ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
|
|
|
- Νατάσα Ελευθερίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009
2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη δύο χαρακτηριστικών των δειγµατικών σηµείων. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να αντιστοιχήσουµε σε κάθε δειγµατικό σηµείο ένα Ϲεύγος πραγµατικών αριθµών. Η αντιστοίχηση αυτή γίνεται από ένα Ϲεύγος πραγµατικών συναρτήσεων µε (κοινό) πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο. Σχετικά ϑέτουµε τον ακόλουθο ορισµό.
3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ορισµός Εστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός στοχαστικού (τυχαίου) πειϱάµατος. Ενα Ϲεύγος πραγµατικών συναρτήσεων (X, Y) που ορίζεται στο δειγµατικό χώρο Ω καλείται διδιάστατη τυχαία µεταβλητή. Το Ϲεύγος των συναρτήσεων αυτών αντιστοιχεί σε κάθε δειγµατικό σηµείο ω Ω ένα Ϲεύγος πραγµατικών αριθµών (x, y) µε x = X(ω) και y = Y(ω). Σηµειώνουµε ότι αν (X, Y) είναι µία διδιάστατη τυχαία µεταβλητή, τότε τόσο η X όσο και η Y είναι (µονοδιάστατες) τυχαίες µεταβλητές και αντίστροφα. Η συνάρτηση κατανοµής µίας διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής ορίζεται, κατ αναλογία µε τη µονοδιάστατη περίπτωση, ως εξής:
4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ορισµός Η συνάρτηση F(x, y) = P(X x, Y y) = P({ω Ω : X(ω) x, Y(ω) y), x, y R, (1) καλείται συνάρτηση κατανοµής της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) ή από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τυχαίων µεταβλητών X και Y. Σηµειώνεται ότι, για συγκεκριµένους πραγµατικούς αριθµούς x και y, η F(x, y) = P(X x, Y y) παριστάνει την πιθανότητα του ενδεχοµένου {ω Ω : X(ω) x} {ω Ω : Y(ω) y} = {ω Ω : X(ω) x και Y(ω) y}, το οποίο συµβολίζεται και ως {ω Ω : X(ω) x, Y(ω) y} ή {X x, Y y}.
5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η συνάρτηση κατανοµής, ως πιθανότητα, λαµβάνει τιµές στο διάστηµα [0, 1], δηλαδή 0 F(x, y) 1, < x <, < y <. (2) Επίσης ικανοποιεί τις οριακές σχέσεις F(, y) = F(x, ) = F(+, + ) = lim F(x, y) = P( ) = 0, < y <, x F(x, y) = P( ) = 0, < x <, lim y lim x + y + F(x, y) = P(Ω) = 1
6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ και F(x, + ) = F(+, y) = lim F(x, y) = P(X x) = F X(x), < x <, (3) y + lim F(x, y) = P(Y y) = F Y (y), < y <. (4) x + Η συνάρτηση κατανοµής F X (x) = P(X x), < x <, της τυχαίας µεταϐλητής X, ϑεωρούµενη στο πλαίσιο της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) καλείται, ιδιαιτέρως, περιθώρια συνάρτηση κατανοµής της X. Οµοίως η συνάρτηση κατανοµής F Y (y) = P(Y y), < y < της τυχαίας µεταβλητής Y καλείται περιθώρια συνάρτηση κατανοµής της Y.
7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Παράδειγµα Ας ϑεωρήσουµε το στοχαστικό πείραµα της εξαγωγής ενός σφαιριδίου από µια κληρωτίδα που περιέχει 10 σφαιρίδια ϕέροντα τους αριθµούς Ω = {1, 2,..., 10} και τα ενδεχόµενα A = {1, 2} και B = {3, 4, 5, 6}. Εστω { 1, αν ο εξαγόµενος αριθµός ανήκει στο A, X = 0, αν ο εξαγόµενος αριθµός δεν ανήκει στο A, και Y = { 1, αν ο εξαγόµενος αριθµός ανήκει στο B, 0, αν ο εξαγόµενος αριθµός δεν ανήκει στο B, Να υπολογισθούν η από κοινού συνάρτηση κατανοµής F(x, y), x, y R, και οι περιθώριες συναρτήσεις κατανοµής F X (x), x R, και F Y (y), y R, των τυχαίων µεταβλητών X και Y.
8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Παρατηρούµε ότι το ενδεχόµενο {ω Ω : X(ω) x, Y(ω) y}, για τις διάφορες τιµές των x και y, ισούται µε: (α), αν x < 0, ή y < 0, (ϐ) {7, 8, 9, 10}, αν 0 x < 1 και 0 y < 1, (γ) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, αν 0 x < 1 και y 1, (δ) {1, 2, 7, 8, 9, 10}, αν x 1 και 0 y < 1, (ε) Ω, αν x 1 και y 1, Ετσι, η από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τυχαίων µεταβλητών X και Y, σύµφωνα µε την (1), δίνεται από την 0, x < 0, ή y < 0, 2/5, 0 x < 1, 0 y < 1, F(x, y) = 4/5, 0 x < 1, y 1, 3/5, x 1, 0 y < 1, 1, x 1, y 1.
9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Οι περιθώριες συναρτήσεις κατανοµής των X και Y, σύµφωνα µε τις (3) και (4), δίνονται από τις F X (x) = 0, x < 0, 4/5, 0 x < 1, 1, x 1, F Y (y) = 0, y < 0, 3/5, 0 y < 1, 1, y 1.
10 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία διδιάστατη τυχαία µεταβλητή (X, Y) καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει, µε πιθανότητα 1, τιµές σ ένα πεπερασµένο ή αριθµησίµως άπειρο σύνολο R X,Y = {(x 0, y 0 ), (x 0, y 1 ), (x 1, y 0 ),..., (x i, y j ),...}. Η συνάρτηση f, η οποία σε κάθε σηµείο (x i, y j ) εκχωρεί την πιθανότητά του, f(x i, y j ) = P(X = x i, Y = y j ) = P({ω Ω : X(ω) = x i, Y(ω) = y j ), (5) για i = 0, 1,..., j = 0, 1,..., καλείται συνάρτηση (πυκνότητας) πιθανότητας της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) ή από κοινού συνάρτηση (πυκνότητας) πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y. Στις περιπτώσεις που υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης η συνάρτηση πιθανότητας της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) συµβολίζεται µε f X,Y και η τιµή της στο (x i, y j ) µε f X,Y (x i, y j ).
11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η συνθήκη ότι η (X, Y) παίρνει, µε πιθανότητα 1, τιµές στο σύνολο R X,Y, χρησιµοποιώντας την παράσταση R X,Y = {(x 0, y 0 )} {(x 0, y 1 )} {(x 1, y 0 )} {(x i, y j )}, µπορεί να γραφεί στη µορφή j=0 i=0 P(X = x i, Y = y j ) = 1. Σηµειώνουµε οτι η συνάρτηση πιθανότητας (5), όπως προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της, είναι µη αρνητική: f(x i, y j ) 0, i = 0, 1,..., j = 0, 1,..., f(x, y) = 0, (x, y) R X,Y. (6) και f(x i, y j ) = 1. (7) j=0 i=0
12 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η συνάρτηση πιθανότητας f(x i, y j ) µιας διακριτής διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) συνδέεται µε τη συνάρτηση κατανοµής αυτής F(x, y). Συγκεκριµένα F(x, y) = f(x i, y j ), x, y R, (8) και y j y x i x f(x i, y j ) = F(x i, y j ) F(x i, y j 1 ) F(x i 1, y j ) + F(x i 1, y j 1 ), (9) για i = 0, 1,..., j = 0, 1,..., όπου x 1 =, y 1 =.
13 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία διδιάστατη τυχαία µεταβλητή (X, Y) καλείται συνεχής αν υπάρχει µη αρνητική συνάρτηση f(x, y) 0, x, y R, (10) µε f(x, y)dxdy = 1, (11) τέτοια ώστε για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α, ϐ, γ και δ µε α < ϐ και γ < δ, P(α < X ϐ, γ < Y δ) = δ ϐ γ α f(x, y)dxdy. (12) Η συνάρτηση f(x, y), x, y R, καλείται συνάρτηση πυκνότητας (πιθανότητας) της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) ή από κοινού συνάρτηση πυκνότητας (πιθανότητας) των τυχαίων µεταβλητών X και Y.
14 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σηµειώνουµε ότι η (12) είναι ισοδύναµη µε την F(x, y) = y x f(t, u)dtdu, x, y R. (13) Αν η συνάρτηση f(x, y) είναι συνεχής στο σηµείο (x, y), τότε παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή παίρνουµε f(x, y) = 2 F(x, y). (14) y x Οι σχέσεις (13) και (14) είναι οι αντίστοιχες των (8) και (9) για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές. Σύµφωνα µε τον ορισµό της µερικής παραγώγου και χρησιµοποιώντας την (14) συνάγουµε, για µικρά h 1 > 0, h 2 > 0, την προσεγγιστική σχέση P(x < X x + h 1, y < Y y + h 2 ) f(x, y)h 1 h 2.
15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ας επανέλθουµε στην περίπτωση µιας διακριτής διδιάστατης τυχαίας µεταϐλητής (X, Y) µε συνάρτηση πιθανότητας f(x i, y j ) = P(X = x i, Y = y j ), i, j = 0, 1,.... και ας ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση f X (x i ) = f(x i, y j ), i = 0, 1,.... (15) j=0 Χρησιµοποιώντας τη σχέση P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i ), i = 0, 1,..., j=0 συµπεραίνουµε ότι η συνάρτηση αυτή είναι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής X, f X (x i ) = P(X = x i ), i = 0, 1,..., η οποία ϑεωρούµενη στο πλαίσιο της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y), καλείται περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της X.
16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ανάλογα προκύπτει και η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Y : f Y (y j ) = f(x i, y j ), j = 0, 1,.... (16) i=0 Ο χαρακτηρισµός των συναρτήσεων πιθανότητας f X (x i ) και f Y (y j ) ως περιθωρίων, ϑεωρουµένων στο πλαίσιο της συνάρτησης πιθανότητας f(x i, y j ) της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y), δικαιολογείται από τη σχηµατική παϱουσία τους στον Πίνακα 5.1. Σηµειώνουµε ότι στον πίνακα αυτόν τα στοιχεία της τελευταίας στήλης και τα στοιχεία της τελευταίας γραµµής προκύπτουν, σύµφωνα µε τις (15) και (16), µε άθροιση των στοιχείων των αντιστοίχων γραµµών ή στηλών.
17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ f X,Y (x, y) y x y 0 y 1 y j f X (x) x 0 f(x 0, y 0 ) f(x 0, y 1 ) f(x 0, y j ) f X (x 0 ) x 1 f(x 1, y 0 ) f(x 1, y 1 ) f(x 1, y j ) f X (x 1 )..... x i f(x i, y 0 ) f(x i, y 1 ) f(x i, y j ) f X (x i ).... f Y (y) f Y (y 0 ) f Y (y 1 ) f Y (y j ) 1 Πίνακας 5.1. Η από κοινού και οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας.
18 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Στην περίπτωση µιας συνεχούς διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) µε συνάρτηση πυκνότητας f(x, y), x, y R, οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y δίνονται από τις σχέσεις f X (x) = f(x, y)dy, x R, f Y (y) = f(x, y)dx, y R. (17)
19 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Παράδειγµα Ας ϑεωρήσουµε τις τυχαίες µεταβλητές X και Y του Παραδείγµατος 1. Η από κοινού και οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των X, Y, οι οποίες υπολογίζονται σύµφωνα µε τον Ορισµό 4 και τις σχέσεις (15) και (16), δίνονται στον Πίνακα 5.2. f X,Y (x, y) y 0 1 x f X (x) 0 2/5 2/5 4/5 1 1/5 0 1/5 f Y (y) 3/5 2/5 1 Πίνακας 5.2. Από κοινού και περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας
20 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Παράδειγµα Ας ϑεωρήσουµε µία διδιάσταστη τυχαία µεταβλητή (X, Y) η οποία κατανέµεται οµοιόµορφα στο τετράγωνο 0 x 1, 0 y 1. Να προσδιορισθούν οι από κοινού συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας και οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y. Η υπόθεση της οµοιόµορφης κατανοµής της πιθανότητας συνεπάγεται ότι, για κάθε x 1, x 2 και y 1, y 2, µε 0 x 1 < x 2 1, και 0 y 1 < y 2 1, P(x 1 X x 2, y 1 Y y 2 ) = c (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ), όπου c η σταθερά αναλογίας. Θέτοντας στη σχέση αυτή x 1 = y 1 = 0, x 2 = y 2 = 1 και επειδή συµπεραίνουµε ότι c = 1. P(0 X 1, 0 Y 1) = 1,
21 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Εποµένως η συνάρτηση κατανοµής F(x, y) = P(X x, Y y) της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y) δίνεται από την F(x, y) = 0, x < 0 ή y < 0, xy, 0 x < 1, 0 y < 1, x, 0 x < 1, y 1, y, x 1, 0 y < 1, 1, x 1, y 1. Παραγωγίζοντας αυτή συνάγουµε, σύµφωνα µε την (14), τη συνάρτηση πυκνότητας της (X, Y): { 1, 0 x 1, 0 y 1, f(x, y) = 0, διαφορετικά.
22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των X και Y, σύµφωνα µε την (17), δίνονται από τις f X (x) = { 1, 0 x 1, 0, διαφορετικά, και f Y (y) = { 1, 0 y 1, 0, διαφορετικά, που σηµαίνει ότι τόσο η X όσο και η Y ακολουθούν οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1].
23 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ας ϑεωρήσουµε µία διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή (X, Y) µε συνάρτηση πιθανότητας f X,Y (x i, y j ) = P(X = x i, Y = y j ), i, j = 0, 1,..., και έστω f Y (y j ) = P(Y = y j ), j = 0, 1,... η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της Y. Η συνάρτηση f X Y (x i y j ) = f X,Y (x i, y j ), i = 0, 1,..., (18) f Y (y j ) ϑεωρούµενη ως συνάρτηση του x i, µε y j δεδοµένη τιµή της τυχαίας µεταϐλητής Y για την οποία f Y (y j ) > 0, είναι µία συνάρτηση πιθανότητας. Συγκεκριµένα, σύµφωνα µε τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας, P(X = x i Y = y j ) = P(X = x i, Y = y j ), i = 0, 1,..., P(Y = y j ) και έτσι f X Y (x i y j ) = P(X = x i Y = y j ), i = 0, 1,....
24 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ορισµός Εστω (X, Y) µία διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f X,Y (x i, y j ), i, j = 0, 1,..., και f Y (y j ), j = 0, 1,..., η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Y. Η συνάρτηση πιθανότητας (18) καλείται δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας της X δεδοµένης της Y = y j, και ορίζεται µόνο για εκείνα τα y j για τα οποία f Y (y j ) > 0. Ανάλογα ορίζεται και η δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας της Y, για δεδοµένη τιµή x i της τυχαίας µεταβλητής X µε f X (x i ) > 0, f Y X (y j x i ) = f X,Y (x i, y j ), j = 0, 1,.... (19) f X (x i )
25 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στην περίπτωση συνεχών τυχαίων µεταβλητών, οι δεσµευµένες συναρτήσεις πυκνότητας ορίζονται ανάλογα. Ορισµός Εστω (X, Y) µία συνεχής διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε f X,Y (x, y), x, y R, συνάρτηση πυκνότητας και f Y (y), y R, περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της Y. Η συνάρτηση f X Y (x y) = f X,Y (x, y), x R, (20) f Y (y) ϑεωρούµενη ως συνάρτηση του x, µε δεδοµένο y τέτοιο ώστε f Y (y) > 0, καλείται δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της X δεδοµένης της Y = y. Ανάλογα, ορίζεται και η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της Y, για δεδοµένη τιµή x της τυχαίας µεταβλητής X µε f X (x) > 0, f Y X (y x) = f X,Y (x, y), y R. (21) f X (x)
26 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Παρατήρηση (α) Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση f X Y (x y), η οποία ορίζεται από την (20), είναι µία γνήσια συνάρτηση πυκνότητας. Πράγµατι f X Y (x y) 0 και, λόγω της (17), f X Y (x y)dx = 1 f Y (y) f X,Y (x, y)dx = f Y (y) f Y (y) = 1. (ϐ) Σε αντίθεση µε τη διακριτή περίπτωση, η συνάρτηση f X Y (x y) δεν εκφράζει την πιθανότητα P(X = x Y = y) και γενικά δεν εκφράζει κάποια δεσµευµένη πιθανότητα. Η ϕυσική της σηµασία είναι ότι για µικρά h 1 > 0 και h 2 > 0 ισχύει κατά προσέγγιση P(x X x + h 1 y Y y + h 2 ) f X Y (x y)h 1.
27 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Παράδειγµα Εστω (X, Y) µία διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f X,Y (x, y) = x + y, x = 1, 2, y = 1, 2, Να υπολογισθούν οι δεσµευµένες συναρτήσεις πιθανότητας της X δεδοµένης της Y = y και της Y δεδοµένης της X = x. Οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των X και Y είναι 3 x + y f X (x) = 21 y=1 = 3x + 6, x = 1, 2, 21 και 2 x + y f Y (y) = 21 x=1 = 2y + 3, y = 1, 2, 3. 21
28 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Εποµένως, σύµφωνα µε τον ορισµό, οι Ϲητούµενες δεσµευµένες συναρτήσεις πιθανότητας δίνονται από τις f X Y (x y) = x + y, x = 1, 2, (y = 1, 2, 3), 2y + 3 και f Y X (y x) = x + y, y = 1, 2, 3, (x = 1, 2). 3x + 6
29 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Σηµειώνουµε ότι οι δεσµευµένες αυτές συναρτήσεις πιθανότητας δύνανται να δοθούν και στη µορφή πινάκων ως εξής: f X Y (x y) y x 1 2/5 3/7 4/9 2 3/5 4/7 5/9 f Y X (y x) y x 1 2/9 3/9 4/9 2 3/12 4/12 5/12 Πίνακας 5.3. εσµευµένες συναρτήσεις πιθανότητας
30 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Παράδειγµα Εστω (X, Y) µια συνεχής διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητας f X,Y (x, y) = 2, 0 x y 1. Να υπολογισθούν οι δεσµευµένες συναρτήσεις πυκνότητας της X δεδοµένης της Y = y και της Y δεδοµένης της X = x. Οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των X και Y είναι f X (x) = f Y (y) = 1 f(x, y)dy = 2 x y f(x, y)dx = 2 0 dy = 2(1 x), 0 x 1, dx = 2y, 0 y 1.
31 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Εποµένως, σύµφωνα µε την (20), η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της X δεδοµένης της Y = y δίνεται από την f X Y (x y) = 1, 0 x y, (0 < y 1). y Κατά τον ίδιο τρόπο, f Y X (y x) = 1, x y 1, (0 x < 1). 1 x
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 18 Νοεµβρίου 2009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16. Εστω ότι το ετήσιο εισόδηµα X ενός µισθωτού µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνεχής τυχαία µεταβλητή
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών 23 Οκτωβρίου 2009 ΣΧΕ ΙΟ ΙΑΛΕΞΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ
c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50
Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών
(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
Στοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Βιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 2 Νοεµβρίου 2009 1.3. Ας ϑεωρήσουµε ένα σύνολο 11 ατόµων {α 0, α 1,..., α 10 } των οποίων καταγράφουµε τα γενέθλια. Να υπολογισθεί
Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων
3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
![cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]](/thumbs/52/30692583.jpg "cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]")
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Στατιστική. Ενότητα 2 η : Τυχαίες μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 η : Τυχαίες μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
P( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή
Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
(ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή
10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό
ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν
Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.
Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε
Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο
f X,Y (x, y)dxdy = 1,
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 5: Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Μια διδιάστατη
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες
Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω
Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8 Λύσεις του τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων 2 2 = 8 Ίδια Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές και θεωρούμε το ενδεχόμενο να προκύψουν και οι δυο όψεις του νομίσματος καθώς
P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,
II. Τυχαίες Μεταβλητές
II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι
Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014
ΘΕΜΑ Α A1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f (x)) = c f (x), για κάθε x R Μονάδες 7 A2. Πότε μια
Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).
Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι
Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,
0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Εισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με