ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΕΠΑ.Λ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΕΠΑ.Λ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. α. Στην τιμή i αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα ν i, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. β. Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα ν i με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιμής i, δηλαδή γ. Α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της αν το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, συμβολίζεται με f '( 0). Α3. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Αφού η διάμεσος είναι δ = 5 και το πλήθος ν = 5 είναι περιττός άρα η διάμεσος θα είναι η μεσαία παρατήρηση t 3, άρα θα είναι μια από τις παρατηρήσεις του δείγματος οπότε δ = 4α 5 = 4α 5 + = 4α

2 6 = 4α 6 4 = 4α 4 α = 4 Β. Ο αριθμοί σε αύξουσα σειρά είναι, 4, 5, 6, 8. Η μέση τιμή είναι t i = v = = = 5 άρα 5 Η διακύμανση ή διασπορά είναι s = ( t i ) v s = (5 ) +(5 4) +(5 5) +(5 6) +(5 8) 5 s = ( ) +( 3) 5 s = 0 5 s = 4 Β3. Η τυπική απόκλιση είναι Εξετάζουμε τον συντελεστή μεταβολής s s 4 άρα s = s 00 CV% ,33% 0% 5 5, άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές Β4. Οι νέες παρατηρήσεις προκύπτουν από τον τύπο y i = - i + 5 άρα y = = = = -5 οπότε y = -5 s y = - s = = 4 οπότε s y = 4 O νέος συντελεστής μεταβολής είναι s 4 y 5 y CV y% %

3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο Μ είναι παράλληλη στον άξονα χ χ, άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ θα ισούται με 0. Έχουμε Άρα λ 0 f '() 0 f '() 6 6κχ 6 6κ 0 6 6κ 0 κ Γ. Για κ, έχουμε 3 f() 3χ. Ο ρυθμός μεταβολής της f() είναι η f '() 6 6χ. Θα μελετήσουμε την f '() ως προς τα ακρότατα. f ''() χ 6 f ''() 0 χ 6 0 χ χ f ''() f' + Η f'έχει ελάχιστη τιμή για για χ. χ, επομένως ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος Γ3. Η εξίσωση της εφαπτομένης της f'στο σημείο (,f '( )) είναι y λεχ β. λε f ''( ) ( ) 6 8 y f '( ) 6( ) 6( ) Το (,) ανήκει στην y λεχ β άρα 8 ( ) β β 6 Επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι η y 8χ 6.

4 ΘΕΜΑ Δ Δ. f '() ( 4)' Δ. Θα μελετήσουμε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. f '() χ 0 χ f '() f 0 + Μονοτονία: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [0, ). Ακρότατα: Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο χ = 0, την τιμή Δ3. f(0) ( 4) ( 4) ( 4)f '() 4 4 lim lim lim ( 4) 4 ( 4) lim lim lim lim lim lim lim

5 ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Θέμα θεωρίας χωρίς ιδιαίτερες εκπλήξεις. ΘΕΜΑ Β Εξετάζονται βασικοί τύποι και εφαρμογές της Στατιστικής. Το Β απαιτεί προσοχή στην αιτιολόγηση και το Β4 απαιτεί προσοχή στην εφαρμογή του τύπου λόγω του αρνητικού συντελεστή. ΘΕΜΑ Γ Εξετάζονται βασικές εφαρμογές της ανάλυσης, με κύριο σημείο δυσκολίας το γεγονός ότι ζητείται η μελέτη της παραγώγου. ΘΕΜΑ Δ Ενδιαφέρον θέμα ανάλυσης με παράγωγο σύνθετης συνάρτησης και απαιτητικό όριο στο Δ3, που απαιτεί ουσιαστική και εις βάθος κατανόηση της ύλης. ΓΕΝΙΚΑ Τα θέματα κρίνονται πιο απαιτητικά σε σχέση με τα θέματα των προηγούμενων ετών. Πρόκειται για θέματα διαβαθμισμένης δυσκολίας, με περισσότερη έμφαση στο κεφάλαιο των συναρτήσεων. Στο «Άριστα» θα μπορούσε να οδηγηθεί μόνο ο άρτια προετοιμασμένος υποψήφιος. Στο φροντιστήριό μας θέματα ανάλογης δυσκολίας και φιλοσοφίας είχαν υπερτονιστεί τόσο κατά τη διδασκαλία, όσο και στη διεξαγωγή των διαγωνισμάτων. Επιμέλεια Φανή Αθανασοπούλου Κωνσταντίνος Κάππος Πέτρος Χέρας