Συγγραφική Ομάδα Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Λάρισας Επαναληπτικές Ασκήσεις Α Λυκείου Συνεργάστηκαν : Θέου Νάντια Κουρδουκλάς Αποστόλης Κοφίνας Στέλιος Μαχαίρας Δημήτρης Πατσούρα Ιφιγένεια Σκόδρα Μαριανίνα Σπανοπούλου Αθηνά Ταρταμπούκα Σταυρούλα Τερζόπουλος Σωτήρης Χατζηγρίβας Άρης Έκδοση 1 η (διορθωμένη): Μάιος 018 Χρυσακόπουλος Θάνος
ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β, ισχύουν οι σχέσεις: β 1 α 1 Α. Να αποδειχθεί ότι : 6. 3 β Β. Να αποδειχθεί ότι : α 3β 13 8. Γ. Για β(1,3), να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση και d(α,3). f(x) 4x 4 β x β έχει πεδίο ορισμού όλο το R. 16 8x x 3 3x 64 6. Για τον πραγματικό αριθμό x, ισχύει η σχέση: x 4 1 A. Να αποδειχθεί ότι : x [1,7] B. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) x 4x 14, xr και g(x) x 7x 10, xr. Να βρεθούν τα διαστήματα του x R, για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της g. Γ. Για όλα τα x που είναι ταυτόχρονα λύσεις των ερωτημάτων Α και Β, να λυθεί η εξίσωση x 3 4. 4x (1) 3. Δίνονται οι παραστάσεις Χ=4κ +5λ -4α-αβ-4β+8 και Υ=α +β -4κ-10λ+, όπου κ,λ R. Α. Αν Χ, Υ αντίθετοι να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών α, β, κ, λ. Β. Για α=β=, 1 κ και 1 λ να λύσετε: 5 α Β1. Την εξίσωση : κ x β 1 x x 4 Β. Την ανίσωση : x α 5λ 1 4. Δίνεται η συνάρτηση x 3 x f(x). x 3 A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β. Να απλοποιηθεί ο τύπος της f. Γ. Αν g(x) f(x), να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g. Δ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g με τους άξονες x x και y y. E. Να βρείτε τα διαστήματα του x R, για τα οποία η C g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x.
5. Έστω οι ανισώσεις x 3 και x 5x 6 0. Α. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α f της συνάρτησης 018 f(x). x 5x 6 x 5 4x 10 Γ. Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης 0 ανήκουν στο σύνολο Α f. 4x 10 x 5 5x 5x 30 Δ. Έστω η συνάρτηση g(x), για κάθε x (,3). Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση x 5 της g βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x. 6. Δίνεται η συνάρτηση f(x) x. x x A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. B. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. Γ. Έστω Μ(ρ 1,0) είναι το σημείο τομής της C f με τον x x και ρ ο αντίστροφος της ρ 1. Αν g(x) x +10ρ x-ρ 1, να λυθεί η ανίσωση g(x)<0. Δ. Αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ ισχύει ότι: f (1) λf( 1) 3 g(0) 0, να αποδείξετε ότι το λ δεν ανήκει στο σύνολο λύσεων της g(x)<0 7. Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση: ω 16x α 0 x 1, ω>0 (1). Α. Αν η εξίσωση (1) έχει διπλή ρίζα, να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί ω και α 1. Β. Για τις τιμές που βρέθηκαν στο ερώτημα Α, θεωρώ αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο τον α 1 και διαφορά ω. Να βρεθούν ο πέμπτος όρος της α.π και το άθροισμα των οκτώ πρώτων όρων της α.π. Γ. Για τις τιμές που βρέθηκαν στο ερώτημα Α, θεωρώ γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο τον α 1 και λόγο ω λ. Να βρεθούν ο τέταρτος όρος της γ.π και το άθροισμα των τριών όρων της γ.π. Δ. Να λυθεί η εξίσωση : (x+)+(x+6)+(x+10)+ +(x+6)=00 3
8. Δίνονται οι ανισώσεις : x x 3 και 1 8x 11. Α. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. Β. Αν α, β, γ οι κοινές ακέραιες λύσεις των παραπάνω ανισώσεων με α<β<γ, να λυθεί η ανίσωση : x 4 γ βx α βx γ 0 9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) (λ ) x λx λ 3, λr, xr Α. Για λ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει διακρίνουσα Δ=-4(λ -7λ+6). Β. Για λ, να μελετήσετε το πρόσημο της παραπάνω διακρίνουσας. Γ. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=0, για τις διάφορες τιμές του λr. Δ. Να βρεθούν τα λr, για τα οποία ισχύει : f(x) f(x), για κάθε xr. E. Για λ=3, να βρεθούν τα xr για τα οποία η C f βρίσκεται κάτω από την ευθεία (ε): y=-x-3 10. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x 1 x 1 x 4. A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες αν υπάρχουν. Γ. Να υπολογισθεί η τιμή f( ), να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Β(, f( )) ως προς τον άξονα x x. Δ. Δίνεται η συνάρτηση x x 1 g(x). x 4 Δ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g. Δ. Να βρεθούν τα σημεία τομής της C g με τους άξονες. Ε. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη το 1. 4
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α. Έστω Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Φέρνουμε ευθεία (ε) κάθετη στη ΒΓ που διέρχεται από το σημείο Κ. Αν Δ, Ε, Ζ τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τις ΑΓ, ΛΜ και ΒΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι : Α. το τετράπλευρο ΚΛΜΒ είναι ρόμβος. Β. η γωνία ΒΔΓ είναι ορθή. Γ. το τρίγωνο ΔΛΕ είναι ισοσκελές. Δ. ΒΖ=ΖΟ= 4 α, όπου Ο το κέντρο του ρόμβου ΚΛΜΒ. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιους ΑΓ και ΒΔ, φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας ΔΒΓ, η οποία τέμνει την ΓΔ στο μέσο Ε της ΓΔ και την προέκταση της ΑΔ στο Ζ. Να δείξετε ότι: Α. το τρίγωνο ΒΔΖ είναι ισοσκελές. Β. το τετράπλευρο ΚΕΓΒ είναι τραπέζιο. Γ. ΓΘ= 3 ΑΚ. 3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και B 75. Σχεδιάζω εξωτερικά του τριγώνου ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΔ και τετράγωνο ΑΓΗΕ. Α. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά. Β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΓΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Γ. Αν Κ το σημείο τομής των ΑΓ και ΔΗ, να δείξετε ότι Κ μέσο της ΑΓ. 4. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Ζ και Η έτσι ώστε ΒΖ=ΓΗ. Αν ΒΚ και ΓΘ οι διχοτόμοι των αυτών, να δείξετε ότι : Α. ο ΒΟΓ 110 Β. το τετράπλευρο ΒΓΗΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Γ. τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΑΓΖ είναι ίσα. A 40. Στις προεκτάσεις των ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε σημεία ΑΒΓ και Δ. τα σημεία Α, Ο, Μ είναι συνευθειακά, όπου Μ το σημείο τομής των ΒΗ και ΓΖ. ΑΓΒ αντίστοιχα και Ο το σημείο τομής 5
5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Δ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε τον κύκλο (Δ,ΔΒ) ο οποίος τέμνει το ΒΓ στο Η και στη συνέχεια φέρνουμε τον κύκλο (Η,ΗΔ). Να δείξετε ότι : Α. το ΚΛ είναι μεσοκάθετος του ΔΗ, όπου Κ, Λ είναι τα σημεία τομής των δύο κύκλων. Β. το τετράπλευρο ΚΔΛΗ είναι ρόμβος Γ. το ΑΗ είναι κάθετο στο ΒΓ. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=ΑΒ. Φέρνουμε την διχοτόμο ΑΔ και από το Β φέρνουμε κάθετη στην ΑΔ που τέμνει την ΑΔ στο Μ και την ΑΓ στο Ε. Στην προέκταση της ΑΜ προς το Μ, παίρνουμε ΜΘ=ΑΜ και έστω Ζ η προβολή του Γ στην ΒΕ. Να δείξετε ότι: Α. το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. Β. το τετράπλευρο ΑΖΓΜ είναι παραλληλόγραμμο ΓΘ Γ. το ΜΕ= Δ. το τετράπλευρο ΜΖΓΘ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 7. Έστω κύκλος (Ο,ρ) με ίσες χορδές ΑΒ=ΓΔ. Οι προεκτάσεις των ΑΒ προς το Β και ΓΔ προς το Δ τέμνονται στο Ρ και ΡΕ, ΡΖ εφαπτόμενα τμήματα, όπου το σημείο Ε ανήκει στο τόξο ΒΑ και το σημείο Ζ στο τόξο ΔΓ. Να δείξετε ότι : Α. ΡΒ=ΡΔ Β. ΕΡΒ ΔΡΖ Γ. ΑΕ=ΖΓ 8. Δίνεται ΑΒΓΔ ρόμβος όπου ΒΔ=ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΒΔ κατά τμήμα ΒΕ=ΒΔ. Α. να δείξετε ότι ο ΔΑΕ 90. Β. αν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, να δείξετε ότι ΑΟ= AE. Γ. το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισόπλευρο. 6
9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και Γ 30. Φέρνουμε ΑΔ κάθετη στην ΒΓ και Μ μέσο της ΒΓ. Αν Γχ παράλληλη στην ΑΔ και Ζ το σημείο τομής της Γχ με την ΑΒ. Α. να δείξετε ότι ZB AB. 4 Β. Αν Κ το μέσο της ΓΖ, να δείξετε ότι ΚΜ=ΒΓ Γ. Αν Ε είναι το σημείο τομής της ΚΜ με την ΑΔ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΕΒΑ είναι ρόμβος. 10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω (ε) η μεσοκάθετος του ΒΓ. Αν Μ και Λ τα μέσα των ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της (ε) με την ΑΓ, να δείξετε ότι: Α. AKB Γ Β. KB Γ ΒΜΛ Γ. Αν ο Γ 45 ΑΒ, να δείξετε ότι ΛΚ= 7