Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στους αγώνες drag, ο οδηγός θέλει να επιτύχει όσο γίνεται μεγαλύτερη επιτάχυνση. Σε απόσταση περίπου μισού χιλιομέτρου, το όχημα αναπτύσσει ταχύτητες κοντά στα 515 km/h, καλύπτοντας την απαιτούμενη απόσταση σε λιγότερο από 5 sec. (George Lepp/Stone/Getty Images) Κίνηση σε Μια Διάσταση Διανύσματα

Επανάληψη Θέση x : η τοποθεσία του σωματιδίου σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς (συχνά, η αρχή των αξόνων αναφοράς) Μονάδα μέτρησης: m (μέτρο) Μετατόπιση Δx: η αλλαγή στη θέση ενός σωματιδίου σε δεδομένο χρονικό διάστημα Δ x x f x i Διανυσματικά μεγέθη για ευκολία, κάνουμε τη σύμβαση προσήμου

Επανάληψη Μέση ταχύτητα: Διανυσματικό μέγεθος Κι εδώ, σύμβαση προσήμου Μέση αριθμητική ταχύτητα: όπου d η απόσταση Στιγμιαία ταχύτητα u avg x f x i = Δ x t f t i Δt s avg d Δt Δ x d x u x lim = Δt 0 Δt dt Διανυσματικό μέγεθος κι εδώ, σύμβαση προσήμου Μονάδα μέτρησης: m/s (μέτρο ανά δευτερόλεπτο)

Θέση σωματιδίου υπό σταθερή ταχύτητα u avg = u x = Δx Δt Άρα Δx = u x Δt x f x i = u x Δt x f = x i + u x Δt Αν θεωρήσουμε ότι t i = 0: Δt = t f t i = t f = t και τότε x f = x i + u x t Επίσης, το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό και ίσο με u = d Δt όπου d το μήκος της απόστασης που διανύθηκε

Επιτάχυνση Η μεταβολή της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου Μέση επιτάχυνση a x,avg Δu x Δt = u xf u xi t f t i Στιγμιαία επιτάχυνση Αφού όμως είναι Δu x a x lim Δt 0 Δt = du x dt d dt u x = d dt a x = d2 x dt 2 dx dt Μονάδα μέτρησης: m/s 2 (μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο)

Quiz 1: Βρείτε τα ζεύγη ταχύτητας-επιτάχυνσης Hint: Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν σχέση παραγώγουπαράγουσας

Quiz 2: Η θέση ενός σωματιδίου δίνεται από τη σχέση x = 4 27t + t 3 Βρείτε τη συνάρτηση ταχύτητας ως προς το χρόνο Βρείτε τη συνάρτηση επιτάχυνσης ως προς το χρόνο Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που το σωματίδιο είχε u = 0?

Επιτάχυνση όταν η ταχύτητα αλλάζει με το χρόνο Σταθερή ταχύτητα μηδενική επιτάχυνση Ταχύτητα και επιτάχυνση: διανύσματα Θετική και αρνητική ταχύτητα Θετική και αρνητική επιτάχυνση Τα πρόσημα υποδηλώνουν φορά! Παράδειγμα:

Ειδική περίπτωση: a x σταθερή Ορίζουμε θετική φορά κίνησης προς τα δεξιά Εξισώσεις Μονοδιάστατης Κίνησης υπό σταθερή επιτάχυνση: 1. u xf = u xi + a x t 2. u x,avg = u x i + u xf 2 3. x f = x i + 1 2 u x i + u xf t ή x f = x i + u x,avg t 4. x f = x i + u xi t + 1 2 a xt 2 5. u 2 xf = u 2 xi + 2a x (x f x i ) Οι δείκτες i και f δηλώνουν αρχική και τελική κατάσταση, ενώ ο δείκτης x δηλώνει μονοδιάστατη κίνηση σε έναν οριζόντιο άξονα x x

Απόδειξη: Αφού η επιτάχυνση είναι σταθερή, τότε a x,avg = a x Από τον ορισμό έχουμε a x = Δu x Δt = u x f u xi t f t i t i =0,t f =t u xf = u xi + a x t Άρα u xf = u xi + a x t

Απόδειξη: Αφού η επιτάχυνση είναι σταθερή, τότε η ταχύτητα (δηλ. το ολοκλήρωμά της) θα είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου Έτσι η μέση ταχύτητα μπορεί να εκφραστεί ως ο αριθμητικός μέσος της αρχικής ταχύτητας u x και της τελικής ταχύτητας i u x f Δηλ. u x avg = u xf + u x i 2 u x f u x i t i t f

Απόδειξη: Από την προηγούμενη σχέση, πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με t: Όμως u xavg t = u xf + u x i 2 t u xavg t = Δx = x f x i οπότε Λύνοντας ως προς x f : x f x i = u xf + u x i 2 t x f = x i + u xf + u x i 2 t

Απόδειξη: Έχουμε ήδη και Αντικαθιστώντας u xf = u xi + a x t x f = x i + u x f + u xi 2 t x f = x i + 1 2 u x i + a x t + u xi t Άρα = x i + u xi t + 1 2 a xt 2 x f = x i + u xi t + 1 2 a xt 2

Απόδειξη: Έχουμε και u xf = u xi + a x t t = u x f u xi a x Αντικαθιστώντας x f = x i + 1 2 u x f + u xi t και x f = x i + 1 2 u x f + u xi = x i + u x 2 f u2 xi 2a x u xf u xi a x u 2 xf = u 2 xi + 2a x x f x i

Δεν είναι απαραίτητη η χρήση διανυσμάτων στην κίνηση αυτή Είδατε ότι το τυπολόγιο της κίνησης ήταν χωρίς διανύσματα Προσοχή στην ερμηνεία των αρνητικών μεγεθών! Υπενθυμίζεται η σύμβαση ότι : ορίζουμε ως θετική φορά αυτή προς τα δεξιά Αντίστοιχα, αρνητική προς τα αριστερά Μην ξεχνάτε να ορίζετε το σημείο αναφοράς σας (t i = 0)! Ελεύθερη πτώση (κίνηση σε μια διάσταση κατακόρυφη) Επιτάχυνση βαρύτητας g = 9.8 m/s 2 με φορά προς τα κάτω Ίδια μεθοδολογία και εξισώσεις (x y) Συνήθως ορίζουμε θετική φορά κίνησης προς τα επάνω

Ελεύθερη πτώση: a y = g = 9. 8 m/s 2 σταθερή Ορίζουμε θετική φορά προς τα επάνω Εξισώσεις Ελεύθερης Πτώσης: 1. u yf = u yi gt 2. u y,avg = u y i + u yf 2 Οι δείκτες i και f δηλώνουν αρχική και τελική κατάσταση, ενώ ο δείκτης y δηλώνει μονοδιάστατη κίνηση σε έναν κατακόρυφο άξονα y y 3. y f = y i + 1 2 u y i + u yf t ή y f = y i + u y,avg t 4. y f = y i + u yi t 1 2 gt2 5. u 2 yf = u 2 yi 2g(y f y i ) Αν ορίσετε θετική φορά κίνησης προς τα κάτω (δηλ. με ίδια φορά με το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας), τότε όπου g θέτουμε g

Παράδειγμα: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Α) Θεωρώντας ότι αρχίζουμε να μετράμε όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας, βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στο μέγιστο ύψος. Β) Βρείτε αυτό το μέγιστο ύψος. Γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν επιστρέφει στο ύψος που έφυγε από τα χέρια μας. Δ) Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας όταν t = 5 s.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Α) Θεωρώντας ότι αρχίζουμε να μετράμε όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας, βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στο μέγιστο ύψος.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Β) Βρείτε αυτό το μέγιστο ύψος.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν επιστρέφει στο ύψος που έφυγε από τα χέρια μας.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Δ) Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας όταν t = 5 s.

Παράδειγμα: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα άνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Α) Θεωρώντας ότι αρχίζουμε να μετράμε όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας, βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στο μέγιστο ύψος. Β) Βρείτε αυτό το μέγιστο ύψος. Γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν επιστρέφει στο ύψος που έφυγε από τα χέρια μας. Δ) Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας όταν t = 5 s. Εξάσκηση: α) Λύστε τα Γ, Δ, με διαφορετικές αρχικές θέσεις. β) Λύστε ξανά τα ερωτήματα Γ, Δ, υποθέτοντας ότι t = 0 όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Β! (πρέπει να βρείτε τα ίδια αποτελέσματα)!

Τέλος Διάλεξης