n i P(x i ) P(X = x i ) = lim
|
|
- Βλάσιος Ιωάννου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα να συλλέξουµε αυθαίρετα πολλές n παρατηρήσεις (n ), τότε το όριο της σχετικής συχνότητας είναι η πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει την τιµή x i n i P(x i ) P(X = x i ) = lim n n (2.1) (το σύµβολο σηµαίνει ισοδυναµία συµβολισµού). Για να είναι έγκυρος αυτός ο ορισµός πρέπει επίσης να υποθέσουµε ότι οι συνθήκες για την τ.µ. X σε κάθε επανάληψη της παρατήρησης παραµένουν οι ίδιες, και αυτή η ιδιότητα ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα (statistical regularity). Για παράδειγµα, η πιθανότητα ϐροχής σε µια περιοχή (σε µια τυχαία µέρα του χρόνου ή ενός συγκεκριµένου µήνα) µπορεί να έχει αλλάξει τα τελευταία χρόνια λόγω του φαινοµένου του ϑερµοκηπίου. Για συνεχή τ.µ. X δεν έχει νόηµα να µιλάµε για την πιθανότητα η X να πάρει µια συγκεκριµένη τιµή αλλά για την πιθανότητα η X να ανήκει σε ένα διάστηµα τιµών dx. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει κάποιος συµϕοιτητής σας ένα συγκεκριµένο ύψος που ορίζεται µε ακρίβεια πολλών (άπειρων) δεκαδικών, π.χ ; Μπορείτε όµως να προσδώσετε µη µηδενική πιθανότητα για το γεγονός ότι ένας συµϕοιτητής σας έχει ύψος στα 1.80 µέτρα (όπου µε ϐάση τη στρογγυλοποίηση του εκατοστού έχουµε dx = [1.795, 1.805)). 11
2 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 2.1 Κατανοµή πιθανότητας Κατανοµή πιθανότητας µιας τ.µ. Η πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει κάποια τιµή x i, αν είναι διακριτή, ή να ϐρίσκεται σε ένα διάστηµα τιµών dx, αν είναι συνεχής, µπορεί να µετα- ϐάλλεται στο σύνολο των διακεκριµένων τιµών ή σε διαϕορετικά διαστήµατα και δίνεται ως συνάρτηση της τ.µ. X. Για διακριτή τ.µ. X που παίρνει τις τιµές x 1, x 2,..., x m, η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση µάζας πιθανότητας, σµπ (probability mass function), ορίζεται ως f X (x i ) = P(X = x i ) και ικανοποιεί τις συνθήκες f X (x i ) 0 και m f X (x i ) = 1. (2.2) Αντίστοιχα, για συνεχή τ.µ. X (X ΙR) ορίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, σππ (probability density function) f X (x) που ικανοποιεί τις συνθήκες f X (x) 0 και i=1 f X (x)dx = 1. (2.3) Η κατανοµή πιθανότητας (probability distribution) της τ.µ. X ορίζεται επίσης από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, ασκ (cumulative distribution function) F X (x), που δηλώνει την πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει τιµές µικρότερες ή ίσες από κάποια τιµή x. Για διακριτή τ.µ. X είναι F X (x i ) = P(X x i ) = f X (x) (2.4) x x i και για συνεχή τ.µ. X F X (x) = P(X x) = x f X (u)du. (2.5) Σηµειώνεται ότι µια συνεχής µεταβλητή µπορεί να µετατραπεί σε διακριτή µε κατάλληλη διαµέριση του πεδίου τιµών της. Αν η συνεχής τ.µ. X ορίζεται στο διάστηµα [a, b] µια διαµέριση Σ σε m κελιά δίνεται ως Σ = {a = r 0, r 1,..., r m 1, r m = b}, όπου r 0 < r 1 <... < r m. Αντιστοιχίζοντας διακεκριµένες τιµές x i, i = 1,..., m, σε κάθε κελί (διάστηµα) [r i 1, r i ), η πιθανότητα εµϕάνισης µιας τιµής x i της διακριτικοποιηµένης τ.µ. X, f X (x i ) = P(X = x i ), δίνεται από την πιθανότητα η συνεχής τ.µ. X να παίρνει τιµές στο διάστηµα [r i 1, r i ), P(r i 1 X r i ) = F X (r i ) F X (r i 1 ).
3 2.2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κοινή πιθανότητα δύο τ.µ. Σε πολλά προβλήµατα χρειάζεται να ορίσουµε την συνδυασµένη µεταβλητότητα δύο τ.µ. X και Y, δηλαδή την κοινή κατανοµή πιθανότητας τους. Εστω η διακριτή τ.µ. X µε δυνατές διακεκριµένες τιµές x 1, x 2,..., x n και Y µε δυνατές διακεκριµένες τιµές y 1, y 2,..., y m, αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση µάζας πιθανότητας (joint probability mass function) f XY (x, y) ορίζεται για κάθε Ϲεύγος δυνατών τιµών (x i, y i ) ως f XY (x i, y i ) = P(X = x i, Y = y i ) (2.6) και η κοινή αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (joint cumulative density function) ορίζεται ως F XY (x i, y i ) = P(X x i, Y y i ) = f XY (x i, y i ). (2.7) y y i Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint probability density function) f XY (x, y) για δύο συνεχείς τ.µ. X και Y ϑα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες f XY (x, y) 0 και x x i f XY (x, y)dydx = 1. (2.8) Η κοινή (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής για δύο συνεχείς τ.µ. X και Y ορίζεται ως F XY (x, y) = P(X x, Y y) = x y f XY (u, v)dvdu. (2.9) ύο τ.µ. X και Y (συνεχείς ή διακριτές) είναι ανεξάρτητες (independent) αν για κάθε δυνατό Ϲεύγος τιµών τους (x, y) ισχύει f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) (2.10) Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι συναρτήσεις κοινής κατανοµής για περισσότερες τ.µ. καθώς και η ανεξαρτησία πολλών τ.µ Παράµετροι κατανοµής τυχαίων µεταβλητών Η κατανοµή πιθανότητας περιγράϕει πλήρως τη συµπεριϕορά της τ.µ., αλλά συνήθως στην πράξη δεν είναι γνωστή ή απαραίτητη. Οταν µελετάµε µια τ.µ. µας ενδιαϕέρει κυρίως να προσδιορίζουµε κάποια ϐασικά χαρακτη- ϱιστικά της κατανοµής της, όπως η κεντρική τάση και η µεταβλητότητα της τ.µ.. Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι οι παράµετροι της κατανοµής της τ.µ..
4 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Μέση τιµή Αν X είναι µια διακριτή τ.µ. που παίρνει m διακριτές τιµές x 1, x 2,..., x m, µε σµπ f X (x), η µέση τιµή της, που συµβολίζεται µ X E[X] ή απλά µ, δίνεται ως m µ E[X] = x i f X (x i ). (2.11) Αν η X είναι συνεχής τ.µ. µε σππ f X (x), η µέση τιµή της δίνεται ως µ E[X] = i=1 Κάποιες ϐασικές ιδιότητες της µέσης τιµής είναι : xf X (x)dx. (2.12) 1. Αν η τ.µ. X παίρνει µόνο µια σταθερή τιµή c είναι E[X] = c. 2. Αν X είναι µια τ.µ. και c είναι µια σταθερά : E[cX] = ce[x]. 3. Αν X και Y είναι δύο τ.µ.: E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. 4. Αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.µ.: E[XY ] = E[X]E[Y ]. Οι ιδιότητες (2) και (3) δηλώνουν πως η µέση τιµή έχει τη γραµµική ιδιότητα, δηλαδή ισχύει E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Άλλα χαρακτηριστικά της τ.µ. X εκτός της µέσης τιµής είναι τα εκατοστιαία σηµεία που µπορούν να προσδιοριστούν από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής. Η διάµεσος (median) µ µιας τ.µ. X είναι το 50-εκατοστιαίο σηµείο, δηλαδή η µ ικανοποιεί τη σχέση F X ( µ) = ιασπορά Η διασπορά ή διακύµανση (variance) µιας τ.µ. X και κυρίως η τυπική απόκλιση (standard deviation) (που είναι η τετραγωνική ϱίζα της διασπο- ϱάς), εκϕράζουν τη µεταβλητότητα της τ.µ. X γύρω από τη µέση τιµή. Αν X είναι µια τ.µ. (διακριτή ή συνεχής) µε µέση τιµή µ, τότε η διασπορά της που συµβολίζεται σ 2 X Var[X] ή απλά σ2 δίνεται ως σ 2 E[(X µ) 2 ] = E[X 2 ] µ 2. (2.13) Κάποιες ϐασικές ιδιότητες της διασποράς είναι : 1. Αν η τ.µ. X παίρνει µόνο µια σταθερή τιµή c είναι Var[c] = Αν X είναι µια τ.µ. και c είναι µια σταθερά : Var[X + c] = Var[X] και Var[cX] = c 2 Var[X].
5 2.2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.µ.: Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. Οι ιδιότητες (2) και (3) δηλώνουν πως η διασπορά δεν έχει τη γραµµική ιδιότητα. Οταν όµως οι δύο τ.µ. είναι ανεξάρτητες η διασπορά έχει τη ψευδογραµµική ιδιότητα, δηλαδή ισχύει Var[aX + by ] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] Ροπές µιας τ.µ. Συχνά για την περιγραϕή των ιδιοτήτων µιας τ.µ. X δεν αρκεί µόνο η µέση τιµή και η διασπορά (που ϐασίζονται στην πρώτη και δεύτερη δύναµη της X), αλλά πρέπει να καταϕύγουµε σε µεγαλύτερες δυνάµεις της X. Η µέση τιµή και η διασπορά αναϕέρονται και ως ϱοπή πρώτης τάξης και (κεντρική) ϱοπή δεύτερης τάξης, αντίστοιχα. Γενικά ορίζονται οι ϱοπές E[X n ] και οι κεντρικές ϱοπές µ n E[(x µ X ) n ] για κάθε τάξη n. Από τις σηµαντικότερες ϱοπές είναι η κεντρική ϱοπή τρίτης τάξης που χρησιµοποιείται στον ορισµό του συντελεστή λοξότητας (coefficient of skewness) λ λ = µ 3 σ 3 = E [( X µ ) 3 ]. (2.14) σ Ο συντελεστής λοξότητας λ εκϕράζει τη λοξότητα της κατανοµής της τ.µ. X (δηλαδή της σµπ για διακριτή X ή της σππ για συνεχή X). Για λ = 0 η κατανοµή είναι συµµετρική. Από τη κεντρική ϱοπή τέταρτης τάξης ορίζεται ο συντελεστή κύρτωσης (coefficient of kurtosis) κ κ = µ [( 4 X µ ) 4 ] σ 3 = E 3. (2.15) 4 σ Ο συντελεστής κύρτωσης κ δηλώνει τη σχέση του πλάτους της κατανοµής γύρω από τη κεντρική τιµή µε τις ουρές της Συνδιασπορά και συντελεστής συσχέτισης Οταν µελετάµε δύο τ.µ. X και Y που δεν είναι ανεξάρτητες, έχει ενδιαϕέ- ϱον να προσδιορίσουµε πόσο ισχυρά συσχετίζεται η µια µε την άλλη. Γι αυτό ορίζουµε τη συνδιασπορά ή συνδιακύµανση (covariance) των τ.µ. X και Y, που συµβολίζεται σ XY Cov[X, Y ], και ορίζεται ως σ XY E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY ] µ X µ Y. (2.16) Αν οι δύο τ.µ. X και Y συσχετίζονται ισχυρά και ϑετικά, δηλαδή όταν αυξάνει η µία αυξάνει και η άλλη, τότε η συνδιασπορά παίρνει µεγάλη ϑετική τιµή σε
6 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ σχέση µε τις τιµές των X και Y. Αντίθετα αν οι δύο τ.µ. X και Y συσχετίζονται ισχυρά και αρνητικά, δηλαδή όταν αυξάνει η µία µειώνεται η άλλη, τότε η συνδιασπορά παίρνει µεγάλη αρνητική τιµή. Αν οι X και Y είναι ανεξάρτητες εύκολα µπορεί να δειχθεί από την (2.16) ότι σ XY = 0. Το µειονέκτηµα της συνδιασποράς είναι ότι η τιµή της εξαρτάται από τις µονάδες µέτρησης των τ.µ. X και Y. Γι αυτό όταν ϑέλουµε να µετρήσουµε τη συσχέτιση δύο τ.µ. X και Y, χρησιµοποιούµε συνήθως το συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient), που συµβολίζεται ρ XY Corr[X, Y ] ή απλά ρ, και προκύπτει από την κανονικοποίηση της συνδιασποράς µε το γινόµενο των τυπικών αποκλίσεων των X και Y ρ = σ XY σ X σ Y. (2.17) Παραθέτουµε κάποιες ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης : 1. 1 ρ Αν οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες είναι ρ = 0, αλλά ρ = 0 δε δηλώνει ότι οι X και Y είναι ανεξάρτητες αλλά απλά ότι δεν είναι γραµµικά συσχετισµένες (µπορεί δηλαδή να είναι µη-γραµµικά συσχετισµένες). 3. ρ = 1 ή ρ = 1 αν και µόνο αν Y = α + ϐx για κάποιους αριθµούς α και ϐ. 2.3 Γνωστές κατανοµές µιας τ.µ. Στη µελέτη µιας τ.µ. µας ϐοηθάει να έχουµε κάποια πρότυπα για την κατανοµή της, δηλαδή κάποιες γνωστές συναρτήσεις f X (x) της τ.µ. X µε γνωστές παραµέτρους. Επίσης σε πολλά πραγµατικά προβλήµατα η κατανοµή µιας τ.µ. µπορεί να περιγραϕεί ικανοποιητικά από κάποια γνωστή κατανοµή. Θα παραθέσουµε εδώ δύο τέτοια παραδείγµατα πολύ γνωστών κατανοµών, µια για διακριτή και µια για συνεχή τ.µ ιωνυµική κατανοµή Πολλά προβλήµατα και κυρίως πειράµατα εµπεριέχουν επαναλαµβανό- µενες δοκιµές (repeated trials). Για παράδειγµα µπορεί να ϑέλουµε να γνωρίζουµε την πιθανότητα η µια στις 5 ϐελόνες χαρακτικής να σπάσει σε ένα πείραµα αντοχής τάνυσης. Σε κάθε δοκιµή ορίζουµε δύο µόνο δυνατά αποτελέσµατα που συνήθως τα χαρακτηρίζουµε συµβολικά ως επιτυχία και αποτυχία, χωρίς το όνοµα να έχει απαραίτητα πραγµατική σηµασία ( επιτυχία µπορεί να είναι το σπάσιµο της ϐελόνας). Υποθέτουµε ότι έχουµε κάνει
7 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 17 n δοκιµές και η πιθανότητα επιτυχίας p σε κάθε προσπάθεια είναι ίδια. οκιµές που τηρούν αυτές τις προϋποθέσεις λέγονται προσπάθειες Bernoulli. Ορίζουµε την τ.µ. X ως τον αριθµό των επιτυχίων σε n δοκιµές. Η X παίρνει τιµές στο σύνολο {0, 1,..., n}. Η πιθανότητα να έχουµε x επιτυχίες δίνεται από τη διωνυµική (binomial) σµπ, που συµβολίζεται B(n, p), και ορίζεται ως ( ) n f X (x) = P(X = x) = p x (1 p) n x (2.18) ( όπου n ) x n! είναι ο διωνυµικός συντελεστής (binomial coefficient). Τα n x!(n x)! και p είναι οι παράµετροι που ορίζουν τη διωνυµική κατανοµή. ηλώνουµε ότι µια τ.µ. X ακολουθεί διωνυµική κατανοµή ως X B(n, p). Η µέση τιµή και η διασπορά της X είναι x µ = E[X] = np και σ 2 = Var[X] = np(1 p). (2.19) Παράδειγµα 2.1. Σε ένα πείραµα αντοχής τάνυσης δοκιµάζουµε 4 ϐελόνες χαρακτικής σε ένα συγκεκριµένο όριο τάνυσης. Η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα σε µια δοκιµή είναι p = 0.2. Οι δοκιµές είναι τύπου Bernoulli. Μπορούµε να ορίσουµε την πιθανότητα να µη σπάσει καµιά ϐελόνα στις 4 δοκιµές από τη διωνυµική κατανοµή ως ( ) 4 f X (0) = P(X = 0) = = Οµοια υπολογίζονται οι πιθανότητες όταν στις 4 δοκιµές σπάζει µια ϐελόνα κι όταν σπάζουν 2, 3 και 4 ϐελόνες f X (1) = f X (2) = f X (3) = f X (4) = Με αυτόν τον τρόπο έχουµε ορίσει τη συνάρτηση σµπ f X (x) γι αυτό το παραδειγµα. Από την f X (x) ορίζεται εύκολα και η αθροιστική συνάρτηση F X (x) P(X x). Η γραϕική παράσταση των συναρτήσεων f X (x) και F X (x) δίνονται στο Σχήµα 2.1. Η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα τουλάχιστον µια φορά είναι P(X 1) = 1 P(X = 0) = = ενώ η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα το πολύ δύο φορές δίνεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F X (2) P(X 2) = 2 P(X = x) = = x=0
8 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (α) 1.0 (β) f X (x) F X (x) X X Σχήµα 2.1: Γραϕική παράσταση της συνάρτησης f X (x) στο (α) και της συνάρτησης F X (x) στο (ϐ) για τον αριθµό ϐελόνων που σπάζουν σε n δοκιµές. Η µέση τιµή για τον αριθµό επιτυχιών (όπου επιτυχία είναι το σπάσιµο της ϐελόνας στη δοκιµή) είναι E[X] = = 0.8 δηλαδή στις 4 δοκιµές περίπου µια φορά ϑα σπάζει η ϐελόνα. Η τυπική απόκλιση από αυτήν την τιµή είναι σ = VarX = = Οµοιόµορϕη κατανοµή Η πιο απλή συνεχής κατανοµή είναι η οµοιόµορϕη κατανοµή που ορίζεται σε πεπερασµένο διάστηµα [a, b] και έχει σππ (δες Σχήµα 2.2) και ασκ f X (x) = F X (x) = { 1 b a a x b 0 αλλού 0 x < a x a a x b b a 1 x b (2.20) (2.21) Ο συµβολισµός που χρησιµοποιείται για να δείξουµε ότι µια τ.µ. X ακολουθεί οµοιόµορϕη κατανοµή στο διάστηµα [a, b] είναι X U[a, b]. Η µέση τιµή και διασπορά της X είναι µ = E[X] = a + b 2 και σ 2 = Var[X] = (b a)2. (2.22) 12
9 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ (α) 1.5 (β) f X (x) F X (x) X X Σχήµα 2.2: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο (α) και η αθροιστική συνάρτηση στο (ϐ) της οµοιόµορϕης κατανοµής στο διάστηµα [a, b]. Ενα χρήσιµο αποτέλεσµα που χρησιµοποιείται στις προσοµοιώσεις είναι το παρακάτω ϑεώρηµα : Αν X U[0, 1] τότε η τ.µ. Y = F 1(X) Y έχει ασκ F Y (y). Αυτό το ϑεώρηµα µας επιτρέπει να δηµιουργούµε τυχαίους αριθµούς από κάποια κατανοµή αν γνωρίζουµε την ασκ της κατανοµής. Για παράδειγµα, η εκθετική κατανοµή έχει ασκ F Y (y) = 1 e λy, όπου λ η παράµετρος της εκθετικής κατανοµής (που είναι και η µέση τιµή). Θέτοντας X F Y (y), έχουµε X U[0, 1] και µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από οµοιόµορϕη κατανοµή (δες άσκηση 1). Τότε για κάθε τέτοια τιµή x υπολογίζουµε την αντίστοιχη τιµή y από εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ από την αντίστροϕη της F Y (y) y = 1 ln(1 x). λ Κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η σπουδαιότερη συνεχής κατανοµή και αποτελεί τη ϐάση για πολλά στατιστικά µοντέλα και συµπεράσµατα. Η σπουδαιότητα της οϕείλεται κυρίως στο ότι περιγράϕει ικανοποιητικά την κατανοµή πολλών τυχαίων πραγµατικών µεγεθών που παίρνουν συνεχείς αριθµητικές τιµές, αλλά προσεγγίζει ικανοποιητικά και πολλές διακριτές κατανοµές. Σε πολλά τυχαία µεγέθη που µελετάµε παρατηρούµε ότι οι τιµές τους µαζεύονται συµµετρικά γύρω από µια κεντρική τιµή και αραιώνουν καθώς αποµακρύνονται από αυτήν την κεντρική τιµή. Η κατάλληλη συνάρτηση πυκνότητας
10 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ πιθανότητας για µια κατανοµή τέτοιου τύπου τοµή καµπάνας είναι αυτή της κανονικής κατανοµής (normal distribution) που ορίζεται ως f X (x) = 1 2π σ e (x µ)2 2σ 2 < x <, (2.23) όπου οι παράµετροι µ και σ 2 που ορίζουν την κανονική κατανοµή είναι η µέση τιµή και η διασπορά αντίστοιχα και η κατανοµή συµβολίζεται ως N(µ, σ 2 ). Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F X (x) δίνεται από το ολοκλήρωµα της f X (x) όπως ορίστηκε στην (2.5). Στο Σχήµα 2.3 δίνονται σχηµατικά η f X (x) και η F X (x). (α) 1.0 (β) f X (x) 0.5 F X (x) µ µ 2σ µ σ µ+σ µ+2σ X 0.0 X Σχήµα 2.3: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο (α) και η αθροιστική συνάρτηση στο (ϐ) της κανονικής κατανοµής. Φαίνεται ότι περίπου το 70% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ σ, µ + σ] και περίπου το 95% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ 2 σ, µ + 2 σ]. Ιδιαίτερο ενδιαϕέρον παρουσιάζει η τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution) που είναι η πιο απλή µορϕή της κανονικής κατανοµής, δηλαδή για µ = 0 και σ = 1. Για να ξεχωρίσουµε την τ.µ. που ακολουθεί τυπική κατανοµή τη συµβολίζουµε µε Z ή z και είναι Z N(0, 1). Η σππ είναι f Z (z) = 1 e z 2 2 < z <. (2.24) 2π Η αθροιστική συνάρτηση συµβολίζεται Φ(z) και είναι Φ(z) F Z (z) = 1 2 π z e u2 2 du < z <. (2.25)
11 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 21 Οι τιµές της Φ(z) για διάϕορες τιµές του z είναι πολύ χρήσιµες στη στατιστική γι αυτό και δίνονται σε στατιστικό πίνακα σε κάθε ϐιβλίο στατιστικής. Κάθε τ.µ. X που ακολουθεί κανονική κατανοµή µπορεί να µετασχηµατιστεί στη Z µε τον απλό µετασχηµατισµό X N(µ, σ 2 ) = Z X µ σ N(0, 1). (2.26) Μπορούµε λοιπόν να υπολογίσουµε οποιαδήποτε πιθανότητα για τη X από την Φ(z). Γενικά η πιθανότητα για X [a, b] είναι ( a µ P(a X b) = P Z b µ ) ( b µ ) ( a µ ) = Φ Φ. (2.27) σ σ σ σ Παράδειγµα 2.2. Το πάχος ενός κυλινδρικού σωλήνα είναι σχεδιασµένο από το εργοστάσιο να είναι µ, αλλά παρατηρείται ότι το πάχος δεν είναι σταθερό σε κάθε παραγόµενο σωλήνα αλλά αποκλίνει από το µ µε τυπική απόκλιση σ = 0.1 mm. Υποθέτουµε λοιπόν ότι το πάχος του κυλινδρικού σωλήνα είναι τυχαία µεταβλητή X που ακολουθεί κανονική κατανοµή, δηλαδή X N(µ, ) (σε mm). Εστω ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα η απόκλιση του πάχους του κυλινδρικού σωλήνα από το προδιαγεγραµµένο πάχος να µην είναι µεγαλύτερη από 0.1 mm. Εχουµε σύµϕωνα µε την (2.27) P(µ 0.1 X µ + 0.1) = P( 1 Z 1) = Φ(1) Φ( 1) = = , που συµϕώνει µε το αποτέλεσµα που αναϕέρθηκε παραπάνω, δηλαδή ότι περίπου το 70% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ σ, µ + σ]. Αντίστροϕα, µπορούµε να προσδιορίσουµε ένα όριο για το σϕάλµα (πάνω και κάτω από την προδιαγεγραµµένη τιµή µ) που αντιστοιχεί σε κάποια πιθανότητα, ας πούµε Αν ονοµάσουµε το σϕάλµα ϸ έχουµε P(X µ ϸ ή X µ + ϸ) = 0.05 P(µ ϸ X µ + ϸ) = 0.95 ( ϸ ) ( Φ Φ ϸ ) = ( 0.1 ϸ ) 2Φ 1 = ( ϸ ) Φ = Από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής ϐρίσκουµε πως η τιµή z που αντιστοιχεί για Φ(z) = είναι z = Άρα µε πιθανότητα 0.95 το πάχος του κυλινδρικού σωλήνα δεν αποκλίνει από τη µέση τιµή µ περισσότερο από mm.
12 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Κανονικότητα Στους λόγους που αναϕέρθηκαν παραπάνω για τη σπουδαιότητα της κανονικής κατανοµής, ϑα πρέπει να προστεθεί και η ιδιότητα της κανονικής κατανοµής να έλκει τα αθροίσµατα τυχαίων µεταβλητών, που δεν είναι α- παραίτητα κανονικές, δηλαδή η κατανοµή των αθροισµάτων να προσεγγίζει την κανονική κατανοµή. Οι περιορισµοί για να ισχύει αυτό είναι οι τυχαίες µεταβλητές να είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, να έχουν πεπερασµένη διασπο- ϱά και το άθροισµα να είναι αρκετά µεγάλο. Κάτω από αυτές τις συνθήκες ισχύει το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα, ΚΟΘ, (central limit theorem, CLT): Εστω οι τ.µ. X i, i = 1,..., n, για n µεγάλο (συνήθως ϑεωρούµε n > 30) που έχουν κατανοµές µε µέσες τιµές µ i και διασπορές σ 2 i για i = 1,..., n, αντίστοιχα. Τότε ισχύει n Y = X i N(µ Y, σ 2 Y ), (2.28) i=1 όπου η µέση τιµή της τ.µ. του αθροίσµατος Y είναι µ Y = n i=1 µ i και η διασπορά είναι σ 2 = n Y i=1 σ2 i. Προϕανώς όταν οι τ.µ. X i έχουν την ίδια κατανοµή µε µέση τιµή µ και διασπορά σ 2, τότε ισχύει µ Y = nµ και σ 2 = Y nσ2. Για το µέσο όρο των τ.µ. X i, i = 1,..., n, µε ίδια κατανοµή, από το ΚΟΘ ισχύει X = 1 n X i N(µ, σ 2 /n), (2.29) n i=1 δηλαδή ο µέσος όρος ακολουθεί κανονική κατανοµή µε την ίδια µέση τιµή όπως οι τ.µ. X i και διασπορά σ 2 X = σ 2 /n.
13 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 23 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 2 1. Επιβεβαίωσε τον ορισµό της πιθανότητας ως το όριο της σχετικής συχνότητας για αριθµό επαναλήψεων να τείνει στο άπειρο. Προσοµοίωσε τη ϱίψη ενός νοµίσµατος n φορές χρησιµοποιώντας τη γενέτειρα συνάρτηση τυχαίων αριθµών, είτε από οµοιόµορϕη διακριτή κατανοµή (δίτιµη για κορώνα και γράµµατα ), ή από οµοιόµορϕη συνεχή κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] χρησιµοποιώντας κατώϕλι 0.5 (π.χ. αριθµός µικρότε- ϱος του 0.5 είναι κορώνα και µεγαλύτερος γράµµατα ). Επανέλαβε το πείραµα για αυξανόµενα n και υπολόγισε κάθε φορά την αναλογία των γραµµάτων στις n επαναλήψεις. Κάνε την αντίστοιχη γραϕική παράσταση της αναλογίας για τα διαϕορετικά n. Βοήθεια ( matlab): Για τη δηµιουργία των τυχαίων αριθµών χρησιµοποίησε τη συνάρτηση rand ή unidrnd. 2. ηµιούργησε 1000 τυχαίους αριθµούς από εκθετική κατανοµή µε πα- ϱάµετρο λ = 1 χρησιµοποιώντας την τεχνική που δίνεται στην Παρ Κάνε το ιστόγραµµα των τιµών και στο ίδιο σχήµα την καµπύλη της εκ- ϑετικής σππ f X (x) = λe λx. Βοήθεια ( matlab): Το ιστόγραµµα δίνεται µε τη συνάρτηση hist. 3. είξε µε προσοµοίωση ότι όταν δύο τ.µ. X και Y δεν είναι ανεξάρτητες δεν ισχύει η ιδιότητα Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. Για να το δείξεις ϑεώρησε µεγάλο πλήθος τιµών n από X και Y που ακολουθούν τη διµεταβλητή κανονική κατανοµή. Βοήθεια ( matlab): Για τον υπολογισµό της διασποράς από n παρατηρήσεις, χρησιµοποίησε τη συνάρτηση var. Για να δηµιουργήσεις παρατηρήσεις από διµεταβλητή κανονική κατανοµή χρησιµοποίησε τη συνάρτηση mvnrnd. 4. Ισχύει E[1/X] = 1/E[X]; ιερεύνησε το υπολογιστικά για X από ο- µοιόµορϕη συνεχή κατανοµή στο διάστηµα [1, 2] υπολογίζοντας τους αντίστοιχους µέσους όρους για αυξανόµενο µέγεθος επαναλήψεων n. Κάνε κατάλληλη γραϕική παράσταση για τις δύο µέσες τιµές και τα διαϕορετικά n. Τι συµβαίνει αν το διάστηµα της οµοιόµορϕης κατανο- µής είναι [0, 1] ή [ 1, 1]; 5. Το µήκος X των σιδηροδοκών που παράγονται από µια µηχανή, είναι γνωστό ότι κατανέµεται κανονικά X N(4, 0.01). Στον ποιοτικό έλεγχο που ακολουθεί αµέσως µετά την παραγωγή απορρίπτονται όσοι σιδηροδοκοί έχουν µήκος λιγότερο από 3.9. Ποια είναι η πιθανότητα
14 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ µια σιδηροδοκός να καταστραϕεί ; Που πρέπει να µπει το όριο για να καταστρέϕονται το πολύ το 1% των σιδηροδοκών ; Βοήθεια ( matlab): Η αθροιστική συνάρτηση κανονικής κατανοµής δίνεται µε τη συνάρτηση normcdf. Η αντίστροϕη της δίνεται µε τη συνάρτηση norminv. 6. είξε ότι ισχύει το ΚΟΘ µε προσοµοίωση. Εστω n = 100 τ.µ. από οµοιόµορϕη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] και έστω Y η µέση τιµή τους. Υπολόγισε N = τιµές της Y και σχηµάτισε το ιστόγραµµα των τιµών µαζί µε την καµπύλη της κανονικής κατανοµής. Βοήθεια ( matlab): Το ιστόγραµµα δίνεται µε τη συνάρτηση hist.
cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 08-09 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Ασκηση Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.
Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότεραc(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :
Διαβάστε περισσότερα1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί
Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,
Διαβάστε περισσότερα0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Διαβάστε περισσότερα27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό
ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και
Διαβάστε περισσότερα1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
Διαβάστε περισσότεραHMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότερα3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)
3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ
Διαβάστε περισσότεραΗ παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραP (M = 9) = e 9! =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.
Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Η τυχαία µεταβλητή X έχει αθροιστική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότεραΜέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής
Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός και Ιδιότητες
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.
Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Διαβάστε περισσότερα10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό
ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( Ι ) Επιµέλεια : Στιβακτάκης Ραδάµανθυς Ασκηση.
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)
Διαβάστε περισσότεραΟι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:
Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.
Η Ι Η Η Ο Α ΙΑ Α Ι Η ΙΟ Η Η Εφα ο αν α α Π όχε ε Σ ε ώ ε Π α ό ε Κεφά α ο 3 ο Ν α α,ν α αν αφ Ν(α α ώ,ν υ π ώ ) ανεπ Ν α Ν χ ο ογ α Ν ώ Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών
ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Εισαγωγικές Έννοιες
Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραόπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.
3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
Διαβάστε περισσότεραΓια το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότερα