K K Q K K Q K K Q 0 K K Q 0 K Q K K 50J 100J K 50J

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο, ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα βλήμα διαπερνά ένα ακίνητο κιβώτιο και η ελάττωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος είναι 00J. Εάν η ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι τότε η κινητική ενέργεια του κιβωτίου μετά την κρούση είναι: α) 0. β) 50J. γ) 00J. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 50J Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Η ελάττωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος είναι 00J, άρα 00J. H ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι Q 50J. Η κρούση είναι ανελαστική, οπότε η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας λαμβάνει τη μορφή: ά ά ά 0 ά ά K K Q K K Q K K Q 0 K K Q 0 K Q K K 50J 00J K 50J ά ά ά ά

Ερώτηση. Σώμα Σ κινούμενο προς ακίνητο σώμα Σ, ίσης μάζας με το Σ, συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με αυτό. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του Σ που έγινε θερμότητα κατά την κρούση είναι: α) 0. β) 5%. γ) 50%. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Η κρούση είναι πλαστική. Το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρου αρχικά ακίνητο. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: p p P P P 0 ( )v 0 v v () όπου v το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος. Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας στη πλαστική κρούση έχουμε: Σ και το σώμα Σ είναι πριν Σ + μετά v 0 K K Q K K Q K Q Q K Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Σ που έγινε θερμότητα κατά την κρούση είναι: v Q K. K. () Q 4 50%

Ερώτηση 3. Σώμα Α μάζας Α προσπίπτει με ταχύτητα υ Α σε ακίνητο σώμα Β μάζας Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση το σώμα Α γυρίζει πίσω με ταχύτητα μέτρου ίσου με το /3 της αρχικής του τιμής. Ο λόγος των μαζών B A είναι: α) β) γ) B 3 A B A.. B. A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρου Β είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας κρούση δίνεται από τον τύπο: A A A () Έστω B B A () A Αντικαθιστώντας στην () την τιμή του A A A A A A A B από τη () προκύπτει: (3) A και το σώμα του σώματος Α μετά την Εφόσον μετά την κρούση το σώμα Α γυρίζει πίσω με ταχύτητα μέτρου ίσου με το αρχικής του τιμής είναι A A, άρα η (3) γίνεται: 3 A A 3 3 4 3 3 B Άρα A 3 της 3

Ερώτηση 4. Μεταλλική συμπαγής σφαίρα Σ κινούμενη προς ακίνητη μεταλλική συμπαγή σφαίρα Σ, τριπλάσιας μάζας από την Σ, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αυτήν. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Σ που μεταβιβάζεται στη Σ κατά την κρούση είναι: α) 30%. β) 75%. γ) 00%. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή η (β) Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική. Έστω ότι η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα αλγεβρικής τιμής και μάζα = και η ακίνητη σφαίρα Σ έχει μάζα =3. Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: Με αντικατάσταση = και =3 προκύπτει: 3 4 Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που έχει μεταφερθεί από την σφαίρα Σ στην ακίνητη σφαίρα Σ μετά την κρούση είναι: ά 3 3 ά K 4 K 3 =0,75 ή 75% 4 () 4

Ερώτηση 5. Τρεις μικρές σφαίρες Σ, Σ και Σ 3 βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Οι σφαίρες έχουν μάζες, και 3 3 αντίστοιχα. Δίνουμε στη σφαίρα Σ ταχύτητα μέτρου υ και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ. Στη συνέχεια η δεύτερη σφαίρα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη τρίτη ακίνητη σφαίρα Σ 3. Η τρίτη σφαίρα αποκτά τότε ταχύτητα μέτρου υ 3. Ο λόγος των μέτρων των ταχυτήτων α) β) 3 γ)... 3 είναι: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Η πρώτη κρούση είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα αλγεβρικής τιμής και η σφαίρα Σ είναι αρχικά ακίνητη. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: Με αντικατάσταση (), προκύπτει Η δεύτερη κρούση είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα μέτρου η σφαίρα Σ 3 είναι αρχικά ακίνητη. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας Σ 3 μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: Με αντικατάσταση, 3. 3 3 3 και προκύπτει 3 4 3 3 3 3 3 και της σφαίρας 5

Ερώτηση 6. Ένα σώμα μάζας κινείται με ταχύτητα μέτρου υ και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο σώμα που είναι αρχικά ακίνητο. Είναι δυνατόν μετά την κρούση η ταχύτητα του ου σώματος να έχει μέτρο ' 3 / s ίδιας φοράς με την αρχική του ταχύτητα και η ταχύτητα του ου σώματος να έχει μέτρο ' 4 / s ; α) Ναι. β) Όχι. γ) Μόνο αν τα σώματα έχουν ίδιες μάζες. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Αφού η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική και το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο ισχύουν οι τύποι: ' και ' Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχουμε: ' 3 6 4 4 4. ' 4 Αλλά αυτό είναι άτοπο. Παρατήρηση: Γενικότερα μετά την ελαστική κρούση δύο μαζών εκ των οποίων το δεύτερο σώμα ήταν αρχικά ακίνητο, το πρώτο σώμα θα έχει ταχύτητα μέτρου μικρότερου της διπλάσιας από αυτή που θα αποκτήσει το δεύτερο. 6

Ερώτηση 7. Σε μία κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ισχύει πάντα: p p α) β) γ) p p p 0 όπου σώματος. p η μεταβολή της ορμής του ου σώματος και Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. p η μεταβολή της ορμής του ου Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζουμε ότι σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής του συστήματος. p ( πριν) p ( μετά) p ( πριν) p ( πριν) p ( μετά) p ( μετά) p ( πριν) p ( μετά) p ( μετά) p ( πριν) p ( μετά) p ( πριν) p ( μετά) p ( πριν) p p 7

Ερώτηση 8. Σε μία ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ισχύει πάντα: K K Α) K K Β) K K Γ) K η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του ου σώματος και όπου κινητικής ενέργειας του ου σώματος. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. K η μεταβολή της Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζουμε ότι στις ελαστικές κρούσεις διατηρείται η συστήματος. Κινητική Ενέργεια του K ( πριν) K ( μετά) K ( πριν) K ( πριν) K ( μετά) K ( μετά) K ( πριν) K ( μετά) K ( μετά) K ( πριν) K ( μετά) K ( πριν) K ( μετά) K ( πριν) K K 8

Ερώτηση 9. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι είναι δυνατόν η αρχική ορμή ενός συστήματος δύο σωμάτων που συγκρούονται πλαστικά να είναι μηδέν, και μετά την κρούση η τελική ορμή του συστήματος να είναι μηδέν ενώ η κινητική ενέργεια του συστήματος να είναι διάφορη του μηδενός. Ο παραπάνω ισχυρισμός: α) είναι ψευδής. β) είναι αληθής. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Η ορμή είναι μέγεθος διανυσματικό. Αφού πριν την κρούση η ορμή του συστήματος είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι οι ορμές των σωμάτων είναι αντίθετες. p ( πριν) 0 p ( πριν) p ( πριν) 0 p ( πριν) p ( πριν) Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής του συστήματος. p ( πριν) p ( μετά) 0 p ( μετά) Άρα και μετά την κρούση η ορμή του συστήματος θα είναι μηδέν. Το συσσωμάτωμα που θα σχηματιστεί μετά την κρούση θα είναι ακίνητο. Συνεπώς, η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος θα είναι μηδέν. 9

Ερώτηση 0. Σώμα μάζας κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ. Στην πορεία του συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας M 3. Η απόλυτη τιμή της μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας α) p 0, K 3 του συστήματος είναι αντίστοιχα: P β) p, K. 3 γ) 0 p, 3 K. 8 δ) p 3 4, 3 K. 8 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: p Άρα: p () p 0 ' ' () : p pm p pm 0 MVK VK M 3 K K KM 0 (3) K K K KM M VK K 4 6 (4) V K () 4 8 ' ' () K (3),(4) 3 K K K K 8 8 3 K 8 0

Ερώτηση. Ένα σώμα μάζας συγκρούεται μετωπικά με δεύτερο ακίνητο σώμα μάζας. Aν η σύγκρουση θεωρηθεί ελαστική και η αρχική κινητική ενέργεια του είναι Κ, η κινητική ενέργεια που χάνει το είναι: α). β) γ). 4. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. K ' ' K ' K Συνεπώς: K K K ' K K K K 4 K K

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα μάζας M 5kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 00 / s και μάζας 0,kg, διαπερνά το σώμα χάνοντας το 75% της κινητικής του ενέργειας και εξέρχεται με ταχύτητα. Να υπολογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος και της ταχύτητας του σώματος αμέσως μετά την έξοδο του βλήματος. β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μεταφέρθηκε στο σώμα κατά την κρούση. γ) Η μεταβολή της ορμής του βλήματος και του σώματος από τη στιγμή που ηρεμούσε το σώμα μέχρι την έξοδο του βλήματος. δ) Η μέση δύναμη που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της διέλευσης του βλήματος, αν αυτή διαρκεί t 0, 0s. Λύση α) Η αρχική κινητική ενέργεια του βλήματος πριν τη κρούση είναι:... 0, kg 00 000J s Το βλήμα χάνει το 75% της κινητικής του ενέργειας, άρα η τελική κινητική ενέργεια του βλήματος μετά τη κρούση είναι το 5% της αρχικής, οπότε: 5% 5% 000J 50J.... Ισχύει:. 50J. 500 50. 0, kg s s Στην περίπτωση αυτή η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ταυτίζεται με το μέτρο. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: p p p 0 p p,,,,, Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ( ) και με αντικατάσταση προκύπτει: 0, kg (00 50) s υ = 5kg s

β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μεταφέρθηκε στο ακίνητο σώμα κατά την κρούση είναι: K. s 0J. 000J 5kg 0, 0 ή % 0, kg00 s γ) Η μεταβολή της ορμής του σώματος είναι: p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ' kg p 0 p 5kg p 0 με φορά προς τα δεξιά. s s Η μεταβολή της ορμής του βλήματος είναι: p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: kg p ' p 0, kg 50 0, kg 00 p -0 s s s με φορά προς τα αριστερά. Παρατηρούμε ότι οι δύο μεταβολές είναι αντίθετες. δ) Εφαρμόζουμε τον ο νόμο του Newton για το σώμα, για τη διάρκεια της διέλευσης του βλήματος μέσα από αυτό: p p F F t t kg 0 F s 0,0s 3 F 0 N 3

Άσκηση. Σώμα Σ μάζας kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου / s με κατεύθυνση κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο και συγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ μάζας kg προς τον τοίχο με οριζόντια ταχύτητα που κινείται παράλληλα. Το συσσωμάτωμα αποκτά ταχύτητα v. Στη συνέχεια το συσσωμάτωμα συγκρούεται ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο. Μετά την ελαστική κρούση αποκτά ταχύτητα μέτρου v διεύθυνση της οποίας είναι κάθετη με τη 4 / s, η v. Οι κινήσεις των σωμάτων Σ, Σ και του συσσωματώματος γίνονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας β) το μέτρο της ταχύτητας. γ) τη μεταβολή της ορμής του συσσωματώματος εξαιτίας της ελαστικής κρούσης με τον τοίχο. δ) το μέτρο της μέσης δύναμης που ασκήθηκε στο συσσωμάτωμα κατά τη διάρκεια της κρούσης, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης του συσσωματώματος με τον τοίχο είναι t 0, 0s. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/s. v. Σ v Σ v Λύση α) Θεωρούμε ένα σύστημα δύο ορθοκανονικών αξόνων: Τον x x παράλληλο στον τοίχο και τον y y κάθετο στον τοίχο. Αναλύουμε την ταχύτητα v σε δύο συνιστώσες και εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για την πλαστική κρούση: p p ά Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, είναι ίσες και οι συνιστώσες τους, επομένως η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά για κάθε άξονα: y Στον άξονα x x επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα πάνω έχουμε: ά px px 0 vx vx kg 3vx vx v x () kg kg 3 Στον άξονα y y επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά έχουμε: kg p p 0 v v v s v 4 kg kg s ά y y y y y y Σ v v y Σ φ v x x +x v x θ φ v y θ v +y 4

Επειδή η κρούση με τον τοίχο είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται. ά ά K K K K ( )v 0 ( )v v v 4 / s Κατά τη διάρκεια της κρούσης με τον τοίχο ασκείται στο σώμα μία οριζόντια δύναμη, κάθετη στον τοίχο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ως εκ τούτου δεν υπάρχει δύναμη στον άξονα x x οπότε η ορμή διατηρείται. Αντίθετα στον άξονα y y υπάρχει η εξωτερική δύναμη F οπότε εκεί έχουμε μεταβολή της ορμής. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής του συσσωματώματος στον άξονα x x έχουμε: p x p ά x Επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: v v v v v v x x x x Όμως 90 90 45 Άρα φ=θ=45 ο β) Οπότε έχουμε: vx v45 v x 4 s v x 4 s () 34 3vx s 6 s γ) Για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει: vx v45 v x 4 v x 4 s s και vy v45 v y 4 v y 4 και s s vy v 45 v y 4 v y 4 s s Η μεταβολή της ορμής του συσσωματώματος εξαιτίας της ελαστικής κρούσης με τον τοίχο είναι: p p p x y Για τον άξονα x x σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω ισχύει : p p p 0 ά x x x Για τον άξονα y y: p p p ά y y y Επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: p ( )v ( )v p ( )(v v ) y y y y y y kg p y (kg kg) 4 4 py 4 s s s y v φ v y v x x +x v x F θ v θ v y φ +y 5

Άρα η μεταβολή της ορμής του συσσωματώματος έχει μέτρο κατεύθυνση κάθετη στον τοίχο και φορά προς τα αριστερά. kg p 4 s με δ) Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Newton για τον άξονα y y για όσο χρόνο το συσσωμάτωμα βρίσκεται σε επαφή με τον τοίχο: py Fy t Επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: p 4kg y F F s F 400N t 0, 0s Άρα το μέτρο της δύναμης F είναι F 400N 6

Άσκηση 3. Ένα ξύλινο σώμα μάζας 0,96kg είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας 40g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 00 / s και σφηνώνεται στο σώμα, σε βάθος d 7,68c. Να υπολογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος μετά την κρούση. β) το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα (να θεωρήσετε ότι όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος γίνεται θερμότητα και ότι το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας είναι το οριζόντιο επίπεδο). γ) η μέση δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο ξύλο καθώς εισχωρεί σε αυτό. δ) η μετατόπιση του συστήματος ξύλο-βλήμα μέχρι να σφηνωθεί το βλήμα στο ξύλο. Λύση v α) Έστω η ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται αμέσως μετά την κρούση. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: P P P ά Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 v v Με αντικατάσταση =40g=0,04kg, =0,96kg και υ =00/s, προκύπτει: 0, 04kg 00 s v v 8. Το μέτρο συμπίπτει με την αλγεβρική τιμή. (0, 04 0,96)kg s β) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση είναι: ά ά ά ά U U 0 ά ( U ) ( U ) Επειδή όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος γίνεται θερμότητα, Q ά Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση ά ά ( )v Q είναι: 0 Με αντικατάσταση προκύπτει: 7

(0, 04kg 0,96kg) 8 Q s 64 0, 04 0,96 ή 96% 0,04 40000 0, 04kg 00 s γ) Σε όλη τη διάρκεια της κρούσης το βλήμα ασκεί στο ξύλο μια μέση δύναμη F και το ξύλο μια αντίθετη δύναμη F (3ος νόμος του F μετακινεί το ξύλο κατά x. Το βλήμα Newton). Η δύναμη μετατοπίζεται κατά d+x. Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας: ά Για το ξύλο: WF v 0 F x () ά Και για το βλήμα: WF' v F (d x) () Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και (): FF' v v F x F (d x) v v Fd v v F d Με αντικατάσταση προκύπτει: 0,96 8 0,04 8 0,04 00 F 0,0768 536 4 N F N F 0 N 0,536 δ) H μετατόπιση x του συστήματος ξύλο-βλήμα μέχρι να σφηνωθεί το βλήμα στο ξύλο θα βρεθεί από τη σχέση (): 0,96kg 8 v s F 0 () x x x 0, 003 η x 0,3c 4 8

Άσκηση 4. Δυο σφαίρες Σ και Σ, που έχουν μάζες kg kg και αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος της ίδιας ευθείας και πλησιάζουν η μια την άλλη με ταχύτητες μέτρων 6 / s και 9 / s, αντίστοιχα. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται μετωπικά. Μετά τη κρούση η σφαίρα Σ αλλάζει κατεύθυνση κινούμενη με ταχύτητα μέτρου 4 / s. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση. β) Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. γ) Να υπολογίσετε: ) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας κατά τη κρούση. Τι παρατηρείτε; ) τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας κατά τη κρούση. Τι παρατηρείτε; Σ Σ Λύση α) Επιλέγουμε θετική φορά προς τα δεξιά. Έστω η έχει φορά προς τα δεξιά. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: p p p p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: και με αντικατάσταση προκύπτει: kg 6 kg 9 kg 4 s s s / s kg Επειδή η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας υ είναι θετική ( 0 ) συμπεραίνουμε ότι το Σ μετά τη κρούση κινείται πράγματι προς τα δεξιά. β) Υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια κάθε σφαίρας πριν και μετά τη κρούση. Σφαίρα Σ πριν τη κρούση: kg 6 8J s Σφαίρα Σ πριν τη κρούση: kg 9 8J s Σφαίρα Σ μετά τη κρούση: kg 4 98J s Σ Πριν τη κρούση Σ Μετά τη κρούση Σ + Σ 9

Σφαίρα Σ μετά τη κρούση: kg J s Η ολική ενέργεια των δύο σφαιρών πριν τη κρούση είναι: K K 8J 8J K 99J Η ολική ενέργεια των δύο σφαιρών μετά τη κρούση είναι: K K 98J J K 99J Δηλαδή ισχύει K K οπότε η κρούση είναι ελαστική. γ) ) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ είναι: K 98J 8J 80J Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ είναι: K J 8J 80J Παρατηρούμε ότι κατά την κρούση η μείωση της ενέργειας της σφαίρας Σ είναι ίση με την αύξηση της ενέργειας της σφαίρας Σ. Στην περίπτωση αυτή, ένα μέρος της ενέργειας της πιο βαριάς σφαίρας Σ μεταφέρεται στην πιο ελαφριά σφαίρα Σ. ) Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ είναι: p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: kg p p kg 4 kg 6 p 0 s s s Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ είναι: p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: kg p ( ) p kg kg 9 p 0 s s s Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές της ορμής των δύο σφαιρών είναι αντίθετες. Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο αφού η ορμή του συστήματος των σωμάτων διατηρείται, άρα θα πρέπει: p 0 0

Άσκηση 5. Τρεις μικρές σφαίρες Σ, Σ και Σ 3 βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως στο σχήμα. Οι σφαίρες έχουν μάζες, και 3 3 αντίστοιχα. Δίνουμε στη σφαίρα Σ ταχύτητα μέτρου υ. Όλες οι κρούσεις που ακολουθούν ανάμεσα στις σφαίρες είναι κεντρικές και ελαστικές. Να βρεθούν: α) ο αριθμός των κρούσεων που θα γίνουν συνολικά. Αφού ολοκληρωθούν όλες οι κρούσεις των σφαιρών μεταξύ τους, να υπολογισθεί: β) η τελική ταχύτητα κάθε σφαίρας. γ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της πρώτης σφαίρας. δ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ που μεταφέρθηκε στη τρίτη σφαίρα Σ 3. Δίνονται: η μάζα kg και 0 / s. Σ 3 Σ Σ 3 Λύση α) Αρχικά η σφαίρα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη δεύτερη σφαίρα Σ που είναι ακίνητη ( η κρούση). + Επειδή οι δύο σφαίρες έχουν ίσες μάζες ανταλλάσσουν 3 ταχύτητες, άρα σφαίρα Σ ακινητοποιείται και η Σ αποκτά ταχύτητα ίση με. Στη συνέχεια η δεύτερη σφαίρα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη τρίτη σφαίρα Σ 3 που είναι ακίνητη ( η κρούση). Επειδή < 3 η σφαίρα Σ μετά τη κρούση θα κινηθεί προς τα αριστερά. Έτσι τέλος η δεύτερη σφαίρα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη πρώτη σφαίρα Σ που είναι ακίνητη (3 η κρούση). Συνολικά λοιπόν γίνονται τρεις (3) κρούσεις. β) Η δεύτερη κρούση είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει πριν τη κρούση ταχύτητα και η Σ 3 είναι αρχικά ακίνητη. Έστω η ταχύτητα της σφαίρας Σ και 3 η ταχύτητα της σφαίρας Σ 3 μετά τη δεύτερη κρούση. Ισχύει: 3 3 3 3 () (φορά προς τα 3 3 3 4 3 δεξιά) και 3 3 3 3 3 4 3 τα αριστερά). Σ Σ Σ 3 3 Μετά την η κρούση (Σ με Σ ) Σ Σ Σ 3 3 3 Μετά την η κρούση (Σ με Σ 3) Σ Σ Σ 3 3 3 Μετά την 3η κρούση (Σ με Σ ) Σ Σ Σ 3 + () (φορά προς

Στην τρίτη κρούση επειδή οι δύο σφαίρες έχουν ίσες μάζες ανταλλάσσουν ταχύτητες. Άρα η σφαίρα Σ αποκτά ταχύτητα, άρα έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά και μέτρο (από σχέση ) (3) και η σφαίρα Σ ακινητοποιείται. Με αντικατάσταση στις παραπάνω σχέσεις του μέτρου της ταχύτητας υ =0/s προκύπτει η τελική ταχύτητα της κάθε σφαίρας: 0 Σφαίρα Σ : (3) s 5 με φορά προς τα αριστερά. s Σφαίρα Σ : Έχει ταχύτητα μηδέν. 0 Σφαίρα Σ 3: () s 3 3 5 με φορά προς τα δεξιά. s γ) Η μεταβολή της ορμής της πρώτης σφαίρας Σ είναι: p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: (3) 3 p p p Με αντικατάσταση προκύπτει: 3kg 0 s kg p p 30 s δ) Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ που μεταφέρθηκε στη τρίτη σφαίρα Σ 3 είναι: 3 3 3 3 5 K 3 3 3 K 3 3 3 3 s 75 75% 00 0 s

Άσκηση 6. Μια σφαίρα Σ μάζας κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ μάζας. Μετά την κρούση η σφαίρα Σ συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο επίπεδο τοίχο, που είναι κάθετος στη διεύθυνση της κίνησης των δυο σφαιρών. α) Αν ο λόγος των μαζών των δυο σφαιρών είναι να εκφράσετε τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών Σ και Σ σε συνάρτηση με το λ και το μέτρο της ταχύτητας. Σ Σ Να βρεθεί: β) για ποιες τιμές του λ η σφαίρα Σ μετά την κρούση της με τη σφαίρα Σ κινείται προς τα αριστερά. γ) για ποια τιμή του λ, η σφαίρα Σ, μετά την κρούση της με τον τοίχο θα διατηρεί σταθερή απόσταση από την σφαίρα Σ. Με βάση την παραπάνω τιμή του λ, να υπολογισθεί: δ) ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ, που έχει μετά την κρούση της με τον τοίχο, προς την αρχική κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ. Λύση α) Η κρούση των σφαιρών Σ και Σ είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα και η σφαίρα Σ είναι αρχικά ακίνητη. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: () και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: () Λύνουμε τη σχέση της σφαίρας Σ ως προς : Από τις σχέσεις (), (3) προκύπτει: (4) (3) ( ) ( ) Σ Σ πριν τη κρούση των σφαιρών Σ Σ μετά τη κρούση των σφαιρών Σ Σ Από τις σχέσεις (), (3) προκύπτει: ( ) (5) 3

β) Για να κινείται η σφαίρα Σ προς τα αριστερά πρέπει η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της (σχέση 4), που αποκτά μετά την κρούση της με τη σφαίρα Σ, να είναι αρνητική, οπότε προκύπτει ότι: (4) 0 0 γ) Το μέτρο της ταχύτητας είναι: Η σφαίρα Σ χτυπά στον τοίχο ελαστικά, άρα ανακλάται με ταχύτητα ίσου μέτρου με την ταχύτητα και αντίθετης (5) φοράς, (7) Για να παραμένει σταθερή η απόσταση των δύο σφαιρών μετά τη κρούση της σφαίρας Σ με τον τοίχο, πρέπει τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών να είναι ίσα, δηλαδή: (6) (7) 3 δ) Ισχύει: 3 3 Από τη σχέση (7) με αντικατάσταση του λ=3, προκύπτει: 3 Ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας K της σφαίρας Σ, που έχει μετά την κρούση της με τον τοίχο, προς την αρχική κινητική ενέργεια K της σφαίρας Σ είναι: 3 3 (7) K K 4 0,75 (6) + πριν τη κρούση της Σ με τον τοίχο μετά τη κρούση της Σ με τον τοίχο d 4

Άσκηση 7. Σώμα μάζας M kg τριβής ολίσθησης 0, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή. Μια μικρή μπάλα μάζας 00g κινούμενη οριζόντια προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου 00 / s, συγκρούεται με το σώμα και επιστρέφει με ταχύτητα μέτρου 0 / s. Να υπολογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας υ του σώματος Μ αμέσως μετά την κρούση. β) η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση. Σε ποιες μορφές ενέργειας μετατράπηκε; γ) η μετατόπιση του σώματος μάζας Μ μέχρι να σταματήσει εξαιτίας της τριβής του με το επίπεδο. δ) ο λόγος Δίνεται: M g 0 / s των μαζών των δύο σωμάτων, αν η κρούση ήταν ελαστική. πριν + μετά M M Λύση α) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: p p p p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ( ) 0 και με αντικατάσταση προκύπτει: 0,kg (00 0) s 6 / s kg β) 0 0,kg 00 500J s 0,kg 0 kg 6 0J 36J s s 56J Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση είναι: E E U U Επειδή η κρούση των σωμάτων γίνεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ισχύει: U άρα 500J 56J 444J U 5

Κατά την κρούση ένα μέρος της μηχανικής ενέργειας του συστήματος μετατράπηκε (υποβαθμίστηκε) σε θερμότητα και (πιθανόν) σε μόνιμη ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σωμάτων. γ) Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: τριβή Τ, βάρος W και η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο Ν. Το σώμα στον άξονα y y είναι ακίνητο, άρα Fy 0 N W 0 N W N Mg Η τριβή έχει μέτρο: T T Mg Η τριβή παράγει έργο: WT T x Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για τη διαδρομή του σώματος Μ μέχρι να σταματήσει: M W WT 0 M T x x x T g Με αντικατάσταση προκύπτει: Μ 6 s x x 9 0, 0 s T x N W 0 Μ δ) Είναι M M. Επειδή η κρούση είναι ελαστική η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας κρούση δίνεται από τον τύπο: M M M Με αντικατάσταση υ = 00/s και της μπάλας μετά την = - 0/s (επειδή έχει φορά προς τα αριστερά), προκύπτει: 0 s 3 5 5 4 6 00 5 s 6

Άσκηση 8. Δύο τελείως ελαστικές σφαίρες με μάζες kg και 3 3kg αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και πλησιάζουν η μία την άλλη με ταχύτητες μέτρου 0 0 / s. Να βρείτε: α) Τις ταχύτητές των μαζών μετά την κρούση. β) Τη μεταβολή της ορμής της. γ) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας. δ) Τη μέση δύναμη που ασκήθηκε στη σφαίρα κατά την κρούση αν αυτή διαρκεί χρόνο t 0, 0s. Λύση α) Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής. p πριν p μετα p p p p ' ' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: ' ' 3 3 ' ' 0 0 3 ' ' 0 3 () ' ' 0 Επειδή η κρούση είναι ελαστική η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. K πριν K μετά K K K K ' ' ' ' 3 3 ' ' 0 0 7

4 3 () ' ' 0 () ' ' 0 0 () 4 3 3 4 9 4 3 ' ' ' 0 0 0 0 ' ' 0 0 ' ' 0 Προκύπτει: ' 0, η οποία απορρίπτεται γιατί είναι η αρχική ταχύτητα του, και ' 0 που είναι αποδεκτή. Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή της ' u στη σχέση () προκύπτει: 0 / s. ' 0 Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι μετά την κρούση η σφαίρα θα έχει ταχύτητα αντίθετης φοράς από αυτή που φαίνεται στο σχήμα (δηλαδή προς τα αριστερά). p p ( μετά) p ( πριν) β) Επιλέγοντας θετική φορά προς τα αριστερά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: p 030 kg / s ' p 30kg / s γ) K ( πριν) 3 0, ' K ( μετά) 0 K K ( μετά) K ( πριν) 3 0 Στα K ( ) η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας είναι ΔΚ Στα 00% α %=; 8

3 K 0 % 00% 00% K ( ) % 00% 30 δ) p p ( μετά ) p ( ) πριν F F, t t Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: t t ' F, 0 0 3 30 t 0,0 0 F, N 500N 9

Άσκηση 9. Σώμα Α μάζας kg αφήνεται να γλιστρήσει από απόσταση 30 0 από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης. Ταυτόχρονα δεύτερο σώμα Β μάζας βάλλεται με αρχική ταχύτητα uo 0 / s από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την κρούση. β) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Α κατά τη διάρκεια της κρούσης. δ) την ταχύτητα με την οποία το συσσωμάτωμα θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας: g 0 / s. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση του σώματος από το (M) προς το (Σ). F g x g g 0 / s 5 / s () t () s t (3) Φαινόμενο 0 : Κίνηση του σώματος από το (Γ) προς το (Σ). F gx g g 0 / s 5 / s (4) 30

t 0 (5) s t t 0 (6) Από το σχήμα προκύπτει ότι τη στιγμή της συνάντησης θα ισχύει: (3),(6) 0 s s t 0t t ot t s 0 0 t s (7) () : t 5 / s 0 / s (5) : 0 t (0 5) / s 0 / s β) Φαινόμενο 3 0 : Πλαστική κρούση Μ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: Την εφαρμόζουμε για τις χρονικές στιγμές: λίγο πριν την κρούση και λίγο μετά. p πριν p μετα p p p p ' ' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα κάτω, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 0 V K V K 0 / s VK 5 / s γ) Το μέτρο της ορμής της μάζας πριν την κρούση είναι: p 0kg / s p 0kg / s Το μέτρο της ορμής της μάζας μετά την κρούση είναι: p VK 5kg / s p 0kg / s 3

Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του κατά την κρούση είναι: p p p p p 0 0 kg / s p 30kg / s δ) Φαινόμενο 4 0 : Κίνηση του συσσωματώματος (Σ) (Γ). Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε.: K K W W B N Hs V V gh 0 K K V V gs K K V V gs (8) K K (7) (6) s 0 5 s 0 (9) (9) (8) VK 5 0 0 / s V 5 5 / s K 3

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Από την κορυφή (A) ενός κεκλιμένου επιπέδου μεγάλου μήκους και γωνίας κλίσης θ αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ μάζας κεκλιμένο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης x 4 0,5. Αφού διανύσει διάστημα κινούμενο στο κεκλιμένο επίπεδο, συναντά ακίνητο σώμα Σ μάζας 3kg, με το οποίο συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά (σημείο Γ). Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση των δύο σωμάτων διανύει διάστημα x και φτάνει στη βάση (Β) του κεκλιμένου kg το οποίο εμφανίζει με το επιπέδου. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) τη συνολική θερμότητα λόγω τριβών που παράχθηκε από τη στιγμή που αφήσαμε ελεύθερο το σώμα μάζας μέχρι τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έφτασε στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. γ) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο μαζών κατά την κρούση. δ) το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας των σωμάτων Σ και Σ που έγινε θερμότητα μέχρι το συσσωμάτωμα να φτάσει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου. Να θεωρηθεί: (i) Το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται με το οριζόντιο επίπεδο που περνά από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. (ii) Όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση γίνεται θερμότητα. (iii) Το έργο που καταναλώνει η τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα. (iv) Τα σώματα έχουν αμελητέες διαστάσεις. (v) Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης πριν και μετά την κρούση παραμένει ίδιος. Δίνονται: 0, 6, 0,8 και η επιτάχυνση της βαρύτητας Λύση B θ θ x g Γ. 0 / s x A 33

α) Στην κίνηση του σώματος Σ από τη κορυφή Α ως το σημείο Γ ασκούνται πάνω του οι δυνάμεις: τριβή Τ, βάρος W και η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο Ν. Θεωρούμε ένα σύστημα δύο ορθοκανονικών αξόνων. Τον x x παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο και τον y y κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο. Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες: Wy g Wx g Το σώμα στον άξονα y y είναι ακίνητο, άρα F 0 N W 0 y y N W N g y Η τριβή έχει μέτρο: T T g Κατά τη μετατόπιση του σώματος από το Α στο Γ: το έργο της τριβής είναι W T x W g x () και το έργο του βάρους είναι T T W W x W g x W x W Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για τη διαδρομή του σώματος Σ από το σημείο Α στο Γ: W WW W T WN g x g x 0 g x g x gx ( ) x Β y N W x θ W θ T W y y' Γ + U=0 y N W x W T θ Α W y y' x' Με αντικατάσταση προκύπτει: 0 4 (0,6 0,50,8) 4 s s Έστω η ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται αμέσως μετά τη κρούση. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα κάτω (όπως φαίνεται στο σχήμα), η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 Με αντικατάσταση =kg, =3kg και υ =4/s, προκύπτει: kg 4 s υ = ( 3)kg s β) Στην κίνηση του συσσωματώματος από το σημείο Γ στη βάση Β του κεκλιμένου επιπέδου, ασκούνται πάνω του οι δυνάμεις: τριβή Τ, βάρος W και η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο Ν. 34

Αναλύουμε το βάρος του συσσωματώματος σε δύο συνιστώσες: W ( )g y W x ( )g Το σώμα στον άξονα y y είναι ακίνητο, άρα Fy 0 N Wy 0 N Wy N ( )g Η τριβή έχει μέτρο: T T ( )g Για τη μετατόπιση του σώματος από το σημείο Γ στη βάση Β το έργο της τριβής είναι: WT T x W T ( )g x Με αντικατάσταση προκύπτει: WT 0,5(kg 3kg)0 0,8 W T -3J s Από τη σχέση () με αντικατάσταση υπολογίζουμε το έργο της τριβής για την κίνηση του Σ από τη κορυφή Α ως το σημείο Γ: WT g x 0,5kg 0 0,8 4 W T -6J s Το έργο που καταναλώνει η τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα, άρα: Q W W Q 3J 6J Q 48J T T γ) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την πλαστική κρούση είναι: U U ( U ) ( U ) ( ) kg 4 (kg 3kg) s s 8J J 6J Σχόλιο: Θεωρούμε ότι η διάρκεια της πλαστικής κρούσης είναι πάρα πολύ μικρή έτσι ώστε η μετατόπιση των σωμάτων να είναι αμελητέα. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η δυναμική ενέργεια λόγω βάρους πριν και μετά τη κρούση είναι η ίδια. δ) Όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την πλαστική κρούση γίνεται θερμότητα, δηλαδή Q 6J Το συνολικό ποσό της θερμότητας είναι: Q Q Q Q 48J 6J Q 54J Η αρχική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας Σ είναι: U gh, όπου h (x x ) h (4 ) 0,6 h 3,6 θ x Γ h x U=0 A h U kg 0 3,6 U 36J s Άρα,, 35

Η αρχική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας Σ είναι: U gh,, όπου h x h 0,6 h, Άρα U, 3kg 0, U, 36J s Το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας των σωμάτων Σ και Σ που έγινε θερμότητα μέχρι το συσσωμάτωμα να φτάσει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου, είναι: Q 54J 54 0,75 ή 75% U U 36J 36J 7,, 36

Πρόβλημα. Ένα πρωτόνιο Π μάζας κινούμενο με ταχύτητα μέτρου 6 0 / s αλληλεπιδρά (συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά) με ένα άλλο ακίνητο πρωτόνιο Π μάζας =. Μετά την κρούση το πρωτόνιο Π κινείται σε διεύθυνση που σχηματίζει 30 γωνία σε σχέση με την αρχική του πορεία. Α. Να υπολογισθεί αμέσως μετά τη κρούση: α) το μέτρο της ταχύτητας του πρωτονίου Π. β) η ταχύτητα του πρωτονίου Π. Β. Να βρεθεί το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του πρωτονίου Π που μεταφέρεται στο πρωτόνιο Π γ) στην παραπάνω κρούση. δ) αν η κρούση ήταν κεντρική. Λύση Α. α) Έστω η ταχύτητα του πρωτονίου Π μετά τη κρούση και θ η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x. Αναλύουμε την ταχύτητα σε δύο συνιστώσες οι οποίες έχουν μέτρα: x και y Έστω η ταχύτητα του πρωτονίου Π μετά τη κρούση και σχηματίζει γωνία 30 ο με τον άξονα x x. Αναλύουμε την ταχύτητα και o x 30 () o y 30 σε δύο συνιστώσες οι οποίες έχουν μέτρα: Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για κάθε άξονα χωριστά για το σύστημα των δύο πρωτονίων: p p p p p p x x:.x.x,x,x,x,x Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 () x x x x x x p p p p p p y y:.y.y,y,y,y,y Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 0 0 (3) y y y y y y Υψώνουμε τις σχέσεις () και (3) στο τετράγωνο και στη συνέχεια τις προσθέτουμε κατά μέλη: 37

x x x ( ) x y x x y y y (4) Όμως (4): x y, x y και x (5) 3 3 οπότε με αντικατάσταση στην Επειδή η κρούση είναι ελαστική ισχύει η αρχή διατήρησης κινητικής ενέργειας του συστήματος. K K K K K K 0 (6) Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (5) και (6): 3 0 3 3 3 Με αντικατάσταση υ =0 6 /s προκύπτει: 3 6 0 s β) Από τη σχέση (6) έχουμε: 6 6 3 3 0 0 0 0 s s s 4 s 4 s s 6 0 0 Για να βρούμε την κατεύθυνση της Με αντικατάσταση 6 0 s 3 στην () προκύπτει: θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: y (7) 6 6 3 3 y 0 y 0 s 4 s Άρα από την (3) προκύπτει: y 3 6 0 4 s Οπότε από τη σχέση (7) με αντικατάσταση 6 3 0 3 4 s 60 6 0 s Β. 3 και y 6 0 4 s s 6 0 προκύπτει: 38

γ) Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του νετρονίου που μεταφέρεται στον πυρήνα είναι: K 6 6 Με αντικατάσταση 0 και 0 προκύπτει: s s 6 0 K s 0, 5 ή 5% 6 0 4 s δ) Αν η κρούση ήταν κεντρική επειδή οι μάζες είναι ίσες θα αντάλλαζαν ταχύτητες. Δηλαδή όλη η κινητική ενέργεια του πρωτονίου Π θα μεταφερόταν στο πρωτόνιο Π, δηλαδή K άρα: K 00% 39

Πρόβλημα 3. Ένα σώμα μάζας ελατηρίου σταθεράς k 3 Kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού 00 N /. Δεύτερο σώμα μάζας,5 kg, βάλλεται από το έδαφος από το σημείο Κ με αρχική ταχύτητα 0 0 / s και μετά από χρόνο t 0,8 s συγκρούεται ανελαστικά με το Μ. Μετά την κρούση το σώμα αφού εξέλθει από το Μ με ταχύτητα μέτρου ' / s απομακρύνεται χωρίς να επηρεάζει την εξέλιξη του φαινομένου. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος ελάχιστα πριν την κρούση. β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Μ αμέσως μετά την κρούση. γ) τη μέγιστη μετατόπιση του σώματος Μ μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. δ) την αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος ελατήριο σώμα μάζας σώμα μάζας Μ θεωρώντας σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής βαρυτικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Κ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 / s. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση από το (Κ) στο (Γ). 40

0 gt 0 00,8 / s ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ / s β) Φαινόμενο 0 : Ανελαστική κρούση -Μ. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (λίγο πριν λίγο μετά). πριν μετα M M p p p p p' p' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα πάνω, γράφουμε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά: ',5 0 MV ' V V / s V M 3 / s γ) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση του σώματος μάζας Μ υπό την επίδραση συντηρητικών δυνάμεων. Εφαρμόζουμε, για το σύστημα Μ-k, τη Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας μεταξύ των θέσεων Γ και Δ. Συμβολίζουμε με Α τη μέγιστη μετατόπιση του σώματος Μ μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. E ( ) E ( ) MV k 0 0 k( A) ga () Εκμεταλλευόμενοι την αρχική ισορροπία του σώματος μάζας Μ, υπολογίζουμε την παραμόρφωση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος: Mg 30 F. 0 Mg F 0 Mg k 0,3 k 00 Με αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει: M 3 A V A k 400 3 0 δ) Η αρχική απόσταση του σώματος μάζας από το σώμα μάζας Μ είναι: h 0t gt h 0 0,8 0 0,8 8 3, Η αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα:. της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας του σώματος μάζας Μ,. της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας και h 4,8 4

3. της δυναμικής ελαστικής ενέργειας του ελατηρίου. EMHX Mgh 0 k 30 4,8 0 000,3 J 44 50 4,5 J EMHX 98,5J 4

Πρόβλημα 4. 0 30 Στο κάτω άκρο λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k 00 N /. Στο πάνω ελεύθερο άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα μάζας που ισορροπεί. Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου και από απόσταση s σώμα kg kg 0,5 από το με αρχική ταχύτητα υ 0= 3, βάλλεται προς τα κάτω δεύτερο /s και με κατεύθυνση τον άξονα του ελατηρίου που συγκρούεται κεντρικά με το. Μετά την κρούση η κίνηση του αντιστρέφεται, και διανύοντας απόσταση συμπιέζει το ελατήριο και στιγμιαία σταματά. d 0, 05 σταματάει. Το κινούμενο Α. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του σώματος ελάχιστα πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. γ) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου από την αρχική του θέση. δ) την μέγιστη δυναμική ελαστική ενέργεια του ελατηρίου κατά την κίνηση του. Β. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g. 0 / s Λύση Α. Εκμεταλλευόμενοι την αρχική ισορροπία του σώματος μάζας, υπολογίζουμε την αρχική παραμόρφωση, α, του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος: Fy 0 F 0 Fx 0 g x F g g k k 0 00 0, () 43

α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση του σώματος (Γ) (Δ). Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε.: K K W W gh 0 0 gs gs Hs B N 0 0 gs 0 3 00,5 / s 3 4,5 / s / s () β) Φαινόμενο 0 : Κρούση -. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής. p πριν p μετα p p p p ' ' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα κάτω, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 0 ' ' ' ' (3) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση του σώματος από το (Δ) προς το (Ζ). Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε.: 44

K K W W B 0 ' gh 0 ' gd hd ' gd ' 00,05 / s N ' / s (4) 4 ' / s (5) (),(4) (3) ' / s γ) Φαινόμενο 4 0 : Κίνηση του σώματος από το (Δ) προς το (Λ) υπό την επίδραση των συντηρητικών δυνάμεων του βάρους και της F ελ. Συμβολίζουμε με Α την επιπλέον συμπίεση του ελατηρίου και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε.: K K W W B F 0 ' gh k k( A) ha 00A 4 A 0, A 0, θα είναι η επιπλέον συμπίεση του ελατηρίου. ax U ( ) k A 00 0,3 J U ax ( ) 4,5J δ) B. Αν η κρούση των και είναι ελαστική, θα ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. 9 K K K 0 J πριν K πριν, 5J ' ' ' ' 9 K μετά K K J J 4 K μετά, 5J Συνεπώς η κρούση είναι ελαστική. 45

Πρόβλημα 5. Στο σχήμα το σώμα μάζας μάζας 5kg 5kg συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με το σώμα. Αν είναι γνωστό ότι το ιδανικό ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό μήκος 3 0kg του, ότι η μάζα του σώματος 3 είναι, η σταθερά του ελατηρίου είναι k 0N /, ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων και επιπέδου είναι και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g 0 / s, να υπολογίσετε: 0,4 α) τη μέγιστη επιτρεπτή παραμόρφωση του ελατηρίου ώστε να μην κινηθεί το 3. β) τη μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να έχει το ώστε να μην κινηθεί το 3. γ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής του στη διάρκεια της κρούσης. δ) τη θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια του φαινομένου του ερωτήματος α. Λύση α) Για να μην κινηθεί το 3 θα πρέπει να συμπιεστεί το ελατήριο μέχρις ότου η δύναμη του ελατηρίου να γίνει ίση με την μέγιστη τιμή της στατικής τριβής στο 3. Με άλλα λόγια η μέγιστη επιτρεπτή τιμή της συμπίεσης του ελατηρίου πρέπει να είναι: F (ax) kx g x x 3 g 0,4 00 k 0 3 4 β) Φαινόμενο 0 : Ελαστική κρούση. Αφού τα σώματα έχουν ίσες μάζες θα ανταλλάξουν ταχύτητες. ' 0 και ' 0 () Φαινόμενο 0 : Κίνηση του Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας από τη θέση Α (αρχική θέση του ) ως τη θέση Γ (τελική θέση του ). 46

K ( ) K (A) W W W W WB0,WN0 B N F 0 0 ' 0 0 x 80 0 kx ' gx kx 5 ' 0,4 504 06 5 ' 60 ' 64 / s ' 8 / s () : 0 8 / s γ) Το μέτρο της ορμής της μάζας πριν την κρούση είναι: p 0 58kg / s p 40kg / s Το μέτρο της ορμής της μάζας μετά την κρούση είναι: p ' p 0kg / s Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του κατά την κρούση είναι: p p p p p 40kg / s δ) Η θερμότητα οφείλεται στην τριβή και είναι ίση με το έργο της: Q W gx 0,450 4 J Q 80J 47

Πρόβλημα 6. Αρχικά η σφαίρα βρίσκεται ακίνητη και το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Εκτρέπουμε τη σφαίρα μάζας της θέση ώστε το νήμα μήκους,6 από την αρχική να σχηματίζει 0 με την κατακόρυφο γωνία 60 και την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν αυτή περάσει από την αρχική της θέση ισορροπίας συγκρούεται ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας που βρισκόταν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τριβές. Το σώμα μετά την κρούση, αφού διανύσει διάστημα s σταματάει. Να βρεθούν: α) Το μέτρο της ταχύτητας υ του σώματος μάζας ελάχιστα πριν την κρούση. 3 l φ l s β) Το συνημίτονο της τελικής γωνίας απόκλισης θ που θα σχηματίσει το νήμα με την κατακόρυφο μετά την ελαστική κρούση. γ) Το διάστημα s μέχρι να σταματήσει το σώμα. δ) Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του κατά την κρούση. Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου 0, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. 0 / s Λύση α) Στο τρίγωνο ΟΑΝ έχουμε: h h h,6,6 h 0,8 () Φαινόμενο 0 :Κίνηση του σώματος μάζας από το σημείο (Α) στο σημείο (Γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το σώμα μάζας από τη θέση Α ως τη θέση Γ. 48

K( ) K(A) W W WT 0 B T 0 gh () gh 00,8 / s 6 / s 4 / s () β) Φαινόμενο 0 :Ελαστική κρούση μεταξύ των σωμάτων και. Θεωρώντας θετική φορά την προς τα δεξιά, αφού η κρούση είναι ελαστική και το 0 σώμα είναι ακίνητο θα ισχύουν οι τύποι: ' (3) και ' (4). Με αντικατάσταση στους παραπάνω τύπους προκύπτουν: 3 (3) : ' 4 / s 4 / s ' / s 3 4 (4) : ' 4 / s 4 / s ' / s 3 4 Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση του σώματος μάζας από το σημείο (Γ) στο σημείο (Δ) όπου θα σταματήσει στιγμιαία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το σώμα μάζας από τη θέση Γ ως τη θέση Δ. K( ) K( ) W W WT 0 B T 0 ' gh ' 4 h g 0 h 0, (5) Στο τρίγωνο ΟΔM έχουμε: h,6 0,,4,6,6 (5) 7 8 γ) Φαινόμενο 4 0 : Κίνηση του σώματος μάζας από το σημείο (Γ) στο σημείο (Ε) όπου θα σταματήσει. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το σώμα μάζας από τη θέση Γ ως τη θέση Ε. 49

K(E) K( ) W W W WN0,WB0 B N T 0 3 ' 3gs ' 4 s g 0, 0 s δ) Ελάχιστα πριν την ελαστική κρούση, το σώμα μάζας είχε κινητική ενέργεια: K ( ) Αμέσως μετά την ελαστική κρούση, το σώμα μάζας έχει κινητική ενέργεια: K ( ) '. Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του κατά την κρούση θα είναι: K ' K ( ) K ( ) a % 00% 00% 00% K ( ) K ( ) Με αντικατάσταση προκύπτει: 4 6 3 a % 00% 00% a % 75% 6 4 50

Πρόβλημα 7. Το σώμα του διπλανού σχήματος έχει μάζα 0, 98Kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους 0,0kg σφηνώνεται στο σώμα μάζας Μ και το συσσωμάτωμα που προκύπτει, εκτελώντας κυκλική κίνηση, φτάνει σε θέση όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία φ τέτοια ώστε 0,6 και σταματά στιγμιαία.. Κάποια χρονική στιγμή βλήμα μάζας Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Την αρχική ταχύτητα υ o του βλήματος. γ) Την τάση του νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση. ε) Τη μηχανική ενέργεια, που μετατράπηκε σε θερμότητα στην πλαστική κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g. 0 / s Λύση α) Φαινόμενο 0 : Πλαστική κρούση Μ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: p πριν p μετα 5

p p p p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 0 M V 0 K MVK 0 () Στο τρίγωνο ΟΝΓ έχουμε: h h h () Φαινόμενο 0 : Κίνηση του συσσωματώματος. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το συσσωμάτωμα από τη θέση Α ως τη θέση Γ. K( ) K(A) W W WT 0 B T 0 M VK 0 M K K V g ( ) () gh V g ( ) 0 ( 0,6) / s 6 / s VK 4 / s () β) 0, 0 0,98 4 : 0 / s 0 00 / s 0,0 γ) Επειδή αρχικά το σώμα μάζας Μ ισορροπούσε: F 0 T0 Mg 0 T0 Mg T0 0,98 0N T 0 9,8N δ) Το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση μπαίνει σε κυκλική κίνηση. Η συνισταμένη της τάσης και του βάρους λειτουργεί ως κεντρομόλος δύναμη. F F R K 5

VK T M g M K () T M g M 6 T 0 N T 8N V ε) Οι δυναμικές ενέργειες θεωρούνται εξαρχής ίσες με το μηδέν. Η μηχανική ενέργεια του συστήματος λίγο πριν την κρούση ήταν: 4 E MHX ( ) 0 0 40 J 400J Η μηχανική ενέργεια του συστήματος αμέσως μετά την κρούση είναι: E MHX ( ) M V K 6J 8J E MHX E MHX ( ) E MHX ( ) 39J 53

Πρόβλημα 8. Ένα βλήμα μάζας kg, βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 0 00 / s και διαπερνά ένα κιβώτιο μάζας που ήταν αρχικά ακίνητο στη θέση x 0 μη λείου 8 kg οριζόντιου δαπέδου. Το βλήμα εξέρχεται από το κιβώτιο με ταχύτητα 0 / s. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ δαπέδου και κιβωτίου είναι 0,5 x, όπου x η θέση του κιβωτίου στο (S.I.), να υπολογίσετε: α) Την ταχύτητα του κιβωτίου αμέσως μετά την κρούση. β) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του βλήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης. γ) Το διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο μέχρι να σταματήσει. δ) Το μέτρο του στιγμιαίου ρυθμού μεταβολής της ορμής του κιβωτίου στη θέση x=. ε) Τη συνολική θερμότητα που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον στη διάρκεια του φαινομένου. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g. 0 / s Λύση α) Φαινόμενο 0 : Ανελαστική κρούση Μ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: p πριν p μετά p p p p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 54

0 MV 0 0 V M 00 0 / s 8 V 0 / s K ( πριν) 0 00 J 0000J β) K ( μετά) 0 J 400J K K ( μετά) K ( πριν) 400 0000 J 9600J Στα K ( ) η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας είναι ΔΚ Στα 00% α %=; K 9600 % 00% 00% K ( ) 0000 % 96% γ) Φαινόμενο 0 : Κίνηση κιβωτίου από το Α στο Γ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το κιβώτιο. K( ) K(A) W W W WN0,WB0 B N () 0 MV W Η τριβή όμως είναι μεταβλητή δύναμη: Mg 0,5 x 80N 40 80x Συνεπώς το έργο της θα υπολογιστεί μέσω της γραφικής της παράστασης σε συνάρτηση με τη θέση x. 55

W ( ) 40 80x 40 x 40x 40x W 40x 40x (3) Αντικαθιστώντας στην (), έχουμε: 0 800 40x40x 40x 40x 800 0 x x 0 0 Η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση έχει ρίζες: 8 9 x 5 x x 4 Δεκτή είναι μόνο η θέση: x 4 δ) Το μέτρο του στιγμιαίου ρυθμού μεταβολής της ορμής του κιβωτίου δίνεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα: dp F Mg 0,5 xmg dt Στη θέση x=, ο παραπάνω ρυθμός παίρνει την τιμή: dp dt x 0,5 80N dp dt x 00N ε) Η συνολική θερμότητα θα είναι η ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμότητα στην ανελαστική κρούση και η θερμότητα λόγω της τριβής του κιβωτίου με το δάπεδο: Q Q Q (4) 56

Q K K( ) K( ) 0 MV 0000 800 800 J 0000 00J Q 8800J (3) Q W Q 40 4 406 J Q 800J (4): Q 9600J 57

Πρόβλημα 9. Ένα βλήμα μάζας 0,kg σφηνώνεται με ταχύτητα 00 / s σε ακίνητο κιβώτιο μάζας 0,9kg όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το κιβώτιο μπορεί να ολισθαίνει σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Αν η δύναμη αντίστασης που εμφανίζεται μεταξύ βλήματος και κιβωτίου κατά την κρούση θεωρηθεί σταθερού μέτρου F 4500N, να υπολογίσετε: α) Την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος. β) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος (βλήμα κιβώτιο) κατά τη διάρκεια της κρούσης γ) Το χρόνο που διαρκεί η κίνηση του βλήματος σε σχέση με το κιβώτιο. δ) Πόσο βαθιά εισχωρεί το βλήμα στο κιβώτιο. Λύση α) Φαινόμενο 0 : πλαστική κρούση - M. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής: p πριν p μετα p p p p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: K K 0 M V V VK 0,00 / s M 0,0,9 0 / s 58

β) Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση είναι: K ( πριν) 500J K ( πριν) 0, 00 J Η κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση είναι: K ( μετα) MVK 0 J K ( μετα ) 50J K K ( μετα) K ( πριν) 50 500 J K 450J γ) Α Τρόπος: Φαινόμενο 0 : Κίνηση του σώματος. F 4500 F F / s 45 0 / s 0, 3 () VK t () s x t t (3) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση του σώματος Μ. F 4500 M 0,9 F MM F MM M / s 3 M 5 0 / s (4) V K t (5) M s Mt (6) 00 () (5) : t t t t s M M 3 M 500 t 3 0 s Β Τρόπος: Εφαρμόζουμε για το κιβώτιο το ο νόμο του Νεύτωνα στη γενικευμένη του μορφή. p F t Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 59

V V V F t t F F 0,kg 0 00 s s 3 t t 0 s 3 4,50 kg s ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ δ) Α Τρόπος: Αφαιρώντας τις (3) και (6) κατά μέλη, έχουμε: x t t Mt t M t 3 3 6 00 0 500 40 0, 0, x 0, Β Τρόπος: Η δύναμη F που ασκείται από το κιβώτιο στο βλήμα ( προκαλεί τη μείωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος) και η δύναμη (προκαλεί την αύξηση της κινητικής ενέργειας του κιβωτίου) έχουν ίσα μέτρα. F' που ασκείται από το βλήμα στο κιβώτιο Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το βλήμα. V Fs x () Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας για το κιβώτιο. MV 0 F's () Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () παίρνουμε: M V V MV Fx x F Με αριθμητική αντικατάσταση προκύπτει: 3 4,50 kg s 0,kg 00 / s kg 0 / s x x 0, 60

Πρόβλημα 0. (περιέχει και ύλη Στερεού σώματος) Το υλικό σημείο μάζας 3kg αφήνεται να κινηθεί από το σημείο Α ενός λείου κατακόρυφου οδηγού σε σχήμα τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=0,5. Όταν το υλικό σημείο φτάσει στο σημείο Β συγκρούεται ανελαστικά με μία λεπτή ομογενή κατακόρυφη ράβδο μάζας και μήκους M 9kg R 0,5 που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το αρθρωμένο άκρο της Ο. Μετά την κρούση το υλικό σημείο αποκτά ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό από αυτό που είχε ελάχιστα πριν την κρούση και αντίθετης φοράς. Α R Β Ο Αν δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ic ML και η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 / s, να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου ελάχιστα πριν την κρούση. β) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. γ) τη μέγιστη γωνία εκτροπής που θα σχηματίσει η ράβδος με την κατακόρυφο. δ) την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου σε εκείνο το σημείο. Λύση Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο υπολογίζεται από το θεώρημα Steiner: O c O I I M M M I M 4 3 () 6