Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Transcript

1 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό της υπερβολής. 5 μονάδες) Γ. Να συμπληρώσετε ορθά τις παρακάτω προτάσεις: α) Η έλλειψη με εξίσωση έχει εστίες τα σημεία Ε...), Ε...) a και β =... β) Η υπερβολή με εξίσωση έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με a εξισώσεις... και... και εστίες τα σημεία Ε...), Ε...),5 μονάδα/ ερώτημα) Δ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή Σ) ή λάθος Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Αν a 0 τότε a 0 ή 0 Σ Λ ii) Οι ευθείες με εξισώσεις 5+ =-8 και -5+=0 είναι κάθετες μεταξύ τους. Σ Λ iii) Ο κύκλος με εξίσωση ) ) 5 έχει για κέντρο του το σημείο Κ, ) και ακτίνα ρ=5 Σ Λ iv) Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι μεγαλύτερη της μονάδας Σ Λ έτσι ώστε τα διανύσματα a και v) Υπάρχουν R,, να είναι κάθετα. Σ Λ vi) Η εξίσωση Α + B + Γ = 0 παριστάνει ευθεία όταν Α 0 ή Β 0. Σ Λ Θέμα Αν για τα διανύσματα a, ισχύουν,, και,5 μονάδα/ ερώτημα) i) Να βρεθεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των, a 8 μονάδες)

2 ii) Να βρείτε την προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα 8 μονάδες) iii) Έστω το διάνυσμα v a. Να βρεθεί το έτσι ώστε το v να είναι ελάχιστο. Για την τιμή του που θα βρείτε, να δείξετε ότι το v είναι κάθετο στο 9 μονάδες) Θέμα Α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ 5α+β, -α+β) με α,β R και α β = 5 μονάδες) Β) Δίνονται τα σημεία Ακ+, ) Β-, κ+), Γκ+, -) i) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε κ R μονάδες) ii) Για κ = 5 να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ΒΓ. μονάδες) iii) Για κ = να βρείτε σημείο Λ στον άξονα ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΛΑΒ να είναι ίσο με 0. 5 μονάδες) Γ) Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ) ) 0. Να βρεθεί η τιμή του μ έτσι ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στην ευθεία μονάδες) Δ) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του ερωτήματος Α) και ο κύκλος ) ) εφάπτονται. 5 μονάδες) Θέμα Η έλλειψη 6 τέμνει τον άξονα στα σημεία Κ, Κ και τον αρνητικό ημιάξονα Ο στο Λ. i) Να βρεθεί ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Κ, Κ, Λ. 7 μονάδες) ii) Από το σημείο Δ,) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΔΝ, ΔΝ προς τον κύκλο του ερωτήματος i). Να βρεθεί η ευθεία ΝΝ. 9 μονάδες) iii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που ισαπέχουν από την εφαπτόμενη του κύκλου του ερωτήματος i) στο σημείο του -,0) και το σημείο Ρ,0) 9 μονάδες) Ευχόμαστε Επιτυχία!

3 Απαντήσεις Διαγωνίσματος Θέμα Α) Σχολικό βιβλίο σελ. 8 Β) Σχολικό βιβλίο σελ. Γ) α) Εγ,0), Ε γ,0), β),, Ε0, γ), Ε 0, γ) Δ) i) Λ ii) Λ iii) Λ iv) Σ v) Λ vi) Σ Θέμα Έχουμε, i) Οπότε Επιπλέον 0 ii) Έχουμε, λ R ) Ισχύει 8 ),) i Οπότε από ) έχουμε:

4 iii) Έχουμε: Οπότε a Επειδή η παράσταση είναι τριώνυμο με α = >0 παίρνει ελάχιστη τιμή στο Οπότε a v Άρα v 0 Οπότε αφού 0 v Θέμα Α) Έχουμε ) Επίσης από το σημείο Μ 5α+β, -α+β) έχουμε: Οπότε ο γεωμετρικός τόπος που κινείται το σημείο Μ είναι μια ευθεία. Β) i) Έχουμε: ), ), ), ),

5 Οπότε det, ) ) Άρα για κάθε κ R. οπότε τα σημεία Α, Β, Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου ii) Για κ = 5 έχουμε: Α,), Β, ), Γ, ) Επειδή τα σημεία ΒΓ έχουν την ίδια τετμημένη θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία = Οπότε d, ) iii) Αφού το σημείο Λ βρίσκεται στον άξονα έχουμε Λ0,), ),5 ) det, 5 ) ) ) Από υπόθεση έχουμε: ΛΑΒ)= 0 5 =

6 Άρα Λ0, 0,) ή Λ0, 8,) Γ) Για να παριστάνει η σχέση ) ) 0 ) ευθεία θα πρέπει: 0 ή ή 0 Για να είναι η ευθεία της σχέσης ) παράλληλη στην θα πρέπει: Δ) Ο γεωμετρικός τόπος του Α) ερωτήματος είναι η ευθεία ε) Για να δείξουμε ότι ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία θα πρέπει να δείξουμε d K, ) 6

7 όπου η ακτίνα του κύκλου) και Κ, ) κέντρο του κύκλου) Έχουμε: 7 ) d K, ) Οπότε η ευθεία ε) εφάπτεται στον κύκλο Θέμα Έχουμε 6 6 οπότε α = και β = Άρα τα σημεία που τέμνει η έλλειψη τον άξονα είναι τα Κ0, ) και Κ 0, ) Και το σημείο που τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα Ο είναι το Λ,0) 0 0 i) Έστω Μ μέσο του ΚΛ: Μ,, 0 0 Έστω Μ μέσο του Κ Λ: Μ,, Θα βρόυμε την ευθεία ε ) που περνάει από το σημείο Μ και είναι κάθετη στη χορδή ΚΛ: 0 οπότε αφού ΚΛ ) 0 ) Άρα η ευθεία ε ) θα είναι: ) 0 Θα βρούμε την ευθεία ε ) που περνάει από το σημείο Μ και είναι κάθετη στη χορδή Κ Λ: 0 οπότε 0 ) αφού Κ Λ ) Άρα η ευθεία ε ) θα είναι: ) 0 Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής των δύο ευθειών ε ), ε ) Ε, 0 7

8 8 8 Η ακτίνα του θα είναι ΕΚ = Άρα η εξίσωση του κύκλου θα είναι : 5 ii) Έστω Ν, ) και Ν, ) τα σημεία επαφής Έχουμε ΔΝ): 5 και ΔΝ ): 5 Όμως το Δ ανήκει στα εφαπτόμενα τμήματα ΔΝ),ΔΝ ) άρα 5 και 5 Δηλαδή οι συντεταγμένες των σημείων Ν και Ν ανήκουν στην ευθεία 5 9 ΝΝ ) iii) Έστω το σημείο Μ, ) Η εφαπτόμενη του κύκλου του ερωτήματος i) στο σημείο του -,0) είναι η εφ) Έχουμε ) ) ), d ) Άρα το σημείο Μ κινείται πάνω σε μια παραβολή

9 9