H ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

H ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασιλική Μαρία Πανάτσα Μεταπτυχιακή φοιτήτρια, Π.Τ.Δ.Ε., Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας bessiepan@yahoo.gr Περίληψη Στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης, ο παιδαγωγικός λόγος τονίζει την ανάγκη για «εννοιολογική κατανόηση», η οποία αφορά την ικανότητα των μαθητών να κατασκευάζουν συνδέσεις μεταξύ των μαθηματικών εννοιών. Η εννοιολογική χαρτογράφηση, που κέρδισε την προσοχή της ερευνητικής και εκπαιδευτικής κοινότητας τις τελευταίες δεκαετίες, αποτελεί ένα εργαλείο το οποίο οι εκπαιδευτικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών, προκειμένου να αποκτήσουν πρόσβαση στο περίπλοκο δίκτυο γνώσεων των μαθητών τους. Σκοπός της παρούσας ανακοίνωσης είναι η ανάδειξη της αξίας των εννοιολογικών χαρτών ως ι- σχυρό εργαλείο διδασκαλίας, μάθησης και αξιολόγησης στο μάθημα των Μαθηματικών. Abstract In mathematical education, pedagogical reason stresses the need for "conceptual understanding" which refers to the ability of students to form connections between mathematical concepts. Conceptual mapping, which has gained the attention of the research and educational community in recent decades, is a tool which teachers can use in teaching mathematics so as to gain access to the complex knowledge network of their students. The purpose of this announcement is to highlight the value of concept maps as a powerful tool of teaching, learning and assessment in the mathematics classroom.

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 851 Εισαγωγή Οι τελευταίες εξελίξεις στο χώρο της Γνωστικής Ψυχολογίας υποστηρίζουν εμφατικά πως οι γνώσεις πρέπει να αλληλοσυνδέονται. Ως προς τον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης πιο συγκεκριμένα, κατά τις τελευταίες δεκαετίες ο παιδαγωγικός λόγος και τα αναλυτικά προγράμματα τονίζουν την ανάγκη για «εννοιολογική κατανόηση», η οποία αφορά την ικανότητα των μαθητών να κατασκευάζουν συνδέσεις μεταξύ των μαθηματικών εννοιών που διδάσκονται (Haiyue & Khoon Yoong, 2010). Oι μαθηματικές έννοιες οι οποίες αλληλοσυσχετίζονται και αλληλοσυνδέονται παίρνουν τη μορφή «συνεκτικών δικτύων γνώσης» (Haiyue & Khoon Yoong, 2010, 232). Θεωρείται πως όσες περισσότερες συνδέσεις υπάρχουν μεταξύ γεγονότων, διαδικασιών και ιδεών στα δίκτυα αυτά, τόσο βαθύτερη είναι η κατανόηση των μαθητών (Hiebert & Carpenter, 1992). Όταν, αντίθετα, οι μαθητές δεν έχουν επαρκείς γνώσεις ή χρόνο να κατασκευάσουν δίκτυα γνώσεων με νόημα συχνά καταλήγουν σε μηχανικές διαδικασίες αποστήθισης (Williams, 1995). Ένα κρίσιμο ερώτημα που προκύπτει από τα παραπάνω, λοιπόν, είναι ο τρόπος με τον οποίο οι εκπαιδευτικοί μπορούν να έχουν πρόσβαση σε αυτό το περίπλοκο δίκτυο γνώσεων των μαθητών τους, προκειμένου να το αξιοποιήσουν εποικοδομητικά στη διδακτική διαδικασία. Προς την κατεύθυνση αυτή, ένα εργαλείο που κέρδισε την προσοχή της ερευνητικής και εκπαιδευτικής κοινότητας τις τελευταίες δεκαετίες αποτελεί η εννοιολογική χαρτογράφηση (conceptual mapping), η οποία μπορεί να παράσχει μια οπτική α- ναπαράσταση των γνωστικών δομών ενός ατόμου πάνω σε ένα συγκεκριμένο πεδίο γνώσης (Chiu & Lin, 2011). Οι εννοιολογικοί χάρτες και οι χρήσεις τους στα Μαθηματικά Η ανάπτυξη της ιδέας της εννοιολογικής χαρτογράφησης ανάγεται στο ερευνητικό έργο του Novak και των συνεργατών του στις αρχές της δεκαετίας του 1970 όταν εκείνοι προσπάθησαν να κατασκευάσουν ένα εργαλείο που να επιτρέπει την «αναπαράσταση των γνωστικών δομών των μαθητών πριν και μετά τη διδασκαλία» (Okebukola, 1992, 202). Η προσπάθεια αυτή στηρίχθηκε στο θεωρητικό υπόβαθρο που προσέφερε η θεωρία του Ausubel (2000), σύμφωνα με την οποία μάθηση με νόημα συμβαίνει όταν οι μαθητές ενσωματώνουν νέες γνώσεις στις γνωστικές δομές που ήδη διαθέτουν. Οι εννοιολογικοί χάρτες αποτελούν «γραφικά εργαλεία για την οργάνωση και αναπαράσταση της γνώσης, τα οποία περιλαμβάνουν έννοιες, συνήθως μέσα σε κύκλους ή κάποιου είδους κουτιά, και διασυνδέσεις μεταξύ των εννοιών που υποδεικνύονται από μια γραμμή σύνδεσης μεταξύ τους»

852 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας (Novak & Cañas, 2008, 1). Οι έννοιες αυτές μπορεί να είναι μαθηματικές έννοιες (π.χ., «εξίσωση», «τετράγωνο»), σύμβολα (π.χ., «+», «%»), παραδείγματα (π.χ., «x + 1 = 5»), διαγράμματα, κ.λπ. Αξίζει ακόμη να αναφέρουμε πως στις διασυνδέσεις συνήθως υπάρχει κατεύθυνση, η οποία συχνά δηλώνεται με ένα βέλος, ώστε να εκφράζει σχέσεις υποκειμένουαντικειμένου, προγενέστερου-μεταγενέστερου, αιτίου-αποτελέσματος, ιεραρχίας, κ.λπ. (Jin & Wong, 2011). Έτσι, οι εννοιολογικοί χάρτες αποτελούν διαγράμματα από τα οποία μπορεί κανείς, εάν ακολουθήσει τις έννοιες και τις διασυνδέσεις που υπάρχουν σε αυτά, να κατασκευάσει προτάσεις που αντανακλούν την κατανόηση κάποιου ατόμου πάνω σε ένα θέμα (Davis, 1990). Οι εννοιολογικοί χάρτες μπορούν να αξιοποιηθούν παιδαγωγικά με σημαντικά οφέλη τόσο για τους μαθητές όσο και για τους εκπαιδευτικούς. Στη συνέχεια, ακολουθεί η διερεύνηση της αξίας των εννοιολογικών χαρτών ως ισχυρό εργαλείο μάθησης, διδασκαλίας και αξιολόγησης της εννοιολογικής κατανόησης των μαθητών στο μάθημα των Μαθηματικών. Αρχικά, ως μαθησιακά εργαλεία, οι εννοιολογικοί χάρτες βοηθούν τους μαθητές να επεξεργαστούν το αποτέλεσμα της μάθησής τους, αποσαφηνίζοντας τη φύση και τον αριθμό των συνδέσεων που υπάρχουν μεταξύ των νέων μαθηματικών εννοιών (Jin & Wong, 2011). Έτσι, οι μαθητές κατανοούν σε βάθος το υπό διδασκαλία περιεχόμενο. «Μια τέτοιου είδους μάθηση είναι διαμετρικά αντίθετη από τη μάθηση που προκύπτει από τη συνήθη σχολική πρακτική της αποστήθισης ασύνδετων και χωρίς νόημα πληροφοριών, με στόχο την απλή αναπαραγωγή τους στη διάρκεια των εξετάσεων» (Χαλκιά, 2012, 197). Πέρα από τη θετική επίδραση των εννοιολογικών χαρτών στην ουσιαστική κατανόηση, θετική κρίνεται η συμβολή τους και στη διαμόρφωση ευνοϊκών όρων για την ανάπτυξη δεξιοτήτων επικοινωνίας μεταξύ των μαθητών. Πιο συγκεκριμένα, μεταξύ των ερευνητών στη διδακτική των Μαθηματικών «υπάρχει ισχυρή ομοφωνία πως τα Μαθηματικά μπορούν και πρέπει, τουλάχιστον εν μέρει, να μαθαίνονται μέσα από συζήτηση» (Ryve, 2004, 157). Ωστόσο, οι μαθητές φαίνεται να παρουσιάζουν δυσκολίες όταν επικοινωνούν μαθηματικά με τους συνομηλίκους τους ενώ λύνουν εργασίες σε ομάδες (Sfard and Kieran, 2001). Έτσι, ακόμα κι αν οι συμμετέχοντες σε μια ομαδική εργασία οδηγούνται στο σωστό αποτέλεσμα, αυτό δε σημαίνει πως όλοι μαθαίνουν Μαθηματικά (Ryve, 2004). Η θετική συμβολή της εννοιολογικής χαρτογράφησης, προς την επίλυση του προβλήματος αυτού, στηρίζεται στο γεγονός ότι «οι εννοιολογικοί χάρτες δεν εστιάζουν σε εκτενή συγγραφή κειμένων, αλλά στην ανακάλυψη και τη συζήτηση» (Chiche-

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 853 kian & Shore, 2013, 52). Έτσι, οι μαθητές καλούνται να σκεφτούν διάφορους τρόπους επικοινωνίας, να χρησιμοποιήσουν το κατάλληλο λεξιλόγιο, καθώς και να αναζητήσουν τον πιο αποτελεσματικό τρόπο οργάνωσης των γνωστικών τους δομών, προκειμένου να συζητήσουν τις ιδέες τους και να συνδυάσουν τις γνώσεις τους για την κατασκευή ενός ομαδικού χάρτη. Επιπλέον, όταν οι μαθητές παρουσιάζουν μέσα στην τάξη τους εννοιολογικούς χάρτες που διαμορφώνουν οι ίδιοι, «εμπλέκονται σε διαδικασίες κριτικής ανάλυσης και σύνθεσης, καθώς οργανώνουν, σκέφτονται, δικαιολογούν και εξηγούν τις γνώσεις τους δημοσίως για κοινωνική κριτική, συζήτηση και αξιολόγηση» (Afamasaga-Fuata I, 2009b, 85). Πολυάριθμες είναι οι δυνατότητες που η εννοιολογική χαρτογράφηση προσφέρει και ως διδακτικό εργαλείο στο μάθημα των Μαθηματικών. Αρχικά, λαμβάνοντας υπόψη πως τα Μαθηματικά συχνά αποτελούνται από «πολύπλοκες και σύνθετες μορφές σχέσεων» (Akkaya, Karakirik & Durmus, 2005, 3), εύκολα συμπεραίνουμε πως ο εκπαιδευτικός μπορεί να εκμεταλλευτεί την εννοιολογική χαρτογράφηση για να οργανώσει αποτελεσματικά πληροφορίες πάνω σε ένα θέμα. Με τον τρόπο αυτό μπορεί να διευκολύνει την κατανόηση και την ικανότητα των μαθητών του για επίλυση προβλημάτων, καθώς και να αναδείξει τις συνδέσεις που υπάρχουν μεταξύ των διαφόρων θεμάτων. «Ανάλογα δε με την ηλικία, τις γνώσεις και τις ιδιαιτερότητες (ενδιαφέρον, κίνητρα, κ.λπ.) των μαθητών του, προσαρμόζει τον νοητικό του χάρτη και δίνει έμφαση σε ορισμένα χαρακτηριστικά του (έννοιες και διασυνδέσεις)» (Χαλκιά, 2012, 197). Ακόμη, η εννοιολογική χαρτογράφηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τους εκπαιδευτικούς προκειμένου να δώσουν κίνητρο για τη μελέτη ενός θέματος, παρουσιάζοντας τους χάρτες ως ένα παζλ που πρέπει να συμπληρωθεί (Malone & Dekkers, 1984). Ένας εννοιολογικός χάρτης μπορεί επίσης να αποτελέσει αφορμή για συζήτηση πάνω στο υπό μελέτη θέμα (Malone & Dekkers, 1984), καθώς και α- ποτελεσματική στρατηγική για καταιγισμό ιδεών σε μια νέα θεματική ενότητα (Afamasaga-Fuata I, McPhan, 2009), ενώ στο τέλος μιας διδακτικής ενότητας μπορεί να ζητηθεί η κατασκευή εννοιολογικών χαρτών ως άσκηση επανάληψης (Malone & Dekkers, 1984). Μια ακόμη χρήση των εννοιολογικών χαρτών είναι ως εργαλεία αξιολόγησης. Η αξιολόγηση με χρήση εννοιολογικών χαρτών μπορεί να γίνει σε πολλά επίπεδα. Αρχικά, οι εννοιολογικοί χάρτες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη διάγνωση των γνώσεων που κατέχουν ήδη οι μαθητές (Χαλκιά, 2012) καθώς και του τρόπου με τον οποίο οργανώνουν τη γνώση τους (McClure, Sonak & Suen, 1999). Λαμβάνοντας υπόψη το βαθμό στον οποίο η προηγούμενη γνώση επηρεάζει τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές λαμ-

854 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας βάνουν και κωδικοποιούν τις νέες πληροφορίες, ιδιαιτέρως στην περίπτωση ύπαρξης εναλλακτικών ιδεών, γίνεται φανερή η σημασία της διάγνωσης των γνώσεων αυτών από τον εκπαιδευτικό, προκειμένου να μπορέσει να σχεδιάσει αποτελεσματικά τη διδασκαλία του. Εξίσου σημαντική κρίνεται η χρήση των εννοιολογικών χαρτών μετά τη λήξη της διδασκαλίας, προκειμένου «να αξιολογηθούν τα μαθησιακά αποτέλεσμα που επιτεύχθηκαν και ο βαθμός στον οποίο έγιναν κατανοητές οι διασυνδέσεις μεταξύ θεωρίας και εφαρμογής στην επίλυση προβλημάτων, την επιστημονική έρευνα και την επιστημολογική ανάλυση» (Afamasaga-Fuata i, 2009a, 21). Η αξιολόγηση των διασυνδέσεων που εμφανίζονται μεταξύ διαφόρων εννοιών στους εννοιολογικούς χάρτες που σχεδιάζουν οι μαθητές μπορεί να αποκαλύψει την έκταση στην οποία έχει πραγματοποιηθεί ουσιαστική μάθηση, οδηγώντας έτσι σε περαιτέρω προβληματισμό και διάλογο μέσα στην τάξη. Ο διάλογος αυτός μπορεί να α- πευθύνεται σε κάθε μαθητή ξεχωριστά, αλλά και στο σύνολο της σχολικής τάξης. Για παράδειγμα, η αξιολόγηση των καταχωρίσεων σε έναν εννοιολογικό χάρτη παρέχει μια ευκαιρία στον εκπαιδευτικό να διαπραγματευτεί το νόημα μιας έννοιας με τον ίδιο το μαθητή που δημιούργησε το χάρτη, αλλά και μια ευκαιρία να παράσχει περαιτέρω διευκρινίσεις ή ακόμα και να θέσει ερωτήσεις παρακινώντας τη σκέψη των μαθητών του σε επίπεδο τάξης ή μικρών ομάδων (Afamasaga-Fuata I, McPhan, 2009). Μια επιπρόσθετη λειτουργία των εννοιολογικών χαρτών στα Μαθηματικά είναι εκείνη της παρακολούθησης της προόδου της μάθησης και κατανόησης των μαθητών (Hasemann, Mansfield, 1995). «Η σύγκριση εννοιολογικών χαρτών που κατασκευάστηκαν πριν και μετά τη διδασκαλία μπορεί να βοηθήσει τους εκπαιδευτικούς να προσδιορίσουν το βαθμό της προόδου που έχουν κάνει οι μαθητές όσο και το βαθμό της αποτελεσματικότητας της διδασκαλία τους» (Jin & Wong, 2011, p. 79). Από τις πληροφορίες που α- ντλούν οι εκπαιδευτικοί από τη σύγκριση αυτή μπορούν στη συνέχεια να προσαρμόζουν και να βελτιώνουν συνεχώς τη διδασκαλία τους. Προκειμένου να γίνει καλύτερα κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο μπορεί να λάβει χώρα στη διδακτική πράξη η χρήση των εννοιολογικών χαρτών, αξίζει να αναφερθούμε σε ένα ενδεικτικό παράδειγμα εφαρμογής τους που αντλείται από το χώρο της γεωμετρίας και συγκεκριμένα αφορά την έννοια του παραλληλογράμμου. Με βάση τη συγκεκριμένη έννοια μπορούμε να προτείνουμε ένα πλήθος εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων, οι ο- ποίες ποικίλλουν ως προς το βαθμό δυσκολίας τους για τους μαθητές, ανάλογα με τον τρόπο παρουσίασης μεταβλητών όπως έννοιες-κλειδιά και συνδετικές λέξεις και φράσεις.

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 855 Για παράδειγμα, μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές η κατασκευή ενός εννοιολογικού χάρτη δίνοντάς τους κάποιες έννοιες-κλειδιά ή κάποιες συνδετικές λέξεις και φράσεις, παραλείποντας παράλληλα κάποιες άλλες (εικόνα 1). Εικόνα 1: Παράδειγμα άσκησης με εννοιολογικό χάρτη, με συμπλήρωση εννοιών-κλειδιών (Jin, H. and Wong, K. Y., 2011). Ακόμα, μπορεί να δοθεί στους μαθητές το σύνολο των εννοιώνκλειδιών και των λέξεων/φράσεων που τις συνδέουν, χωρίς να δοθεί η δομή του χάρτη (εικόνα 2). Εικόνα 1: Παράδειγμα άσκησης με εννοιολογικό χάρτη χωρίς να δίνεται η δομή του.

856 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας Άλλα παραδείγματα ασκήσεων περιλαμβάνουν την κατασκευή του χάρτη εξολοκλήρου από τους μαθητές χωρίς να παρέχεται κανένα στοιχείο από τον εκπαιδευτικό (έννοιες, συνδετικές λέξεις, δομή), τη διόρθωση λαθών σε χάρτη που παρέχεται και την επέκταση του χάρτη από τους μαθητές με περισσότερες έννοιες και διασυνδέσεις από αυτές που ήδη παρέχονται από τον εκπαιδευτικό. Συμπεράσματα Τα σημαντικά οφέλη που οι εννοιολογικοί χάρτες προσφέρουν στη διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών, τούς καθιστούν ένα πολύτιμο εργαλείο στα χέρια των εκπαιδευτικών. Για το λόγο αυτό, πρόταση της παρούσας ανακοίνωσης είναι πως οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να εντάξουν τη χρήση της εννοιολογικής χαρτογράφησης στη διδασκαλία τους. Ωστόσο, προκειμένου να επιτευχθούν τα καλύτερα δυνατά διδακτικά και μαθησιακά αποτελέσματα, οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει παράλληλα να εξασφαλίζουν την εξάσκηση των μαθητών τους σε τεχνικές κατασκευής και διαδικασίες ερμηνείας εννοιολογικών χαρτών καθώς και την επιλογή του κατάλληλου τύπου άσκησης πάνω στην εννοιολογική χαρτογράφηση ανάλογα με τον μαθησιακό σκοπό, την ηλικία των μαθητών, τις ικανότητές τους, καθώς και το βαθμό της εξοικείωσής τους με την κάθε μαθηματική έννοια. Βιβλιογραφία Afamasaga-Fuata I, Κ. (2009a). Analysing the Measurement Strand Using Concept Maps and Vee Diagrams. In K. Afamasaga-Fuata'I (ed.), Concept mapping in mathematics (pp. 19-46). New York: Springer. Afamasaga-Fuata I, K. (2009b). Using Concept Maps and Vee Diagrams to Analyse the Fractions Strand in Primary Mathematics. In K. Afamasaga-Fuata'I (ed.), Concept mapping in mathematics (pp. 58-86). New York: Springer. Afamasaga-Fuata I, K. & McPhan, G. (2009). Concept Maps as Innovative Learning and Assessment Tools in Primary Schools. In K. Afamasaga-Fuata'I (ed.), Concept mapping in mathematics (pp. 87-113). New York: Springer. Akkaya, R., Karakirik, E. & Durmus, S. (2005). A computer assessment tool for concept mapping. The Turkish Online Journal of Educational Technology, 4 (3), 3-6. Ausubel, D. P. (2000). The acquisition and retention of knowledge: A

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 857 cognitive view. Dordrecht: Kluwer Academic. Chichekian, T. & Shore, B. M. (2013). Concept Maps Provide a Window onto Preservice Elementary Teachers Knowledge in the Teaching and Learning of Mathematics. Canadian Journal of Education, 36 (3), pp. 47-71. Chiu, C. H. & Lin, C. L. (2011). Sequential Pattern Analysis: Method And Application In Exploring How Students Develop Concept Maps, The Turkish Online Journal of Educational Technology, 11(1), 145-153. Davis, N. T. (1990). Using Concept Mapping to Assist Prospective Elementary Teachers in Making Meaning. Journal of Science Teacher Education 1 (4), 66-69. Haiyue, J. & Khoon Yoong, W. (2010). A Network Analysis of Concept Maps of Triangle Concepts. In Proceedings of the 33rd Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia Incorporated on Shaping the Future of Mathematics Education, Fremantle, Western Australia, 3 7 July 2010 (pp. 232 239) Fremantle: MERGA Hasemann, K. & Mansfield, H. (1995). Concept mapping in research on mathematical knowledge development: Background, methods, findings and conclusions. Educational Studies in Mathematics, 29 (1), pp.45-72. Hiebert, J. & Carpenter, T. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 65-97). New York: Macmillan. Jin, H. & Wong, K. Y. (2011). Assessing Conceptual Understanding in Mathematics with Concept Mapping. In B. Kaur and K. Y. Wong, Assessment in the mathematics classroom (pp. 67-90). Singapore: World Scientific. Malone, J. & Dekkers, J. (1984). The Concept Map as an Aid to Instruction in Science and Mathematics. School Science and Mathematics, 84 (3), pp.220-231. McClure, J., Sonak, B. & Suen, H. (1999). Concept map assessment of classroom learning: Reliability, validity, and logistical practicality. Journal of Research in Science Teaching, 36 (4), pp.475-492. Novak, J. D. & Cañas, A. J. (2008). The Theory Underlying Concept Maps and How to Construct and Use Them, Technical Report IHMC CmapTools 2006-01 Rev 01-2008, Florida Institute for Human and Machine Cognition, available at: http://cmap.ihmc.us/publications/researchpapers/

858 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας TheoryUnderlyingConceptMaps.pdf, p. 1. Okebukola, P. (1992). Attitude of teachers towards concept mapping and vee diagramming as metalearning tools in science and mathematics. Educational Research, 34 (3), pp.201-213. Ryve, A. (2004). Can collaborative concept mapping create mathematically productive discourses?. Educational Studies in Mathematics, 56 (3), pp.157-177. Sfard, A. & Kieran, C. (2001). Cognition as Communication: Rethinking Learning-by-Talking Through Multi-Faceted Analysis of Students' Mathematical Interactions. Mind, Culture, and Activity, 8 (1), pp.42-76. Williams, C. G. (1995). Concept Maps as Research Tools in Mathematics, Annual Meeting of the American Educational Research Association, San Francisco, CA. Χαλκιά, Κ. (2012). Διδάσκοντας φυσικές επιστήμες: Θεωρητικά ζητήματα, προβληματισμοί, προτάσεις. Αθήνα: Εκδόσεις Πατάκη.