ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει πάντα κύκλο.. Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, - 1) που περνά από το σηµείο (- 1, 1) έχει πάντα εξίσωση: ( - 1) + ( + 1) = 8.. Η εξίσωση + + α ( + + 1) = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε θετικό α. 5. ημ θ συνθ Το σηµείο (, ) ανήκει στον κύκλο ( - ηµθ) + ( - συνθ) = 1 για κάθε πραγµατικό αριθµό θ. 6. Οι κύκλοι + + + - 1 = 0 και + + + + = 0 είναι οµόκεντροι 7. Το σηµείο του κύκλου + = µε τετµηµένη βρίσκεται πάνω στην ευθεία =. 8. Οι κύκλοι ( - 1) + ( + ) = 1 και ( - ) + ( + 1) = 10 εφάπτονται εξωτερικά 9. Ο κύκλος ( + 1) + = 18 τέµνει την ευθεία = + 1. 10. Τα σηµεία (-, ) και (, ) του κύκλου ( - 1) + ( - ) = 9 είναι αντιδιαµετρικά. 11. Οι κύκλοι + ( - 1) = και + ( - 1) = έχουν δύο κοινά σηµεία. 1. Η εξίσωση ( + ) - = παριστάνει κύκλο.
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 1. Η εξίσωση - + 1 + = 5 παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο (1, 0). 1. Η καµπύλη που παριστάνει η εξίσωση + = α είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. 15. Η σχέση = α είναι τύπος συνάρτησης που παριστάνει ηµικύκλιο (- α α) 16. Ένας κύκλος έχει το κέντρο του στην ευθεία =. Έχει πάντα εξίσωση ( - α) + ( - α) = α. 17. Ένα σηµείο ( 1, 1 ) είναι εσωτερικό ενός κύκλου µε κέντρο Κ ( 0, 0 ) και ακτίνα ρ. Ισχύει: ( 1-0 ) + ( 1-0 ) < ρ. 18. Η παραβολή µε εστία το σηµείο (1, 0) έχει παράµετρο p =. 19. Η ευθεία που έχει εξίσωση = είναι παράλληλη στη διευθετούσα της παραβολής = 16. 0. το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Ο η παραβολή = p βρίσκεται πάντα στο ηµιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε. 1. Ο άξονας είναι άξονας συµµετρίας της παραβολής = 8.. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής = p στο σηµείο Μ 1 ( 1, 1 ) είναι 1 = p ( + 1 ).. Μια ευθεία και µια παραβολή έχουν ένα κοινό σηµείο. Η ευθεία είναι εφαπτοµένη της παραβολής.. Μια παραβολή µε άξονα συµµετρίας τον άξονα έχει πάντα εξίσωση της µορφής = ρ. 5. Μια παραβολή µε κορυφή το Ο (0, 0) και διευθετούσα την = p, έχει άξονα συµµετρίας τον. 6. Κάθε σηµείο της παραβολής = 8 ισαπέχει από την ευθεία = - και το σηµείο (, 0).
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 7. 8. Όλα τα σηµεία της = p µε p > 0, εκτός του (0, 0), έχουν θετική τετµηµένη Η διευθετούσα της = είναι η ευθεία = - 1. 9. Η διευθετούσα της = είναι η ευθεία = - 1. 0. Ο κύκλος ( - 1) + = 1 και η παραβολή = - εφάπτονται. 1. Η εστία της παραβολής = βρίσκεται πάνω στην ευθεία =... το σηµείο ( 0, 0 ) της παραβολής = p η εφαπτοµένη έχει p συντελεστή διεύθυνσης λ = ( 0 0). 0 Ο κύκλος + = 1 περνά από την εστία της παραβολής =. 5. Δύο από τις κορυφές και οι εστίες οποιασδήποτε έλλειψης, βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 6. Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει προς το 0, τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. 7. Η εξίσωση + = 1 παριστάνει έλλειψη μόνο αν α > β. α β 8. Η εστιακή απόσταση μιας έλλειψης είναι το μισό του μεγάλου 1 άξονα. Η εκκεντρότητα αυτής της έλλειψης είναι. 9. Μια ευθεία που έχει ένα μόνο κοινό σημείο με μια έλλειψη, είναι πάντοτε εφαπτομένη της. 0. 1 Η εξίσωση + = παριστάνει έλλειψη. 5 1. Το σημείο (κ, λ) ανήκει σε κάθε έλλειψη με κέντρο Ο, η οποία περιέχει το σημείο (- κ, - λ).. Δύο ελλείψεις που έχουν τις ίδιες εστίες, είναι όμοιες.. Δύο όμοιες ελλείψεις έχουν πάντα τις ίδιες εστίες.. Το σημείο Α (, - ) βρίσκεται έξω από την έλλειψη C: + = 1. 5 9 5
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 5. Η εξίσωση + κ = 1 παριστάνει έλλειψη μόνο όταν κ > 0. 6. Η έλλειψη + = 1 και ο κύκλος + = 1 δεν έχουν κοινό σημείο. 7. Τα σημεία της έλλειψης + = 1 είναι εσωτερικά της έλλειψης + = 1. 5 8. Η ευθεία = - είναι εφαπτομένη της έλλειψης + = 1. 9 9. Η ευθεία = είναι εφαπτομένη της έλλειψης + = 1. 50. Εστιακή απόσταση μιας έλλειψης ονομάζεται η απόσταση δύο σημείων της που είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο της. 51. Η εφαπτομένη της έλλειψης + = 1 στο σημείο της Μ α β (ασυνθ, βημθ) είναι (συνθ) + (ημθ) = 1. 5. Η εκκεντρότητα της έλλειψης + = είναι ε =. 5. Οι ελλείψεις + = 1 και + 9 6 16 = 1 είναι όμοιες. 5. Η εξίσωση μιας υπερβολής είναι - = 1. Ισχύει πάντα α > α β β. 55. Η υπερβολή C: - α β = 1 τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία. 56. Όσο πιο μεγάλη είναι η εκκεντρότητα, τόσο πιο ανοικτή είναι η υπερβολή. 57. Η ισοσκελής υπερβολή - = α έχει εκκεντρότητα ε =. α 58. Η υπερβολή - = 1 έχει ασύμπτωτες τις ευθείες ε 1 : = β α β α και ε : = -. β 59. Η εξίσωση - 9 = 0 παριστάνει υπερβολή. 6
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 60. Το ορθογώνιο βάσης μιας υπερβολής έχει κοινά σημεία με την υπερβολή. 61. Το σημείο (5, ) ανήκει σε μια διευθετούσα ευθεία της υπερβολής 16-5 = 0. 6. Υπάρχουν υπερβολές που οι ασύμπτωτές τους είναι κάθετες μεταξύ τους. 6. Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. 6. Η εξίσωση κ + λ = 0 παριστάνει υπερβολή για κάθε κ, λ R. 65. Η υπερβολή 5 - = 1 τέμνει τον άξονα στα σημεία (0, ) και (0, - ). 66. Η υπερβολή - = 1 έχει τέσσερα κοινά σημεία με τον 5 κύκλο + =. 67. Η ευθεία = 1 εφάπτεται της υπερβολής - = 1. 68. Η διχοτόμος της γωνίας O τέμνει την υπερβολή - = σε δύο σημεία. 69. Κάθε ασύμπτωτη της υπερβολής - α β = 1 είναι κάθετη σε μία από τις ασύμπτωτες της υπερβολής - α β = 1. 70. Υπάρχει θ R, ώστε το σημείο (ημθ, 1) ανήκει στην υπερβολή - = 1. 71. Οι υπερβολές - = 1 και - = 1 έχουν τις ίδιες εστίες. 7
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 7. Η εξίσωση ( o) + ( o) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. 7. Η εξίσωση + + A + B + Γ = 0 παριστάνει κύκλο για οποιαδήποτε Α, Β, Γ R 7. Η εξίσωση ( + ) + ( - ) = - 5 είναι εξίσωση κύκλου. 75. Η εξίσωση ( + εξίσωση κύκλου. A B ) + ( + ) = A + B Γ είναι πάντοτε 76. Το κέντρο του κύκλου C: ( - 1) + ( + ) = 9, βρίσκεται πάνω στην ευθεία + = - 1. 77. Το κέντρο του κύκλου C: ( - 1) + ( - 1) = 5 βρίσκεται πάνω στην διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων. 78. Το σημείο (, -1) ανήκει στον κύκλο C: ( - ) + ( + ) = 1. 79. Τα σημεία τομής των ευθειών ε 1, ε, ε, ε με εξισώσεις: = 1, = -1, = -1 και = 1 μπορεί να ανήκουν σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0). 8
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ. ε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Το σημείο Μ (-, ) ανήκει στη γραμμή με εξίσωση Α. = Β. = - Γ. + = 1 Δ. ( + ) + ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάμετρο ΑΒ με Α (1, -) και Β (7, 5), έχει συντεταγμένες Α. (, ) Β. (, ) Γ. (, - ) Δ. (, 1) Ε. (, - 1).. Η ακτίνα του κύκλου + = 8 είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. 8 Το κέντρο του κύκλου + - 6 + + 10 = 0 είναι Α. (, - ) Β. (, - ) Γ. (, ) Δ. (-, ) Ε. (-, ) 5. Η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο (- 1, - 1) και διέρχεται από το σημείο (, - ), είναι Α. + = 9 Β. ( - 1) + ( - 1) = 9 Γ. ( + 1) + ( + 1) = 9 Δ. ( - 1) + ( - 1) = 9 Ε. ( + 1) + ( + 1) = 9 6. Ένας κύκλος που διέρχεται από το σημείο (, 9) και έχει ακτίνα 9, έχει εξίσωση Α. + = 81 Β. + = Γ. + = 9 Δ. ( - ) + = 81 Ε. ( - ) + = 9 7. Ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο (1, ) και εφάπτεται στον άξονα των, έχει εξίσωση Α. ( - 1) + ( - ) = Β. ( - ) + ( - 1) = Γ. ( - 1) + ( - ) = Δ. ( + 1) + ( + ) = Ε. ( + 1) + ( + ) = 8. 9. Η εφαπτομένη του κύκλου + = 5 στο σημείο (, 1) είναι παράλληλη στην ευθεία Α. - + 1 = 0 Β. + + 7 = 0 Γ. + = Δ. + + 1 = 0 Ε. = Ο κύκλος ( - ) + ( - ) = ρ εφάπτεται του άξονα. Η τιμή του ρ είναι Α. 1 Β. Γ. Δ. 5 Ε. καμία από τις προηγούμενες 9
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 10. Ο κύκλος + - 6-8κ + κ - κ + 1 = 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Η τιμή του κ είναι Α. Β. Γ. Δ. 1 Ε. 0 11. Ο κύκλος που έχει κέντρο το ( 0, 0), εφάπτεται στον άξονα. Η εξίσωσή του είναι Α. ( - 0 ) + = Β. + = Γ. ( - 0 ) + = ρ 0 0 Δ. ( - ρ) + = ρ Ε. ( - 0 ) + = 0 1. 1. 1. 15. 16. 17. Ο κύκλος ( - α) + ( - β) = ρ (α, β, ρ θετικοί) εφάπτεται στους δύο θετικούς ημιάξονες O, O, όταν Α. α = β ρ Β. α β = ρ Γ. α > β Δ. α = ρ = β Ε. κανένα από τα προηγούμενα Ο κύκλος που έχει εξίσωση την ( - α) + ( - α) = α Α. διέρχεται από το σημείο Α (α, α) Β. διέρχεται από το σημείο Α ( α, α ) Γ. έχει το κέντρο του στην = + 1 Δ. έχει το κέντρο του στην ευθεία = - Ε. εφάπτεται στους άξονες και Δίνονται δύο κύκλοι με εξισώσεις C 1 : ( - α) + = α και C : + ( - α) = α (α 0). Α. Η απόσταση των κέντρων τους είναι α Β. Η απόσταση των κέντρων τους είναι α Γ. Η απόσταση των κέντρων τους είναι α Δ. Το κέντρο του C 1 είναι εσωτερικό του C Ε. Το κέντρο του C βρίσκεται πάνω στον C 1 Η εξίσωση + + A + B + Γ = 0 παριστάνει πάντα κύκλο, όταν Α. Α + Β - Γ είναι τέλειο τετράγωνο Β. Α + Β 0 Γ. Α + Β > Γ Δ. Α + Β - Γ < 0 Ε. Α + Β < Γ Ο κύκλος + + = 0 Α. εφάπτεται στον Β. εφάπτεται στον Γ. τέμνει τον σε δύο σημεία Δ. δεν τέμνει κανένα άξονα Ε. εφάπτεται και στους δύο αξόνες Ο κύκλος + - α ( + ) = - α, α > 0 έχει κέντρο α Α. (α, α) Β. (α, α) Γ. (, α) Δ. (α, - α) Ε. (α, α) 0
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 18. 1 1 Δίνεται το σημείο Α ( ημθ, συνθ), θ R και ο κύκλος + = 1. Α. Το σημείο Α ανήκει στον κύκλο, για κάθε θ R Β. Το σημείο Α ανήκει στον κύκλο, αν θ (0, π) Γ. Το σημείο Α βρίσκεται έξω από τον κύκλο Δ. Το σημείο Α βρίσκεται μέσα στον κύκλο Ε. Το σημείο Α βρίσκεται άλλοτε μέσα και άλλοτε έξω από τον κύκλο 19. Η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ (- 1, - ) και περνά από το σημείο (, ), είναι Α. ( + 1) + ( + ) = Β. + + + = - Γ. ( - 1) + ( - ) = 5 Δ. + - - = Ε. ( + 1) + ( + ) = 5 0. Η εξίσωση του ημικυκλίου του διπλανού σχήματος είναι Α. + = Β. + = Γ. = - Δ. = Ε. ( - ) + ( + ) = - - 0 1. Δίνεται ο κύκλος + = 5 και το σημείο του Μ (- 1, ). Η εφαπτομένη του στο Μ έχει εξίσωση Α. - = 5 Β. - - = 5 Γ. + - 5 = 0 Δ. - + 5 = 0 Ε. + = 5. Δίνεται ο κύκλος + = και το σημείο του Μ (+, - 1). Η εφαπτομένη του Μ είναι Α. - + - = 0 Β. - - = 0 Γ. - = Δ. + = Ε. - + =. Η παραβολή που έχει εστία Ε (0, ) και κορυφή το Ο (0, 0), έχει εξίσωση Α. = 8 Β. = - 8 Γ. = 16 Δ. = 16 Ε. = 8. 5. Η εφαπτομένη της παραβολής = 16 στο σημείο (1, ) είναι παράλληλη στην ευθεία Α. = Β. = - Γ. = + 1 Δ. = + Ε. = Τα κοινά σημεία της παραβολής = 8 και της ευθείας - = 0 είναι Α. (0, 0) και (1, 1) Β. (8, 8) και (, 1) Γ. (0, 0) και (8, 8) Δ. (1, 8 ) και (- 1, 8 ) Ε. (, ) και (, ) 1
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 6. 7. 8. 9. 0. 1.. Το σημείο Α (κ, ) ανήκει στην παραβολή = 8. Το συμμετρικό σημείο Α του Α ως προς τον άξονα είναι Α. (, ) Β. (-, ) Γ. (, ) Δ. (, - ) Ε. (, - ) Μια παραβολή με κορυφή το Ο (0, 0) έχει διευθετούσα την =. Η παραβολή αυτή έχει εξίσωση Α. = 6 Β. = - 6 Γ. = Δ. = - 6 Ε. = - Η εξίσωση = α, α 0 παριστάνει παραβολή α Α. της μορφής = p με p = Β. της μορφής = p με p = α Γ. η οποία βρίσκεται στο δεύτερο και τρίτο τεταρτημόριο α Δ. της μορφής = p με p = Ε. με άξονα συμμετρίας τον Η εξίσωση = α Α. παριστάνει παραβολή, μόνο αν α > 0 1 Β. παριστάνει παραβολή, μόνο αν α = p (p > 0) Γ. παριστάνει παραβολή για κάθε α 0 Δ. παριστάνει παραβολή για κάθε α πραγματικό αριθμό Ε. παριστάνει παραβολή μόνο όταν α ρητός Οι παραβολές = α και = α (α 0) Α. έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Β. εφάπτονται στο Ο (0, 0) Γ. έχουν ένα ή δύο κοινά σημεία ανάλογα με το α Δ. έχουν πάντα δύο κοινά σημεία Ε. υπάρχει τιμή του α για την οποία δεν τέμνονται Η εφαπτομένη της παραβολής = p στο σημείο της ( 1, 1 ) (0, 0) έχει συντελεστή διεύθυνσης p p 1 Α. λ = Β. λ = Γ. λ = Δ. λ = 1 Ε. λ = p 1 1 p p Οι εφαπτόμενες της παραβολής = p στα σημεία ( 1, 1 ) και ( 1, - 1 ) Α. είναι παράλληλες Β. είναι πάντα κάθετες Γ. τέμνονται σε σημείο του άξονα Δ. τέμνονται σε σημείο του άξονα Ε. σχηματίζουν πάντα οξεία γωνία
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ. Η εξίσωση = 16 Α. παριστάνει μια παραβολή Β. παριστάνει δύο παραβολές Γ. παριστάνει παραβολή, μόνο αν > 0 Δ. παριστάνει παραβολή, μόνο αν < 0 Ε. παριστάνει δύο ευθείες. Το σημείο Α (, ) της παραβολής = 8 απέχει από τη διευθετούσα απόσταση Α. Β. Γ. 8 Δ. 16 Ε. 8 5. Αν Ε, Ε οι εστίες μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα μήκους α και Α τυχόν σημείο της έλλειψης, τότε Α. (ΑΕ ) - (ΑΕ) = α Β. (ΑΕ ) + (ΑΕ) = α Γ. (ΑΕ ) = (ΑΕ) Δ. (ΑΕ ) + (ΑΕ) = α Ε. (ΑΕ ) - (ΑΕ) = α 6. 5 Η απόσταση του κέντρου της έλλειψης + = 1 από τη μια εστία της είναι 9 7 11 11 5 Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6 10 5 7. Η εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε (0, - ) και Ε (0, ) και μικρό άξονα 10, είναι Α. + = 1 Β. + = 1 Γ. + = 1 9 5 5 Δ. + = 1 Ε. - = 10 5 9 8. Από τις παρακάτω ελλείψεις με εστίες στον άξονα και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, έχει εστιακή απόσταση 6 η Α. + = 1 Β. + = 1 Γ. + = 1 5 16 5 5 Δ. + = 1 Ε. + = 1 6 8 16 5 9. Έστω η έλλειψη C: + α β = 1 με εστιακή απόσταση γ και μεγάλο άξονα α. Τότε θα είναι πάντα Α. α > β > γ Β. β = γ - α Γ. 0 < α < β Δ. γ > α Ε. γ < α
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 0. Η έλλειψη που έχει την ίδια εκκεντρότητα με την C: + = 1, είναι 5 Α. + = 1 Β. + = 1 Γ. + = 1 Δ. + = 1 Ε. + = 1 5 1. Η έλλειψη + = 1 έχει μια εστία στο σημείο Α. (, ) Β. (0, ) Γ. (, 0) Δ. (- 1, 0) Ε. (0, -1)... Οι ελλείψεις + = 1 και + α β β α = 1 έχουν Α. δύο μόνο κοινά σημεία Β. τέσσερα κοινά σημεία Γ. ένα μόνο κοινό σημείο Δ. κανένα κοινό σημείο Ε. άπειρα κοινά σημεία Η εξίσωση β + α = α β α, β 0 Α. παριστάνει πάντα μία έλλειψη Β. παριστάνει πάντα έναν κύκλο Γ. παριστάνει δύο τεμνόμενες ευθείες Δ. παριστάνει μία έλλειψη, αν α β Ε. παριστάνει μία έλλειψη, αν α = β Η έλλειψη + = 1 είναι όμοια με την Α. + = 1 Β. + = 1 Γ. + = 1 5 16 9 Δ. + = 1 Ε. + = 1 16 5. Μια από τις ελλείψεις με εστίες τα σημεία Ε (-, 0) και Ε (, 0) είναι και η Α. + = 1 Β. + = 1 Γ. 5 1 9 + = 1 Δ. + = 1 Ε. + = 1 16 9 5 6. Δίνεται η έλλειψη C: + = 1 και το σημείο της Μ (- 5, 0). 5 Η εφαπτομένη της στο M θα είναι Α. 5-5 = 0 Β. + 5 + 5 = 0 Γ. 5-15 = 0
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ Δ. - 5 + - 15 = 0 Ε. - 5-15 = 0 7. 8. 9. Δίνεται η έλλειψη C: + = και το σημείο της Μ (, - 1). Η εφαπτομένη της στο M θα έχει εξίσωση Α. - = Β. - - = 0 Γ. + = Δ. - - = 0 Ε. - - = Μια ασύμπτωτη της υπερβολής 16-5 = 00 είναι 5 16 Α. = Β. = Γ. = 5 5 5 Δ. = Ε. καμία από τις προηγούμενες 16 Η εξίσωση της υπερβολής που έχει εστιακή απόσταση γ = 8 και εκκεντρότητα Α. - = 1 Β. - = 1 Γ. + = 1 9 7 9 Δ. - = 1 Ε. - = 1 7 9 16 9 είναι 50. 51. 5. Μια υπερβολή έχει εξίσωση C: - = 1. Τότε Α. η C έχει τις εστίες της στον άξονα Β. έχει ασύμπτωτες τις = ± Γ. έχει εστίες Ε (- 5, 0), Ε (5, 0) Δ. είναι α = και β = Ε. έχει κορυφές Α (-, 0), Α (, 0) Οι υπερβολές C 1 : β - α = α β και C : α - β = α β έχουν Α. την ίδια εκκεντρότητα Β. τις ίδιες εστίες Γ. την ίδια εστιακή απόσταση Δ. διαφορετικές ασύμπτωτες Ε. τις ίδιες κορυφές Η υπερβολή C 1 : - = 1 και η έλλειψη C : + = 1 έχουν α β α β Α. την ίδια εστιακή απόσταση Β. τις ίδιες εστίες Γ. την ίδια εκκεντρότητα Δ. δύο από τις κορυφές της C ταυτίζονται με τις κορυφές της C 1 Ε. τέσσερα κοινά σημεία 5
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 5. 5. 55. Δίνεται η υπερβολή - α β = 1 και ένα σημείο της Μ 1 ( 1, 1 ). Η εφαπτομένη της στο Μ 1 θα έχει εξίσωση 1 1 1 1 Α. - = 1 Β. - α β β α = 1 Γ. β 1 - α 1 = α β Δ. α 1 - β 1 = 1 Ε. 1-1 = 1 Η εξίσωση κ + λ = μ με κ, λ, μ 0 παριστάνει πάντα υπερβολή με Α. μ = 1 Β. κ.λ < 0 Γ. μ < 0 Δ. κ λ Ε. κ = μ ή λ = μ Οι υπερβολές - = 1 και - α β α β = - 1 έχουν Α. την ίδια εκκεντρότητα Β. τις ίδιες ασύμπτωτες Γ. τις ίδιες εστίες Δ. τις ίδιες κορυφές Ε. μία μόνο κοινή εστία 56. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = ( ή - ) είναι Α. κύκλος με ακτίνα ρ = 1 Β. έλλειψη με α = και β = Γ. υπερβολή με εστίες (- 5, 0), (5, 0) Δ. τα δύο άνω τμήματα υπερβολής με εστίες (- 5, 0), (5, 0) 5 Ε. παραβολή με διευθετούσα = - 1 16 1 57. Τα σημεία Μ (, ) για τα οποία ισχύει: (AM) (BM) = 6 με Α (- 5, 0) και Β (5, 0) Α. ανήκουν στην έλλειψη + = 1 9 5 Β. ανήκουν στην υπερβολή - = 1 9 5 Γ. ανήκουν στην υπερβολή - = 1 16 9 Δ. ανήκουν στην υπερβολή - = 1 9 5 Ε. ανήκουν στην υπερβολή - = 1 9 16 6
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 58. 59. Ένα σημείο της υπερβολής - = 1 είναι το Μ (1, ). Η εφαπτομένη της στο M έχει εξίσωση Α. + + 1 = 0 Β. - = Γ. - + = 0 Δ. - = - Ε. - + 1 = 0 Δίνεται ο κύκλος C: ( - ) + =. Το σημείο Α (κ, λ), κ, λ R είναι εσωτερικό του κύκλου, αν Α. κ + (λ - ) > Β. (κ - ) + λ < Γ. κ + (λ - ) < Δ. κ + λ < Ε. κανένα από τα προηγούμενα 60. Δίνονται οι κύκλοι C 1, C, C με εξισώσεις ( - 1) + ( - 1) =, ( - 1) + ( - 1) = 8, ( - 1) + ( - 1) = 16 αντιστοίχως και οι προτάσεις: (Ι) το σημείο Α (, ) είναι εξωτερικό του C 1 (ΙΙ) το σημείο Α (, ) είναι εξωτερικό του C (ΙΙΙ) το σημείο Α (, ) είναι εσωτερικό του C τότε αληθεύουν: Α. Ι και ΙΙ Β. ΙΙ και ΙΙΙ Γ. Ι και ΙΙΙ Δ. ΙΙ Ε. καμία. 61. 6. Ο κύκλος C: ( - α) + ( - β) = R, διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αν Α. R = α + β Β. R = α + β Γ. R = α + β α + β Δ. R = Ε. R = α - β Η εξίσωση της διαμέτρου του κύκλου C: + ( - ) =, που είναι παράλληλη στην ευθεία ε: + + 1 = 0, είναι η Α. + - 1 = 0 Β. = Γ. = - Δ. + - = 0 E. - + = 0 7
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ. ε κάθε κύκλο της στήλης Α να αντιστοιχίσετε την εφαπτομένη του στη στήλη Β. Το σημείο επαφής είναι το ( 0, 0 ). ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β κύκλος σημείο ( 0, 0 ) εφαπτόμενη ευθεία 1) + = 1 (0, 1) Α) = 0 ) ( - ) + ( - 1) = 1 (, 0) Β) + ( + ) = 5 Γ) = 1 ) + = 5 (, ) Δ) = ) + ( + ) = 5 (1, ) Ε) + = 5 Τ) - = 1. ε κάθε κύκλο της στήλης Α να αντιστοιχίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα του ρ. ΤΗΗ Α κύκλος ΤΗΗ Β κέντρο ακτίνα 1) + p - 1 = 0 α > 0 Α) Κ (α, 1) ρ = α ) + - + α = - α Β) Κ (- 1, ) ρ = ) ( + α) + ( - α) = α + α, α 0 Γ) Κ (0, 0) ρ = α ) + + - 6 = - Δ) Κ (α, α) ρ = α Ε) Κ (1, - α) ρ = 1 Τ) Κ (0, α) ρ = α 8
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 5. Να αντιστοιχίσετε κάθε παραβολή της στήλης Α με την εστία της στη στήλη Β. ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β παραβολή εστία 1) = p ) = p ) = - p p ) = p Α) (-, 0) p Β) (, 0) 8 p Γ) (, 0) p Δ) (0, ) p Ε) (0, ) p Τ) (0, - ) 6. Δίνεται η παραβολή =. ε κάθε σημείο της στήλης Α να αντιστοιχίσετε την εφαπτομένη της παραβολής σ αυτό το σημείο που γράφεται στη στήλη Β. ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β σημείο εφαπτομένη παραβολής 1) (0, 0) Α) = + 1 1 ) (, 1) Β) ο άξονας Γ) - = + 1 ) (, - 1) 9
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ ) (, ) Δ) = - Ε) - = + 1 Τ) = + 7. τη στήλη (Α) δίνεται σε κάθε γραμμή η εστία Ε και η διευθετούσα δ μιας παραβολής, της οποίας η εξίσωση γράφεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με γραμμές τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης στήλης με αυτά της δεύτερης. ΤΗΗ Α εστία - διευθετούσα ΤΗΗ Β εξίσωση παραβολής 1) Ε (-, 0) και δ: - = 0 ) Ε (0, ) και δ: + = 0 ) Ε (, 0) και δ: + = 0 Α) = 16 Β) = - 8 Γ) = 8 Δ) = 1 Ε) = - 16 8. τη στήλη (Α) δίνεται σε κάθε γραμμή η εξίσωση μιας παραβολής που έχει εστία Ε και διευθετούσα δ, που γράφονται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με γραμμές τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο στηλών. ΤΗΗ Α παραβολή ΤΗΗ Β Εστία-διευθετούσα 1) = Α) Ε (- 1, 0) και δ: + 1 = 0 ) = - 1 1 Β) Ε (, 0) και δ: + = 0 50
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ Γ) Ε (- 5, 1) και δ: + 1 = 0 ) = 0 Δ) Ε (- 1, 0) και δ: - 1 = 0 Ε) Ε (0, 5) και δ: + 5 = 0 9. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε έλλειψη της στήλης (Α) την εξίσωσή της στη στήλη (Β). ΤΗΗ Α έλλειψη ΤΗΗ Β εξίσωση έλλειψης 1) 0 5 9 Α) + = 1 ) E(-,0) 0 E(,0) Β) + = 1 16-1 ) 0 Γ) + = 1 16 ) - Δ) + 5 = 5 AE +AE=10 - E 0 E 5) = Ε) + = 1 0 = Τ) + = 1 5 9 51
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 10. Κάθε κωνική της στήλης (Α) έχει εξίσωση που βρίσκεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με γραμμές τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο στηλών. ΤΗΗ Α είδος κωνικής ΤΗΗ Β εξίσωση γραμμής 1) κύκλος Α) + = 1 ) παραβολή ) έλλειψη ) υπερβολή Β) + = 0 Γ) = 9 - ( - 1) Δ) 9 = 6 + 7 Ε) - 16 = 0 Τ) = 100-5 11. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση υπερβολής της στήλης (Α) με τις ασύμπτωτές της στη στήλη (Β). ΤΗΗ Α εξίσωση υπερβολής ΤΗΗ Β εξισώσεις ασυμπτώτων 1) - = 1 ) - = 1 ) 6-5 = 0 ) - = Α) = ± 6 Β) = ± Γ) = ± Δ) = ± 5 6 Ε) = ±. 5 5
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ Τ) = ± 1. ε κάθε γραμμή της στήλης (Α) γράφεται η εξίσωση μιας κωνικής, η οποία έχει εκκεντρότητα που γράφεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με γραμμές τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο στηλών. ΤΗΗ Α εξίσωση κωνικής ΤΗΗ Β εκκεντρότητα 1) Α) + = 1 1 Β) ) - = 1 9 Γ) 5 ) + 9 = 6 Δ) - Ε) 1 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης (Α) με την αντίστοιχη γραφική παράσταση της στήλης (Β). 5
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ ΤΗΗ Α εξίσωση ΤΗΗ Β γραφική παράσταση 1) = Α) 0 Β) ) ( - 1) + ( + 1) = 1 0 Γ) ) + = 1 9 Δ) =1 0 Ε) 0-1 1 1. ε κάθε υπερβολή της στήλης (Α) να αντιστοιχίσετε την εξίσωση μιας ασύμπτωτής της στη στήλη (Β). 5
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΤΗΗ Α υπερβολή ΤΗΗ Β ασύμπτωτη υπερβολής 1) - = α Α) - = 0 ) - = Β) - = 0 ) ( - ) ( + ) = Γ) = ) - = 1 9 16 Δ) - = 0 Ε) - = 0 Τ) + = 0 15. Να γίνουν οι παρακάτω ερωτήσεις διάταξης: 1. Να γράψετε τους παρακάτω κύκλους C 1, C, C, C, C 5 σε μια σειρά, έτσι ώστε καθένας να έχει από τον προηγούμενό του μεγαλύτερη ακτίνα: C 1 : + = C : + + = 9 C : ( - 1) + ( - ) = C : + = 7 C 5 : + ( - ) = 6. Να γράψετε τις παρακάτω παραβολές C 1, C, C, C, C 5 σε μια σειρά, έτσι ώστε καθεμιά να έχει από τον προηγουμένη της μεγαλύτερη παράμετρο: 1 C 1 : = C : = C : = - 6 C : = C 5 : =. Να γράψετε τα σημεία Α (0, ), Β (, 0), Γ (, ), Δ (0, 0) και Ε (, - ) σε μια σειρά, έτσι ώστε καθένα από το προηγούμενό του να έχει μεγαλύτερη απόσταση από την ασύμπτωτη της υπερβολής - = 1, που βρίσκεται στην πρώτη και τρίτη γωνία των 9 αξόνων. 55
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΥΚΕΙΟΥ. Δίνεται η παραβολή = 8 και τα σημεία Α (, 0), Β (- 1, 0), Γ (0, ), Δ (- 5, 1), Ε (-, ), τα οποία απέχουν από τη διευθετούσα της παραβολής αποστάσεις d Α, d Β, d Γ, d Δ, d Ε αντιστοίχως. Να γράψετε σε μια σειρά τις αποστάσεις d Α, d Β, d Γ, d Δ, d Ε, έτσι ώστε καθεμιά να είναι μεγαλύτερη από την προηγουμένη της. 5. Να γραφούν οι παρακάτω κωνικές σε μια σειρά, έτσι ώστε καθεμιά να έχει μεγαλύτερη εκκεντρότητα από την προηγουμένη της. C 1 : + = C : + 9 = 6 C : - = C : - 9 = 6 C 5 : - = 1 16. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: εξίσωση κύκλου + ( - ) = 1 κέντρο κύκλου ακτίνα κύκλου σημεία τομής σημεία τομής κύκλου κύκλου με άξονα με άξονα + + - - = 0 + = 9 + - - + 1 = 0 17. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: εξίσωση έλλειψης + 9 = 6 συντεταγμένες εστιών συντεταγμένες κορυφών εκκεντρότητα + = 16 56