ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ MARANGONI ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΞΑΤΜΙΣΗ ΛΕΠΤΩΝ ΥΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Σ.Κ. Σερπετσή, Σ.Γ. Γιάντσιος Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 54124 Θεσσαλονίκη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Εξετάζονται τα χαρακτηριστικά της αστάθειας Marangoni λόγω διαφοράς συγκέντρωσης σε λεπτό υμένα δύο συστατικών εκ των οποίων το ένα εξατμιζόμενο, μέσω της ανάλυσης γραμμικής ευστάθειας καθώς και με άμεσες αριθμητικές προσομοιώσεις. Ο κρίσιμος αριθμός Marangoni για την ανάπτυξη κυψελοειδών δομών με μικρή διεπιφανειακή παραμόρφωση βρέθηκε ότι είναι ανάλογος προς την αντίστροφη τετραγωνική ρίζα ενός αδιάστατου ρυθμού εξάτμισης. Εμφανίζεται μία μορφή αστάθειας που οφείλεται στην συντονισμένη δράση της τριχοειδούς πίεσης και των τάσεων Marangoni και εκδηλώνεται ως ταλαντωτική συμπεριφορά μεγάλου μήκους κύματος που οδηγεί σε γρήγορη εξομάλυνση των διαταραχών του πάχους του υμένα και ακόλουθη αντιστροφή. Ο συγκεκριμένος τύπος αστάθειας εμφανίζεται για ένα εύρος κυματαριθμών που καθορίζεται από τον παράγοντα της εξάτμισης και τον τριχοειδή αριθμό με μεγάλη πιθανότητα να παρατηρηθεί για σχετικά μικρούς αριθμούς Marangoni διότι σε άλλη περίπτωση υπερισχύει η κυψελοειδής διαμόρφωση. Στη συνέχεια, θεωρείται παραμορφώσιμη ελεύθερη επιφάνεια και λαμβάνεται υπόψη η ισχυρή εξάρτηση του ιξώδους από τη συγκέντρωση του μη πτητικού συστατικού. Από τις προσομοιώσεις προκύπτει ότι η παραμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας, που μειώνεται λόγω της τριχοειδούς πίεσης, αποκτά μέγεθος ανάλογο προς τον τριχοειδή αριθμό. Μείωση του τριχοειδούς αριθμού αναστέλλει την διεπιφανειακή παραμόρφωση ευνοώντας τον σχηματισμό ανωστικών ρευμάτων που ενισχύουν την ανάμιξη του μη πτητικού συστατικού. Η συναγωγή Bénard- Marangoni προκαλεί ανομοιομορφία στη συγκέντρωση του συστατικού που δεν εξατμίζεται και το μεταβλητό ιξώδες έχει ως αποτέλεσμα την συσσώρευση του μη πτητικού στην περιφέρεια των κελιών συναγωγής που παρατηρείται μέχρι το τέλος της εξάτμισης. Τα αποτελέσματα βρίσκονται σε συμφωνία με πειραματικές παρατηρήσεις και με τη βιβλιογραφία προτείνοντας ότι πτυχώσεις μπορούν να παρατηρηθούν στην ελεύθερη επιφάνεια λόγω της συναγωγής Bénard- Marangoni. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα φαινόμενα Marangoni αναφέρονται στην εμφάνιση ροής και συναγωγής λόγω μεταβολών στην επιφανειακή τάση ενός υγρού και προκύπτουν κυρίως εξαιτίας μη ομοιόμορφης διεπιφανειακής θερμοκρασίας ή σύστασης. Τα εν λόγω φαινόμενα έχουν σημαντικές τεχνολογικές εφαρμογές σε σύγχρονους τομείς όπως η νανοτεχνολογία (δημιουργία επικαλύψεων σε επιφάνειες για προστασία ή πρόσδοση επιθυμητών ιδιοτήτων, ανάπτυξη λεπτών υμένων πολυμερών ως οργανικών φωτοβολταϊκών και φωτοδιόδων) [1], η βιοϊατρική (προστασία του κερατοειδούς χιτώνα μέσω του δακρυϊκού υμένα ή του υμένα που καλύπτει τις κυψελίδες των πνευμόνων) [2]. Ενδεικτικά παραδείγματα αποτελούν οι υγροί υμένες που ελέγχουν τους ρυθμούς μεταφοράς σε διεργασίες μεταφοράς θερμότητας και μάζας με αλλαγή φάσης ή ρυθμίζουν την εξέλιξη και τη σταθερότητα αφρών, γαλακτωμάτων και αιωρημάτων σε διεργασίες καθίζησης και επίπλευσης. Η πρωτοποριακή θεωρητική μελέτη αποδίδεται στον Pearson [3] ο οποίος πραγματοποίησε ανάλυση γραμμικής ευστάθειας των εξισώσεων κίνησης και μεταφοράς ενέργειας σε λεπτό υμένα με επίπεδη ελεύθερη επιφάνεια κατά μήκος της λεπτής διάστασης του οποίου είχε επιβάλλει θερμοκρασιακή κλίση. Έδειξε ότι οι θερμικώς προκαλούμενες κλίσεις επιφανειακής τάσης οδηγούν σε κυψελοειδή κίνηση του ρευστού με πεπερασμένο μήκος κύματος όταν ο χαρακτηριστικός αριθμός Marangoni υπερβεί μία κρίσιμη τιμή. Τον Pearson ακολούθησαν οι Scriven and Sterling [4] με πιο εκτεταμένη ανάλυση που λάμβανε υπόψη την παραμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας και έδειξαν ότι είναι πιθανός ένας δεύτερος τύπος αστάθειας για μικρούς αριθμούς Marangoni και μεγάλου μήκους κύματος διαταραχές. Πρώτος ο de Gennes [5] πρότεινε έναν μηχανισμό αστάθειας σε εξατμιζόμενους υμένες πολυμερών διαλυμάτων λόγω της κλίσης επιφανειακής τάσης που οφείλεται σε διαφορές στη σύσταση. Πιο συγκεκριμένα, παρατήρησε ότι αναπτύσσεται στρωμάτωση του πολυμερούς κατά μήκος της λεπτής διάστασης του υμένα καθώς εξατμίζεται ο διαλύτης. Η γέννηση διαταραχής με τη μορφή ρεύματος πλούσιου σε διαλύτη που αυξάνει προς την ελεύθερη επιφάνεια ενισχύεται λόγω των κλίσεων επιφανειακής τάσης και διατηρείται με την προϋπόθεση ότι το ρευστό πλούσιο σε διαλύτη έχει χαμηλότερη επιφανειακή τάση.
Η μεταβολή του ιξώδους με τη συγκέντρωση του μη πτητικού συστατικού λήφθηκε υπόψη από τους Doumenc et al. [6] με την παραδοχή της επίπεδης διεπιφάνειας σε μία προσπάθεια εξήγησης μέσω υπολογιστικών προσομοιώσεων και πειραμάτων της εμφάνισης πτυχώσεων στην ελεύθερη επιφάνεια του υμένα στο τέλος της ξήρανσης. Αξιόλογα πειράματα εκτελέστηκαν από τους Bassou and Rharbi [7] με διαλύματα πολυστυρενίου/τολουολίου τα οποία υπέδειξαν ισχυρή συσχέτιση μεταξύ της μορφολογίας των κυψελών συναγωγής και της τελικής διαμόρφωσης με πτυχώσεις του ξηρού υμένα. Ως συμπέρασμα, η μορφολογία του υμένα οφείλεται στη συναγωγή λόγω ανομοιομορφιών στη σύσταση η οποία αναδιανέμει το μη πτητικό συστατικό κατά μήκος του λεπτού υμένα ο οποίος ενδεχομένως να παγώσει τη στιγμή που η μεγαλύτερη ποσότητα του διαλύτη έχει απομακρυνθεί λόγω εξάτμισης. ΔΙΕΠΟΥΣΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα φαινόμενα περιγράφονται από ένα μοντέλο στο οποίο γίνεται η θεώρηση ενός νευτωνικού και ασυμπίεστου υγρού υμένα ο οποίος περιέχει διαλυμένο πολυμερές. Ο υμένας βρίσκεται ακίνητος σε επίπεδο οριζόντιο υπόστρωμα, ενώ ο πτητικός διαλύτης εξατμίζεται στην υπερκείμενη αέρια φάση με σταθερό ρυθμό εξάτμισης Ε. Θεωρείται ότι η επιφανειακή τάση είναι γραμμική συνάρτηση της συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού και ότι η επιφανειακή τάση του μη πτητικού συστατικού είναι υψηλότερη συγκριτικά με τον διαλύτη. Το αρχικό μέσο πάχος του υμένα είναι H o, ενώ το αρχικό κλάσμα όγκου του μη πτητικού συστατικού είναι ω ο. Η εξίσωση που διέπει την κίνηση του ρευστού, σε αδιάστατη μορφή είναι: η οποία μαζί με την εξίσωση συνέχειας μ (1) καθορίζει το πεδίο ταχύτητας. Ο αριθμός Schmidt ορίζεται μέσω της σχέσης όπου D η διαχυτότητα, ενώ ο αριθμός Marangoni μέσω της σχέσης Οι παραπάνω εξισώσεις συμπληρώνονται από τη συνθήκη μη-ολίσθησης στο υπόστρωμα και από την ισορροπία τάσεων στη διεπιφάνεια (2) (3) (4) (5) όπου τ ο τανυστής ιξώδους τάσης του υγρού, n το κάθετο διάνυσμα στη διεπιφάνεια με κατεύθυνση προς το αέριο, ω το αδιάστατο κλάσμα μάζας του πολυμερούς και h το τοπικό αδιάστατο πάχους του υμένα. Ο τριχοειδής αριθμός ορίζεται ως (6) ενώ ο τροποποιημένος αριθμός Bond είναι (7) που εκφράζει την επίδραση της βαρύτητας. Η σταδιακή συρρίκνωση του υγρού υμένα περιγράφεται μέσω της κινηματικής συνθήκης σε όρους στιγμιαίου τοπικού πάχους Η εξίσωση μεταφοράς για το μη πτητικό συστατικό έχει ως εξής (8) ω (9)
Ενώ η συνθήκη μη εξάτμισης μέσω της ελεύθερης επιφάνειας για το μη πτητικό συστατικό είναι Συνοπτικά, το πρόβλημα που θεωρείται εδώ, χαρακτηρίζεται από τέσσερις αδιάστατες παραμέτρους. Στην ανάλυση που πραγματοποιήθηκε για την μελέτη των χαρακτηριστικών της αστάθειας Marangoni οι παράμετροι M, E, Ca κυμάνθηκαν σε ένα εύρος 1-14, 1-5 -1-3, 1-4 -1 αντίστοιχα, ενώ ο αριθμός Sc διατηρήθηκε σταθερός στην τιμή 1. Για την μελέτη της επίδρασης της μεταβολής του ιξώδους με τη συγκέντρωση το εύρος των τιμών των αριθμών M, Ca ήταν 3-4,.5-.5 αντίστοιχα, ενώ ο αριθμός Sc και η παράμετρος εξάτμισης έλαβαν τις τιμές 2 1 5 και 5 1-4 αντίστοιχα. Το αρχικό κλάσμα όγκου του μη πτητικού συστατικού λήφθηκε ίσο προς.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Α. Κύρια χαρακτηριστικά της αστάθειας Για την απόκτηση πλήρους εικόνας των χαρακτηριστικών της αστάθειας, μελετήθηκε πρώτα η συμπεριφορά ενός συστήματος με μη-παραμορφώσιμη διεπιφάνεια και η εξάρτηση του κρίσιμου αριθμού Marangoni από τον κυματαριθμό και το ρυθμό εξάτμισης Ε. Διερευνάται ως εκ τούτου, το όριο για οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του οποίου παρατηρείται ρυθμός αύξησης μεγαλύτερος κατά έναν παράγοντα της χρονικής κλίμακας της εξάτμισης. Παράλληλα με την ανάλυση γραμμικής ευστάθειας διεξήχθησαν άμεσες αριθμητικές προσομοιώσεις μέσω επιβολής ημιτονοειδών διαταραχών στο πλευρικά ομοιόμορφο πεδίο συγκέντρωσης προκειμένου να ταυτοποιηθούν τα ίδια όρια ευστάθειας. Όπως προτείνεται μέσω του σχήματος 1, τα αποτελέσματα συμφωνούν με τα αντίστοιχα της ανάλυσης γραμμικής ευστάθειας. Παρατηρείται αύξηση του κρίσιμου αριθμού Marangoni με μείωση του ρυθμού εξάτμισης που ποσοτικά εκφράζεται μέσω μίας αναλογίας της μορφής. Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο, διότι το μέγεθος του ρυθμού εξάτμισης σχετίζεται με το μέγεθος των αναπτυσσόμενων κλίσεων συγκέντρωσης. Σε αναλογία με την ανάλυση θερμοτριχοειδούς αστάθειας που πραγματοποιήθηκε από τον Pearson, η υπόθεση της σταθερότητας του τροποποιημένου αριθμού Marangoni (1) οδηγεί απευθείας στο παρατηρούμενο αποτέλεσμα. Οι άμεσες αριθμητικές προσομοιώσεις, όπως φαίνεται στο σχήμα 2, δείχνουν ότι οι κυψελοειδείς δομές εμφανίζονται και διατηρούνται καθόλη την διάρκεια της ξήρανσης του υμένα παρά το γεγονός ότι αρχικά είχε εισαχθεί διαταραχή μεγάλου μήκους κύματος. Ένα δεύτερο είδος αστάθειας εμφανίζεται όταν η ελεύθερη επιφάνεια του υμένα θεωρηθεί παραμορφώσιμη. Η αστάθεια αυτή είναι αντίστοιχη αυτής που προτάθηκε από τους Scriven and Sternling [4]. Στην ενδεικτική προσομοίωση του σχήματος 3 εισάγεται αρχικά ημιτονοειδής διαταραχή στο πάχος του υμένα και παρουσιάζεται το εύρος παραμόρφωσης συναρτήσει του χρόνου σε λογαριθμικές συντεταγμένες. Το σχήμα των καμπυλών είναι ανάλογο των θεωρητικών και πειραματικών παρατηρήσεων που παρουσιάζονται από τους Overdiep, Howison et al. [1,11] και που είναι γνωστά ως "leveling of paints". Όπως προκύπτει, ο αριθμός Marangoni έχει σχετικά μικρή επίδραση στο εύρος των αντεστραμμένων διαταραχών και ακόμη μικρότερη στο χρόνο αντιστροφής. Πιο σημαντική εμφανίζεται να είναι η επίδραση της παραμέτρου εξάτμισης. Η επιβαλλόμενη μικρή διαταραχή στο πάχος του υμένα αρχικά φθίνει λόγω της τριχοειδούς πίεσης αλλά Σχήμα 1. Η εξάρτηση του κρίσιμου αριθμού Marangoni από την παράμετρο εξάτμισης
ταυτόχρονα αναπτύσσονται πλευρικές ανομοιομορφίες στη συγκέντρωση οι οποίες δημιουργούν τάσεις Marangoni. Οι τάσεις τελικά υπερισχύουν των δυνάμεων τριχοειδούς πίεσης και προκαλούν ανομοιόμορφη λέπτυνση του υμένα. Τα δύο φαινόμενα, η ανομοιόμορφη λέπτυνση και οι ανομοιομορφίες συγκέντρωσης, αλληλοεπιταχύνονται. Τελικά, αναπτύσσονται δομές υπό μορφή στηλών μεγαλύτερου πάχους πιο αραιού ρευστού που περιβάλλονται από λεπτότερες, υψηλότερης συγκέντρωσης σε ρευστό. Τα παραπάνω δύο είδη αστάθειας ισχύουν υπό την προϋπόθεση της θετικής διαφοράς στην επιφανειακή τάση μεταξύ πτητικού και μη πτητικού συστατικού. Στην περίπτωση που η επιφανειακή τάση του μη πτητικού συστατικού έχει χαμηλότερη τιμή σε σχέση με τον διαλύτη, οι ''κοιλότητες'' που σχηματίζονται στην ελεύθερη επιφάνεια του υμένα και χαρακτηρίζονται από υψηλή συγκέντρωση έχουν χαμηλότερη επιφανειακή τάση από τις αραιότερες υπερυψωμένες περιοχές. Το αποτέλεσμα είναι η ενίσχυση των ανομοιομορφιών λόγω των κλίσεων της επιφανειακής τάσης οι οποίες ανταγωνίζονται την δράση της τριχοειδούς πίεσης προς την εξάλειψη των ανομοιομορφιών στην επιφάνεια του υμένα. Τα συστήματα αυτά, δεν υπόκεινται σε αστάθειες εφόσον ευνοείται η ανάπτυξη των διαταραχών. Στο σχήμα 4 απεικονίζεται η εν λόγω συμπεριφορά μέσω του γραφήματος της διαταραχής του πάχους του υμένα συναρτήσει του χρόνου. Η αρχική εξάλειψη των υψομετρικών διαφορών λόγω της τριχοειδούς πίεσης ακολουθείται από αύξηση που οφείλεται στη δράση των τάσεων Marangoni. Για την ανάπτυξη πλευρικών ανομοιομορφιών στη συγκέντρωση απαιτείται αποτελεσματική ανάμιξη κατά μήκος του πάχους του υμένα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο καθώς αύξηση του αριθμού Marangoni προκαλεί υστέρηση των φαινομένων και ανάπτυξη με πιο αργό ρυθμό. Μπορεί να προταθεί ότι ο μηχανισμός μεγάλου μήκους κύματος της αστάθειας Marangoni που προκαλεί την παραμόρφωση μπορεί να ευθύνεται για την δημιουργία δομών μεγάλου μήκους κύματος σε εξατμιζόμενους υμένες πολυμερών διαλυμάτων. Σχήμα 2. Κατανομές συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού, Ca=.1, Μ=7, E=1-3 Σχήμα 3. Εύρος διεπιφανειακής παραμόρφωσης συναρτήσει του χρόνου ξήρανσης, wavenumber=.6 Σχήμα 4. Εύρος διεπιφανειακής παραμόρφωσης συναρτήσει του χρόνου ξήρανσης, wavenumber=.7
Β. Επίδραση της μεταβολής του ιξώδους με τη συγκέντρωση Στη συνέχεια παρατίθενται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις προσομοιώσεις στις οποίες το ιξώδες μεταβαλλόταν με τη συγκέντρωση του μη πτητικού συστατικού σύμφωνα με τη σχέση Όπου και a=(8.235, 14.2, 6.575, 1.392,.1114). Στο σχήμα 5 παρουσιάζεται ένα μέτρο της παραμόρφωσης της ελεύθερης επιφάνειας συναρτήσει του χρόνου για τρεις τιμές τριχοειδούς αριθμού και διάφορους αριθμούς Marangoni. Είναι αξιοσημείωτο ότι το μέγεθος της τελικής παραμόρφωσης είναι ανάλογο προς τον τριχοειδή αριθμό, γεγονός που καθιστά την συγκεκριμένη παράμετρο κυρίαρχη. Για την χαμηλότερη τιμή τριχοειδούς αριθμού η παραμόρφωση έχει ιδιαίτερα χαμηλή τιμή καθόλη την διάρκεια της προσομοίωσης. Εξάγεται επομένως το συμπέρασμα ότι οι ισχυρές τριχοειδείς δυνάμεις εμποδίζουν την διεπιφανειακή παραμόρφωση. Κατά συνέπεια, η παραμόρφωση του υμένα δεν αποτελεί τον κυρίαρχο παράγοντα εμφάνισης των κυματισμών. Για να τονισθούν οι επιδράσεις του τριχοειδούς αριθμού, καθώς και του αριθμού Marangoni, παρουσιάζεται στο σχήμα 6 η εξέλιξη των κατανομών συγκέντρωσης κατά την διάρκεια της ξήρανσης για δύο διαφορετικές τιμές αριθμών Marangoni και τριχοειδούς αριθμού. Η άμεση επίδραση της εξάτμισης είναι η ανάπτυξη κατακόρυφων κλίσεων συγκέντρωσης. Για υψηλή τιμή τριχοειδούς αριθμού, η μικρή αντίσταση της διεπιφάνειας στην παραμόρφωση προάγει την ταχεία συλλογή του υψηλής συγκέντρωσης στρώματος της κορυφής και παρατηρείται παράλληλα σημαντική παραμόρφωση της διεπιφάνειας με σχηματισμό δύο επιφανειακών στρωμάτων υψηλής συγκέντρωσης την χρονική στιγμή t=2 που διατηρούνται έως το τέλος της προσομοίωσης. Προφανής είναι επίσης η ύπαρξη δευτερογενών δομών οι οποίες απορροφώνται συνεχώς από τις μεγαλύτερες και πιο μόνιμες. Μείωση του τριχοειδούς αριθμού αναστέλλει την επιφανειακή παραμόρφωση. (11) h max -h min.6.4.2 3 5 1 5, =1 (a) Ca=.5 h max -h min.6 2 4 6 8 (b) Ca=.1 5 1 t 1.4 2.2 h max -h min.6 2 4 t 6 (c) 8 Ca=.5 1.4.2 2 4 6 8 1 t Σχήμα 5. Επίδραση του τριχοειδούς αριθμού στην διεπιφανειακή παραμόρφωση συναρτήσει του χρόνου για διάφορους αριθμούς Marangoni Σχήμα 6. Διαδοχικά στιγμιότυπα των κατανομών συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού
Στο σχήμα 7 παρατίθενται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για τριχοειδή αριθμό ίσο προς.5 και αυξανόμενο αριθμό Marangoni που αφορούν στην κατανομή συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού σε διάφορες χρονικές στιγμές κατά την διάρκεια της ξήρανσης. Όπως παρατηρείται, για σχετικά την χαμηλή τιμή 3 του αριθμού Marangoni η αστάθεια αναπτύσσεται μετά βίας και ως εκ τούτου δεν προκαλεί σημαντική διάτμηση και παραμόρφωση του αναπτυσσόμενου στρώματος υψηλής συγκέντρωσης μη πτητικού κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια. Καθώς ο αριθμός Marangoni αυξάνει, οι δομές εμφανίζονται λεπτότερες σε πιο πρώιμο στάδιο και συνενώνονται σε μεγαλύτερες. Επιπλέον, εντός των μεγαλύτερου μεγέθους δομών εμφανίζονται μικρότερες, δευτερογενείς δομές για υψηλές τιμές αριθμού Marangoni σχεδόν καθόλη την διάρκεια της προσομοίωσης. Ο αριθμός των κυψελών για αριθμό Marangoni ίσο προς 4 εμφανίζεται αυξημένος. Για να τονισθεί η επίδραση της μεταβολής του ιξώδους στην κατανομή του μη πτητικού συστατικού κατά μήκος του υμένα διεξήχθησαν προσομοιώσεις στις οποίες το ιξώδες διατηρήθηκε σταθερό, ανεξάρτητο της συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού, καθώς και αντίστοιχες στις οποίες το ιξώδες μεταβαλλόταν. Το εύρος των τιμών του αριθμού Marangoni κυμάνθηκε μεταξύ 5 και 2. Το συμπέρασμα που εξήχθηκε είναι ότι οι διαφορές που εμφανίζονται στις προσομοιώσεις για μεταβαλλόμενο ιξώδες είναι περισσότερο έντονες για σχετικά χαμηλές τιμές του αριθμού Marangoni. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό που διαχωρίζει τις δύο περιπτώσεις είναι η έντονη καθοδική κίνηση που εκκινεί από τα σημεία που αντιστοιχούν σε περιοχές υψηλής συγκέντρωσης και αφορά την περίπτωση του σταθερού ιξώδους. Το αντίθετο συμβαίνει όταν το ιξώδες αυξάνει με αύξηση της συγκέντρωσης. Η καθοδική κίνηση σχεδόν εκλείπει στα σημεία μέγιστης συγκέντρωσης. Όλα τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά προτείνουν ότι η επίδραση του ιξώδους είναι σημαντική στην προώθηση της ανομοιομορφίας της κατανομής του μη πτητικού συστατικού κατά μήκος του υμένα. Σχήμα 7. Διαδοχικά στιγμιότυπα των κατανομών συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού 2 h dry 1 2 M=3 M=2 M=4 x h dry 1 M=3 M=1 M=2 x Σχήμα 8. Πάχος ξηρού υμένα βάσει της πλευρικής κατανομής του μη πτητικού συστατικού για μεταβλητό (επάνω) και σταθερό (κάτω) ιξώδες και διάφορους αριθμούς Marangoni, t=1, Ca=.5
Στο σχήμα 8 προβάλλεται το προβλεπόμενο τελικό πάχος του υμένα κατά μήκος της ελεύθερης επιφάνειας. Εμφανίζονται σημαντικές διαφορές στο τελικό πάχος, της τάξης μεγέθους της μέσης τιμής και αυτό συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που το ιξώδες μεταβάλλεται με την συγκέντρωση του μη πτητικού συστατικού. Τα αποτελέσματα συμφωνούν με τις τάξεις μεγέθους που έχουν ληφθεί κατά την διεξαγωγή αντίστοιχων πειραμάτων [7]. Γ.ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ-ΔΟΜΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΝ Μελετήθηκε τέλος η χρονομεταβαλλόμενη συναγωγή Marangoni λόγω διαφορών στην συγκέντρωση σε λεπτό υμένα δύο συστατικών εκ των οποίων το ένα εξατμιζόμενο, για την περίπτωση επίπεδης ελεύθερης επιφάνειας, σταθερών ιδιοτήτων μίγματος και τρισδιάστατης γεωμετρίας. Οι εξεταζόμενες παράμετροι του προβλήματος εν προκειμένω ήταν ο αριθμός Marangoni που κυμάνθηκε σε εύρος 3-1 και ο ρυθμός εξάτμισης ο οποίος είχε σταθερή τιμή σε όλες τις προσομοιώσεις ίση προς 5 1-4. Από την μελέτη της δυναμικής εξέλιξης των κελίων συναγωγής προέκυψε αύξηση του σχηματιζόμενου αριθμού κελίων με αύξηση του αριθμού Marangoni. Επίσης, παρατηρήθηκε μετά την εμφάνιση των πρώτων δομών, συνένωση των ισχυρότερων σε μεγαλύτερες και εξάλειψη των λιγότερο έντονων. Το μέγεθος των δομών, που θα μπορούσαν να χαρακτηρισθούν πολυγωνικού σχήματος, πιθανότατα αυξάνει όταν ροή από τον κύριο όγκο του ρευστού φτάνει στην ελεύθερη επιφάνεια και αντίστοιχα στην περιοχή όπου η ροή από την ελεύθερη επιφάνεια κατευθύνεται καθοδικά προς τον κύριο όγκο του ρευστού παρατηρείται συμπίεση του κελίου. Το μέγεθος των τάσεων Marangoni επηρεάζει τον προσανατολισμό των δομών γεγονός που επιβεβαιώνεται από την εμφάνιση δομών διαφορετικής μορφής τύπου κυμάτων για μεγαλύτερες τιμές του αριθμού Marangoni. Κατά περιπτώσεις, αύξηση του αριθμού Marangoni οδηγεί σε διαχωρισμό των κυψελών σε μικρότερου μεγέθους. Η συναγωγή προάγει την έντονη ανάμιξη, ενισχύοντας την μεταφορά μάζας, εξαλείφοντας ταυτόχρονα της κλίσεις συγκέντρωσης. Ως εκ τούτου, αφού επέλθει ορισμένο χρονικό διάστημα η ωθούσα τάση Marangoni λαμβάνει τιμή χαμηλότερη της κρίσιμης και η κυψέλη συναγωγής καταρρέει. Οι περιοχές χαμηλής επιφανειακής τάσης εμφανίζονται διότι απαιτείται ορισμένο χρονικό διάστημα αποκατάστασης των κλίσεων συγκέντρωσης οι οποίες ανά διαστήματα εξαλείφονται. Για αριθμό Marangoni 5 παρατηρήθηκε μία ανενεργή (στάσιμη) περιοχή (stagnation point) στις σχηματιζόμενες κυψέλες και αυτό προκύπτει λόγω των πολύ χαμηλών (σχεδόν μηδενικών) ταχυτήτων και τάσεων Marangoni στο κέντρο της κυψέλης. Σχήμα 9. Σύγκριση των κατανομών συγκέντρωσης του πολυμερούς στην ελεύθερη επιφάνεια του υμένα μετά των σχηματισμό των κελίων συναγωγής με αντίστοιχα αποτελέσματα από τη βιβλιογραφία (αριστερά [12], δεξιά [13]) Σχήμα 1. Κατανομή ταχυτήτων στο εσωτερικό των κελίων συναγωγής (αριστερά [14])
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι δύο τύποι αστάθειας που παρουσιάσθηκαν και οδηγούν στην ανάπτυξη κυψελοειδών δομών ή στην ταλαντωτική απόσβεση της παραμόρφωσης της διεπιφάνειας είναι αντίστοιχες των ασταθειών κατά Pearson [3] και κατά Scriven και Sternling [4] για θερμοτριχοειδή συστήματα. Αυτές προκύπτουν όταν η επιφανειακή τάση αυξάνει με αύξηση της συγκέντρωσης του μη πτητικού συστατικού, ενώ στην αντίθετη περίπτωση μειούμενης επιφανειακής τάσης προκύπτει μία μόνο αστάθεια μεγάλου μήκους κύματος που προκαλεί την παραμόρφωση και οδηγεί σε μονοτονική αύξηση των διαταραχών του πάχους και ανομοιόμορφη ξήρανση του υμένα [8]. Η τάξη μεγέθους της επιφανειακής παραμόρφωσης είναι ανάλογη του τριχοειδούς αριθμού, μείωση του οποίου αναστέλλει την παραμόρφωση μέσω του σχηματισμού ανωστικών ρευμάτων που ενισχύουν την ανάμιξη του μη πτητικού συστατικού. Σύγκριση των προσομοιώσεων για σταθερό και μεταβλητό ιξώδες προτείνει ότι η επίδραση του ιξώδους είναι σημαντική λόγω του ότι προάγει την μη ομοιόμορφη κατανομή του μη πτητικού συστατικού κατά μήκος του υμένα και οδηγεί στην συσσώρευσή του η οποία συμβαίνει καθόλη την διάρκεια της προσομοίωσης. Υψηλή συγκέντρωση μη πτητικού προκαλεί μείωση της ταχύτητας λόγω του υψηλού ιξώδους και το σύστημα παγώνει. Το εύρος των κυματισμών που δημιουργούνται είναι σε συμφωνία με τις πειραματικές παρατηρήσεις [9]. Τέλος, τα έως τώρα αποτελέσματα από τις προσομοιώσεις σε τρισδιάστατη γεωμετρία βρίσκονται σε συμφωνία με αντίστοιχα της βιβλιογραφίας και αποτελούν κίνητρο για περαιτέρω διερεύνηση πολυπλοκότερων δομών συνδυαστικά με ποσοτικές μετρήσεις. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. Heriot S.Y. and Jones R.A.L., Nature Materials, 4:782 (25). [2]. Jensen O.E. and Grotberg J.B., Phys. Fluids, 5:58 (1993). [3]. Pearson J.R.A., J. Fluid Mech., 4:489 (1958). [4]. Scriven L.E. and Sterling C.V., J. Fluid Mech., 19:321 (1964). [5]. De Gennes P.G., Eur. Phys. J., 6:421 (21). [6]. Doumenc F., Chénier E., Trouette B., Boeck T., Delcarte C., Guerrier B., and Rossi M., Int. J. Heat Mass Transfer, 63 :336 (213). [7]. Bassou N. and Rharbi Y., Langmuir, 25:624 (29). [8]. Serpetsi S.K. and Yiantsios S.G., Phys. Fluids, 24:12214 (212). [9]. Yiantsios S.G., Serpetsi S.K., Doumenc F., Mergui S. and Guerrier B., 7 th Conference of the International Marangoni Association, Vienna (214), p.129. [1].Overdiep W.S., Prog. Org. Coatings, 14:159 (1986) [11].Howison S.D., Moriarty J.A., Ockendon J.R., Terrill E.L, and Wilson S.K., J. Eng. Math. 32:377 (1997) [12].Orell A. and Westwater J.W., A.I.Ch.E Journal, 8:35 (1962) [13].Köllner T., Schwarzenberger K., Eckert K., and Boeck T., Phys. Fluids, 25:9219 (213) [14].Schwarzenberger K., Köllner T., Linde H., Boeck T., Odenbach S. and Eckert K., Adv. Colloid Interface Sci. 26:344 (214)