Κύληση ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 1
Κύλιση χωρίς ολίσθηση ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 H συνθήκη για να έχουµε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι: s = Rθ = d ή a εφ. = αr V = d d ( Rθ ) = R dθ d = Rω για σταθερό R To σηµείο επαφής ρόδας εδάφους : V επαϕης /εδαϕους = 0 δεν υπάρχει ολίσθηση Εποµένως V /εδαϕους = V /επαϕης + V επαϕης /εδαϕους = ω R V επαϕης / = ω R κυκλοειδές Mε σηµείο αναφοράς το έδαφος ή ένα σηµείο P h Γράφηµα της θέσης ενός σηµείου της ρόδας συναρτήσει του χρόνου
ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 3 Κύλιση χωρίς ολίσθηση Καθαρά μεταφορική Καθαρά περιστροφική Η κίνηση της κύλισης µπορεί να θεωρηθεί σαν ο συνδυασµός µιας καθαρά µεταφορικής και µιας καθαρά περιστροφικής κίνησης
Κινητική ενέργεια κύλισης H ολική κινητική ενέργεια ενός σώµατος που κυλίεται χωρίς ολίσθηση είναι το άθροισµα της κινητικής ενέργειας του κέντρου µάζας του λόγω µεταφοράς και της κινητικής του ενέργειας λόγω περιστροφής γύρω από το κέντρο µάζας του. ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 4 K = 1 mv + 1 I ω Ξέρουµε ότι η κινητική ενέργεια περιστροφής ως προς το σηµείο P δίνεται από τη σχέση: K = 1 I Pω (1) Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα παράλληλων αξόνων έχουµε: I P = I + MR αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε: K = 1 I ω + 1 MR ω = 1 I ω + 1 Mv
ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 5 Τι κάνει ένα σώµα να κυλά? q Ένα σώµα κυλά χωρίς ολίσθηση όταν η δύναµη της στατικής τριβής εµφανίζεται µεταξύ του σώµατος και της επιφάνειας. Ø Η τριβή είναι στατική επειδή το σηµείο επαφής του σώµατος µε την επιφάνεια είναι, τη στιγµή της επαφής, ακίνητο. q Η δύναµη της τριβής δεν παράγει έργο επειδή δεν µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της. q Είναι η ροπή της δύναµης της τριβής που κάνει το σώµα να κυλά. Καθώς το σώµα κυλά προς τη βάση του κεκλιµένου επιπέδου θα έχουµε από διατήρηση της µηχανικής ενέργειας: U i g + K i = U g + K mgh + 0 = 0 + 1 mv + 1 I ω mgh = 1 mv Αλλά I = KmR 1+ I mr gh v = ( 1+ I ) mr (K εξαρτάται από το σώµα) v = gh ( ) = gh 1+ KmR 1+ K mr 1
Δυο οµοιόµορφοι συµπαγείς κύλινδροι έχουν διαφορετική µάζα και ροπή αδράνειας. Ξεκινούν από την κατάσταση της ηρεµίας από την κορυφή ενός κεκλιµένου επιπέδου κλίσης θ ως προς τον ορίζοντια διεύθυνση και κυλούν χωρίς να ολισθαίνουν προς τη βάση του επιπέδου. Ποιος κύλινδρος φθάνει πρώτος στη βάση του επιπέδου; (A) Ο κύλινδρος µε τη µεγαλύτερη µάζα (B) Ο κύλινδρος µε τη µικρότερη µάζα (Γ) Ο κύλινδρος µε τη µεγαλύτερη ροπή αδράνειας (Δ) Ο κύλινδρος µε τη µικρότερη ροπή αδράνειας (Ε) Οι δυο κύλινδροι φθάνουν µαζί Τα δυο σώµατα κατεβαίνουν µε την ίδια επιτάχυνση αφού: Εποµένως a = gsinθ ( k +1) τ = R = Iα = I a R R = Ia a = R I Αλλά Mgsinθ = Ma = Mgsinθ Ma Αντικατάσταση στην 1 η εξίσωση δίνει a = MR gsinθ I + MR Η ροπή αδράνειας είναι της µορφής: I = kmr ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 6 και άρα καλύπτουν ίσα διαστήµατα σε ίσους χρόνους και άρα φθάνουν ταυτόχρονα
Β τρόπος - Eνεργειακά ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 7 Από διατήρηση της µηχανικής ενέργειας (η τριβή δεν παράγει έργο αφού δεν µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της) έχουµε i i ΔE µηχ = ΔE κιν. + ΔU βaρ. = 0 ΔE κιν. = ΔU βaρ. E k E k = ( U g U g ) (1) Αλλά E k E k i = 1 mυ = 0 = U g ενώ U g i + 1 I ω = 1 mυ = mgh = mgs sinθ + 1 I υ R όπου υ = ω R ω = υ R Όπως προηγουµένως η ροπή αδράνειας ως προς το είναι: I = kmr Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της τελικής κινητικής ενέργειας έχουµε: E k = 1 mυ + 1 υ kmr R E k = 1 mυ Εποµένως από τις () και (3) η (1) γίνεται: 1 ( k + 1)mυ = mgh υ = gh k + 1 ( ) + 1 kmυ E k = 1 ( k + 1)mυ () (3) Η υ είναι ανεξάρτητη από τις διαστάσεις και µάζα του σώµατος!! Εξαρτάται µόνο από το k (σχήµα) Χρειαζόµαστε την επιτάχυνση. Αλλά από κινηµατική έχουµε ότι: υ = υ i + a ( x x 0 ) υ = a S gh k + 1 k + 1 a = gsinθ k + 1 ( ) ( ) = a S gssinθ ( ) = a S
Καρούλι σε επιφάνεια µε τριβή Ποια είναι η µέγιστη δύναµη F που µπορώ να τραβήξω το καρούλι πριν αυτό αρχίσει να γλιστρά Λύση τρ Ν Mg F H τριβή δίνει την ροπή για να κυλήσει το καρούλι. Το κέντρο του καρουλιού είναι το σηµείο στροφής Εποµένως µόνο η τριβή τρ, παράγει ροπή. τ = R = R με φορά F x = F = Ma x F y = N Mg = 0 ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 8 (1) () Η συνθήκη κύλισης είναι: τ z = R = I α z a x = α z R a τ z = I x R (3) τ = R τρ = I a x R a = R τρ (1) x F τρ = MR τρ τρ = I τρ max = µ s N = µ s Mg I F max = 3µ s Mg F 1+ MR I τρ = F 3 I = MR
ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 9 Καρούλι σε επιφάνεια µε τριβή (συνέχεια) Εποµένως αν F > F max = 3 τρ max = 3µ s Mg γλιστρά Τι σηµαίνει αυτό για την µέγιστη γραµµική επιτάχυνση α max? F max τρ max = Ma max 3 τρ max τρ max = τρ max = Ma max a max = max τρ M a max = M µ sg M a max = µ s g Ανεξάρτητη της μάζας Μ!
Ένα ακόµα παράδειγµα µε τροχαλίες ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 10 Μ r F τ z = Iα z = ( + F)r α z = ( + F)r I F = Ma x = Mα z r (1) () Αφαιρούµε την () από την (1) εξίσωση: + F F + = I α z r Mα zr = 1 Mr α z r Mα zr = 1 Mα zr Mα z r = 1 Mα zr = 1 4 Mα zr < 0 Σχεδιάσαµε την ανάποδα! Μ F Στην περίπτωση αυτή, η τριβή αντιτίθεται στην κύλιση και εποµένως η επιτάχυνση α x θα είναι µεγαλύτερη
Κύληση µε ολίσθηση - Παράδειγµα Σώµα ροπής αδράνειας I = KmR γλυστρά χωρίς να κυλά κατά µήκος µια λείας επιφάνειας. Το σώµα έχει αρχική ταχύτητα υ ολίσθησης. Κατά τη διαδροµή του το σώµα συναντά µια τραχιά επιφάνεια (συντελεστή τριβής µ κ. Αφού κινηθεί κατά µια απόσταση το σώµα αρχίζει να κυλά χωρίς να ολισθαίνει και η µεταφορική του ταχύτητα είναι υ κύλησης. Ποιος ο λόγος των ταχυτήτων υ κύλησης /υ ολίσθησης υ ολίσθησης µ κ >0 ω υ κύλησης Β Η τριβή αρχίζει να περιστρέφει το σώµα δίνοντας του µια γωνιακή ταχύτητα ω Η ω αυξάνει µε το χρόνο ενώ το σώµα εξακολουθεί να ολισθαίνει µέχρι τη στιγµή, η ω να πάρει τιµή ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: υ cm = ω R Εποµένως υπάρχει µια γωνιακή επιτάχυνση ώστε: ω = α Η ροπή της τριβής είναι: τ = R = Iα α = R I Η κινητική τριβή όµως είναι: = µ κ N = µ κ mg α = µ κ mgr I και επιβραδύνει το σώµα αφού αυτό ολισθαίνει: F x = ma cm = = ma cm Ν ω υ κύλησης µ κ mg = ma cm a cm = µ κ g Η επιβράδυνση αυτή ελαττώνει τη ταχύτητα του ΚΜ για όσο χρόνο, το σώµα περιστρέφεται ολισθαίνοντας: υ cm = υ ολισθ. cm a cm (υ ολισθ. είναι η ταχύτητα ολίσθησης) ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 11
Κύληση µε ολίσθηση - Παράδειγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 1 Έχουµε εποµένως τις εξισώσεις κίνησης: ω = α α = µ κ mgr I ω = µ κ mgr I γωνιακή ταχύτητα στεφανιού τη στιγµή a cm = µ κ g υ cm i = υ cm a cm υ cm = υ ολισθ. cm µ κ g µεταφορική ταχύτητα στεφανιού τη στιγµή Τη στιγµή, που το στεφάνι σταµατά να ολισθαίνει, η τριβή γίνεται στατική τριβή (σηµείο επαφής µε το έδαφος είναι στιγµιαία ακίνητο) και αρχίζει κύλιση χωρίς ολίσθηση: υ cm υ cm = ω R υ cm = µ κ mgr I = υ ολισθ. cm µ κ g Iυ cm µ κ mgr υ cm Αλλά I = KmR = = υ ολισθ. cm Iυ cm µ κ mgr ολισθ. και εποµένως: υ cm I mr υ cm και η υ cm ολισθ. υ cm = 1+ KmR mr υ cm = υ ολισθ. cm µ κ g = 1 + I mr ολισθ. υ cm υ cm γίνεται: = ( 1 + K )υ cm Η στατική τριβή δεν προκαλεί µεταβολή στη κινητική κατάσταση του σώµατος και η ταχύτητα του του παραµένει σταθερή