ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΥΤΟΤΕΛΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ & ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α. Έστω,,...,κ οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου κ,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με κ ν. α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα ν που αντιστοιχεί στην τιμή,,,...,κ ; (Μον. 3) β. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα f της τιμής,,,...,κ ; (Μον. 3) γ. Να αποδείξετε ότι f f... fκ. (Μον. ) Μονάδες Α. Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α. Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( s, s), όπου η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση. συν ημ β. ( ) γ. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων. δ. Η διακύμανση ( s ) είναι μέτρο διασποράς. ε. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f '() < για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. ΘΕΜΑ Β ίνονται οι αριθμοί:,, 8, α, 6 με α. Μονάδες Β. Αν η διάμεσος των παραπάνω αριθμών είναι ίση με, να υπολογίσετε την τιμή του α. Μονάδες 7 να υπολογίσετε τη διακύμανση ( ) Β. Για α s. Μονάδες 7 Β3. Για α να εξετάσετε αν το δείγμα των παραπάνω αριθμών είναι ομοιογενές. Μονάδες Β. Για α να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής των αριθμών που θα προκύψουν, αν ο καθένας από τους παραπάνω αριθμούς πολλαπλασιαστεί με το και στη συνέχεια αυξηθεί κατά. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 3 f() 3κ κ, κ και. Γ. Εάν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα ', να υπολογίσετε τον αριθμό κ. Μονάδες Γ. Για κ να βρείτε την τιμή του για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f () γίνεται ελάχιστος. Μονάδες Γ3. Για κ να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f ' στο σημείο (, f '( ) ). Μονάδες ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f με τύπο:. Να δείξετε ότι f () 8,. f() ' Μονάδες 6. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το είδος και την τιμή του ακρότατου. Μονάδες 9 3. Να υπολογίσετε το όριο ( f () ) ' Μονάδες ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης:. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΠΑ.Λ. 8 ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α: α. σχ. Βιβλίο, σελ.6 β. σχ. Βιβλίο, σελ. 6 γ. σχ. Βιβλίο, σελ. 6 Α: σχ. Βιβλίο σελ.. Α3. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β: Επειδή το πλήθος είναι (περιττός), υπάρχει μία μόνο μεσαία τιμή και επειδή καμία από τις άλλες τιμές δεν είναι, αυτή θα είναι αναγκαστικά η. Έχουμε, δηλ. a a 6 a. a Β: Για a οι αριθμοί (διατεταγμένοι) είναι,,, 6 και 8. t 6 8 7 Βρίσκουμε πρώτα τη μέση τιμή. Οπότε s ( t ) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( 8 ) 3 9 9 Β3. Βρίσκουμε την τυπική απόκλιση s s. Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι CV s,33 3,3% %, άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Β. Σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του βιβλίου(εφ.3, σελ.99), η νέα μέση τιμή θα είναι, ενώ η νέα τυπική απόκλιση s s s. Οπότε CV,6. ος τρόπος (χωρίς τη χρήση της εφαρμογής)
Μετά τις πράξεις οι νέοι αριθμοί είναι -9, -3, -, -7, -3. Έχουμε 9 3 7 3 s ( 9 ) ( 3 ) ( ) ( 7 ) ( 3 ) 36 36 8 6 s 6 CV,6 ΘΕΜΑ Γ Γ. Βρίσκουμε πρώτα την παράγωγο: f ( ) 6 6k παράστασης στο Μ παράλληλη στον f, πρέπει: ( ) 6 6k 6 6k k. Για να είναι η εφαπτομένη της γραφικής Γ. Για k 3 είναι f ( ) 3 και f ( ) 6 6 f ( ) 6. Έχουμε f ( ) 6 και f ( ) f ( ) παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο για. Η παράγωγος της f, ενώ είναι. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο της ης παραγώγου για τα ακρότατα, η. f f 6 Γ3. Βρίσκουμε τα f ( ) 6( ) 6( ) 6 6 και 8 έχει συντ. διεύθυνσης -8, άρα η εξίσωσή της θα έχει τη μορφή. Η εφαπτομένη θα y 8 και επειδή το σημείο (,) είναι σημείο της (σημείο επαφής), θα ισχύει 8( ) 8 6 τελικά η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y 8 6.. Οπότε, ΘΕΜΑ Δ Δ. f ( ) ( ) 8 ( ). Δ. Κατ αρχάς για κάθε, οπότε η f ορίζεται και είναι συνεχής στο. Επίσης f ( ) και το πρόσημο της f, αφού, είναι ίδιο με το πρόσημο του αριθμητή, δηλ. το. Συνεπώς: στο διάστημα (,), η f είναι αρνητική και η f είναι (γνησίως) φθίνουσα. στο διάστημα (,), η f είναι θετική και η f είναι (γνησίως) αύξουσα.
στο σημείο με, η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο, ίσο με ( ) 8 8 8 f. Δ3. ( ) f ( ) ΘΑΝΑΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ, ΕΠΑ.Λ. ΚΩ