Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Transcript

1 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν 4 βιβλία μαθηματικών, βιβλία φυσικής, βιβλία χημείας και βιβλία βιολογίας. (i) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν τα 11 βιβλία στο ράφι; (ii) Ποια είναι η πιθανότητα να τοποθετηθούν πρώτα στο ράφι τα 4 βιβλία των μαθηματικών και τελευταία τα βιβλία της φυσικής; (iii)ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία της ίδιας θεματικής ενότητας να τοποθετηθούν μαζί; (iv)τρία βιβλία επιλέγονται τυχαία από το ράφι χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγεί τουλάχιστον ένα βιβλίο μαθηματικών ή τουλάχιστον ένα βιβλίο βιολογίας; (i) Οι τρόποι που μπορούν να μπουν τα 11 βιβλία σε σειρά είναι 11! (πρόκειται για όλες τις δυνατές μεταθέσεις των 11 αντικειμένων). (ii) Οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε πρώτα τα 4 βιβλία των μαθηματικών και τελευταία τα βιβλία φυσικής είναι 4!4!! (οι τρόποι να διατάξουμε τα 4 βιβλία μαθηματικών επί τους τρόπους να διατάξουμε τα 4 βιβλία χημείας και βιολογίας επί τους τρόπους να διατάξουμε τα βιβλία φυσικής). Συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 4!4!! 11! (iii) Η τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε τη σειρά των θεματικών ενοτήτων είναι 4! Τα βιβλία των μαθηματικών μπορούν να διαταχθούν με 4! τρόπους, της φυσικής!, της χημείας!, και της βιολογίας!. Συνεπώς οι δυνατοί τρόποι είναι 4!4!!!! Τελικά η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 4!4!!!! 11! (iv) Η πιθανότητα μη επιλογής βιβλίου μαθηματικών ή βιολογίας στην πρώτη προσπάθεια είναι 5 11, στη δεύτερη 4 10 και στην τρίτη. Τελικά η πιθανότητα μη επιλογής βιβλίου 9 54 μαθηματικών ή βιολογίας στις τρεις προσπάθειες είναι

2 Συνεπώς η πιθανότητα να επιλεγεί τουλάχιστον ένα βιβλίο μαθηματικών ή βιολογίας 54 είναι Άσκηση η Η κ.σ.π. των τ.μ. Χ και Υ δίνεται από τον τύπο: 4xy, x > 0, y > 0, x + y 1 f(x,y) = 0, αλλού (i) Επαληθεύστε ότι η παραπάνω κ.σ.π. των τ.μ. Χ και Υ είναι νόμιμη. (ii) Βρείτε τις περιθώριες σ.π.π. των τ.μ. Χ, Υ. (iii) Βρείτε τη δεσμευμένη σ.π.π. της Υ όταν X = x (0 < x <1). (i) Είναι : f(x,y) 0 για κάθε x,y. Επίσης: Συνεπώς η κ.σ.π. των τ.χ. Χ και Υ είναι νόμιμη x 1 x f X(x) = 4xydy = 1x 4x 1x, 0 x y Y = = 0 f (x, y)dxdy = 4xydxdy = 1 (ii) Είναι: και f (x) = 0 αλλού X και: f (y) 4xydx 1y 4y 1y, 0 y 1, και f (y) = 0 αλλού. Y (iii)η δεσμευμένη σ.π. της Y όταν X=x, 0<x<1 δίνεται από τη σχέση: P(X = x, Y = y) 4xy y = =, 0 y 1 x f(y) = P(X = x) 1x 4x 1x x x 1 0, αλλού 0 0

3 Άσκηση η Δύο σκοπευτές, ο Σ1 και ο Σ, ρίχνουν από μια βολή κατά ενός κυκλικού στόχου ακτίνας r. Ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε τις αποστάσεις των δύο βολών από το κέντρο του στόχου. Γνωρίζουμε ότι (α) οι δύο βολές βρίσκουν το στόχο, και (β) η (απόλυτη) διαφορά των δύο αποστάσεων είναι μικρότερη ή ίση του r/. (i) Να παρασταθεί γραφικά ο δειγματικός χώρος και τα ενδεχόμενα: Α = {η βολή του Σ βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο του στόχου από τη βολή του Σ1}, Β = {η βολή του Σ1 απέχει από το κέντρο του στόχου απόσταση μεγαλύτερη του r/ }, Γ = {μόνο μια βολή απέχει από το κέντρο του στόχου απόσταση μικρότερη του r/ }. (ii) Εξετάστε αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ εξαντλούν από κοινού το δειγματικό χώρο. (iii)δείξτε σε ξεχωριστές γραφικές παραστάσεις τα ενδεχόμενα: A B Γ, A B Γ, (B Γ) A, A (B Γ ). (iv) Βρείτε τρία ενδεχόμενα που να είναι ασυμβίβαστα ανά δύο και να εξαντλούν από κοινού το δειγματικό χώρο. (i) (ii) Τα ενδεχόμενα δεν εξαντλούν το δειγματικό χώρο Ω. Αυτό γιατί το ενδεχόμενο (A B Γ) που είναι το ενδεχόμενο το Σ να μην βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο, το Σ1 να απέχει απόσταση από το κέντρο μικρότερη ή ίση του r/ και τα Σ1, Σ να απέχουν και τα δύο απόσταση μικρότερη ή ίση του r/ από το κέντρο ή και τα δύο απόσταση μεγαλύτερη ή ίση του r/ είναι μη κενό. Περιέχει π.χ. το ενδεχόμενο ο Σ1 να απέχει απόσταση r/4 από το στόχο και ο Σ να βρίσκεται στην ίδια ευθεία με το κέντρο και το Σ1 σε απόσταση r/4 από το Σ1 και r/ από το κέντρο. (iii) A B Γ:

4 A B Γ : (B Γ) A : A (B Γ ) : (iv) Τα τρία ενδεχόμενα είναι: το Γ, το ενδεχόμενο και ο Σ1 και ο Σ να είναι σε απόσταση μικρότερη του r/ και το ενδεχόμενο και ο Σ1 και ο Σ να είναι σε απόσταση μεγαλύτερη του r/. Άσκηση 4 η Ο χρόνος (σε ώρες) που απαιτείται για την φόρτιση μιας συγκεκριμένης μπαταρίας όταν είναι πλήρως αφόρτιστη προσεγγίζεται ικανοποιητικά από μια συνεχή τυχαία μεταβλητή T με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο: c(t t), t f(t) = 0, αλλού i) Να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς c ii) Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της T. iii) Ποια είναι η πιθανότητα να είναι τουλάχιστον.5 ώρες ο χρόνος φόρτισης μιας μπαταρίας; iv) Βρείτε τη μέση τιμή της T. v) Βρείτε τη διασπορά της T.

5 (i) Για να υπολογίσουμε το c θα χρησιμοποιήσουμε τη συνθήκη: f () tdt= 1. (ii) Είναι: + 1 f() t dt = c(t ) t dt = c t t = c ( ) ( ) = 14c= 1 c= 14 0, t < 0, t < 0, t < t t x x x x t t 4 Ft () = dx, t< =, t< =, t< , t 1, t 1, t (iii) Η πιθανότητα είναι: = 1 = P(.5 T) = 1 P( T <.5) = 1 F(.5) = 1 = ( ) 1 1 (iv) ( ) t t t t t ET = dt= = = = + = = (v) ( ) 1 1 ( ) t t t t t ET = dt= = = = + = =, οπότε η διασπορά της Τ είναι: var(t) = ET ( ) E ( T) = = = =