x) =, αλλού f (y) = {, y, αλλού Οµως, οι τυχαίες µεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες. πυκνότητας πιθανότητας γίνεται : Εποµένως, η από κοινού συνάρτηση {, x, y f(x, y) = f (x)f (y) =, αλλού Εφόσον 5 λεπτά είναι το /4 της ώρας, η Ϲητούµενη πιθανότητα υπολογίζεται από το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης περιοχής του παρακάτω σχήµατος (Σχήµα ασκ.5): Σχήµα 8: Σχήµα ασκ.5 E = E τριγ = 3 4 3 4 = 7 6 Ασκηση 6. (α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f X (x) ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα : Η γραφική παράσταση του µετασχηµατισµού Y = g(x) ϕαίνεται στο ακόλουθο σχήµα : (ϐ) Η τυχαία µεταβλητή Y είναι διακριτή. Οπότε από το σχήµα έχουµε : P (Y = ) = P ( X 3 ) = E(A) = 9 P (Y = ) = P ( /3 X 3 ) = E(B) = 5 9 P (Y = ) = P (/3 X ) = E(Γ) = 9 P (Y = 3) =

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 9 Σχήµα 9: Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f X (x) Σχήµα : Μετασχηµατισµός Y = g(x) Σχήµα : Σχήµα ασκ.6 (ϐ) Ασκηση 7. (α) Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X, καθώς και ο µετασχηµατισµός Y = g(x), ϕαίνονται στις επόµενες γραφικές παραστάσεις. (ϐ) Από το σχήµα ϐλέπουµε ότι η τ.µ Χ παίρνει τιµές στο διάστηµα [e 4, e ] Για y < e 4, έχουµε ότι F Y (y) = Για y e, έχουµε ότι F Y (y) = Για e 4 y e, έχουµε : F Y (y) = P (Y < y) = P (e X < y) = P ( X < lny) = P (X > lny) = lny f X(x)dx = lny dx = + lny

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα : Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f X (x) Σχήµα 3: Μετασχηµατισµός Y = g(x) Οπότε έχουµε : (γ) Εχουµε ότι :, y < e 4 F Y (y) = + y lny, e 4 y e, y e f Y (y) = df Y (y) dy Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήµα 4. (δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : { =, e 4 y e, αλλού P (Y e 3 ) = F Y (e 3 ) = + ln(e 3 ) = 3 = =.5

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα 4: Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f Y (y)