f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

Transcript

1 Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους τυχαίων μεταβλητών, οι οποίες είναι χρήσιμες στην πράξη και εμφανίζονται συχνά σε βασικά προβλήματα των πιθανοτήτων. Συγκεκριμένα, θα ορίσουμε δύο οικογένειες κατανομών για συνεχείς Τ.Μ., και θα αποδείξουμε ορισμένες ιδιότητές τους. Τέλος, στις Ενότητες 11.2 και 11.3 θα διατυπώσουμε τις φυσικές γενικεύσεις στη συνεχή περίπτωση κάποιων σημαντικών αποτελεσμάτων που είδαμε σε προηγούμενα κεφάλαια Ομοιόμορφη και εκθετική κατανομή Η πιο απλή περίπτωση μιας συνεχούς Τ.Μ. είναι εκείνη που παίρνει «ομοιόμορφα τυχαίες» τιμές σε κάποιο διάστημα [, b] στο R. Ορισμός 11.1 Μια συνεχής Τ.Μ. X έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, b], για κάποια < b, αν έχει σύνολο τιμών το S [, b] και πυκνότητα, f(x) { 1 b, για x [, b], 0, για x [, b], βλ. Σχήμα Για συντομία, αυτό συμβολίζεται: X U[, b]. Παρατηρήσεις 1. Μια Τ.Μ. X με ομοιόμορφη κατανομή στο [, b] περιγράφει μια ποσότητα που παίρνει «εντελώς τυχαίες» τιμές σε αυτό το διάστημα. Π.χ., η Τ.Μ. X στο Παράδειγμα 10.2 του Κεφαλαίου 10 έχει X U[10, 20]. 175

2 176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. 1/(b ) f(x) 1 F(x) b x b x Σχήμα 11.1: Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητας f(x) (αριστερά) και της συνάρτησης κατανομής F (x) (δεξιά) μιας Τ.Μ. X με ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, b]. 2. Η συνάρτηση κατανομής F (x) μιας Τ.Μ. X U[, b] υπολογίζεται εύκολα από τη σχέση (10.4). Προφανώς έχουμε, ενώ για x [, b] βρίσκουμε, F (x) Pr(X x) F (x) Pr(X x) 0, για x <, και F (x) Pr(X x) 1, για x > b, x f(y) dy x Η γραφική της αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα [ y b dy b 3. Η μέση τιμή μιας Τ.Μ. X U[, b] επίσης υπολογίζεται εύκολα: ] x x b. µ E(X) x f(x) dx b b2 2 2(b ) x [ b dx x 2 2(b ) (b )(b + ) 2(b ) ] b + b 2. Παρομοίως υπολογίζουμε και τη μέση τιμή της X 2, E(X 2 ) x 2 f(x) dx b x 2 [ b dx (2 + b + b 2 )(b ) 3(b ) x 3 3(b ) ] b b3 3 3(b ) 2 + b + b 2, 3

3 11.1. ΟΜΟΙ ΟΜΟΡΦΗ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚ Η ΚΑΤΑΝΟΜ Η 177 οπότε, η διασπορά της X από την έκφραση (10.13) ισούται με, Vr(X) E(X 2 ) µ b + b 2 ( + b ) b + 4b b 3b 2 12 (b )2. 12 Συνοψίζοντας, μια Τ.Μ. X U[, b] έχει μέση τιμή που ισούται με το μέσο ( + b)/2 του [, b] και διασπορά (b ) 2 /12 η οποία εξαρτάται μόνο από το μήκος (b ) του διαστήματος όπου η X παίρνει τιμές, και όχι από τη θέση του: E(X) + b 2 και Vr(X) (b )2. 12 Μια άλλη σημαντική οικογένεια τυχαίων μεταβλητών είναι εκείνες που έχουν εκθετική κατανομή. Μια ειδική περίπτωση αυτής της κατανομής συναντήσαμε ήδη στο Παράδειγμα 10.4 του προηγούμενου κεφαλαίου. Ορισμός 11.2 Μια συνεχής Τ.Μ. X έχει εκθετική κατανομή με παράμετρο θ > 0, αν έχει σύνολο τιμών το S [0, ) και πυκνότητα, { 1 f(x) θ e x/θ, για x 0, 0, για x < 0, βλ. Σχήμα Για συντομία, αυτό συμβολίζεται: X Εκθ(θ). 1/ e 1 / f(x) x Σχήμα 11.2: Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητάς f(x) μιας Τ.Μ. X με κατανομή Εκθ(θ).

4 178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. Παρατήρηση: Από κάποιες απόψεις, η εκθετική κατανομή είναι ανάλογη στη συνεχή περίπτωση της γεωμετρικής κατανομής την οποία συναντήσαμε στο Κεφάλαιο 7 και συχνά παρομοίως χρησιμοποιείται για να περιγράψει το χρόνο που μεσολαβεί μέχρι να συμβεί κάποιο τυχαίο γεγονός. Λόγου χάρη, η Τ.Μ. X στο Παράδειγμα 10.4 του προηγούμενου κεφαλαίου, η οποία είχε X Εκθ(1), περιέγραφε το χρόνο μέχρι να εμφανιστεί η πρώτη βλάβη μιας οθόνης υπολογιστή. Ενας λόγος για τον οποίο θεωρούμε την εκθετική και τη γεωμετρική συγγενείς κατανομές είναι διότι μοιράζονται αρκετές από τις θεμελιώδεις ιδιότητές τους, όπως βλέπουμε συγκρίνοντας τα αποτελέσματα του Θεωρήματος 7.1 με εκείνα του Θεωρήματος 11.1 που ακολουθεί. Ενας πιο φορμαλιστικός τρόπος για να διαπιστώσουμε την ομοιότητά τους είναι το γεγονός πως η πυκνότητα f(x) μιας Εκθ(θ) τυχαίας μεταβλητής είναι μαθηματικά πανομοιότυπη με την πυκνότητα P (k) μιας Τ.Μ. με Γεωμ(p) κατανομή. Συγκεκριμένα, στη συνεχή περίπτωση, για x > 0 η πυκνότητα f(x) είναι της μορφής, f(x) 1 θ e x/θ C γ x, x > 0, (11.1) όπου ορίσαμε τις σταθερές C 1/θ και γ e 1/θ. Αντίστοιχα, στη διακριτή περίπτωση, για k 1 η πυκνότητα P (k) μπορεί να εκφραστεί ως, P (k) p(1 p) k 1 p 1 p (1 p)k C γ k, k 1, (11.2) όπου τώρα έχουμε τις σταθερές C p/(1 p) και γ (1 p). Η ομοιότητα μεταξύ των δύο εκφράσεων στις σχέσεις (11.1) και (11.2) είναι εμφανής. Θεώρημα 11.1 (Ιδιότητες της εκθετικής κατανομής) Εστω X Εκθ(θ). Η X έχει τις εξής ιδιότητες: 1. Μέση τιμή: E(X) θ. 2. Διασπορά: Vr(X) θ Συνάρτηση κατανομής: F (x) 0 για x < 0 και F (x) 1 e x/θ για x 0. Η γραφική της αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα Ιδιότητα έλλειψης μνήμης: Για κάθε, b > 0: Pr(X + b X ) Pr(X b). Η πιθανότητα Pr(X + b X b) είναι ανεξάρτητη του, και ίση με εκείνη που αντιστοιχεί στο b 0, δηλαδή, Pr(X b).

5 11.1. ΟΜΟΙ ΟΜΟΡΦΗ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚ Η ΚΑΤΑΝΟΜ Η e 1 F(x) x Σχήμα 11.3: Γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης κατανομής F (x) μιας Τ.Μ. X με κατανομή Εκθ(θ). Απόδειξη: Από τον ορισμό της μέσης τιμής μιας συνεχούς Τ.Μ. και την πυκνότητα της εκθετικής κατανομής, βρίσκουμε, E(X) () 0 0 x f(x) dx x θ e x/θ dx y e y θdy (b) [ θy e y] 0 + θ 0 + [ θ e y] 0 θ, 0 e y dy όπου στο βήμα () κάναμε την αντικατάσταση y x/θ, και στο βήμα (b) ολοκληρώσαμε κατά παράγοντες, θέτοντας u y και dv e y dy, έτσι ώστε du dy και v e y. Άρα έχουμε µ E(X) θ, αποδεικνύοντας την πρώτη ιδιότητα. Για τη δεύτερη ιδιότητα, παρομοίως υπολογίζουμε τη μέση τιμή της X 2, E(X 2 ) (c) 0 0 x 2 f(x) dx x 2 θ e x/θ dx θy 2 e y θdy (d) [ θ 2 y 2 e y] 0 + 2θ2 y e y dy, 0

6 180 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. όπου στο βήμα (c) κάναμε πάλι την αντικατάσταση y x/θ, και στο βήμα (d) ολοκληρώσαμε κατά παράγοντες, θέτοντας u y 2 και dv e y dy, έτσι ώστε du 2ydy και v e y. Τώρα παρατηρούμε πως ο πρώτος όρος στην τελευταία παραπάνω έκφραση είναι μηδενικός και πως το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με τη μέση τιμή μιας Τ.Μ. με κατανομή Εκθ(1), άρα, από την πρώτη ιδιότητα, είναι ίσο με 1. Συνεπώς έχουμε E(X 2 ) 0 + 2θ 2 1 2θ 2 και η διασπορά της X είναι, Vr(X) E(X 2 ) µ 2 2θ 2 θ 2 θ 2, οπότε έχουμε αποδείξει και τη δεύτερη ιδιότητα. Για την Ιδιότητα 3 παρατηρούμε πως, εφόσον το σύνολο τιμών της X είναι το [0, ), προφανώς για x < 0 έχουμε, F (x) Pr(X x) 0. Για x 0, βρίσκουμε, F (x) Pr(X x) x f(y) dy x 0 1 [ θ e y/θ dy e y/θ] x 1 0 e x/θ. Τέλος, για την Ιδιότητα 4, χρησιμοποιούμε τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας σε συνδυασμό με την Ιδιότητα 3: Pr(X + b X ) Pr(X + b και X ) Pr(X ) Pr(X + b) Pr(X ) 1 Pr(X + b) 1 Pr(X ) 1 F ( + b) 1 F () e (+b)/θ e /θ e b/θ 1 F (b) Pr(X b). Παράδειγμα 11.1 Εστω πως ο χρόνος X, σε μήνες, μέχρι την πρώτη φορά που ένας σκληρός δίσκος θα παρουσιάσει κάποιο σφάλμα, έχει εκθετική κατανομή με μέσο όρο 30 μήνες. Συνεπώς, από την πρώτη ιδιότητα του Θεωρήματος 11.1, η X Εκθ(30). Η πιθανότητα το πρώτο σφάλμα να εμφανιστεί μετά τους πρώτους 30 μήνες, είναι, Pr(X > 30) 1 Pr(X 30) 1 F (30) 1 [1 e 30/30 ] e Και η πιθανότητα ο δίσκος να μην παρουσιάσει σφάλμα για τους επόμενους 30 μήνες, δεδομένου ότι ήδη λειτουργεί 30 μήνες χωρίς πρόβλημα, είναι και πάλι, Pr(X > 60 X > 30) Pr(X > 30) e ,

7 11.2. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Ι 181 όπου χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα έλλειψης μνήμης. Τέλος, η πιθανότητα το πρώτο σφάλμα να εμφανιστεί μετά τον δέκατο μήνα αλλά πριν τον εικοστό είναι, Pr(10 < X < 20) Pr(10 X 20) F (20) F (10) όπου εδώ χρησιμοποιήσαμε τη γενική ιδιότητα (10.8). 1 e 20/30 [1 e 10/30 ] , 11.2 Μετασχηματισμοί Σε πολλές περιπτώσεις, όπως έχουμε δει σε παραδείγματα προηγούμενων κεφαλαίων, μπορεί να μας ενδιαφέρει περισσότερο κάποια συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής X παρά η ίδια η τιμή της. Παράδειγμα 11.2 Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x), μέση τιμή µ E(X) και διασπορά σ 2 Vr(X). Ποια είναι η μέση τιμή και η διασπορά της νέας Τ.Μ. Y X + b, για κάποιες σταθερές, b R; Από τον γενικό ορισμό της μέσης τιμής, έχουμε, E(X + b) (x + b) f(x) dx Παρομοίως για τη διασπορά της Y βρίσκουμε, x f(x) dx + b f(x) dx E(X) + b. Vr(X + b) E {[(X + b) E(X + b)] 2} [x + b (µ + b)] 2 f(x) dx 2 (x µ) 2 f(x) dx 2 Vr(X). Τα δύο παραπάνω αποτελέσματα, μαζί με ένα ακόμα συνοψίζονται στο θεώρημα που ακολουθεί. Θεώρημα 11.2 (Γραμμικός μετασχηματισμός) Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x), μέση τιμή µ E(X) και διασπορά σ 2 Vr(X). Για, b R, ορίζουμε τη νέα Τ.Μ. Y X + b. 1. Η Y έχει μέση τιμή E(Y ) E(X + b) E(X) + b. 2. Η Y έχει διασπορά Vr(Y ) 2 Vr(X).

8 182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. 3. Αν η σταθερά είναι θετική, τότε η πυκνότητα g(y) της Y δίνεται από τη σχέση: g(y) 1 ( y b ) f, για κάθε y. Η περίπτωση < 0 εξετάζεται στην Άσκηση 6 στο τέλος του κεφαλαίου. Απόδειξη: Οι δύο πρώτες ιδιότητες έχουν ήδη αποδειχθεί στο Παράδειγμα Για την τρίτη ιδιότητα εξετάζουμε αρχικά τις συναρτήσεις κατανομής, έστω F (x) και G(y) των τυχαίων μεταβλητών X, Y, αντίστοιχα. Για την G(y) έχουμε, ( G(y) Pr(Y y) Pr(X + b y) Pr X y b ) ( y b ) F. Άρα, από τη σχέση (10.7), μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την πυκνότητα της Y ως την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής της, g(y) G (y) d ( y b ) dy F που είναι ακριβώς η ζητούμενη σχέση. 1 F ( y b ) 1 ( y b ) f, Εφαρμόζοντας το παραπάνω αποτέλεσμα, έχουμε το εξής σημαντικό πόρισμα, το οποίο θα αποδείξετε στην Άσκηση 7 στο τέλος του κεφαλαίου. Πόρισμα 11.1 Για μια οποιαδήποτε (συνεχή ή διακριτή) τυχαία μεταβλητή X με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, η κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή, Y X µ, έχει E(Y ) 0 και Vr(Y ) 1. σ Οπως είδαμε στην απόδειξη της τρίτης ιδιότητας του Θεωρήματος 11.2, για να υπολογίσουμε την πυκνότητα μιας συνάρτησης μιας συνεχούς Τ.Μ. συχνά είναι απλούστερο να εξετάσουμε πρώτα τη συνάρτηση κατανομής της. Ενα λίγο πιο πολύπλοκο παράδειγμα είναι το ακόλουθο. Παράδειγμα 11.3 Εστω μια Τ.Μ. X με κατανομή Εκθ(1), και έστω μια νέα Τ.Μ. Y X 2. Εφόσον η X έχει σύνολο τιμών το [0, ), και η Y θα έχει προφανώς το ίδιο σύνολο τιμών, άρα η πυκνότητα g(y) της Y θα ισούται με 0 για y 0. Εστω, τώρα, f(x) και F (x) η πυκνότητα και η συνάρτηση κατανομής της X, αντίστοιχα. Για να υπολογίσουμε την πυκνότητα g(y) της Y για y > 0, πρώτα εξετάζουμε τη συνάρτηση κατανομής της, έστω G(y): G(y) Pr(Y y) Pr(X 2 y) Pr(X y) F ( y),

9 11.3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΣ ΙΑ, ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. 183 οπότε η πυκνότητα της Y για y > 0 προκύπτει από τη σχέση (10.7) ως, g(y) G (y) d dy F ( y) d dy ( y)f ( y) 1 2 y f( y). Και εφόσον γνωρίζουμε, εξ ορισμού, πως για x 0 η Εκθ(1) πυκνότητα ισούται με f(x) e x, αντικαθιστώντας, g(y) 1 2 y y e, για y > 0. Η γραφική της αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα g(y) y Σχήμα 11.4: Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητας g(y) της Τ.Μ. Y στο Παράδειγμα Ανεξαρτησία, ανισότητες και ο Ν.Μ.Α. Οπως είδαμε στο Κεφάλαιο 9, η μέση τιμή και η διασπορά ικανοποιούν δύο σημαντικές ανισότητες, εκείνες του Mrkov και του Chebychev, οι οποίες, πέραν της μεγάλης χρησιμότητάς τους σε εφαρμογές, δίνουν και μια σαφή χρηστική σημασία στις έννοιες αυτές. Ξεκινάμε αυτή την ενότητα με τις γενικεύσεις αυτών των δύο σημαντικών αποτελεσμάτων για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Η ανισότητα του Mrkov λέει πως, αν μια τυχαία μεταβλητή έχει μικρή μέση τιμή, τότε δεν μπορεί να παίρνει μεγάλες τιμές με μεγάλη πιθανότητα. Η απόδειξη είναι παρόμοια με εκείνη που είδαμε στην περίπτωση διακριτών τυχαίων μεταβλητών (βλ. Άσκηση 11 στο τέλος του κεφαλαίου). Θεώρημα 11.3 (Ανισότητα του Mrkov) Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X που παίρνει πάντα τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός και έχει μέση τιμή µ E(X). Τότε: Pr(X c) µ, για οποιαδήποτε σταθερά c > 0. c

10 184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. Συνεχίζοντας όπως στο Κεφάλαιο 9, μια απλή εφαρμογή της ανισότητας του Mrkov μάς δίνει την ανισότητα του Chebychev, η οποία λέει το εξής: Αν μια τυχαία μεταβλητή έχει «μικρή» διασπορά, τότε δεν μπορεί να παίρνει τιμές μακριά από τη μέση τιμή της με μεγάλη πιθανότητα. Η απόδειξη παραλείπεται μια και είναι ακριβώς η ίδια με εκείνη του Θεωρήματος 9.2. Θεώρημα 11.4 (Ανισότητα του Chebychev) Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X με μέση τιμή µ E(X) και διασπορά σ 2 Vr(X). Τότε: Pr( X µ c) σ2, για οποιαδήποτε σταθερά c > 0. c2 Το τελευταίο μεγάλο αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου είναι ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών (Ν.Μ.Α.) για συνεχείς Τ.Μ., στο Θεώρημα Για τη διατύπωσή του χρειαζόμαστε τη γενίκευση της έννοιας της ανεξαρτησίας για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Ορισμός Δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X, Y είναι ανεξάρτητες αν, για κάθε b, b, τα ενδεχόμενα { X b} και { Y b } είναι ανεξάρτητα. Ισοδύναμα, οι X, Y είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν, για κάθε b, b. Pr( X b, Y b ) Pr( X b) Pr( Y b ), 2. Οι συνεχείς Τ.Μ. X 1, X 2,..., X N είναι ανεξάρτητες αν, Pr( 1 X 1 b 1, 2 X 2 b 2,..., N X N b N ) Pr( 1 X 1 b 1 ) Pr( 2 X 2 b 2 ) Pr( N X N b N ), για κάθε N-άδα ζευγαριών τιμών 1 b 1, 2 b 2,..., N b N. 3. Οι συνεχείς Τ.Μ. X i σε μια άπειρη ακολουθία X 1, X 2,... είναι ανεξάρτητες αν οι Τ.Μ. X 1, X 2,..., X N είναι ανεξάρτητες για κάθε N 1. Οπως και στο Κεφάλαιο 9, η απόδειξη του Ν.Μ.Α. στο Θεώρημα 11.6 βασίζεται στον υπολογισμό της μέσης τιμής και της διασποράς ενός αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Γι αυτόν τον υπολογισμό θα χρειαστούμε τις παρακάτω ιδιότητες, τις οποίες θα αποδείξουμε στο Κεφάλαιο 15, βλ. Πρόταση 15.1 και Θεώρημα Θεώρημα 11.5 (Μέση τιμή και διασπορά αθροίσματος) 1. Για οποιεσδήποτε συνεχείς Τ.Μ. X, Y και σταθερές, b R: E(X + by ) E(X) + be(y ).

11 11.3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΣ ΙΑ, ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α Αν οι Τ.Μ. X, Y είναι ανεξάρτητες, τότε: Vr(X + Y ) Vr(X) + Vr(Y ). Παρατήρηση: Οπως και στη διακριτή περίπτωση, και οι δύο ιδιότητες του Θεωρήματος 11.5 εύκολα επεκτείνονται και για οποιοδήποτε (πεπερασμένο) πλήθος N τυχαίων μεταβλητών. Με άλλα λόγια, για οποιεσδήποτε (συνεχείς ή διακριτές) τυχαίες μεταβλητές X 1, X 2,..., X N, και οποιεσδήποτε σταθερές 1, 2,..., N, ( N ) E i X i i1 N i E(X i ). (11.3) i1 Και αν, επιπλέον, οι X i είναι ανεξάρτητες, τότε, ( N ) Vr X i i1 N Vr(X i ). (11.4) i1 Πριν δούμε το κεντρικό αποτέλεσμα του κεφαλαίου, τον Ν.Μ.Α. για συνεχείς Τ.Μ., θα αποδείξουμε μια ανισότητα που αποτελεί ένα εξαιρετικά σημαντικό εργαλείο στις πιθανότητες. Ξεκινάμε παρατηρώντας πως, από το προφανές γεγονός ότι η διασπορά μιας Τ.Μ. είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, έχουμε ότι, 0 Vr(X) E(X 2 ) [E(X)] 2, από το οποίο προκύπτει πως, [E(X)] 2 E(X 2 ), για οποιαδήποτε Τ.Μ. X. Η ανισότητα Cuchy-Schwrz, την οποία αποδεικνύουμε αμέσως μετά, μπορεί να θεωρηθεί μια γενίκευση αυτού του αποτελέσματος για την περίπτωση του γινομένου δύο τυχαίων μεταβλητών. Πρόταση 11.1 (Ανισότητα Cuchy-Schwrz) Για δύο οποιεσδήποτε (συνεχείς ή διακριτές) Τ.Μ. X, Y, έχουμε: [E(XY )] 2 E(X 2 )E(Y 2 ). Απόδειξη: Η απόδειξη είναι πολύ χαριτωμένη και εντυπωσιακά απλή. Για οποιοδήποτε z R, η Τ.Μ. (X + zy ) 2 παίρνει πάντα τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός, άρα και η μέση τιμή της θα είναι E[(X + zy ) 2 ] 0. Οπότε, αναπτύσσοντας το τετράγωνο και χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα της μέσης τιμής από τα Θεωρήματα 6.1 και 11.2, 0 E[(X + zy ) 2 ] E [ z 2 Y 2 + 2zXY + X 2] z 2 E(Y 2 ) + 2zE(XY ) + E(X 2 ).

12 186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. Εχουμε λοιπόν ένα τριώνυμο της μορφής z 2 + bz + c, το οποίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός για όλες τις τιμές του z R, δηλαδή ή δεν έχει καμία ρίζα ή έχει μία διπλή. Συνεπώς η διακρίνουσά του b 2 4c πρέπει να είναι 0, δηλαδή πρέπει να έχουμε, η οποία είναι ακριβώς η ζητούμενη ανισότητα. [2E(XY )] 2 4E(X 2 )E(Y 2 ) 0, Κλείνουμε αυτό το κεφάλαιο με τη διατύπωση του Ν.Μ.Α. για συνεχείς Τ.Μ. Η απόδειξή του είναι ακριβώς ίδια με εκείνη του Θεωρήματος 9.3 στη διακριτή περίπτωση, και γι αυτόν τον λόγο παραλείπεται. Θεώρημα 11.6 (Νόμος των Μεγάλων Αριθμών) Εστω μια ακολουθία από ανεξάρτητες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X 1, X 2,... που έχουν όλες την ίδια κατανομή, δηλαδή την ί- δια πυκνότητα f(x), και κατά συνέπεια την ίδια μέση τιμή µ E(X i ) και την ίδια διασπορά σ 2 Vr(X i ) <. Τότε: 1. [Διαισθητικά] Για μεγάλα N, ο εμπειρικός μέσος όρος των X 1, X 2,..., X N, X N 1 N N X i µ, i1 με μεγάλη πιθανότητα. 2. [Μαθηματικά] Καθώς το N ο εμπειρικός μέσος όρος X N τείνει στη μέση τιμή µ κατά πιθανότητα, δηλαδή: Για κάθε ɛ > 0, έχουμε, Pr ( X N µ < ɛ ) 1, καθώς το N. Τέλος, όπως αναφέραμε και στο Κεφάλαιο 9, σημειώνουμε πως, παρότι στην παραπάνω διατύπωση του Ν.Μ.Α. στο Θεώρημα 11.6 υποθέσαμε πως οι συνεχείς Τ.Μ. X i έχουν πεπερασμένη διασπορά σ 2 Vr(X i ) <, αυτή η υπόθεση δεν είναι απαραίτητη και μπορεί να αντικατασταθεί από την ασθενέσθερη υπόθεση ότι η μέση τιμή µ 0 E( X i ) είναι πεπερασμένη. Βέβαια, σε αυτήν την περίπτωση απαιτείται μια διαφορετική απόδειξη, αρκετά πιο μακροσκελής και απαιτητική από μαθηματική άποψη.

13 11.4. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Ασκήσεις 1. Από την ομοιόμορφη στην εκθετική κατανομή. Εστω μια Τ.Μ. U ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [0, 1]. Αν λ > 0, δείξτε πως η νέα Τ.Μ. Y λ log U έχει κατανομή Εκθ(λ). 2. Χρόνος μετάδοσης. Ο χρόνος T που μεσολαβεί από την αποστολή μέχρι την παράδοση ενός emil μεγέθους X KB από ένα διακομιστή σε έναν άλλο είναι T X(X +1)/4 λεπτά. Αν το X έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή 5 KB, να βρεθεί: (αʹ) Η μέση τιμή του χρόνου T. (βʹ) Η πιθανότητα ο χρόνος εκτέλεσης να ξεπεράσει τα 10 λεπτά. 3. Μηνυματάκια! Η διάρκεια αποστολής ενός SMS σε δευτερόλεπτα έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [1, 3], και η διάρκεια αποστολής ενός MMS έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή τα 8 δευτερόλεπτα. Στέλνουμε, σε τρεις ανεξάρτητες αποστολές, 2 SMS και ένα MMS. (αʹ) Ποια είναι η μέση τιμή της συνολικής διάρκειας αποστολής; (βʹ) Ποια είναι η πιθανότητα και τα 2 SMS να έχουν διάρκεια πάνω από 2 δευτερόλεπτα το καθένα; (γʹ) Ποια είναι η πιθανότητα το MMS να έχει διάρκεια μεγαλύτερη από τη μέση τιμή της συνολικής διάρκειας των 2 SMS; (δʹ) Δεδομένου ότι το MMS έχει διάρκεια πάνω από 10 δευτερόλεπτα, ποια η πιθανότητα να διαρκέσει μεταξύ 10 και 20 δευτερόλεπτα; 4. Ελάχιστο και μέγιστο δύο Τ.Μ. Εστω οι ανεξάρτητες Τ.Μ. X, Y με συναρτήσεις κατανομής, αντίστοιχα, F X (x), F Y (y). Εστω επίσης οι τυχαίες μεταβλητές W mx{x, Y } και V min{x, Y }. (αʹ) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις κατανομής F W (w) και F V (v) των W και V, συναρτήσει των F X (x), F Y (y). (βʹ) Αν η X Εκθ(θ) και η Y Εκθ(φ), ποια είναι η κατανομή του V min{x, Y }; Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με αυτό της Άσκησης 4 του Κεφαλαίου Ελάχιστο N Τ.Μ. Εστω N ανεξάρτητες Τ.Μ. X 1, X 2,..., X N, όλες με την ίδια συνάρτηση κατανομής F X (x), και έστω V min{x 1, X 2..., X N }. (αʹ) Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F V (v) της V συναρτήσει της F X (x). (βʹ) Στην ειδική περίπτωση που όλες οι X i έχουν κατανομή Εκθ(θ), ποια είναι η κατανομή της V ;

14 188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΚΑΙ Ο Ν.Μ.Α. 6. Γραμμικός μετασχηματισμός. Διατυπώστε και αποδείξτε την Ιδιότητα 3 του Θεωρήματος 11.2 στην περίπτωση που η σταθερά είναι αρνητική. 7. Κανονικοποίηση. Αποδείξτε το Πόρισμα 11.1: (α ) για την περίπτωση που η Τ.Μ. X είναι διακριτή, και (β ) για την περίπτωση που είναι συνεχής. 8. Το φράγμα του Chernoff για συνεχείς Τ.Μ. Οπως στην Άσκηση 7 του Κεφαλαίου 9, εδώ θα δούμε ένα φράγμα για την πιθανότητα μια συνεχής Τ.Μ. X να παίρνει τιμές μεγαλύτερες από κάποια σταθερά c R, ακριβέστερο απ αυτό που μας δίνει η ανισότητα του Mrkov. (αʹ) Αποδείξτε πως, για οποιοδήποτε λ > 0, έχουμε το φράγμα: ( Pr(X c) e λc E e λx). (11.5) Παρατηρήστε πως, ενώ το αριστερό μέρος δεν εξαρτάται από το λ, το δεξί μέρος ισχύει για κάθε λ. (βʹ) Εστω τώρα πως η X έχει κατανομή Εκθ(θ). Υπολογίστε τη μέση τιμή E(e λx ), όπου η λ είναι μια σταθερά με 0 < λ < 1/θ, και χρησιμοποιώντας τη σχέση (11.5) δείξτε πως, για οποιοδήποτε c 0 και 0 < λ < 1/θ, έχουμε: Pr(X c) (γʹ) Εστω πάλι πως X Εκθ(θ). Για θ 1 και c 10: e λc 1 λθ. (11.6) i. Υπολογίστε την τιμή του λ (0, 1) που μας δίνει το καλύτερο (δηλαδή το μικρότερο) δυνατό φράγμα στη σχέση (11.6), καθώς και το αντίστοιχο φράγμα γι αυτήν τη βέλτιστη τιμή του λ. ii. Υπολογίστε το αντίστοιχο φράγμα που μας δίνει η ανισότητα του Mrkov. Παρατηρήστε ότι είναι ασθενέστερο. iii. Υπολογίστε ακριβώς την πιθανότητα Pr(X c) και συγκρίνετε την πραγματική τιμή της με τα δύο παραπάνω φράγματα. 9. Γραμμικοί συνδυασμοί. Οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες και έχουν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 2. Εστω δύο νέες τυχαίες μεταβλητές A 2X + Y και B 2X Y. Να βρεθούν τα ακόλουθα: E(A), E(B), Vr(X), Vr(Y ), E(AB). 10. Συνάρτηση μιας εκθετικής Τ.Μ. Το κόστος συντήρησης ενός δικτύου κινητής τηλεφωνίας με συνολική έκταση X km 2 είναι Y X χιλιάδες ευρώ. Αν η Τ.Μ. X έχει εκθετική κατανομή με παράμετρο 20, να βρεθεί η πυκνότητα του Y. 11. Ανισότητα Mrkov. Να αποδείξετε την ανισότητα Mrkov του Θεωρήματος 11.3 στην περίπτωση που το σύνολο τιμών S της τυχαίας μεταβλητής X είναι το [0, ).

15 11.4. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 189 [Παρατήρηση. Η υπόθεση S X [0, ) γίνεται απλώς για να σας διευκολύνει. Η απόδειξη της γενικής περίπτωσης όπου το S X είναι κάποιο υποσύνολο του [0, ) είναι ακριβώς η ίδια, απλά απαιτεί μεγαλύτερη προσοχή στο συμβολισμό. Υπόδειξη. Ακολουθήστε τα ίδια βήματα όπως στην απόδειξη της ανισότητας Mrkov για διακριτές Τ.Μ. στο Θεώρημα 9.1 του Κεφαλαίου 9.] 12. Ανισότητα Chebychev. Για μια διακριτή Τ.Μ. αποδείξαμε την ανισότητα Chebychev στο Θεώρημα 9.2. Εξηγήστε με ποιο τρόπο τεκμηριώνονται τα βήματα της απόδειξης στην περίπτωση που η Τ.Μ. είναι συνεχής. 13. Πόσο ακριβής είναι η ανισότητα Chebychev; Συγκρίνετε το φράγμα που δίνει η ανισότητα Chebychev για την πιθανότητα του ενδεχόμενου { X µ c} με την ακριβή πιθανότητα, στην περίπτωση που η X είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [ k, k]. Σχολιάστε πόσο ακριβές είναι το φράγμα, δηλαδή πόσο κοντά είναι στην πραγματική τιμή της πιθανότητας. 14. Απόδειξη του Ν.Μ.Α. Για μια ακολουθία διακριτών Τ.Μ. αποδείξαμε τον Ν.Μ.Α. στο Θεώρημα 9.3. Εξηγήστε με ποιόν τρόπο τεκμηριώνονται τα βήματα της απόδειξης στην περίπτωση που οι Τ.Μ. είναι συνεχείς. 15. Συνεχείς και διακριτές Τ.Μ. Θυμηθείτε τις συνεχείς Τ.Μ. Y 1 και Y 2 τις οποίες ορίσαμε στην Άσκηση 10 του προηγούμενου κεφαλαίου. Είναι ή όχι οι Y 1, Y 2 ανεξάρτητες; Αποδείξτε την απάντησή σας και εξηγήστε τη διαισθητικά. 16. Άλλος ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Εστω μια Τ.Μ. X με ομοιόμορφη κατανομή στο [0, 1], και έστω η νέα Τ.Μ. Y 10X + 5. Ποια είναι η συνάρτηση κατανομής της Y ; 17. Συνδιακύμανση και συσχέτιση. Εστω δύο οποιεσδήποτε διακριτές Τ.Μ. X και Y. (αʹ) Αποδείξτε πως για τη συνδιακύμανσή τους έχουμε: Cov(X, Y ) Vr(X)Vr(Y ). (βʹ) Αποδείξτε πως ο συντελεστής συσχέτισης ρ X,Y που ορίσαμε στην Άσκηση 10 του Κεφαλαίου 9 πάντα ικανοποιεί ρ X,Y 1, καθώς και ότι υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες πράγματι ισούται με τις ακραίες τιμές ±1.

16