Δυνάμεις Ορισμός διανυσματική ανάλυση Νόμοι του Νεύτωνα Ισορροπία υλικού σημείου Φύση των δυνάμεων Θεμελιώδεις δυνάμεις (βαρύτητα κλπ) Δυνάμεις επαφής (τριβή & μυϊκές δυνάμεις) Εύκαμπτοι σύνδεσμοι Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/katsiki Δυνάμεις: ορισμός Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να παραμορφώσει ένα σώμα ή να αλλάξει την κινητική του κατάσταση Όταν σε ένα σώμα δρουν δυνάμεις είναι δυνατόν: να παραμένει ακίνητο ΣΤΑΤΙΚΗ μελετά την ισορροπία των σωμάτων παρουσία δυνάμεων να αλλάξει ταχύτητα ή/και διεύθυνση κίνησης ΔΥΝΑΜΙΚΗ μελετά τη συμπεριφορά των σωμάτων εκτός ισορροπίας
Η δύναμη ως φυσικό μέγεθος Η δύναμη είναι μέγεθος διανυσματικό μέτρο (μονάδα μέτρησης Ν) διεύθυνση φορά (κατεύθυνση) Σύνθεση δυνάμεων (κάθετες) φ Μέτρο της συνισταμένης + Διεύθυνση της συνισταμένης tan ϕ Η δύναμη ως φυσικό μέγεθος Σύνθεση δυνάμεων (γενική περίπτωση) θ φ θ cosθ sinθ Πιο απλά Ανάλυση & (επανα)σύνθεση σε βολικό σύστημα συντεταγμένων Μέτρο της συνισταμένης + + cosθ Διεύθυνση της συνισταμένης tanϕ sinθ + cosθ θ Μέτρο ( ) + ( ) Διεύθυνση ( + cosθ) + ( sin θ) tan ϕ sin θ + cosθ
Άσκηση Το χέρι μας μπορεί να συγκρατηθεί στην οριζόντια θέση με τη βοήθεια του δελτοειδή μυ. Ομυςαυτόςσχηματίζειγωνία5 ο με τον βραχίονα και εξασκεί δύναμη περίπου 30Ν. Η δύναμηαυτήπροορίζεταιγιανασυγκρατείτοχέριστην οριζόντια θέση αλλά και για να σταθεροποιεί την άρθρωση με το να έλκει τον βραχίονα προς την πλευρά της ωμοπλάτης. Να υπολογιστεί η συνεισφορά της στις δύο παραπάνω λειτουργίες. cosθ 30 0.966 8.98N sin θ 30 0.59 7.76N Νόμοι του Νεύτωνα Προσπάθεια να αποδείξει τους νόμους του Kepler για τις κινήσεις των πλανητών. 3 Νόμοι για την κίνηση Νόμος της παγκόσμιας έλξης Κλασσική (Νευτώνεια Μηχανική): μελέτη των κινήσεων των σωμάτων μεγάλων διαστάσεων (μακροσκοπικά κινούμενα με μικρές ταχύτητες) Θεωρία της Σχετικότητας : μελέτη των κινήσεων των σωμάτων με πολύ μεγάλες ταχύτητες (που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός 3 0 8 m/s) * ηλεκτρόνια ή άλλα στοιχειώδη σωμάτια σε επιταχυντές σωματιδίων 687 Κβαντομηχανική : μελέτη των κινήσεων των σωμάτων σε πολύ μικρές διαστάσεις * ενέργειες ηλεκτρονίων σε ένα άτομο ή μόριο Newton
Νόμοι του Νεύτωνα ος Νόμος (νόμος της αδράνειας) Αν σε ένα σώμα δεν ασκούνται δυνάμεις ή αν ασκούνται αλλά η συνισταμένη τους είναι μηδέν, τότε το σώμα διατηρεί την κατάσταση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης ή της ακινησίας 0 υ σταθερή υ dr dt Ταχύτητα: ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης Καθημερινή εμπειρία : γιαναδιατηρηθείένα σώμα σε κίνηση πρέπει να ασκούνται πάνω του δυνάμεις Τριβές!!!! Τι συμβαίνει όταν ένα σώμα κινείται στο πάγο; r O r διάνυσμα θέσης Νόμοι του Νεύτωνα Σημεία προσοχής Σημειακό σώμα (υλικό σημείο) Είναι ένα σώμα χωρίς διαστάσεις (σημειακό) στο οποίο συγκεντρώνεται όλη η μάζα του σώματος. N Διάγραμμα ελεύθερου σώματος Απομονωμένο σώμα Γιαναείναιπιοεύκοληηλύσηενόςπροβλήματος, μελετάμε ξεχωριστά την κίνηση ενός σώματος (εφαρμογή ου και ου Νόμου Newton) υπό την επίδραση των δυνάμεων που δρουν σ αυτό αγνοώντας τις δυνάμεις που ασκούνται στα υπόλοιπα σώματα.
Ισορροπία υλικού σημείου Ένα σώμα βρίσκεται σε(μεταφορική) ισορροπία όταν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό ισούται με μηδέν. ΠΡΟΣΟΧΗ! Λαμβάνουμε υπόψη μόνο τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Πολύγωνο δυνάμεων Όταν ένα σώμα ισορροπεί υπό την επίδραση δυνάμεων, αυτές αν τοποθετηθούν διαδοχικά, σχηματίζουν ένα κλειστό πολύγωνο 3 3 Άθροιση διανυσμάτων παράλληλη μετατόπιση το πέρας του ενός συμπίπτει με την αρχή του άλλου Όταν «κλείνει» το πολύγωνο: άθροισμα 0 Άσκηση Το κεφάλι μας συγκρατιέται όταν σκύβουμε από τη μυϊκή δύναμη των εξωτερικών μυών του λαιμού ( ). Ταυτόχρονα η άρθρωση του άτλαντα συμπιέζεται ( C ). Αν το βάρος του κεφαλιού είναι 50Ν και η γωνίες που σχηματίζουν οι και C με την κατακόρυφο είναι 53 ο και 37 ο, αντίστοιχα, να υπολογιστεί το μέτρο αυτών των δυνάμεων. Θεωρήστε ότι όλες οι δυνάμεις έχουν κοινό σημείο εφαρμογής. C 37 ο C 53 ο 37 ο 53 ο
Άσκηση C 37 ο Ισορροπία δυνάμεων 0 sin 53 C sin 37 0 C cos37 cos53+ 53 ο 0.8 0.6C 0 0.6 + 0.8C 0 C.88 44N.6 08N Νόμοι του Νεύτωνα ος Νόμος Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώμα όταν ασκείται σε αυτό δύναμη είναι ανάλογη της ασκούμενης δύναμης ma a a dυ dt Επιτάχυνση: ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό της δύναμης αλλά και για τον ορισμό της μάζας ( ημάζαείναι θεμελιώδες μέγεθος) Μονάδα μέτρησης της δύναμης N kgr m s Εμπεριέχει τη έννοια της αδρανειακής μάζας: Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα(αδρανείας) ενός σώματος τόσο πιο δύσκολα μεταβάλλεται η κινητική του κατάσταση.
Νόμοι του Νεύτωνα ος Νόμος α0 υ σταθερή α Επιτάχυνση Ο ος Νόμος του Νεύτωνα δεν ισχύει για επιταχυνόμενο παρατηρητή! Νόμοι του Νεύτωνα ος Νόμος Παραδοχή Ισχύει για ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΟ σύστημα αναφοράς...προσδεδεμένο σε παρατηρητή (αδρανειακό) στον οποίο δεν ασκούνται δυνάμεις ή αν ασκούνται έχουν συνισταμένη μηδέν. Παρόλο που η Γη περιστρέφεται, δηλαδή έχει επιτάχυνση, μπορεί για μικρές κινήσεις κοντά στην επιφάνειά της, να θεωρηθεί αδρανειακό σύστημα αναφοράς.* Κάθε άλλο σύστημα που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τη Γη θεωρείται αδρανειακό σύστημα και οι νόμοι του Νεύτωνα ισχύουν σε αυτό. * Ταχύτητα περιφοράς γύρω από τον ήλιο: ~30 km/sec επιτάχυνση 4.4 0-3 m/s 0.0004g * Ταχύτητα περιστροφής περί τον άξονά της: ~470 m/sec Επιτάχυνση λόγω περιστροφής σε Γ.Π. 30 ο : ~0.0 m/s 0.00g
Νόμοι του Νεύτωνα 3 ος Νόμος (δράσης αντίδρασης) Σε κάθε δράση αντιτίθεται πάντα μια ίση και αντίθετη αντίδραση ij ji Οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα προέρχονται από τα σώματα του περιβάλλοντός του Αφού δράση αντίδραση γιατί το σώμα κινείται αφού η συνισταμένη είναι ίση με μηδέν; Δράση & αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώματα Νόμοι του Νεύτωνα 3 ος Νόμος Δράση & αντίδραση δρουν σε διαφορετικά σώματα ΣΓ Δράση : η Γηασκείδύναμηστοσώμα Αντίδραση : το σώμα ασκεί δύναμη στη Γη (ίση και αντίθετη με τη δράση) ΓΣ Το σώμα κινείται προς τη Γη αλλά η Γη δεν κινείται προς το σώμα γιατί έχει μεγάλη μάζα και άρα μεγάλη αδράνεια (σύμφωνα με το ο νόμο). ΓΗ
Νόμοι του Νεύτωνα 3 ος Νόμος Δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Δυνάμεις που ασκούνται στο τραπέζι Βάρος σώματος (βαρυτική δύναμη που ασκεί η Γη στο σώμα) Βάρος του τραπεζιού (βαρυτική δύναμη που ασκεί η Γη στο τραπέζι) Κάθετη αντίδραση του τραπεζιού N Κάθετη αντίδραση που δέχεται από το σώμα Κάθετη αντίδραση του δαπέδου N N τ N Νόμοι του Νεύτωνα 3 ος Νόμος Δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Δυνάμεις που ασκούνται στο τραπέζι N N Ζεύγος δράσης αντίδρασης Ίσου μέτρου Αντίθετης φοράς Δρουν σε διαφορετικά σώματα
Άσκηση Ένας φοιτητής βάρους 560Ν είναι ανεβασμένος σε μια ζυγαριά που βρίσκεται μέσα σε ένα ανελκυστήρα. Καθώς ο ανελκυστήρας αρχίζει να κινείται ο ζυγός δείχνει 800Ν. α) Ναβρεθείτομέτροκαιηκατεύθυνσητηςεπιτάχυνσηςτουανελκυστήρα β) Πόση είναι η επιτάχυνση αν η ζυγαριά δείχνει 560Ν; γ) Αν δείχνει μηδέν πρέπει να ανησυχήσει ο φοιτητής; Εξηγήστε. ελ Όταν ο άνθρωπος ισορροπεί στη ζυγαριά και η ένδειξη είναι 560Ν, ο άνθρωποςασκείδύναμη560ν στοελατήριο της ζυγαριάς (δράση) και το ελατήριο ασκεί δύναμη 560Ν στον άνθρωπο (αντίδραση). + Ν (α) (β) (γ) N m a 800 560 a a g N m a 560 560 ma a 4. m s 0 m s (σταθερή ταχύτητα) 560 N m a 0 560 a a g g (ελεύθερη πτώση: θα πρέπει να ανησυχήσει) Φύση των δυνάμεων Δυνάμεις επαφής Μοριακές δυνάμεις Δύναμη επαναφοράς ελατηρίου Τριβή Τάση νημάτων - τενόντων Δυνάμεις που δρουν από απόσταση Δυνάμεις πεδίων Βαρυτικές Ηλεκτρικές / μαγνητικές Πυρηνικές
Δυνάμεις βασικής προέλευσης δρουν από απόσταση Πεδίο Τι είναι πεδίο; Είναι ο χώρος στον οποίο αν βρεθεί κατάλληλο υπόθεμα ασκούνται σε αυτό δυνάμεις. Βαρυτικές δυνάμεις Αναπτύσσονται μεταξύ σωμάτων λόγω της μάζας τους Ηλεκτροστατικές δυνάμεις Αναπτύσσονται μεταξύ φορτισμένων σωμάτων Δυνάμεις βασικής προέλευσης Ισχυρή πυρηνική αλληλεπίδραση Δύναμη μεταξύ νουκλεονίων (πρωτονίου νετρονίου) συγκρατεί τον πυρήνα Ασθενής πυρηνική αλληλεπίδραση Δύναμη που προκαλεί τη ραδιενεργό διάσπαση μερικών πυρήνων. n 0 p + + e + ν * Μικρή ακτίνα δράσης (μέσα στα όρια του πυρήνα fm (fm0-5 m) Ενέργεια του ήλιου σύντηξη Η σε He Λόγω βαρύτητας οι πυρήνες βρίσκονται σε πολύ μικρή απόσταση και η ισχυρή αλ/ση παίζει καθοριστικό ρόλο.
Βαρυτικές δυνάμεις Δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα λόγω της μάζα τους δράση - αντίδραση ij ji i ij ji j ij ji ij ji G m m i j r Νόμος του Νεύτωνα για τη βαρυτική έλξη Η δύναμη που ασκείται μεταξύ δύο σωμάτων λόγω της μάζας τους, είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της μεταξύ τους απόστασης και ανάλογη του γινομένου των μαζών G 6.67 0 m N kg σταθερά της παγκόσμιας έλξης Βαρυτικές δυνάμεις Ένταση του βαρυτικού πεδίου: (λόγος δύναμης που ασκείται σε μάζα m που θα βρεθεί στο πεδίο προς τη μάζα) Ίδια διεύθυνση και φορά g m Ένταση πεδίου m g m Mm G rˆ mr M G rˆ r g Μονάδες g N/kg Μοναδιαίο διάνυσμα κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα σώματα Μ Γη R
Βαρυτικές δυνάμεις Ισοδυναμία βαρυτικής & αδρανειακής μάζας Η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα που δέχεται τη βαρυτική δύναμη της Γης προκύπτει από το ο νόμο του Νεύτωνα mg mg μάζα αδράνειας μάζα βαρύτητας Ένταση του βαρυτικού πεδίου που καθορίζει πόσο μεγάλο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκείται σε ένασώμαμάζαςm όταν βρεθεί στο πεδίο. Μάζα : ποσότητα ύλης που περιέχεται σε ένα σώμα Βάρος : δύναμη έλξης της Γης Αλλά μάζα βαρύτητας μάζα αδράνειας δηλαδή η ένταση του βαρυτικού πεδίου ταυτίζεται με την επιτάχυνση της βαρύτητας (kgr) (N) Ίδια στη Γη και στη Σελήνη Εξάρτηση από το βαρυτικό πεδίο Άσκηση Τρεις σημειακές μάζες βρίσκονται στις θέσεις που φαίνονται στο Σχήμα. α) Υπολογίστε τις συνιστώσες και του βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στις 3 αυτές μάζες, στο σημείο Ρ που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. β) Ποιό θα ήταν το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης πάνω σε μία μάζα ίση με 0 - kg που βρίσκεται στο σημείο Ρ; kg kg 3 0.5m P g 3 g 0.5m kg Ένταση βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στο σώμα M g G G 4G R 0.5 Ένταση βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στο σώμα 3 M 3 g3 G G 4G R 0.5 3 Απόσταση - P: R R + R3 Φορά της g: προς το σώμα που προκαλεί το πεδίο
Άσκηση kg kg 3 0.5m P g 3 g g 0.5m kg Απόσταση - P: R R + R3 M g G G 4G R g g + g cos 45 4G + 4G 6. 83G g g3 + g sin 45 4G + 4G 6. 83G Ένταση βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στο σώμα g m g P g + g 0 9.66G 6.44 0 6.44 0 0 0 N / kg.9 0 N Βαρυτικές δυνάμεις Ισοδυναμία βαρυτικής & αδρανειακής μάζας Σχήμα Γης : ελλειψοειδές εκ περιστροφής g ΙΣΗΜ < g ΠΟΛ m 9.78 s m 9.8 s Ητιμήτηςg επηρεάζεται από το σχήμα της Γης και από την περιστροφή της.
Θεμελιώδεις δυνάμεις αλ/ση Ισχυρή Ηλεκτρομαγνητική Ασθενής Βαρυτική σχετική ισχύς 0-0 -9 0-38 εμβέλεια μικρή (~fm) μεγάλη ( /r ) μικρή (~fm) μεγάλη ( /r ) Ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις q q ij ji K r K 4πε 0 i j ~ 9 0 9 Νόμος του Coulomb / m Μοριακές δυνάμεις Μοριακές δυνάμεις δύναμη επαναφοράς ελατηρίου δυνάμεις μεταξύ σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή τριβή μυϊκές δυνάμεις τάσεις σε σχοινιά, αλυσίδες κλπ ηλεκτρόνια π π μόριο στερεό Δυνάμεις μεταξύ των ατόμων: ηλεκτροστατικής φύσης Πυρήνας πυρήνας άπωση Ηλεκτρονικό νέφος ηλεκτρονικό νέφος άπωση πυρήνας ηλεκτρονικό νέφος έλξη
Μοριακές δυνάμεις Δυνάμεις επαφής Τα άτομα βρίσκονται σε συγκεκριμένες θέσεις ισορροπίας Μετά από οποιαδήποτε εξωτερική διαταραχή τείνουν να έρθουν στη θέση ισορροπίας Μοριακές δυνάμεις Δυνάμη παραμόφωσης ελατηρίου ελ Το σώμα ισορροπεί όταν ελ Νόμος Hooke k ελ σταθερά του ελατηρίου (N/m) Παραμόρφωση του ελατηρίου (όχι μήκος του ελατηρίου )
Μοριακές δυνάμεις Δυνάμεις επαφής: κάθετη αντίδραση Το σώμα έχει βάρος δέχεται την ελκτική δύναμη της Γης (Β) Ν Το σώμα ηρεμεί πάνω στο τραπέζι από το τραπέζι ασκείται στο σώμα δύναμη (Ν) που καλείται κάθετη αντίδραση (κάθετη στην επιφάνεια επαφής) και Ν δεν είναι ζευγάρι δράσης αντίδρασης Μοριακές δυνάμεις Δυνάμεις επαφής: κάθετη αντίδραση 3 Σώμα 3 N 3 3 N 3 (ισορροπία δυνάμεων) 3 Σώμα N δράση - αντίδραση N 3 Σώμα N +Ν 3N (ισορροπία δυνάμεων) N +Ν N (ισορροπία δυνάμεων) Δύναμη συμπίεσης που δέχεται το σώμα : + 3 Δύναμη συμπίεσης που δέχεται το σώμα : 3
Σπονδυλική στήλη Τα οστά έχουν συγκεκριμένη αντοχή στη θραύση. Μέγιστη συμπιεστική τάση : ~70 Ν/mm Σπόνδυλοι όλο και πιο «μεγάλοι» προς τη λεκάνη courses.washington.edu/bonephs/fdef.html Σπονδυλική στήλη Μεταξύ των σπονδύλων υπάρχουν δίσκοι (κλειστό σύστημα υγρού που απορροφά τις κρούσεις και μεταφέρει ομοιόμορφα την πίεση από σπόνδυλο σε σπόνδυλο) θ: γωνία που σχηματίζει ο 5 ος οσφυϊκός με τον οριζόντιο άξονα σημαντική στη «δισκοπάθεια». Ιερό οστό σφηνωμένο στη λεκάνη (θ ~30 ο ) Χαλάρωση κοιλιάς, εγκυμοσύνη κλπ θ μεγαλώνει συμπιέζεται ο δίσκος συμπίεση νεύρου πόνος Πίεση θραύσης οσφυϊκών δίσκων ~ 0Ν/mm Η επιφάνεια των δίσκων ελαττώνεται όσο ανεβαίνουμε κατά μήκος της σπονδυλικής στήλης θ
Καταπόνηση οσφυϊκών δίσκων Πίεση στο εσωτερικό οσφυϊκού δίσκου (μέτρηση με τη βοήθεια κατάλληλων ακίδων / αισθητήρων πίεσης πίεση Nachemson & Elfstrom Ανύψωση βάρους Συμπίεση οσφυϊκού δίσκου C D
Τριβή Οι δυνάμεις τριβής είναι δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση των σωμάτων fσ υ0 Ηδύναμηστατικής τριβής αναπτύσσεται όταν το σώμα δεν κινείται Το σώμα ισορροπεί: 0 f σ fσ N Μεγίστη δύναμη στατικής τριβής f μ σ N σ συντελεστής στατικής τριβής Τριβή Δυναμική τριβή f μ δ N δ έναρξη κίνησης συντελεστής δυναμικής τριβής ακινησία κίνηση f μ δ N δ Όσο μεγαλώνει η εφαρμοζόμενη δύναμη, τόσο μεγαλώνει και η στατική τριβή (Σ0) f σ Όσο μεγαλώνει η εφαρμοζόμενη δύναμη, η δυναμική τριβή παραμένει σταθερή (Σ 0 α 0 ) ma fσ μ σ N * Ο συντελεστής δυναμικής τριβής στην πραγματικότητα εξαρτάται από την ταχύτητα του σώματος (για μεγάλες ταχύτητες)
Τριβή Ο συντελεστής δυναμικής (ή κινητικής) τριβής είναι μικρότερος του συντελεστή στατικής τριβής. Υλικό Χάλυβας χάλυβας Αλουμίνιο χάλυβας Γυαλί γυαλί χαλκός γυαλί Τεφλόν τεφλόν Τεφλόν χάλυβας Ελαστικό αυτοκινήτου στεγνή άσφαλτος Ελαστικό αυτοκινήτου παγωμένη άσφαλτος Αρθρώσεις ανθρώπινου σώματος μ σ 0.74 0.6 0.94 0.68 0.04 0.04 0.3 0.0 μ δ 0.57 0.47 0.40 0.53 0.04 0.04 0.8 0.0 0.006 0.005 Τριβή Δυνάμεις ηλεκτρομαγνητικής φύσης μεταξύ των ατόμων των επιφανειών πουέρχονταισεεπαφή. Αλληλοεισχώρηση ανωμαλιών των τριβόμενων επιφανειών. Οι δυνάμεις τριβής: έχουν φορά αντίθετη στη φορά κίνησης μ δ < μ σ είναι ανεξάρτητες του εμβαδού της επιφάνειας επαφής είναι ανεξάρτητες της ταχύτητας (για μικρές μόνο ταχύτητες) εξαρτώνται από το είδος και την τραχύτητα των επιφανειών που έρχονται σε επαφή εξαρτώνται από το μέτρο της κάθετης δύναμης που συμπιέζει τις επιφάνειες επαφής. Ελάττωση των τριβών με τη χρήση λιπαντικών
Τριβή μ σ >μ δ Δύναμη τριβής κατά την κύλιση > δύναμη τριβής κατά την ολίσθηση S ntilock braking sstem μικρότερηαπόστασηφρεναρίσματος καλύτερος έλεγχος του οχήματος Video: http://www.outube.com/watch?vuq4ddmmoomu Δυνάμεις τριβής κατά το βάδισμα fσ φ Άξονας : N φ N cosϕ N : δύναμη που ασκείται από τον άνθρωπο (πόδι) στο έδαφος - ΔΡΑΣΗ : δύναμη που ασκείται από το έδαφος στο πόδι - ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ κατακόρυφη συνιστώσα (κάθετη αντίδραση του δαπέδου) οριζόντια συνιστώσα (δύναμη της τριβής) Άξονας : Μέγιστη τιμή της για να μην υπάρχει ολίσθηση fσ(ma) μ σ tanϕ μ μ μ μ μ ϕ μ σn σn σ sin σ cosϕ δέρμα ξύλο 0.54 λά στ βρεγμ. ασφαλ 0.3 Θα πρέπει φ<8 ο φ<7 ο
Τριβή στις αρθρώσεις Άρθρωση του γονάτου Ευκίνητη άρθρωση κίνηση με μηδενική σχεδόν τριβή Στα άκρα των οστών υπάρχει ο χόνδρος Γύρω από τα οστά υπάρχει ο αρθρικός θύλακας που περιέχει το αρθρικό υγρό Παθήσεις των αρθρώσεων π.χ. η αρθρίτιδα αύξηση του μ του αρθρικού υγρού Μυϊκές δυνάμεις Μύες Ραβδωτοί Λείοι κερκίδα αντιβραχίονας βραχίονας π.χ. σκελετικοί μύες αποτελούνται από ίνες που σχηματίζουν δεσμίδες. Χρόνος απόκρισης: ~0.s ωλένη γύρω από το έντερο, την ουροδόχο κύστη, στα τοιχώματα των αρτηριών Χρόνος απόκρισης: σχετικά μεγάλος
Μυϊκές δυνάμεις Τένοντας: συνδετικός ιστός που βρίσκεται σταάκρατουμυόςκαιτονσυνδέειμετα οστά Δικέφαλος μυς : απόληξη σε δύο τένοντες Τρικέφαλός μυς : απόληξη σε τρεις τένοντες Ραβδωτοί μύες: παράγουν έργο μόνο κατά τη συστολή Η συστολή γίνεται λόγω ηλεκτροστατικών δυνάμεων έλξης μεταξύ των ινιδίων ακτίνης και μυοσίνης (μόρια πρωτεϊνης) που συνθέτουν τις ίνες (μέγιστη συστολή 5-0%) Λείοι μύες: συστολή με ολίσθηση των κυττάρων Μέγιστη δύναμη μυός: 3-4 kg/cm αύξησητηςσυνολικήςδύναμηςτουμυός μεαύξησητηςδιατομήςτου. Μυϊκές δυνάμεις Leonardo da Vinci 5 ος αι.
Εύκαμπτοι σύνδεσμοι Δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα Α Αλυσίδες, σχοινιά, τένοντες: μεταβάλλουν τη διεύθυνση των δυνάμεων αλλά όχι το μέτρο τους Ιδιότητες: Μπορούν να εκτείνονται και όχι να συμπιέζονται Μεταφέρουν τάση μόνο κατά μήκος τους Απουσίατριβώνηδύναμηείναιίδιασεκάθεσημείοτους* Β * Ισορροπία για Δυνάμεις που ασκούνται στο νήμα δράση - αντίδραση Τροχαλίες & νήματα Σταθερή τροχαλία αλλαγή της διεύθυνσης εφαρμογής της δύναμης Κινούμενη τροχαλία Υποδιπλασιασμός του βάρους Πολύσπαστο
Εύκαμπτοι σύνδεσμοι Να υπολογιστούν οι τάσεις Τ, Τ και Τ 3 στα νήματα του σχήματος όταν το σύστημα ισορροπεί. (μάζες τροχαλιών & τριβές αμελητέες) Σώμα βάρους : και δράση - αντίδραση 3 + + 3 Η απαιτούμενη δύναμη που πρέπει ασκηθεί για να σηκωθεί το βάρος είναι ίση με /. Άσκηση Σώμα μάζας.4 kg δένεται στο άκρο ενός αβαρούς νήματος το οποίο διέρχεται από αβαρή σταθερή τροχαλία. Ένα σώμα μάζας 0.8 kg δένεται στο άλλο άκρο του νήματος το οποίο τεντώνεται ενώ το σώμα των.4 kg παραμένει ακίνητο. Το σώμα των 0.8 kg αφήνεται ελεύθερο. Να βρεθεί: η επιτάχυνση των μαζών και η τάση του νήματος (g9.8m/s, τριβές αμελητέες). Α Β + Σώμα μάζας.4 kg: m a m a m g m Σώμα Α μάζας 0.8 kg: m a m a m g m αλλά α Α α Β α m g m m g m a m m m m g m + m a a g 0.5 9.8 4.9 m + m + ( ) ( ) 0.8kg.4kg ( g + a) 0.8( 9.8+ 4.9). N m 78 a a a m s
Άσκηση Ένα φανάρι βάρους 5 Νκρέμεταιαπόένακαλώδιο, που είναι συνδεδεμένο με άλλα δύο καλώδια το καθένα εκ των οποίων σχηματίζει γωνία 37 ο και 53 ο αντίστοιχα με τον οριζόντιο άξονα. Να βρεθεί η τάση στα τρία καλώδια. 37 ο 53ο Α διαγράμματα υλικού σημείου φανάρι κόμβος (σημείο Α) φανάρι: σημείο Α: 5N 0 cos53 3 cos37 () 3 37 ο 53 ο 0 sin 53+ 3 sin 37 () cos37 cos53 3 cos37.373 99.8N 3 cos53 cos37 5 3 sin 53+ 3 sin 37 3 75.N cos53 sin 37 + cos37 tan 53.66 Άσκηση Γνωρίζοντας το βάρος και τη γωνία θ να υπολογίσεις τη δύναμη R που ασκεί στηνκνήμητονήμα (μάζες και τριβές τροχαλιών αμελητέες). R R θ Νήμα : R R νήμα 5 4 Σώμα βάρους : 3 φ Τροχαλία Α: Τ 3 Τ Τ 3 Τ 3 Τροχαλία : 4 Τ 5 0 0 cosϕ + sin ϕ sin ϑ sin ϕ ϑ ϕ 4 5 5 cosϑ R R cosϑ 4 4 cosϑ R sin ϑ
Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο φ N a φ -άξονας: Το σώμα δεν μετακινείται κατά μήκος του άξονα 0 cosϕ m g sin ϕ N -άξονας: Το σώμα επιταχύνεται κατά μήκος του άξονα με την επίδραση της συνιστώσας του βάρους mgsin ϕ m a a gsin ϕ m Άσκηση Δύο σώματα, το καθένα βάρους w, συγκρατούνται ακίνητα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς τριβή. Να υπολογιστεί η τάση ως συνάρτηση του βάρους w και της γωνίας κλίσης θ α) στο νήμα που συνδέει μεταξύ τους τα δύο σώματα β) στο νήμα πρόσδεσης του σώματος Α στον τοίχο N N w θ θ w θ
Άσκηση Σώμα : 0 sinϑ N : ζεύγος δράσης - αντίδρασης w N w w w θ w θ w Σώμα : 0 + sinϑ + sinϑ sinϑ Άσκηση Το σώμα Α ζυγίζει 80Ν. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του σώματος και της επιφάνειας πάνω στην οποία ακινητεί το σώμα είναι 0.30. Το βάρος w είναι 0Ν και το σύστημα ισορροπεί. α) ΝαβρεθείηδύναμητριβήςπουασκείταιστοσώμαΑ β) Βρείτε το μέγιστο βάρος w για το οποίο το σύστημα εξακολουθεί να παραμένει σε ισορροπία. Σώμα : Σώμα βάρους w: f N Ο 45 ο 0 f Σημείο Ο: 0 w 0 cos45 0 sin 45 άρα f 0Ν w fma μ σ N 0.3 80 4N Άρα w ma 4N
Άσκηση Ελαφρό σχοινί είναι προσδεδεμένο σε σώμα μάζας 6kg το οποίο ακινητεί επί οριζοντίου επιφάνειας χωρίς τριβή. Το σχοινί διέρχεται από τροχαλία χωρίς μάζα και χωρίς τριβή, ενώ από το άλλο άκρο αναρτάται ένα άλλο σώμα μάζας m. Όταν τα σώματα αφεθούν ελεύθερα η τάση του σχοινιού είναι Ν. α) Πόση είναι η επιτάχυνση του σώματος με μάζα 6kg; β) Πόση είναι η μάζα m του αναρτημένου σώματος; (g9.8m/s ) 6kg N Μ Σώμα μάζας Μ: m Ma Ma a 6 s m w Σώμα μάζας m: m ma w ma mg ma g a.54kg 9.8 Άσκηση Ένα τρένο αποτελείται από τη μηχανή και δύο βαγόνια. Η μάζα της μηχανής είναι 6000kg και του κάθε βαγονιού είναι 000kg. Το τρένο απομακρύνεται από κάποιο σταθμό με επιτάχυνση 0.6m/s α) Να βρεθεί η τάση του συνδέσμου που ενώνει τη μηχανή με το πρώτο βαγόνι και η τάση του συνδέσμου που ενώνει τα δύο βαγόνια μεταξύ τους β) Να υπολογιστεί η κινούσα δύναμη της μηχανής. Βαγόνι 3: 3 m3a 3 m3a 000 0.6 00N N 3 3 3 3 N N Βαγόνι : ma 3 ma 00+ 000 0.6 400N Μηχανή : m a m a 400+ 6000 0.6 6000N
Άσκηση Δύο κιβώτια, το ένα με μάζα 4kg και το άλλο με μάζα 6kg, βρίσκονται ακίνητα πάνω σε επιφάνεια παγωμένης λίμνης όπου δεν υπάρχει τριβή. Τα κιβώτια είναι δεμένα μεταξύ τους με αβαρές σχοινί. Μια γυναίκα που φορά παπούτσια του γκολφ, έλκει οριζοντίως το κιβώτιο των 6kg με δύναμη προσδίδοντας στα κιβώτια επιτάχυνση.5m/s α) Πόσο είναι το μέτρο της ; β) Πόση είναι η τάση του σχοινιού που συνδέει τα κιβώτια; m Σώμα : m ma m a 4.5 0N : ζεύγος δράσης - αντίδρασης N N Σώμα : m a m a + m a 6.5 + 0 5N Άσκηση Ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύει από της Γη στον Ήλιο κινούμενο πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο σωμάτων. Σεποιάαπόστασηαπότοκέντροτης Γης αλληλοαναιρούνται οι δυνάμεις βαρύτητας που ασκούνται στο διαστημόπλοιο; Μ ΗΛΙΟΥ.99 0 30 kg Μ ΓΗΣ 5.98 0 4 kg R ΗΛΙΟΥ 6.96 0 8 m R ΓΗΣ 6.38 0 6 m d H-Γ.49 0 m Γ Η d- Δύναμη που ασκεί η Γη στο διαστημόπλοιο Δύναμη που ασκεί ο Ήλιος στο διαστημόπλοιο Γ H G M Γ m G ( d ) Γ M Γm G M H m G d d M Η M Η d + d 0 M Γ M Γ 5 6 + 8.94 0 6.68 0 0.58 0 M Η m d + H ( ) 8 m
Νόμοι του Κέπλερ ος Νόμος: Η τροχιά των πλανητών είναι ελλειπτική με τον Ήλιο να βρίσκεται στη μία εστία της έλλειψης. ος Νόμος: Η επιβατική ακτίνα που ενώνει τον Ήλιο και τον κάθε πλανήτη διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσα εμβαδά. 3 ος Νόμος: Το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς του κάθε πλανήτη είναι ανάλογο με τον κύβο του μήκους του μεγάλου ημιάξονα της έλλειψης που διαγράφει.