4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει την ισότητα F (x) = f(x), x [, b]. Είναι ϕανερό ότι αν µία συνάρτηση F (x) είναι αρχική της f(x), τότε ϑα είναι αρχική και η F (x) + c για κάθε σταθερά c, αφού (F (x) + c) = F (x) = f(x). Επίσης, αν G(x) µία άλλη αντιπαράγωγος της f(x) στο [, b], τότε από τις ισότητες F (x) = f(x) και G (x) = f(x) έχουµε F (x) = G (x), για κάθε x [, b] και άρα c R τέτοιο ώστε G(x) = F (x) + c, x [, b]. Ετσι, το σύνολο όλων των αρχικών της f(x) συναρτήσεων είναι το {F (x) + c, c R}. 43

2 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x), λέγεται και συµβολίζεται µε f(x)dx, το σύνολο όλων των αρχικών της f συναρτήσεων. Είναι δηλαδή f(x)dx = F (x) + c, (4.1) όπου F (x) είναι µία αρχική της f και c µία αυθαίρετη σταθερά. Η διαδικασία υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης µιας συνάρτησης F (x) για την οποία F (x) = f(x), λέγεται ολοκλήρωση της συνάρτησης f(x). Στο συµβολισµό, το διαφορικό dx δηλώνει την ανεξάρτητη µεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η ολοκλήρωση. Παρατήρηση: Αν στο πρώτο µέλος της ισότητας (4.1) ϑέσουµε όπου f(x) τη συνάρτηση F (x) έχουµε F (x)dx = F (x) + c, ή Βασικά ολοκληρώµατα df (x) = F (x) + c. 1. x n dx = xn+1 + c, n 1 n dx = ln x + c x 3. sin xdx = cos x + c 4. cos xdx = sin x + c 1 5. dx = tn x + c cos 2 x 1 6. sin 2 dx = cot x + c x

3 4.2. ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ e x dx = e x + c 1 8. dx = rctn x + c 1 + x dx = rcsin x + c 1 x 2 Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) dx 1 ii) x dx 2 iii) 1 x iv) xdx v) x 3 xdx. 10 dx 4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης Οπώς είδαµε στο κεφάλαιο των παραγώγων, αν k είναι ένα σταθερό στοιχείο του R, τότε έχουµε [kf(x)] = kf (x), δηλαδη οι σταθεροί παράγοντες ϐγαίνουν έξω από το σύµβολο της παραγώγισης. Επειδή η ολοκλήρωση είναι διαδικασία αντίστροφη της παραγώγισης, η παραπάνω ιδιότητα µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. Εποµένως ισχύει kf(x)dx = k f(x)dx, για κάθε συνάρτηση f(x) και k R. Επίσης, όπως γνωρίζουµε, η παράγωγος του αθροίσµατος κάποιων συναρτήσεων ισούται µε το άθροισµα των παραγώγων τους, δηλαδή [f 1 (x) + f 2 (x) f n (x)] = f 1(x) + f 2(x) f n(x). Η ιδιότητα αυτή µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. ηλαδή ισχύει [f 1 (x)+f 2 (x)+...+f n (x)]dx = f 1 (x)dx+ f 2 (x)dx+...+ f n (x)dx. Συνδυάζοντας τους δύο παραπάνω τύπους προκύπτει ότι [k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x) k n f n (x)]dx = k 1 f 1 (x)dx + k k n f n (x)dx f 2 (x)dx +

4 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ για όλα τα k i R και όλες τις συναρτήσεις f i (x), i = 1, 2,..., n. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα x 3 + bx + c i) dx x 7 ii) (1 x 3 ) 2 dx iii) (2 sin x 3 cos x)dx 2 iv) ( 1 + x 3 )dx 2 v) (3e x 7 1 x 2 x x 1 2 cos 2 x )dx. 4.3 Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλητής Ας είναι f(x)dx, το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) το οποίο ϑέλουµε να υπολογίσουµε. Υποθέτουµε ότι η µεταβλητή x είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση µιας άλλης µεταβλητής t, δηλαδή Τότε επειδή x = g(t). dx = d[g(t)] = g (t)dt, το αρχικό ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο ολοκλήρωµα f[g(t)]g (t)dt. Εστω ότι το ολοκλήρωµα αυτό είναι γνωστό, δηλαδή f[g(t)]g (t)dt = G(t) + c. Αν υποθέσουµε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιµη και η αντιστροφή της είναι η t = g 1 (x), τότε ϑα ισχύει f(x)dx = f[g(t)]g (t)dt = G(g 1 (x)) + c.

5 4.4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 47 Η µέθοδος υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος που περιγράψαµε παραπάνω λέγεται ολοκλήρωση µε αλλαγή µεταβλητής ή µε αντικατάσταση. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το προς υπολογισµό ολοκλήρωµα ανάγεται µε την αλλαγή µεταβλητής σε κάποιο από τα ϐασικά ολοκληρώµατα ή τουλάχιστον σε ολοκλήρωµα του οποίου ο υπολογισµός είναι ευκολότερος από τον υπολογισµού του αρχικού. Σε ολοκληρώµατα της µορφής f[g(x)]g (x)dx, η αλλαγή µεταβλητής g(x) = t είναι συχνά η κατάλληλη. Με την αντικατάσταση αυτή το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο f(t)dt. Παράδειγµα: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωµα f (x) I = f(x) dx. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = (2x + 3) 10 dx ii) I = 1 (3u + 1) 11 du iii) I = y dy iv) I = e 5x+2 dx v) I = sin(3x + 2)dx vi) I = tn xdx vii) I = 1 x ln x dx viii) I = 1 (1 + x 2 ) rctn x dx ix) I = 1 4 x 2 dx x) I = x 2 dx xi) I = x 2 dx. xii) I = 1 x 2 2x + 2 dx 4.4 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Εστω f(x) και g(x) δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Είναι γνωστό ότι [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x).

6 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Άρα η συνάρτηση f(x)g(x) είναι αρχική για τη συνάρτηση που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της παραπάνω εξίσωσης. Εποµένως ϑα έχουµε [f (x)g(x) + f(x)g (x)]dx = f(x)g(x) + c, ή f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. Η τελευταία σχέση εκφράζει ένα ολοκλήρωµα µ ένα άλλο, γι αυτό και δε χρειάζεται η σταθερά στο δεύτερο µέλος. Αν σ αυτή τη σχέση το ολοκλήρωµα του δεύτερου µέλους είναι γνωστό ή πιο απλό απ αυτό του πρώτου µέλους, τότε έχουµε κάνει ένα ϐήµα για τον υπολογισµού του ολοκληρώµατος του πρώτου µέλους. Αυτή η µέθοδος ολοκλήρωσης είναι γνωστή σαν ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = ln xdx ii) I = ln(x 2 + 1)dx iii) I = xe x dx iv) I = x sin xdx v) I = x cos(2x)dx vi) I = x 2 e x dx vii) I = sin 2 xdx viii) I = e x sin xdx ix) I = (x 2 3x + 1)e 2x dx x) I = x ln(1 + 1 x )dx 4.5 Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων Μία συνάρτηση της µορφής p(x) q(x), όπου p(x) και q(x) είναι πολυώνυµα του x µε ϐαθµός q(x) 1, λέγεται ϱητή συνάρτηση του x. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µιας ϱητής συνάρτησης, δηλαδή ενός ολοκληρώµατος της µορφής p(x) q(x) dx

7 4.5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49 αναλύουµε τη συνάρτηση σε αθροίσµα απλών κλασµάτων και εφαρµόζουµε τον κανόνα της ολοκλήρωσης αθροίσµατος. Για τη διαδικασία αυτή διακρίνουµε δύο περιπτώσεις : Περίπτωση Ι. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος ή ίσος από το ϐαθµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) ϐαθµός q(x)) τότε εκτελούµε τη διαίρεση p(x) : q(x). Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαίρεσης πολυωνύµων, υπάρχουν δύο πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και u(x) (υπόλοιπο) τέτοιο ώστε να είναι p(x) = π(x)q(x) + u(x) και ϐαθµός u(x) <ϐαθµός q(x). Τότε, έχουµε p(x) q(x) = π(x)q(x) + u(x) q(x) = π(x) + u(x) q(x) και p(x) q(x) dx = π(x)dx + u(x) q(x) dx. Η συνάρτηση π(x) είναι πολυωνυµική και το ολοκλήρωµά της υπολογίζεται κατά τα γνωστά. Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος ακολου- ϑούµε τα ϐήµατα που παρουσιάζονται στην περίπτωση ΙΙ. Περίπτωση ΙΙ. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µικρότερος από το ϐα- ϑµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) <ϐαθµός q(x)) τότε το κλάσµα p(x)/q(x) επιδέχεται ανάλυση σε άθροισµα απλών κλασµάτων, η οποία ανάλυση εξαρτάται από τις ϱίζες του παρονοµαστή q(x). 1. Αν το q(x) έχει k απλές ϱίζες 1, 2,..., k, τότε q(x) = (x 1 )(x 2 )... (x k ) και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται p(x) q(x) = A 1 + A A k, x 1 x 2 x k όπου A 1, A 2,..., A k σταθερές που µπορούν να προσδιοριστούν. Ετσι για το ολοκλήρωµα της ϱητής συνάρτησης ϑα έχουµε p(x) q(x) dx = A 1 dx + x 1 A 2 dx x 2 A k x k dx.

8 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 2. Αν το q(x) έχει k ϱίζες 1, 2,..., k µε πολλαπλότητα r 1, r 2,..., r k αντίστοιχα, τότε q(x) = (x 1 ) r 1 (x 2 ) r 2... (x k ) r k και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται p(x) q(x) = A 1 + x 1 B 1 + x 2 A 2 (x 1 ) A r1 (x 1 ) r 1 + B 2 + (x 2 ) B r2 2 (x 2 ) + r K 1 K 2 + x k (x k ) K rk, 2 (x k ) r k όπου A 1, A 2,..., A r1, B 1, B 2,..., B r2,..., K 1, K 2,..., K rk σταθερές που µπορούν να προσδιοριστούν. 3. Αν το q(x) έχει µιγαδικές ϱίζες, τότε σε κάθε Ϲεύγος απλών συζυγών µιγαδικών ϱιζών x 1,2 = λ ± iµ του q(x) αντιστοιχούµε ένα απλό κλάσµα της µορφής Bx + Γ (x λ) 2 + µ 2, ενώ σε κάθε Ϲεύγος πολλαπλών συζυγών µιγαδικών ϱιζών x 1,2 = λ ± iµ του q(x) πολλαπλότητας r αντιστοιχούµε ένα άθροισµα απλών κλασ- µάτων της µορφής B 1 x + Γ 1 (x λ) 2 + µ + B 2 x + Γ 2 2 [(x λ) 2 + µ 2 ] B r x + Γ r 2 [(x λ) 2 + µ 2 ]. r Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = x 2 x + 5 dx ii) I = x x 1 x 2 dx Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = 1 x 2 1 dx ii) I = 7x + 4 2x 2 3x 2 dx iii) I = 4x 2 3x + 5 (x + 2)(x 1) 2 dx iv) I = x + 1 x 3 + x 2 6x dx v) I = 1 x 3 + x 2 dx.

9 4.6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Υπενθυµίζουµε ότι γνωστά ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων είναι τα 1. sin xdx = cos x + c 2. cos xdx = sin x + c 1 3. dx = tn x + c cos 2 x 1 4. sin 2 dx = cot x + c x Ολοκληρώµατα της µορφής i) sin(x + b)dx ii) cos(x + b)dx iii) 1 cos 2 (x + b) dx iv) 1 sin 2 (x + b) dx ανάγονται στα παραπάνω ϐασικά ολοκληρώµατα µε την αλλαγή µεταβλητής x + b = t. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = sin(2x + 5)dx ii) I = 1 cos 2 (3x 2) dx Ολοκληρώµατα της µορφής sin(x) sin(bx)dx, sin(x) cos(bx)dx, cos(x) cos(bx)dx, όπου, b R, b, υπολογίζονται αφού πρώτα µετατραπεί η ολοκληρωτέα συνάρτηση σε άθροισµα ή διαφορά ηµιτόνων ή συνιµητόνων σύµφωνα µε τους τύπους : 1. sin(x) sin(bx) = 1 [cos(x bx) cos(x + bx)], 2

10 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 2. sin(x) cos(bx) = 1 [sin(x bx) + sin(x + bx)], 2 3. cos(x) cos(bx) = 1 [cos(x bx) + cos(x + bx)]. 2 Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = sin(x) cos(7x)dx ii) I = sin(x) sin(4x)dx iii) I = cos(2x) cos(3x)dx iv) I = 1 sin x dx v) I = 1 cos x dx. Οταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι ϱητή συνάρτηση των sin x και cos x και το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογιστεί µε κάποια από τις µεθόδους που αναφέραµε µέχρι τώρα, τότε κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής Με την αντικατάσταση αυτή έχουµε tn( x 2 ) = t. x = 2 rctn t, dx = t 2 dt sin x = 2 tn( x) tn 2 ( x) = 2t 1 + t, cos x = 1 tn2 ( x) tn 2 ( x) = 1 t2 1 + t 2 2 και το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται σε ολοκλήρωµα ϱητής συνάρτησης του t, το οποίο υπολογίζεται κατά τα γνωστά. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = sin x dx ii) I = 1 sin x + cos x + 1 dx 4.7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Εστω η συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [, b]. ιαµερίζουµε (χωρίζουµε) το [, b] σε n υποδιαστήµατα µε τα σηµεία διαίρεσης x 0, x 1, x 2,..., x n όπου = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b.

11 4.7. ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 53 Παίρνουµε τυχαία κάποιο σηµείο ξ k σε κάθε υποδιάστηµα [x k 1, x k ] και υπολογίζουµε στη συνέχεια το εµβαδό του ορθογωνίου µε ϐάση το υποδιάστηµα αυτό και ύψος την τιµή της συνάρτησης στο ξ k (σχήµα 4.1). Σχηµατίζουµε το άθροισµα n S n = f(ξ k )(x k x k 1 ), (4.2) k=1 το οποίο εκφράζει το συνολικό εµβαδό των n ορθογωνίων που σχηµατίζονται. Σχήµα 4.1: Εστω τώρα ότι το πλήθος των υποδιαιρέσεων n αυξάνει απεριόριστα έτσι ώστε η µεγαλύτερη από τις διαφορές x k = x k x k 1 να τείνει στο µηδέν. Τότε το άθροισµα (4.2) τείνει σ ένα όριο, που είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο της υποδιαίρεσης και το συµβολίζουµε µε b f(x)dx, ονοµάζεται δε, ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) από εώς b. Τα όρια και b ονοµάζονται όρια ολοκλήρωσης, κάτω και άνω αντίστοιχα.

12 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ετσι γράφουµε lim x k 0 n f(ξ k )( x k ) = k=1 b f(x)dx. Το όριο αυτό υπάρχει όταν η f(x) είναι συνεχής ή τµηµατικά συνεχής στο [, b]. Οταν το όριο αυτό υπάρχει, λέµε ότι η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Η τιµή του ολοκληρώµατος εκφράζει γεωµετρικά, το εµβαδό του χωρίου που περιορίζεται από τη καµπύλη y = f(x), τον άξονα x και τις κάθετες ευθείες x = και x = b. Από τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος προκύπτουν οι επόµενες ιδιότητες. 1. b kf(x)dx = k b f(x)dx, k R 2. b [f(x) ± g(x)]dx = b f(x)dx ± b g(x)dx 3. Αν < b < c c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx 4. Αν b < b f(x)dx = b f(x)dx 5. f(x)dx = 0 6. Αν f(x) g(x), x [, b] b f(x)dx b g(x)dx Θεώρηµα (Θεµελιώδες ϑεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού). Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b], και η συνάρτηση F (x) είναι µία αρχική της f στο διάστηµα αυτό, δηλαδή είναι F (x) = f(x), x [, b], τότε ισχύει Συµβολικά γράφουµε b b f(x)dx = F (b) F (). f(x)dx = [F (x)] b = F (b) F (). Εποµένως, για να υπολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης σ ένα διάστηµα στο οποίο η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη, αρκεί να είναι

13 4.8. ΕΜΒΑ Α ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 55 γνωστό το αόριστο ολοκλήρωµα της ολοκληρωτέας συνάρτησης. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα : i) I = xdx ii) I = 1 dy iii) I = y 2 1 e1 5x dx Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα : i) I = dx x 2 +3 ii) I = x x 2 dx iii) I = 1 0 Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα 1 0 x µ (1 x) ν dx = Εµβαδά επίπεδων χωρίων 0 (1 x) µ x ν dx x dx Με τη ϐοήθεια του ορισµένου ολοκληρώµατος µπορούµε να υπολογίσουµε εµβαδά επίπεδων χωρίων. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε τις παρακάτω προτάσεις. Πρόταση Αν y = f(x) είναι µία συνάρτηση ολοκληρώσιµη και µη αρνητική (f(x) 0) στο διάστηµα [, b] (σχήµα 4.2), τότε το εµβαδόν E(D) του επίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από την καµπύλη c : y = f(x), τον άξονα x και τις κατακόρυφες ευθείες x = και x = b ισούται µε το ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) στο [, b], δηλαδή ισχύει E(D) = b f(x)dx. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την καµπύλη c : y = x 3, τον άξονα x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. Αν στον υπολογισµό ενός εµβαδού επίπεδου χωρίου D, έχουµε µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση µε αρνητικές τιµές, δηλαδή f(x) 0, x [, b] (σχήµα 4.2), τότε E(D) = b [ f(x)]dx = b [f(x)]dx.

14 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Σχήµα 4.2: Σχήµα 4.3: Γενικά, αν έχουµε µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση y = f(x) για την οποία υπάρχει c [, b], τέτοιο ώστε f(x) < 0, x [, c] και f(x) > 0, x [c, b] (σχήµα 4.3), τότε E(D) = b f(x) dx = c [ f(x)]dx + b c [f(x)]dx.

15 4.8. ΕΜΒΑ Α ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 57 Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την καµπύλη c : y = x 3 4x 2 + 3x και τον άξονα x. Παρατήρηση: Στην παραπάνω πρόταση, µε αναλλαγή των ϱόλων των x και y (η καµπύλη είναι c : x = g(y), ορισµένη στο [c, d]), ϑα έχουµε E(D) = d c g(y)dy. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την καµπύλη c : y 2 = 2x, τον άξονα y και την ευθεία y = 2. Σχήµα 4.4: Πρόταση Αν έχουµε δύο συναρτήσεις y = f(x), y = g(x) ολοκληρώσιµες στο [, b] µε f(x) g(x), x [, b] (σχήµα 4.4), τότε το εµβαδόν E(D) του επίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από τις καµπύλες c 1 : y = f(x) και c 2 : y = g(x) και τις ευθείες x =, x = b δίνεται από τον τύπο E(D) = b [f(x) g(x)]dx. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από τις καµπύλες c 1 : y 2 = 4x και c 2 : x 2 = 4y.

16 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.9 Ασκήσεις Ασκηση 4.1. Να ϐρεθούν οι συναρτήσεις g(y) και h(s) για τις οποίες γνωρί- Ϲουµε ότι i) g (y) = 2 y 6y, g(1) = 2 ii) h (s) = 3s 2 1, h( 1) = 2. s2 Ασκηση 4.2. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = 1 x ln 2 (3x) dx ii) I = 2x + 1 x 2 + x 1 dx iv) I = x 3 1 x 8 dx v) I = xe 1 x2 dx. iii) I = cos x + sin x cos x sin x dx Ασκηση 4.3. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα i) I = x dx ii) I = x dx iii) I = π/4 0 iv) I = π/2 sin x cos 2 xdx v) I = π/4 x sin xdx. 0 π/4 Ασκηση 4.4. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα i) I = x 2 3x + 2 dx ii) I = 1 0 xe 2x dx sin x cos x dx iii) I = π/2 0 (3 sin(2x) + 5 cos(3x))dx iv) I = π/2 0 e x sin xdx v) I = π/2 0 cos 2 xdx. Ασκηση 4.5. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται µεταξύ της καµπύλης c : y = x 2 7x + 10 και τον άξονα x. Ασκηση 4.6. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται µεταξύ των καµπυλών c 1 : y = x 2 1 και c 2 : 2x + y = 2. Ασκηση 4.7. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την παραβολή y 2 = x και την ευθεία y = x 6.

17 4.9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 59 Ασκηση 4.8. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από α) την καµπύλη c : y = x 2, την ευθεία x = 3 και τον άξονα x, ϐ) την καµπύλη c : y = x 2 και την ευθεία y = x.

18 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ