0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : < ( + ) < f X () < ( + ) < (i) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f X (). (ii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P ( X ). (iii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P ( X X ). (iv) Να υπολογιστεί η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (ΑΣΚ) (CDF), F X (). (i) Σχεδιάζοντας κάθε κλάδο της f X () στα αντίστοιχα διαστήµατα, λαµβάνουµε την γραφική παράσταση (περιορισµένη στο διάστηµα, ]) που ϕαίνεται στο Σχήµα..5 Probability Density Function.4. f X () Σχήµα : Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X (). Παρατήρηση : Η f X () είναι µία έγκυρη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, καθώς ικανοποιεί την Συνθήκη Κανονικοποίησης :

2 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 d + f X ()d + f X ()d d f X ()d + f X ()d f X ()d + (4 + ) 6 f X ()d, όπου το ολοκλήρωµα f X()d υπολογίστηκε ως το εµβαδόν µεταξύ του γραµµοσκιασµένου τραπεζίου στο Σχήµα και του άξονα. Εναλλακτικά, ϑα µπορούσε να υπολογιστεί µε χρήση τεχνικών ολοκλήρωσης ως εξής : f X ()d ( + )d + d + f X ()d + d + ( + )d f X ()d + f X ()d + ( + )d + ] + d + ] + f X ()d + ( + )d + ] ] f X ()d + d ] ( ) + ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) (ii) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε : P ( X ) f X ()d ( + )d ] + ] ( 9 ) + ( ) (7 ) + ( ) (iii) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε : ( + )d ( + )d d + P ( X X ) P ( X, X ) P ( X ) ] ] ] ( + + ] + ] ) P ( X ) P ( X ) ( + ) 4 f X ()d f X()d 4 (iv) Με γνωστή την Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής δίνεται από τον εξής τύπο : F X () f X (t)dt

3 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 Σύµφωνα µε τον τύπο της δοσµένης Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας, ϑεωρούµε τις εξής περιπτώσεις : (a) Για < F X () f X(t)dt dt (b) Για < F X () f X (t)dt dt + (t + )dt (t + )dt t ] + ] t ( 4 ) ( ) ( + ) 6 (c) Για < t ] + F X () (d) Για < ] t + t F X () f X (t)dt ] (t + )dt + dt + dt + (t + )dt + dt (t + )dt + dt ( ) + ( + 4 ) + ( + ) ( + ) 6 f X (t)dt ( t + )dt dt + t ] + (t + )dt + ] t + ] t dt + ( t + )dt ] t + ] t ( ) + ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) ( 4 ) (e) Για F X () (t + )dt + f X (t)dt dt + dt + ( t + )dt (t + )dt + ] t dt + ( t + )dt + dt + ] t + ] t ] t + ] t ( ) + ( + ) + ( + ) (4 ) + ( ) Άρα, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (CDF) ϑα είναι τελικά : < 6 ( + ) < F X () ( + ) < 6 6 ( 4 ) <

4 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 4 Ασκηση Εστω ότι η διάρκεια Ϲωής σε χρόνια µίας οθόνης Η/Υ µοντελοποιείται ως µία συνεχής Τ.Μ. X, µε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας PDF που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : < f X () e (i) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f X (). (ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η Συνθήκη Κανονικοποίησης : f X()d. (iii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P ( X ). (iv) Να υπολογιστεί η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (ΑΣΚ) (CDF), F X (), και να γίνει η γραφική της παράσταση. (v) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P (X ). (i) Σχεδιάζοντας κάθε κλάδο της f X () στα αντίστοιχα διαστήµατα, λαµβάνουµε την γραφική παράσταση (περιορισµένη στο διάστηµα 5, 5]) που ϕαίνεται στο Σχήµα. Probability Density Function f X () Σχήµα : Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X (). (ii) Η f X () είναι µία έγκυρη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, καθώς ικανοποιεί την Συνθήκη Κανονικοποίησης : f X ()d f X ()d + f X ()d d + e d ] + e d e ( ) (iii) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε :

5 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 5 P ( X ) f X ()d ] e d e e e (iv) Με γνωστή την Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής δίνεται από τον εξής τύπο : F X () f X (t)dt Σύµφωνα µε τον τύπο της δοσµένης Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας, ϑεωρούµε τις εξής περιπτώσεις : (a) Για < F X () f X(t)dt dt (b) Για F X () f X (t)dt f X (t)dt + f X (t)dt dt + e t dt ] e t dt e t (e e ) e Άρα, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (CDF) ϑα είναι τελικά : F X () < e Σχεδιάζοντας κάθε κλάδο της F X () στα αντίστοιχα διαστήµατα, λαµβάνουµε την γραφική παράσταση (περιορισµένη στο διάστηµα 5, 5]) που ϕαίνεται στο Σχήµα. Cumulative Distribution Function F X () Σχήµα : Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής F X (). (v) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε : P (X ) f X ()d ] + e d e e

6 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 6 Ασκηση Ενας µεγιστάνας ϑα Ϲήσει ακόµα ένα χρονικό διάστηµα σε έτη, το οποίο µοντελοποιείται ως µία συνεχής Τ.Μ. X µε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας PDF που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : + f X () αλλιώς Ο µεγιστάνας παντρεύεται µια νεαρή ηθοποιό, και συνάπτουν προγαµιαίο συµβόλαιο που προ- ϐλέπει πως όταν αυτός πεθάνει η ηθοποιός ϑα εισπράξει κληρονοµιά (σε εκατοµµύρια ευρώ) που µοντελοποιείται ως Τ.Μ. Y που δίνεται από τον εξής τύπο : Y X + (i) Να υπολογιστεί το µέσο διάστηµα Ϲωής που αποµένει ακόµα στον µεγιστάνα πριν πεθάνει. (ii) Να υπολογιστεί η διασπορά της Τ.Μ. X, V ARX]. (iii) Να υπολογιστεί η µέση τιµή της κληρονοµιάς (σε εκατοµµύρια ευρώ) που ϑα εισπράξει η ηθοποιός, όταν ο µεγιστάνας πεθάνει. (i) Σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης, Ϲητείται να υπολογιστεί η µέση τιµή της Τ.Μ. X, EX]. Με ϐάση τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε : EX] f X ()d f X ()d ] ( + )d ( + )d ] + ( ) + ( ) + (ii) Για τον υπολογισµό της διασποράς της Τ.Μ. X, V ARX], ϑα χρησιµοποιήσουµε την γνωστή από την ϑεωρία σχέση : V ARX] EX ] (EX]) Για τον υπολογισµό της ϱοπής ας τάξεως, EX ], έχουµε : EX ] f X ()d 4 4 f X ()d ] + ] Άρα, η διασπορά της Τ.Μ. X, V ARX] ϑα είναι τελικά : ( + )d ( + )d ( 4 ) + ( ) + 6 V ARX] EX ] (EX]) 6 ( ) 6 9 (iii) Σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης, Ϲητείται να υπολογιστεί η µέση τιµή της Τ.Μ. Y, EY ]. Εκµεταλλευόµενοι την γραµµική σχέση που συνδέει τις Τ.Μ. X και Y (και κάνοντας χρήση της αντίστοιχης ιδιότητας), έχουµε :

7 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 7 EY ] E X + ] EX] Ασκηση 4 Εστω συνεχής Τ.Μ. X, µε Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (ΑΣΚ) (CDF) που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : c 4 F X () <, όπου c σταθερά µε c R. Να υπολογιστούν : (i) Η σταθερά c. (ii) Η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) της Τ.Μ. X, f X (). (iii) Η µέση τιµή της Τ.Μ. X, EX]. Παρατήρηση : Στην περίπτωση που δίνεται η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής µίας Τ.Μ. X, και όχι η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας αυτής, η Συνθήκη Κανονικοποίησης λαµβάνει την ακόλουθη µορφή : lim F X () lim + F X () (i) Σύµφωνα µε την ϑεωρία, ϑα πρέπει να ισχύει η Συνθήκη Κανονικοποίησης. δοσµένη Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής, έχουµε : Με ϐάση την lim F X() lim (c ) c Άρα, τελικά, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (ΑΣΚ) (CDF) ϑα δίνεται από τον τύπο : F X () 4 < (ii) Με γνωστή την Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας δίνεται από τον εξής τύπο : f X () df X() d Με ϐάση την δοσµένη Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής, έχουµε : f X () < (iii) Με ϐάση τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε :

8 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 EX] f X ()d d f X ()d ] + ( )d ( + ) 4 Ασκηση 5 Εστω συνεχής Τ.Μ. X, µε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) η γραφική παράσταση της οποίας (περιορισµένη στο διάστηµα, ]) ϕαίνεται στο Σχήµα 4. Probability Density Function f X () / Σχήµα 4: Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ()., όπου α σταθερά µε α R. Να υπολογιστούν : (i) Η σταθερά α. (ii) Η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (ΑΣΚ) (CDF), F X (). (iii) Η µέση τιµή της Τ.Μ. X, EX]. (iv) Η διασπορά της Τ.Μ. X, V ARX]. (i) Αρχικά, προσδιορίζουµε τον τύπο της Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, f X (), µε ϐάση το Σχήµα 4. Πιο συγκεκριµένα, έχουµε : < α f X () c + d >

9 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 9 Παρατήρηση : Η f X (), εκτός από την προσδιοριστέα σταθερά α, εκφράζεται επιπλέον συναρτήσει των παραµέτρων c, d. Ως εκ τούτου, οι παράµετροι c, d ϑα πρέπει να εκφραστούν συναρτήσει της σταθεράς α, µε ϐάση του τύπο της f X (). Με ϐάση το Σχήµα 4, παρατηρούµε ότι ισχύουν οι σχέσεις : f X () α c + d α f X () c + d Επιλύοντας το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους τα c, d, ϐρίσκουµε ότι : c α d α Αντικαθιστώντας τα c, d, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, f X (), ϑα δίνεται από τον τύπο : < α f X () α + α > Για να είναι η f X () είναι µία έγκυρη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, ϑα πρέπει να ικανοποιεί την Συνθήκη Κανονικοποίησης : d + f X ()d αd + f X ()d + ( α + α)d + f X ()d + d α ] f X ()d + α ] f X ()d ] + α α ( ) α ( ) + α ( ) α α + α α α α α Παρατήρηση : Η προσδιοριστέα σταθερά α ϑα µπορούσε να υπολογιστεί εναλλακτικά, απαιτώντας το εµβαδόν µεταξύ της f X () και του άξονα να ισούται µε : E Τραπεζίου ( + ) α α α Άρα, τελικά, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, f X (), ϑα δίνεται από τον τύπο : < f X () + 4 > (ii) Με γνωστή την Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής δίνεται από τον εξής τύπο :

10 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 F X () f X (t)dt Σύµφωνα µε τον τύπο της δοσµένης Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας, ϑεωρούµε τις εξής περιπτώσεις : (a) Για < F X () f X(t)dt dt (b) Για < F X () (c) Για < F X () (d) Για F X () f X (t)dt f X (t)dt dt + ] t dt + dt dt ] t dt + ] t + 4 ( t + 4 )dt dt + ( t + 4 )dt ] t ( ) ( ) + 4 ( ) ( + 4 ) ( 4 + ) t ] f X (t)dt t ] + 4 ] t dt + dt + ( t + 4 )dt + dt Άρα, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (CDF) ϑα είναι τελικά : dt + ( t + 4 )dt ( ) ( ) + 4 ( ) < F X () < ( 4 + ) < (iii) Με ϐάση τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε : EX] ] f X ()d ] d + ] + 4 d + d + ( + 4 )d ( + 4 )d + d d + ( + 4 )d ( ) ( ) + 4 ( ) (iv) Για τον υπολογισµό της διασποράς της Τ.Μ. X, V ARX], ϑα χρησιµοποιήσουµε την γνωστή από την ϑεωρία σχέση : V ARX] EX ] (EX])

11 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 Για τον υπολογισµό της ϱοπής ας τάξεως, EX ], έχουµε : EX ] ] f X ()d 4 4 ] + 4 d + d + ] d + Άρα, η διασπορά της Τ.Μ. X, V ARX] ϑα είναι τελικά : ( + 4 )d ( + 4 )d + d d + ( + 4 )d ( ) (6 4 4 ) + 4 ( ) V ARX] EX ] (EX]) 5 6 (7 9 ) Ασκηση 6 Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : f X () (, c) R\(, c), όπου c σταθερά µε c >. Να υπολογιστούν : (i) Η σταθερά c. (ii) Η πιθανότητα P (X ). (iii) Η πιθανότητα P (X ). (iv) Η διασπορά της Τ.Μ. X, V ARX]. (i) Για να είναι η f X () είναι µία έγκυρη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, ϑα πρέπει να ικανοποιεί την Συνθήκη Κανονικοποίησης : c d + d + f X ()d c d c f X ()d + c d f X ()d + ] c c f X ()d (c ) c 4 c Άρα, τελικά, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) ϑα δίνεται από τον τύπο : f X () (, ) R\(, ) (ii) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε :

12 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 P (X ) f X ()d f X ()d (iii) Εφ όσον η X είναι συνεχής Τ.Μ., P (X ). d ] ( ) ( ) 4 (iv) Για τον υπολογισµό της διασποράς της Τ.Μ. X, V ARX], ϑα χρησιµοποιήσουµε την γνωστή από την ϑεωρία σχέση : V ARX] EX ] (EX]) Με ϐάση τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε : d + EX] d + f X ()d d f X ()d + d Για τον υπολογισµό της ϱοπής ας τάξεως, EX ], έχουµε : ] f X ()d + f X ()d ( ) ( ) 6 4 d + EX ] d + f X ()d d Άρα, η διασπορά της Τ.Μ. X, V ARX] ϑα είναι τελικά : f X ()d + d 4 ] V ARX] EX ] (EX]) ( 4 ) f X ()d + f X ()d (6 4 ) (6 4 ) 6 Ασκηση 7 Εστω X συνεχής Τ.Μ. που ακολουθεί Οµοιόµορφη Κατανοµή στο διάστηµα a, b], µε EX] 6 και P (X < 5).4. (i) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f X (). (ii) Η πιθανότητα P (X ). (i) Παρατήρηση : Σε αυτή την άσκηση µας δίνεται η κατανοµή που ακολουθεί η Τ.Μ. X, χωρίς όµως να προσδιορίζεται το διάστηµα (a, b])στο οποίο ακολουθεί αυτή την κατανοµή. Τα άκρα του εν λόγω διαστήµατος (a, b) ϑα υπολογιστούν µε ϐάση τα δεδοµένα της άσκησης. Από την ϑεωρία γνωρίζουµε ως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Οµοιόµορφη Κατανοµή στο διάστηµα a, b], η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) αυτής ϑα δίνεται από τον παρακάτω τύπο :

13 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 f X () b a αλλιώς a b Επίσης, είναι γνωστό πως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Οµοιόµορφη Κατανοµή στο διάστηµα a, b], η µέση τιµή της δίνεται από τον τύπο : EX] a + b Με ϐάση την παραπάνω σχέση, και δεδοµένου ότι EX] 6 από την εκφώνηση της άσκησης, έχουµε : EX] 6 a + b 6 a + b Ακόµη, µε ϐάση την εκφώνηση της άσκησης, έχουµε : P (X < 5).4 5 f X ()d.4 a 5 d + a a f X ()d + d.4 b a 5 a 5 a f X ()d.4 d.4 b a ] 5.4 (5 a).4 5 a.4b.4a.6a +.4b 5 b a a b a Επιλύοντας το παρακάτω σύτηµα εξισώσεων που προκύπτει : a + b.6a +.4b 5, µε αγνώστους τα a, b, ϐρίσκουµε ότι : a b Άρα, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) ϑα είναι τελικά : f X () αλλιώς Σχεδιάζοντας κάθε κλάδο της f X () στα αντίστοιχα διαστήµατα, λαµβάνουµε την γραφική παράσταση (περιορισµένη στο διάστηµα 5, 5]) που ϕαίνεται στο Σχήµα 5. Παρατήρηση : Η f X () είναι µία έγκυρη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, καθώς ικανοποιεί την Συνθήκη Κανονικοποίησης : d + f X ()d + f X ()d d f X ()d f X ()d + f X ()d + ] f X ()d ( )

14 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο Probability Density Function.4. f X () Σχήµα 5: Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X (). (ii) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε : P (X ) f X ()d f X ()d + f X ()d d + ] d d ( ) (). Ασκηση Προϊόν ϐιοµηχανίας συσκευάζεται σε πακέτα. Το ϐάρος ενός πακέτου είναι συνεχής Τ.Μ. X, η οποία ακολουθεί οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα, ]. Το κόστος παραγωγής κάθε πακέτου είναι Τ.Μ. Y, για την οποία ισχύει η σχέση : Y.X + Αν ένα πακέτο έχει ϐάρος 9Kg τότε πωλείται προς 5 ευρώ, ενώ αν έχει ϐάρος < 9Kg τότε πωλείται προς ευρώ. Να υπολογιστεί η µέση τιµή του κέρδους για κάθε πακέτο. Από την ϑεωρία γνωρίζουµε ως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Οµοιόµορφη Κατανοµή στο διάστηµα a, b], η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) αυτής ϑα δίνεται από τον παρακάτω τύπο : f X () b a αλλιώς a b Με ϐάση τα δεδοµένα της άσκησης, έχουµε a, b. Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) ϑα είναι τελικά : Άρα, η Συνάρτηση Πυκνότητας f X () 4 αλλιώς

15 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 5 Προκειµένου να υπολογίσουµε την µέση τιµή του κέρδους για κάθε πακέτο, πρέπει να υπολογίσου- µε το κέρδος για κάθε πακέτο ανάλογα µε το ϐάρος του. Πιο συγκεκριµένα, το Κέρδος (K(X)) για κάθε πακέτο ϑα δίνεται µε ϐάση την παρακάτω σχέση : K(X) Τιµή-Πώλησης(X) Κόστος Παραγωγής(X) Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης, ϑα έχουµε λοιπόν : Αν X < 9Kg K (X) (.X + ) Αν X 9Kg K (X) 5 (.X + ) Άρα, το κέρδος από κάθε πακέτο ϑα δίνεται τελικά από την σχέση : K () (. + ) X < 9 K() K () 5 (. + ) X 9 Με ϐάση τον τύπο ορισµού και τις ιδιότητες της µέσης τιµής, έχουµε : 4 9 EK(X)] K()f X ()d K() d + K() 4 d 9 K() 4 d + K () 4 d + 9 K() d K () 4 d ( (. + ))d + (5 (. + ))d (. )d + (. + 5)d ( ] 9 ] ) ( 9. + ] ] ) ( ) ( ) ] 9 + ( ) ( ) ] ( ) ] 7. + ( ) ] ( ) ] ] +.(4) ( 4 + ) Ασκηση 9 Εστω ότι ο συρµός ϕτάνει σε έναν συγκεκριµένο σταθµό του µετρό κάθε λεπτά, ξεκινώντας τα δροµολόγιά του στις 5 :. Αν ένας επιβάτης ϕθάνει στον σταθµό σε χρόνο ο οποίος κατανέµεται οµοιόµορφα στο χρονικό διάστηµα 7 :, 7 : 4], να υπολογιστούν οι πιθανότητες να περιµένει τον συρµό : (i) Το πολύ 4 λεπτά. (ii) Τουλάχιστον 7 λεπτά. Εστω X συνεχής Τ.Μ., η οποία αντιπροσωπεύει τον χρόνο άφιξης του επιβάτη στον σταθµό, και µετράται σε λεπτά ξεκινώντας από την χρονική στιγµή 7 :. Με ϐάση τα δεδοµένα της άσκησης, η X ϑα ακολουθεί οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα, ], µε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) που δίνεται από τον παρακάτω τύπο :

16 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 6 f X () αλλιώς (i) Για να περιµένει ο επιβάτης το πολύ 4 λεπτά, σηµαίνει πως ϕθάνει στον σταθµό είτε στο χρονικό διάστηµα 7 : 6, 7 : ] είτε στο χρονικό διάστηµα 7 : 6, 7 : 4]. Άρα, η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι : P P (6 X ) + P (6 X ) 6 f X ()d + 6 f X ()d 6 d + 6 d ] + ] 6 6 ( 6) + ( 6) (4) + (4) 5.4 (ii) Για να περιµένει ο επιβάτης τουλάχιστον 7 λεπτά, σηµαίνει πως ϕθάνει στον σταθµό είτε στο χρονικό διάστηµα 7 :, 7 : ] είτε στο χρονικό διάστηµα 7 :, 7 : ]. Άρα, η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι : P P ( X ) + P ( X ) f X ()d + f X ()d d + d ] + ] ( ) + ( ) () + () 6. Ασκηση Εστω συνεχής Τ.Μ. X, η οποία ακολουθεί την Εκθετική Κατανοµή µε EX]. (i) Να υπολογιστεί η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (ΑΣΚ) (CDF), F X (). (ii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P (X < ). (iii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P (X ). (iv) Αν ισχύει η σχέση P (X > c).95, όπου c σταθερά µε c R, να υπολογιστεί η σταθερά c. (i) Από την ϑεωρία γνωρίζουµε ως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Εκθετική Κατανοµή, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) αυτής ϑα δίνεται από τον παρακάτω τύπο : f X () < λ e λ Επίσης, είναι γνωστό πως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Εκθετική Κατανοµή, η µέση τιµή της δίνεται από τον τύπο : EX] λ Με ϐάση την παραπάνω σχέση, και δεδοµένου ότι EX] από την εκφώνηση της άσκησης, έχουµε :

17 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 7 EX] λ λ Άρα, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) ϑα είναι τελικά : f X () < e Με γνωστή την Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής δίνεται από τον εξής τύπο : F X () f X (t)dt Σύµφωνα µε τον τύπο της δοσµένης Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας, ϑεωρούµε τις εξής περιπτώσεις : (a) Για < F X () f X(t)dt dt (b) Για F X () f X (t)dt f X (t)dt + f X (t)dt dt + e t dt ] e t dt e t (e e ) e Άρα, η Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής (CDF) ϑα είναι τελικά : F X () < e (ii) Για τον υπολογισµό της Ϲητούµενης πιθανότητας, ελέγχουµε σε ποιον κλάδο της f X () αντιστοιχεί το προς εξέταση γεγονός, και έχουµε : P (X < ) f X ()d d+ e d (iii) Εκµεταλλευόµενοι ϐασικές έννοιες της ϑεωρίας πιθανοτήτων, έχουµε : ] e d e (e e ) e P (X ) P (X < ) ( e ) + e e (iv) Εκµεταλλευόµενοι τις ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας, έχουµε : P (X > c).95 c f X ()d.95 c e d.95 ] + e.95 ( e c ).95 e c.95 c c ln(.95) c ln(.95) c (.5) c.5

18 Πιθανότητες - 6/Φροντιστήριο 9 Ασκηση Η διάρκεια Ϲωής, T, µίας µηχανής ακολουθεί Εκθετική Κατανοµή. Η µέση διάρκεια Ϲωής είναι ίση µε µονάδες χρόνου. (i) Να ϐρεθεί η πιθανότητα να πάθει ϐλάβη η µηχανή µέσα σε µονάδες χρόνου. (ii) Να ϐρεθούν οι µονάδες χρόνου t, έτσι ώστε η διάρκεια Ϲωής της µηχανής να τις υπερβαίνει µε πιθανότητα ίση µε.. (i) Από την ϑεωρία γνωρίζουµε ως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Εκθετική Κατανοµή, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) αυτής ϑα δίνεται από τον παρακάτω τύπο : f X () < λ e λ Επίσης, είναι γνωστό πως όταν η συνεχής Τ.Μ. X ακολουθεί Εκθετική Κατανοµή, η µέση τιµή της δίνεται από τον τύπο : EX] λ Με ϐάση την παραπάνω σχέση, και δεδοµένου ότι EX] από την εκφώνηση της άσκησης, έχουµε : EX] λ λ Άρα, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) (PDF) ϑα είναι τελικά : f X () < e Παρατήρηση : Η διάρκεια Ϲωής, T, καθορίζει την χρονική στιγµή κατά την οποία εµφανίζεται η ϐλάβη. Άρα, στο διάστηµα X < T δεν υπάρχει ϐλάβη. Σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης, επιθυµούµε η διάρκεια Ϲωής της µηχανής να είναι µικρότερη από χρονικές µονάδες. Η πιθανότητα µε την οποία συµβαίνει αυτό ϑα είναι : P P (T < ) f X ()d ] e d e (e ) e (ii) Εκµεταλλευόµενοι τις ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας, έχουµε : P (T > t ). t ] + e t f X ()d. t e d. t. ( e ). e t. t ln(.) t ln(.) t (.4) t.4