ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

2

3 Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ 3. * Αν = κ + λi, κ, λ R, τότε Re () = κ. Σ Λ. * Αν = + ( - )i,, R και Ιm () = 0, τότε =. Σ Λ 5. * Αν, C µε Re ( + ) = 0, τότε Re ( ) + Re ( ) = 0. Σ Λ 6. * Αν = α + βi, αβ 0, τότε ο = + i. Σ Λ α β 7. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό ορίζεται =. Σ Λ 8. * Αν C, τότε =. Σ Λ 9. * Ο αριθµός είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν =. Σ Λ 0. * Ο αριθµός είναι φανταστικός, αν και µόνο αν = -. Σ Λ. * Αν = α + βi και + = α, τότε =. Σ Λ. * Αν i = -, τότε i 003 = i. Σ Λ 3. * Η διαφορά δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι φανταστικός αριθµός. Σ Λ. * Οι εικόνες των φανταστικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα. Σ Λ 5. * Οι εικόνες των αντίθετων µιγαδικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα. 6. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο µε Re () = βρίσκονται στην ευθεία =. Σ Λ 7. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο µε Ιm ( + i) = 8 βρίσκονται στην ευθεία = 8. Σ Λ Σ Λ 3

4 8. * Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών και αντιστοίχως στο µιγαδικό επίπεδο και ο άξονας είναι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος Μ Μ, τότε είναι =. Σ Λ 9. * Το µέτρο του = - + 3i είναι 3. Σ Λ 0. * Για κάθε, C ισχύει + = +. Σ Λ. * Η εξίσωση - = -,,, C, παριστάνει τη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος που έχει άκρα τα σηµεία Α ( ) και B ( ). Σ Λ. * Αν K ( 0 ) η εικόνα του µιγαδικού 0 στο µιγαδικό επίπεδο, τότε η εξίσωση - 0 = ρ, ρ > 0, C, παριστάνει κύκλο µε κέντρο το K ( 0 ) και ακτίνα ρ. Σ Λ 3. * Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των µιγαδικών λ = λ + (λ + ) i βρίσκονται πάνω στον άξονα για κάθε λ R. Σ Λ. * Η εξίσωση - = - µε άγνωστο το C και, C έχει µόνο µια λύση. Σ Λ 5. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό ορίζεται όρισµα. Σ Λ 6. * Αν Arg = θ τότε και Arg = θ. Σ Λ 7. * Η πολική µορφή του µιγαδικού αριθµού = α + βi είναι = ρ (συνθ + iηµθ), όπου ρ = και θ ένα όρισµά του. Σ Λ 8. * Αν = 3 (συν π + iηµ π ) τότε ένα όρισµα του είναι το π. Σ Λ 9. * Για τους µιγαδικούς αριθµούς = ρ (συνθ + iηµθ ) και = ρ (συνθ + iηµθ ) ισχύει = ρ θ (συν ρ θ + iηµ θ ). Σ Λ θ

5 30. * Αν ένας µιγαδικός αριθµός πολλαπλασιαστεί επί i 5 τότε η διανυσµατική του ακτίνα στρέφεται κατά γωνία π. Σ Λ 3. * ύο ορίσµατα ενός µιγαδικού αριθµού διαφέρουν κατά γωνία κπ µε κ Ζ. Σ Λ 3. * Αν τα ορίσµατα δύο µιγαδικών διαφέρουν κατά κπ, κ Ζ, τότε οι εικόνες τους και η αρχή των αξόνων βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Σ Λ 33. * Ισχύει: (συν π + iηµ π ) = + 3 i. Σ Λ 3. * Η εξίσωση 3 - i = 0 έχει µοναδική ρίζα τον 0 = i. Σ Λ 35. * Η εξίσωση 5 = έχει πέντε ρίζες, των οποίων οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα. Σ Λ 36. * Η εξίσωση - + λ = 0, λ R, µπορεί να έχει ρίζες τους µιγαδικούς + i και - i. Σ Λ 37. * Αν η εξίσωση α + β + γ = 0, α 0, α, β, γ R έχει ρίζα τον + i θα έχει και τον 5 + i. Σ Λ 38. * Η εξίσωση α + β + γ = 0, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. Σ Λ 39. * Υπάρχει εξίσωση µε πραγµατικούς συντελεστές 3ου βαθ- µού που έχει ρίζες τους αριθµούς, + i, + i. Σ Λ 0. * Οι εξισώσεις ν = και µ =, ν, µ Ν * έχουν τουλάχιστον µια κοινή ρίζα. Σ Λ. * Αν η εξίσωση α 3 + β + γ + δ = 0, α 0 έχει πραγµατικούς συντελεστές, τότε αυτή έχει οπωσδήποτε µια πραγµατική ρίζα. Σ Λ 5

6 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ισότητα + ( - ) i = 3 + i,, R, ισχύει αν και µόνο αν Α. = 3 ή = 5 Β. = 3 και = 5 Γ. = 3 ή =. = 3 και = Ε. + = 7. * Αν = α + βi µε αβ 0 και ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α. + πραγµατικός αριθµός Β. - φανταστικός αριθµός Γ. φανταστικός αριθµός. - πραγµατικός αριθµός Ε. + πραγµατικός αριθµός 3. * Ο αριθµός i 000 ισούται µε: Α. i Β. Γ. -. i Ε. 0. * Aν ν Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α. i ν = Β. i ν+ = - i Γ. i ν+ = -. i ν+ = i ν Ε. i ν+3 = - i 5. * O Α.. - i + i i 0 ισούται µε Β. - + i 0 Γ. - i 0 Ε. κανένα από τα προηγούµενα + i 6. * To - i 8 ισούται µε Α. + i Β. - i Γ. i. Ε. - 6

7 7. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού w = ( + ) + ( - ) i,, R, στο µιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο = + i ισούται µε Α. - i Β. + i Γ. - - i. - + i E. + i 8. * Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. = 0. = 0 Ε. σε καµία από τις προηγούµενες. 9. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών + 3i και 3 + i στο µιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συµµετρίας την ευθεία Α. = Β. = 3 Γ. =. = - Ε. = 0 0. * Αν η διανυσµατική ακτίνα του µιγαδικού αριθµού έχει φορέα τη διχοτόµο της ης και ης γωνίας των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου, τότε ο µπορεί να είναι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i. - - i Ε. - - i. * Στο µιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι σηµεία συµµετρικά Α. ως προς τον άξονα Β. ως προς τον άξονα Γ. ως προς την ευθεία =. ως προς την ευθεία = - Ε. ως προς την αρχή των αξόνων. * Αν η εικόνα του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο της ευθείας = 0, τότε ο δεν µπορεί να είναι ο Α. Β. - i Γ. 5-3i. i Ε. + i * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών = - - i, = 5 + i, 3 = 5 - i και = - + i στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές Α. τετραγώνου Β. ορθογωνίου Γ. τραπεζίου. ρόµβου Ε. τυχαίου τετραπλεύρου 7

8 . * Αν = + i, R και =, τότε µια τιµή του είναι Α. B. Γ E. 5. * Αν για το µιγαδικό αριθµό 0 είναι = τότε από τα παρακάτω ισχύει το Α. Im () < 0 B. Im () = 0 Γ. Im () > 0. Im () = Re () E. κανένα από τα παραπάνω 6. * Αν οι εικόνες δύο µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών και είναι στο ίδιο τεταρτηµόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις µπορεί να ισχύει; Α. = - B. = Γ. = -. Ιm ( ) + Im ( ) = 0 E. κανένα από τα παραπάνω - i 7. * Το µέτρο του µιγαδικού = είναι + i Α. 0 B. Γ. -. E * Αν = + i,, R, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή η Α. = Β. = - Γ. =. = + (-) Ε. = 9. * Αν = 3 και = + 3i τότε η µεγαλύτερη τιµή του + είναι Α. 5 Β. 8 Γ. 9. Ε. 0. * Αν = και - = 5 η ελάχιστη τιµή του είναι Α. B. 3 Γ E. 0. * Ποια είναι η καλύτερη προσεγγιστική τιµή για το µέτρο του µιγαδικού = - 5-7i; 8

9 Α. 5 5 B. 9 Γ E * Αν το σηµείο Ρ (, ) είναι η εικόνα των µιγαδικών = + i,, R, στο µιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει - 3 = 5, το Ρ (, ) βρίσκεται πάνω σε Α. ευθεία B. έλλειψη Γ. κύκλο. παραβολή E. υπερβολή 3. * Η εξίσωση - (+ i) = παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο κύκλο µε Α. κέντρο (-, ) και ακτίνα B. κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ. κέντρο (, - ) και ακτίνα. κέντρο (, ) και ακτίνα E. κέντρο (, ) και ακτίνα. * Θεωρούµε στο µιγαδικό επίπεδο τον κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 0. Από τους παρακάτω αριθµούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο Α. = + 3i B. = 3 + i 7 Γ. = - i 8. = 8 + 6i E. = + i 8 5. * Το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει - = - i είναι Α. ο άξονας B. η ευθεία = Γ. ο άξονας. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, 0) και (0, ) E. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (0, ) και (, 0) 9

10 6. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού βρίσκεται επάνω στον κύκλο =, 3 τότε η εικόνα του w = βρίσκεται Α. στον ίδιο κύκλο B. στον οµόκεντρο κύκλο ακτίνας 3 Γ. στον οµόκεντρο κύκλο ακτίνας 3. στην ευθεία µε εξίσωση = 3 E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Αν η εξίσωση = κi επαληθεύεται από τους µιγαδικούς αριθµούς που η εικόνα τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία =, ο πραγµατικός αριθµός κ ισούται µε Α. B. - Γ.. - E. 8. * Στο µιγαδικό επίπεδο ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (, ) και ακτίνα 3 είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει Α. - ( - i) = 3 B. - (+ i) = 3 Γ. - ( + i) = 9. - ( + i) = 3 E. + ( + i) = 3 9. * Αν οι εικόνες των µιγαδικών,, 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία τότε το πλήθος των λύσεων του συστήµατος = = 3 µε άγνωστο τον C είναι Α. B. 3 Γ.. Ε. 0 0

11 30. * Οι µιγαδικοί αριθµοί που οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. + < και + i < B. < και + i < 0 Γ. > και i >. < και i < Ε. + < και i < 3. * Οι µιγαδικοί αριθµοί που οι εικόνες τους βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. < και 3 < 0 3 B. < και 3 > Γ. + < και 3 >. + < και + 3 > Ε. > και 3 < 3. * Για το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α. Το Arg () βρίσκεται στο διάστηµα [0, π) B. Το Arg () είναι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα του µε τον άξονα και παίρνει τιµές στο [0, π) Γ. Αν Arg () = π ο έχει πραγµατικό µέρος ίσο µε το φανταστικό. Αν Arg () = π ο είναι πραγµατικός αριθµός E. Αν Arg () = 3π τότε Re () = - Im ()

12 33. * Αν = α +βi, αβ 0 και Αrg () = θ, θ (0, π ) τότε πάντοτε ισχύει Α. β α = εφθ B. αβ = σφθ Γ. α β = εφθ. αβ = εφθ E. α + β = σφθ 3. * Αν Αrg () = π, η εικόνα του είναι σηµείο της ευθείας µε εξίσωση Α. = B. = - Γ. =. = - E. = 35. * Αν η εικόνα του µιγαδικού βρίσκεται στην ευθεία = - τότε από τα παρακάτω µπορεί να είναι πρωτεύον όρισµα του το Α. π B. - π Γ. 3π. π E. 5π 36. * Αν Α, Β είναι οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο των µιγαδικών και i αντιστοίχως τότε η γωνία ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται µε Α. 3π B. π 3 Γ. π. 5π 6 E. π 37. * Από τους παρακάτω µιγαδικούς αριθµούς γραµµένος σε τριγωνοµετρική µορφή είναι ο Α. - (συνθ + iηµθ) B. 3 (- συνθ + iηµθ) Γ. 3 (συνθ + iηµθ). (ηµθ + iσυνθ) E. - 3 (ηµθ + iσυνθ)

13 38. * Αν = όπου = ρ (συνθ + iηµθ) και = ρ (συν 3 π + iηµ 3 π ), ρ > 0, τότε η γωνία θ δεν µπορεί να είναι Α. 7π 3 B. 3π 3 Γ. 9π 3. π 3 E. 5π * Αν = ρ (συν 9 π + iηµ 9 π ), ρ > 0, τότε το Arg ( ) ισούται µε Α. - 9 π B. 0π 9 Γ. 7π 9. π 9 E. 7π 9 0. * Αν = συν π + iηµ π, τότε ο 000 ισούται µε Α. + i B. Γ E. - i. * Ο = (συν 90 π + iηµ 90 π ) 5 ισούται µε Α. 0 B. Γ. - i. i E. -. * Αν = συνθ + iηµθ τότε ο ισούται µε Α. συνθ + i ηµθ B. συν θ + iηµ θ Γ. - συνθ - iηµθ. συν (- θ) + iηµ (- θ) E. - συνθ + iηµθ 3. * Αν η εξίσωση 3 + κ + λ = 0, κ, λ R, έχει ως λύση την = + 5i, τότε αποκλείεται να έχει λύση την Α. = 5 B. = - 5i Γ. = 0. = + i E. = - 3 3

14 . * H εξίσωση - + α = 0, α R, έχει ρίζα τον + i. Ο α ισούται µε Α. B. Γ.. 0 E * Αν Ρ () πολυώνυµο τουλάχιστον ου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές και η εξίσωση P () = 0 έχει ρίζα τον αριθµό - i, θα έχει οπωσδήποτε και τον Α. + i 0 B. + i 0 Γ. + i i E. - i 6. * Οι αριθµοί + i, 3-5i, - + 3i, + 7i είναι ρίζες του πολυωνύµου f () = α ν ν + α ν- ν- + α ν- ν- + + α + α 0, α ν 0, ν Ν, µε πραγµατικούς συντελεστές. Για το ν ισχύει Α. ν = B. ν = 6 Γ. < ν < 8. ν 8 E. 6 ν < 8 7. * Η εξίσωση = 0 έχει ρίζα τον µιγαδικό αριθµό - 3i. Τότε έχει οπωσδήποτε και τον Α. - B. + 3 i Γ E. 3 i

15 Ερωτήσεις συµπλήρωσης. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για τους αριθµούς που δίνονται στην αριστερή στήλη: Re () Im () i - i - 5 3i. * Οι αριθµοί, είναι µιγαδικοί. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: µιγαδικός αριθµός = 3 + i = - + i = = 3 = Agr () τριγωνο- µετρική µορφή 5

16 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε µιγαδικός αριθµός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. = (συν 6 π + iηµ 6 π ) Σ 5π 5π. = συν + iηµ 6 6 Θ M E A 3. 3 = συν 9π 9 + iηµ 6 6π Ρ Β Λ Ζ Í π 6 π 6 Κ N Η Γ. = (συν 6 π - iηµ 6 π ) Τ 3 6

17 . * Στα σχήµατα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του µιγαδικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β M(). =, Im () 0 και Α. Re () = και Im () 0 M() 3. = και Re () 0 Β = και Re () < 0 Γ. 0 M() Α Β Γ 7

18 3. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο Στήλη Β σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας 3 Β. µεσοκάθετος του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, 0), (0, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας i = 3. = 3 3. i = 3. + = i 5. = + i Α Β Γ 8

19 . * Στη στήλη Α φαίνονται οι γραµµές στο µιγαδικό επίπεδο στις οποίες ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών = + i,, R. Να συµπληρώσετε τον πίνακα έτσι ώστε σε κάθε γραµµή της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β (ε) Α. 0 π ) - 3 = + 3i ) - i = t 3) Arg () = π Β. 0 π ) Arg ( - i) = - π 3 5) = ( - i), R Γ. 0 Α Β Γ 9

20 5. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα έτσι ώστε σε κάθε γραµµή της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. ) - = 8i ) = Β. 3) - = 0 6 Γ. (ε) ) + = 5) = - 0 (ε). 0 Α Β Γ 30

21 6. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα έτσι ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. 0 3π 3π ) Re () < 0, Im () 0 ) Β. 0 π 3) Arg () - π < ) Re ( ) = - Γ. 0 5) Im ( ) = 6) - =. 0 Α Β Γ 3

22 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς και ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) - + i = - i + - i β) + i = 3 - ( + i) γ) - 3i - = - 5i + 9i δ) ( + ) i + = - i - 3. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = - - 9i και w = - i,, R. α) Να βρείτε τους, ώστε = w. β) Να βρείτε τον. 3. ** Αν θ [0, π] και = συν θ + ηµθσυνθi, να βρείτε το θ ώστε = 0.. ** ίνεται ο µιγαδικός = 6i - (3 - i) - 3i - (3i - ) + ( - i),, R. α) Να γράψετε τον στη µορφή α + βi. β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re () = 0 ii) Im () = 0 iii) Re () = Im () iv) = 0 5. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = ( + i) + ( - ) i - 5,, R. α) Να τον γράψετε στη µορφή α + βi. β) Να γράψετε τον συναρτήσει του, αν Im () = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και, αν Re () = Im (). 6. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς: 3 α) 3i (- 5i) β) ( + i) (- i + 3) γ) i δ) - i ε) - i - i + ζ) ( + 3i) (- i + ) - i 3

23 7. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = - i και w = i. Να γράψετε στη µορφή α + βi τους παρακάτω µιγαδικούς: α) δ) β) w ε) i w + 3 γ) ζ) w + i 8. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς: α) = ( + i + i + i 3 ) 00 β) w = ( - 3i) - ( + 3i) 9. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = 3 + i και w =. Να βρείτε: - i α) Re () β) Re (w) γ) Im (w) δ) Re w ε) Im w 0. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς: α) = 5 - i - i β) = i - i - (- i). ** Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) = + 5i. i. ** Να βρεθούν τα, R ώστε οι µιγαδικοί αριθµοί: = + - i και = - ( - ) i να είναι συζυγείς. 3. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = 5 + 8i. α) Να βρείτε τους, - και. β) Να βρείτε το άθροισµα w =

24 . ** Αν = + i,, R, να βρείτε τον ώστε: ( - 3i) i = ** Να βρείτε τον C αν ( + 3i) - = ( +i) + + i. 6. ** Αν = + i,, R και ο αριθµός w = (i - ) ( + 6i) είναι πραγµατικός, να δείξετε ότι = 0 ή = ** Να βρείτε όλους τους µη µηδενικούς µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει: = i. 8. ** Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του µιγαδικού αριθµού = i. 9. ** Να βρείτε όλους τους ακεραίους ν Ν για τους οποίους ισχύει ( + i) ν = ( - i) ν. 0. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = α + βi και = γ + δi, α, β, γ, δ R. Να δείξετε ότι ισχύει: Re ( ) = Re ( ) Re ( ), αν και µόνο αν ένας τουλάχιστον από τους, είναι πραγµατικός.. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = + i,, R. + 8i α) Να γράψετε στη µορφή α + βi τον µιγαδικό w =. + 6 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και, αν Im (w) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και, αν Re (w) = 0. δ) Να δείξετε ότι η προηγούµενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. ** Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον µιγαδικό αριθµό - i. α) Να βρείτε την άλλη ρίζα. β) Να βρείτε τα α και β. 3

25 3. ** Να βρείτε τους µιγαδικούς = + i,, R, για τους οποίους ισχύει: + + = 0.. ** Βρείτε τον = + i,, R, αν + i - 6 = ** ίνεται ο µιγαδικός = (3 - ) + i, R,. - α) Για ποιες τιµές του, ο είναι πραγµατικός αριθµός; β) Για ποιες τιµές του, ο είναι φανταστικός αριθµός; γ) Υπάρχει τιµή του ώστε = 0; 6. ** Να βρεθεί το µέτρο των µιγαδικών αριθµών: α) = + i - 3i β) = ( i) + i + - i 7. ** Να βρεθεί το µέτρο των µιγαδικών αριθµών: + i α) = - 3i i β) = ν 8. ** Να βρεθεί ο µιγαδικός αριθµός που ικανοποιεί την ισότητα + = + i. 9. ** Αν + 9 = 3 +, αποδείξτε ότι = ** Να γράψετε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει Re () = 3 και Im () = ( απόλυτη τιµή). Πού βρίσκονται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών αριθµών; 35

26 3. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = + i,, R. α) Να βρείτε τα Re (w) και Im (w) του w = -. - i β) Αν w R, πού βρίσκονται οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο; γ) Αν w φανταστικός αριθµός, πού βρίσκονται οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο; 3. ** Αν = + i, 0, να δείξετε ότι ο w =, + 0 είναι πραγµατικός αν = ** Το άθροισµα τριών µιγαδικών αριθµών, και 3 είναι µηδέν. Να βρείτε το κέντρο βάρους του τριγώνου που ορίζουν οι εικόνες των µιγαδικών στο επίπεδο. 3. ** Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών που ικανοποιούν τη σχέση - = - βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας. 35. ** Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής την οποία ικανοποιούν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών = + i,, R, αν ο αριθµός w = πραγµατικός. + i + είναι 36. ** Ο µιγαδικός αριθµός ικανοποιεί τις σχέσεις: - Re () () Im () () (3) Να γραµµοσκιάσετε στο µιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εµβαδόν του. 37. ** Να γράψετε σε τριγωνοµετρική µορφή τους αριθµούς: 36

27 α) = (- + i) 3 β) = + i 38. ** Να γράψετε σε τριγωνοµετρική µορφή τους αριθµούς: α) = - 3i β) = - i γ) δ) και να υπολογίσετε το ** ίνονται οι µιγαδικοί = - 5i και = 5 + i. α) Να παραστήσετε τις εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο. β) Να βρείτε τα µέτρα τους. π π γ) Να δείξετε ότι = (συν + iηµ ). δ) Να δείξετε ότι οι διανυσµατικές ακτίνες των και τέµνονται κάθετα. ε) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τις εικόνες των, και την αρχή των αξόνων. + 5i π π 0. ** Αν = και = - (συν + iηµ ), να γραφούν σε τριγωνο- 3 + i 3 3 µετρική µορφή οι αριθµοί: α) β). ** α) Αν Arg () = 6 π και = + i να δείξετε ότι = 3. β) Να βρείτε τον w αν w - = και Arg (w - i) = 0. 37

28 . ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = 3 + i. α) Να βρείτε το Re (), Im (),, Arg (). β) Να γράψετε τον στην τριγωνοµετρική του µορφή. γ) Αν ν θετικός ακέραιος να βρείτε τον w = ν. δ) Να βρείτε τη µικρότερη τιµή του ν ώστε ο w να είναι πραγµατικός. ε) Υπάρχει τιµή του ν ώστε ο w να είναι φανταστικός; - i 3. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = + i. α) Να τον γράψετε στη µορφή α + βi. β) Να βρείτε το Re (), Im (),, Arg. γ) Να τον γράψετε στην τριγωνοµετρική του µορφή. δ) Να βρείτε τον w = 9.. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = + i,, R. α) Να βρείτε τον w = ( + i) - i συναρτήσει των, R. β) Αν w =, να δείξετε ότι τα σηµεία Μ (, ) ανήκουν σε κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα αυτού του κύκλου. γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής αυτού του κύκλου µε την ευθεία =. 5. ** Να παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει: π α) - i = και Arg = β) 3 + i γ) - = - 3 = - i 38

29 6. ** Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ (, ) των µιγαδικών = + i,, R, για τους οποίους ισχύει: α) Arg () = π β) Arg ( - ) = 3 π γ) Arg ( - i) = 7π 7. ** Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ (, ) των µιγαδικών = + i για τους οποίους ισχύει: α) Arg ( - ) = π β) Arg ( + 3) = 3π 8. ** Να βρείτε το σύνολο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που είναι - i εικόνες των µιγαδικών για τους οποίους ισχύει η σχέση: Arg + i = π. 9. ** Να βρείτε το µιγαδικό αριθµό για τον οποίο ισχύουν οι σχέσεις: Arg ( - ) = π και = ** Να γράψετε σε τριγωνοµετρική µορφή τον = ( + i) ν + ( - i) ν, όπου ν θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι = 0, αν ο ν είναι περιττός. π π 5. ** Για τον µιγαδικό αριθµό ισχύουν: Arg ( + ) = και Arg ( - ) =. 6 3 Να δείξετε ότι = ( + 3 i). 5. ** Να γράψετε στη µορφή + i τους µιγαδικούς: α) ( 3 + i) ( + 3i) β) ( + (i -) 3 i) 3 39

30 53. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί: 3 3 = - i = - + i 3 = + i = i 5 = α) Να βρείτε τα µέτρα τους. β) Να βρείτε το πρωτεύον όρισµά τους. 3 + i γ) Να τους γράψετε σε µια σειρά ώστε να προηγείται αυτός που έχει το µικρότερο όρισµα. δ) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο; ε) Να βρείτε το µιγαδικό έτσι ώστε η εικόνα του 5 να συµπίπτει µε την εικόνα του ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί: = - i = - i 3 = - + i 3 = i 5 = i α) Να γράψετε τους µιγαδικούς αριθµούς στη µορφή = κ ( - 3 i), κ R. β) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο; γ) Να βρείτε τον µιγαδικό έτσι ώστε η εικόνα του να συµπίπτει µε την εικόνα του ** Η εξίσωση + α + i ( - ) = 0, α R, έχει µια πραγµατική λύση. α) Να βρείτε την τιµή του α. β) Να λύσετε την εξίσωση για την τιµή του α που βρήκατε στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών. 56. ** Να λύσετε στο σύνολο C τις εξισώσεις: α) = 8i β) 3 + i = 0 γ) = 8-8 3i δ) = 3+ i 57. ** Η εξίσωση 3 + α = 0 µε α R έχει ρίζα τον µιγαδικό - i. Να βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης. 0

31 58. ** α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυµο Ρ () = β) Να λύσετε την εξίσωση: = 0. γ) Να παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία που είναι εικόνες των ριζών. δ) Τι είδους τρίγωνο σχηµατίζουν οι εικόνες των ριζών; Να βρείτε το εµβαδόν του. 59. ** Να δείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός + i είναι ρίζα της εξίσωσης = 0 και στη συνέχεια να βρείτε τις άλλες ρίζες της. 60. ** Να δείξετε ότι η εξίσωση - = έχει µια µόνο λύση, την =. + i 6. ** α) Να γράψετε τον µιγαδικό w = στη µορφή α + βi. 3 - i β) Να βρείτε το µέτρο του και το πρωτεύον όρισµά του. γ) Να λύσετε την εξίσωση 8 + i =. ( ίνεται συν 3 - i π = 6 - ). 6. ** ίνεται η εξίσωση - = - 3i, C. α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι η µεσοκάθετος (ε) του τµήµατος ΑΒ µε άκρα Α (, 0) και Β (0, 3). β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι = 0. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε). δ) Να βρεθεί η εικόνα του για τον οποίο το είναι ελάχιστο. 63. ** ίνεται Ρ () = α) Να λύσετε την εξίσωση Ρ () = 0 και να γράψετε τις ρίζες της σε τριγωνοµετρική µορφή. β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει από τις εικόνες των ριζών της Ρ () = 0.