ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

Transcript

1 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή 8 Απριλίου 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω τα διανύσµατα α,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα µε τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ,λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε την ισοδυναµία: α β λλ =. Μονάδες 9 A. Να ορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης λ µίας ευθείας ε, µη παράλληλης µε τον άξονα y y. Μονάδες A. Έστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και C ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ, ο οποίος έχει εξίσωση x +y = ρ. Αν A(x,y ) είναι σηµείο του κύκλου C, να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας ε στον κύκλο C, στο σηµείο του Α. Μονάδες A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν τα διανύσµατα α και β είναι οµόρροπα τότε α β = α β αντιστρόφως. και ÈÅÌÁÔÁ 0 β. Η απόσταση του σηµείου Μ ο (x o,y o ) από την ευθεία ε µε εξίσωση Ax ο+by ο+γ Αx+Βy+Γ= 0 δίνεται πάντοτε από τον τύπο d(μ ο, ε) =. Α +Β γ. Η εξίσωση κύκλο µε ακτίνα ρ = x +y +Ax+By+Γ = 0 µε A +B - 4Γ > 0παριστάνει πάντοτε Α +Β -4Γ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

2 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) δ. Η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας έλλειψης στο σηµείο επαφής Μ διχοτοµεί τη γωνία ' Ε ΜΕ, όπου ' Ε, Ε είναι οι εστίες της έλλειψης. ε. Αν C είναι µία παραβολή µε εξίσωση y =px, p R τότε σε κάθε περίπτωση o p ισούται µε την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα της παραβολής. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β ίνονται τα διανύσµατα α, β α + β α β. ( ) ( ) Β. Να αποδείξετε ότι: α β =. Β. Να βρείτε τη γωνία των διανυσµάτων α, β. Β. Να αποδείξετε ότι: α + β = α β. για τα οποία ισχύει α =, β = και Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε την προβολή του διανύσµατος α β στο διάνυσµα α. ΘΕΜΑ Γ ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία A(5, ), B(4,4) και Γ (,). Γ. Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους Γ του τριγώνου. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε µονάδες. ÈÅÌÁÔÁ 0 Γ. i) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συµµετρίας τον y y. ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής C, η οποία είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

3 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται η έλλειψη C µε εξίσωση µε εξίσωση C : x 7 + y =. C : x 4y + = και εστίες Ε, Ε και ο κύκλος C. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΕ είναι ισόπλευρο, όπου Β είναι ένα από τα άκρα του µικρού άξονα της έλλειψης.. Να αποδείξετε ότι το σηµείο P, είναι κοινό σηµείο των δύο κωνικών τοµών C, C και να υπολογίσετε όλα τα κοινά τους σηµεία. Μονάδες 4. Να υπολογίσετε τα σηµεία M( x 0, y0) τα οποία είναι τέτοια ώστε: ( OM) = 7 και ( ME) ( ME ') 4 + =,όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. 4. Να υπολογίσετε την εξίσωση της διχοτόµου της γωνίας P,. Σας ευχόµαστε επιτυχία ÈÅÌÁÔÁ 0 ' Ε PΕ, όπου ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

4 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ α. ώστε τους ορισµούς: Ι. Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. ΙΙ. Παραβολή µε διευθετούσα την ευθεία δ και εστία το σηµείο Ε εκτός της δ. β. Γράψτε τον τύπο της απόστασης του σηµείου Μ(χ 0,ψ 0 ) από την ευθεία ε: Αχ+Βψ+Γ=0 (x µονάδες) γ. Αποδείξτε ότι η εξίσωση µιας ευθείας, που διέρχεται από το σηµείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι y-y 0 =λ(χ-χ 0 ). (9 µονάδες) δ. Σηµειώστε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ για τις προτάσεις: Ι. Η ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 µε Α 0 ή Β 0 είναι κάθετη στο διάνυσµα δ = ( Α, Β). ΙΙ. Ο κύκλος µε εξίσωση χ +ψ +Aχ+Bψ+Γ=0 έχει πάντοτε κέντρο Α Β K,. ΙΙΙ. Η απόσταση της εστίας Ε, της παραβολής χ =pψ, από την διευθετούσα ευθεία δ είναι ίση µε p. ΙV. Αν Ε, Ε σταθερά σηµεία και για το µεταβλητό σηµείο Μ ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ ) =α, α>0 τότε το Μ κινείται σε έλλειψη µε εστίες Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) V. Αν για τα µη παράλληλα στους άξονες x x και y y διανύσµατα α και β ισχύει α β=0 τότε οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι αντίστροφοι αριθµοί. (5x µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

5 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ ο ίνονται τα διανύσµατα α, β, γ µε α=, β =, α (α - β) και (γ+α) β. α. Να δείξετε ότι α β=4 και β γ = -. (8 µονάδες) β. Να δείξετε ότι α β = 5. (5 µονάδες) γ. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι γ-α = λ(α - β), λ R να βρείτε την τιµή του λ. (6 µονάδες) δ. Για λ=4 να γραφεί το διάνυσµα γ σαν γραµµικός συνδυασµός των α και β και να δείξετε ότι η γωνία των διανυσµάτων γ και α-β είναι οξεία. ΘΕΜΑ ο (6 µονάδες) Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(, ), η εξίσωση του ύψους Β : χ-4ψ-5=0 και η εξίσωση της διαµέσου ΓΜ: χ+ψ+=0. α. Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγµένες της κορυφής Γ. (6 µονάδες) β. Βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β. (7 µονάδες) γ. Αν Ε το σηµείο τοµής των ΓΜ και Β τότε να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ. (6 µονάδες) δ. ίνεται η γραµµή (C) µε εξίσωση x + y + λx+ ( λ+ 8) y+ = 0 (). Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ R και να βρείτε την τιµή του λ, ώστε ο κύκλος () να έχει διάµετρο την πλευρά ΒΓ. (6 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

6 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση x y x y y + + ( + 4) = 0 (). α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε ) και (ε ) οι οποίες είναι παράλληλες. (7 µονάδες) β. Αν (ε ): x+y+=0 και (ε ): x+y+6=0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η (), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες (ε ) και (ε ) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): y=x. (7 µονάδες) γ. Βρείτε την ελάχιστη και την µέγιστη απόσταση του σηµείου τοµής των ευθειών (ε ) και (ε) από τον κύκλο C. (6 µονάδες) δ. Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής (C ) µε εστίες στον άξονα x x, που έχει ασύµπτωτη την (ε): y=x και εστιακή απόσταση γ=0ρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου C. (5 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

7 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω τα διανύσµατα α,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα µε τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ,λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε την ισοδυναµία α β λλ =. Μονάδες 0 Β. Να δώσετε τον ορισµό της παραβολής, µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. ΘΕΜΑ ο α) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι διάνυσµα. β) Η ευθεία µε εξίσωση Αx+By+Γ = 0 είναι παράλληλη µε το διάνυσµα δ = (B, A). γ) Η απόσταση της αρχής Ο των συντεταγµένων από την ευθεία ε µε Γ εξίσωση Αx+By+Γ = 0, ισούται µε. A + B x y δ) Η εξίσωση + =,όπου α > 0, παριστάνει έλλειψη µε εστίες α (α+ ) πάνω στον άξονα x x. ε) Η εκκεντρότητα µιας υπερβολής είναι πραγµατικός αριθµός, µικρότερος της µονάδας. x ÈÅÌÁÔÁ 00 ίνονται τα σηµεία Α( 5,), Β(, ) και Γ(4,) του καρτεσιανού επιπέδου. α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο AB BΓ. Ποιο είναι το συµπέρασµά σας για τα διανύσµατα AB, BΓ ; β. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. γ. Να αποδείξετε ότι η γωνία φ των διανυσµάτων AB και ΑΓ ισούται µε 45 o. Μονάδες 9

8 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση: (x+y +) + κ(x y 5) = 0 (), όπου κ R. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου κ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραµµή. Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (), διέρχονται από το σηµείο Α(, ). Μονάδες 4 γ. Να βρείτε την τιµή του κ, για την οποία η () παριστάνει ευθεία ε κάθετη στον άξονα x x. Ποια η εξίσωση της ευθείας ε; δ. Αν K(x 0,0) είναι η προβολή του σηµείου Α(, ) στον άξονα x x, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από το σηµείο ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση: E( x,0) και την ευθεία ε του γ ερωτήµατος. o x y (λ 4)x λy λ = (), όπου λ R. Μονάδες 9 α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. β. Να δείξετε ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (), κινείται σε µια ευθεία γραµµή, καθώς το λ µεταβάλλεται στο R. Μονάδες 4 γ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει εστίες τα σηµεία E (0, ), E(0, ) και µεγάλο άξονα (Α Α) = 8. δ. Αν η εφαπτοµένη ε της έλλειψης C του ερωτήµατος γ, στο σηµείο της M (x, y ) εφάπτεται και του κύκλου C, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση () για λ = 0, να δείξετε ότι: ÈÅÌÁÔÁ 00 i. y = 64( x ) Μονάδες 4 ii. Τα διανύσµατα α = (x,4) και β = (x, 4x ) είναι µεταξύ τους κάθετα. Μονάδες 4 ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

9 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Nα δείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου C: Α(χ,ψ ) έχει εξίσωση χ.χ +ψ.ψ =ρ. Β. x + ψ = ρ σε ένα σηµείο του (9 µονάδες) α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτωνa και β. β. ώστε τον ορισµό της υπερβολής µε εστίες Ε και Ε. (.=6 µονάδες) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις:. Για δύο οποιαδήποτε διανύσµατα a και ισχύει( a. β) = a. β. β του επιπέδου. Η ευθεία ε: Ax + By + Γ = 0, µεα, Β, Γ R και Α.Β>0 σχηµατίζει αµβλεία γωνία µε τον άξονα x x.. P Η παραβολή c: y = px έχει εστία το σηµείο E, x x y Αν οι ελλείψεις c : και c : a ψ β a β α =α και β =β. 5. Το εµβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: (ΑΒΓ)= det( AB, ΑΓ). (5x µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 009

10 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις α. aβ. β. a + β γ. a β AB = α+β, ΑΓ = α + β µε α= β ^ π = και α, β = (9 µονάδες). Έστω Μ µέσο του ΒΓ. Να εκφράσετε τα διανύσµατα ΑΜ και ΒΓ σαν γραµµικό συνδυασµό των a και β. (4 µονάδες). Να υπολογίσετε το συνηµίτονο της γωνίας ( ΑΜ, ΒΓ ) 4. Να βρεθεί το µέτρο της προβολής του ΑΜ στο ΒΓ. ΘΕΜΑ ο (5 µονάδες) (7 µονάδες) Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε εξισώσεις διαγωνίων (Β ):y=x+ και (ΑΓ):y=x-. Η διαγώνιος B είναι η µεσοπαράλληλος των ευθειών ε,ε,των οποίων η µεταξύ τους απόσταση είναι d= και οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές Α και Γ αντιστοίχως. Αν A = (4,6), τότε:. Να βρείτε τις συντεταγµένες του κέντρου Κ του παραλληλογράµµου ΑΒΓ. (5 µονάδες). Να δείξετε ότι οι ευθείες ε,ε έχουν εξισώσεις (ε ):x-y-=0 και (ε ):x-y+=0. (8 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 009. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών Α, Β, Γ, του παραλληλογράµµου. (8 µονάδες) 4. Να βρείτε το εµβαδόν (ΑΒΓ ) του παραλληλογράµµου. (4 µονάδες)

11 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση C : x + y ( ηµθ ) x + 4( συνθ ) y + ηµ θ = 0, () µε θ 0, π. Να δείξετε ότι:. Η εξίσωση () παριστάνει για κάθε θ 0, π κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και την ακτίνα ρ ως συνάρτηση της γωνίας θ. (6 µονάδες). Τα κέντρα των κύκλων Κ(x 0, y 0 ) που προκύπτουν από την (), ανήκουν σε έλλειψη της οποίας να βρείτε τα µήκη του µεγάλου Α Α και µικρού Β Β άξονα της, τις εστίες της Ε, Ε καθώς και την εκκεντρότητα της ε. (9 µονάδες). Για τις συντεταγµένες των κέντρων Κ(x 0, y 0 ) των κύκλων που προκύπτουν από την (), ισχύουν : x 0 >0, y 0 <0 και στην συνέχεια να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Κ(x 0, y 0 ). (4 µονάδες) 4. Η ελάχιστη και η µέγιστη απόσταση, της εστίας Ε (µε θετική συντεταγµένη) από τυχαίο σηµείο του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την () για θ= Π, είναι d= + και d = +, αντιστοίχως. (6 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 009

12 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ Ο B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A. Έστω Οxψ ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και ( ) του επιπέδου. A x ψ ένα σηµείο α. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α και για την οποία δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο A και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ψ-ψ 0 =λ(x-x 0 ). Μονάδες 0 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Η απόσταση δύο σηµείων Α ( x, ψ ) και (, ) ÈÅÌÁÔÁ 008 0, Β x ψ του συστήµατος συντεταγµένων Oxψ,δίνεται από τον τύπο:( ΑΒ ) = ( x x ) + ( ψ ψ ) 0 Μονάδες β. Για δύο διανύσµατα α, β µη παράλληλα προς τον άξονα ψ ψ, ισχύει η ιδιότητα: α β λ α. λ =, όπου λ β α, λ β οι συντελεστές διεύθυνσης των α, β αντιστοίχως. 0 0 γ. Η εξίσωση:( ) ( ) πάντα κύκλο. Μονάδες x x + ψ ψ = ρ,µε ρ πραγµατικό αριθµό, παριστάνει Μονάδες δ. Μια ευθεία ε εφάπτεται σε κύκλο C ο οποίος έχει κέντρο Κ και ακτίνα ρ, όταν ισχύει η σχέση: ( )= ρ. ε. Η παραβολή µε εξίσωση: ηµιάξονα Οx. Μονάδες x = ρψ,ρ < 0,έχει την εστία της Ε πάνω στον Μονάδες

13 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ Ο Στο καρτεσιανό επίπεδο Οxψ δίνονται τα σηµεία Α(,0), Β(4,5), Γ(6,κ) µε R 0. κ { } α. Να δείξετε ότι: i) Τα σηµεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά. Μονάδες 4 ii) H εξίσωση της ευθείας της διαµέσου (ε) που φέρουµε από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ, είναι x=4. Μονάδες β. Να προσδιορίσετε την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ, αν το εµβαδόν του είναι (ΑΒΓ)=8 τετραγωνικές µονάδες. Μονάδες 9 γ. Για κ=,να βρείτε την εξίσωση της ευθείας του ύψους (η) που φέρουµε από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ, καθώς και τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο τέµνονται οι ευθείες (η) και (ε). Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Ο x ψ µ+ -µ ίνεται η εξίσωση: + =, ( ), όπου R {,} µ. α. Να βρείτε την τιµή του µ ώστε η εξίσωση ( ) να παριστάνει κύκλο. β. Για ποιες τιµές του µ η εξίσωση ( ) γ. Αν µ,,τότε: παριστάνει έλλειψη; Μονάδες 4 i) Να δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει από την ( ) έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα ψ ψ. ÈÅÌÁÔÁ 008 Μονάδες 7 ii) Να υπολογίσετε την τιµή του µ ώστε η εκκεντρότητα της έλλειψης ( ) να είναι ίση µε. Μονάδες 9

14 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω τα σηµεία Α(-,ψ) και Β(x,ψ) µε x,ψ R του καρτεσιανού επιπέδου Οxψ. Α. Αν είναι ΟΑ ΟΒ, τότε να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ(x,ψ) ανήκουν στην παραβολή C : ψ = x, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ. Μονάδες 6 Β. Αν ισχύει ΟΑ + ΟΒ = 5, τότε να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ(x,ψ) ανήκουν στο κύκλο C : x +ψ =, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα κοινά σηµεία των C και C είναι το Κ ( ), και το Λ (, ). Μονάδες 7 β) H εφαπτοµένη της C στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη του C στο Λ. Μονάδες 4 ÈÅÌÁÔÁ 008 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

15 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου µε εξίσωση x +y =ρ στο σηµείο του Α(x,y ) έχει εξίσωση xx + yy = ρ Μονάδες 0 B. Να δώσετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο µη ur r µηδενικών διανυσµάτων α και β ; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.. Αν θεωρήσουµε σηµεία Α(x,y ) και Β(x,y ) του καρτεσιανού επιπέδου τότε οι συντεταγµένες του µέσου Μ(x,y) του ΑΒ, x + x y + y είναι x= y=. Αν α β ur r ur r τότε α β = 0 και αντιστρόφως. Η ευθεία x = x 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 4. Η έλλειψη µε εξίσωση Ε (-γ,0) και Ε(γ,0). x β y α + = όπου β =α -γ, έχει εστίες ÈÅÌÁÔÁ 007 y x 5. Οι ασύµπτωτες της υπερβολής = α β β β y= x και y = x. α a είναι οι ευθείες: Μονάδες 0

16 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση ( α + ) x + ( α ) y + = 0 () i) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε α R. ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του α R οι ευθείες της µορφής () διέρχονται από το σηµείο Μ (-,). iii) ίνεται η ευθεία ε : x + 5y = 0. Αν Α και Β είναι τα σηµεία τοµής της ε µε τις ευθείες που προκύπτουν από την () για α = 0 και α = - αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι τ.µ. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση ( λ )x + (λ )y + 6( λ )x = 6( λ ), λ R (). i) Αν λ =, να αποδείξετε ότι η () παριστάνει παραβολή C της οποίας να βρείτε την διευθετούσα δ και την εστία Ε. Μονάδες 6 ii) Αν λ =, να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο Ο και την ακτίνα R. Μονάδες 6 iii) Να βρείτε την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, µία εστία της κοινή µε την εστία Ε της παραβολής C και µεγάλο άξονα ίσο µε την ακτίνα R του κύκλου C. Μονάδες 6 ÈÅÌÁÔÁ 007 iv) Να βρείτε τα κοινά σηµεία Ρ και Ρ των κωνικών τοµών C και C, και να αποδείξετε ότι: d(p,δ)-(ρ Ε)= d(p,δ)-(ρ Ε). Μονάδες 7

17 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ 4 ο ίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β, τα οποία σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ = π, και η εξίσωση: Α Να αποδείξετε ότι: α. α β. x y + α x β y + α β = 0 () β. Η εξίσωση () παριστάνει κύκλο µε ακτίνα ρ = α β Μονάδες Β. Αν Κ(, ) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι: r α. a =, β r = και ρ =. β. Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία x + 4y = 0 γ. Η προβολή του β στο α r είναι ίση µε το α r. Μονάδες Μονάδες 7 ÈÅÌÁÔÁ 007 Καλή τύχη!

18 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα α) Για τους ακέραιους α, β και γ να αποδείξετε ότι: i) Αν aβ και β γ τότε a γ. ii) Αν aβ και a γ τότε a ( β γ ) +. Μονάδες 0 β) i) ίνονται τα σηµεία Ε και Ε του επιπέδου. Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες Ε και Ε; ii) ίνεται η παραβολή εφαπτοµένης της στο σηµείο ( ) y = p x. Να γράψετε την εξίσωση της Μ x, y. Μονάδες γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστή ή Λάθος. i) Αν a β τότε ισχύει πάντα a β = a β. ii) Το διάνυσµα n = ( Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία ε : Α x + Β y + Γ = 0. γ iii) Η εκκεντρότητα της ισοσκελούς υπερβολής x y = a είναι =. a a β+ γ iv) Έστω οι ακέραιοι α, β, γ και ότι: ( ) τότε κατ ανάγκη aβ και a γ. Θέµα ÈÅÌÁÔÁ 006 π ίνονται τα διανύσµατα aβ, µε a=, β= και ( a, β ) =. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάµεσός του για το οποίο ισχύουν: ΑΒ = a β και ΑΜ = a + β α) Να βρείτε το aβ.

19 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 β) Να εκφράσετε το ΑΓ ως γραµµικό συνδυασµό των a και β. γ) Να υπολογίσετε το µήκος της διαµέσου ΑΜ. δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΜ και a π είναι ίση µε 6 Θέµα ίνονται τα σηµεία (, ), (,) Α Β και η ευθεία ε : x+ y+ a= 0 Μονάδες 7 όπου a R. α) Αν η απόσταση του Α από το Β είναι ίση µε την απόσταση του Α από την ευθεία ε, να βρείτε την τιµή του α. β) Για την τιµή a= 4 να βρείτε: i) Το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σηµεία Α, Β και το σηµείο Γ που η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y y. ii) Ποιο σηµείο της ευθείας ε έχει τη µικρότερη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων. Μονάδες 9 Θέµα 4 ίνεται η εξίσωση ( ηµθ ) ( συνθ ) C : x + y + x y = όπου θ R. () α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ µεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση. Μονάδες 6 αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σηµείο Μ(,-). Μονάδες 6 δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σηµεία τοµής του µε την ευθεία ΟΚ (όπου Ο η αρχή των αξόνων). Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ). γ) Να βρείτε τις τιµές του θ [ 0, π ) ÈÅÌÁÔÁ 006 Μονάδες 7

20 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω α, β ακέραιοι. Να αποδείξετε την ιδιότητα: Αν α β και β α, τότε α = β ή α = β ΜΟΝΑ ΕΣ 0 Β. Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) κάθε µια από τις επόµενες προτάσεις: α. Για τα διανύσµατα α, β ισχύει η ισοδυναµία: α // β det ( α, β ) = 0. ΜΟΝΑ ΕΣ β. H εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x 0, y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι y y 0 = λ (x + x 0 ). ΜΟΝΑ ΕΣ γ. Όταν µια ευθεία και ένα διάνυσµα είναι παράλληλα, σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε τον άξονα χ χ. ΜΟΝΑ ΕΣ δ. Οι ασύµπτωτες της υπερβολής x y = είναι οι ευθείες y = α β y = α x β α x β και ΜΟΝΑ ΕΣ ε. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9 µε το 5 είναι. ΜΟΝΑ ΕΣ ÈÅÌÁÔÁ 005 Γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(x, y ) και B(x, y ) µε x x έχει εξίσωση y y y y = (x x ) x x ΜΟΝΑ ΕΣ 5

21 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ Ο x y ίνεται η έλλειψη + = και η παραβολή y = 6 x. 5 9 α. Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης και την εστία της παραβολής. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β. Έστω Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης ( η Ε να έχει αρνητική τετµηµένη ). i) Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής στα σηµεία της Μ(4, 8) και Μ (4, 8), και να δείξετε ότι τέµνονται στο Ε. ΜΟΝΑ ΕΣ 7 uuuur uuuu ur ii) Να αποδείξετε ότι E Μ E' M =0. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 iii) Αν Ν είναι το µέσο του Ε Μ να αποδείξετε ότι ΕΝ//Ε Μ. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΘΕΜΑ Ο ίνονται τα διανύσµατα α, β για τα οποία ισχύουν α = (, 8 α β ) και β = (, β ) 5 α. Να αποδείξετε ότι i) β = 5, ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii) αβ = 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β. Να υπολογίσετε τη γωνία ( γ. i) Να αποδείξετε ότι β β α, ) ΜΟΝΑ ΕΣ 5 προβ α = β ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ii) Nα αναλύσετε το διάνυσµα α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µια να είναι παράλληλη µε το β. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ÈÅÌÁÔÁ 005

22 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω ο µη αρνητικός ακέραιος ν και ο πραγµατικός αριθµός φ [0, π). Α. Να αποδείξετε ότι ν > ν + για κάθε ν. Β. Θεωρούµε την εξίσωση x + y (4συνφ) x (4ηµφ) y + 4 ν + ν = 0 () α. Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο C. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Να γράψετε τις συντεταγµένες του κέντρου του C, και να βρείτε την ακτίνα του. β. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου. γ. Να αποδείξετε ότι ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ i) Η εξίσωση (ε): (συνφ) x + (ηµφ) y = 0 παριστάνει ευθεία για κάθε φ [0, π). ii) Αν η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου C, τότε ν = 0. ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ÈÅÌÁÔÁ 005

23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 004 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. ίνονται η ευθεία : x y 0 ε Α + Β + Γ = και το διάνυσµα δ = ( Β, Α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ ur. Μονάδες 7 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστή ή Λάθος. i) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων δίνονται από την εξίσωση y = λ x r n = Α, Β ii) Το διάνυσµα ( ) iii) Αν για τους ακέραιους α,β,γ ισχύουν: γ ( α β ) είναι κάθετο στην ευθεία ε : Α x + Β y + Γ = 0. ÈÅÌÁÔÁ 004 ur + και γ α, τότε γ β. Μονάδες 6 Γ. α) ίνονται τα σηµεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Μονάδες 4 β) ίνεται η παραβολή y = p x. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο ( x, y ). Μ. Μονάδες x y γ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής =, α β β να αποδείξετε ότι: = ε. Μονάδες 6 α ΘΕΜΑ ο v ίνονται τα διανύσµατα β v a, για τα οποία ισχύουν: ur ur 5 ur α= 4, β= 5 και προβurur β= α α. 8 ur ur α) Να αποδείξετε ότι: α β = 0. Μονάδες 7 β) Να βρείτε τη γωνία των α ur και β v. Μονάδες 6 r ur ur γ) Να υπολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος u = α β. Μονάδες 6 v v v v v δ) Αν το διάνυσµα ν = ( α β) a κ β, κ R είναι κάθετο στο διάνυσµα β v, να βρείτε την τιµή του κ. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί a= κ+ και β =κ + κ όπου κ ακέραιος. α) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός a + β είναι περιττός. Μονάδες 9 ( a + β β) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός ) + 8 είναι ακέραιος. γ) Αν ο ακέραιος κ είναι της µορφής λ +, λ R να βρείτε το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του a + β µε το.

24 ΘΕΜΑ 4 ο x y ίνεται η υπερβολή c : = και το σηµείο Κ(0,β). Μια ευθεία (ε) που έχει a β συντελεστή διεύθυνσης λ> 0 διέρχεται από το Κ και τέµνει τις εφαπτόµενες της C στις κορυφές της Α και Α, στα σηµεία Μ και Ρ αντίστοιχα. Μ a, aλ + β και α) Να γράψετε την εξίσωση της (ε) και να αποδείξετε ότι: ( ) ( aaλ, β ) Ρ +. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει διάµετρο τη ΜΡ είναι η x + ( y -β) = a ( + λ ). Μονάδες 7 γ) Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του κύκλου του ερωτήµατος (β) να είναι ίση µε την απόσταση των κορυφών της υπερβολής. Μονάδες 4 δ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής και ο κύκλος του ερωτήµατος (β) διέρχεται από τις εστίες της, να αποδείξετε ότι: λ = ε. ÈÅÌÁÔÁ 004

25 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 00 ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. ίνονται τα διανύσµατα α= (x,y), β= (x,y). Να αποδείξετε ότι: (x, y ) + (x, y ) = (x+ x, y+ y ) (µονάδες 5) Β. Έστω α, β, γ ακέραιοι µε α 0. Να αποδείξετε την ιδιότητα: Αν α β και α γ, τότε α ( β + γ ) (µονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε σαν σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις παρακάτω προτάσεις:. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Μ 0 (x 0, y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είναι: y y 0 = λ ( x x 0 ). (µονάδες ). Η ισότητα = 6 ( ) 5 εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης ( ) : 6 (µονάδες ). Οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθύγραµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(x, y ), B(x, y ) δίνονται από τις σχέσεις: x + x, y y = + y x = (µονάδες ) 4. Η εφαπτόµενη της παραβολής y = px (p 0) στο σηµείο της M(x, y ) έχει εξίσωση: yy = p(x+x ). (µονάδες ) 5. Αν τα διανύσµατα = (x,y ), β (x,y ) είναι παράλληλα, τότε ΘΕΜΑ ο Έστω ν θετικός ακέραιος. α = x y xy = 0 (µονάδες ) Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε ν είναι ν > ν 5. (µονάδες 0) Β. ίνεται η εξίσωση ÈÅÌÁÔÁ 00 x ν y = () 5 ν Να αποδείξετε ότι:. Για ν = η εξίσωση () παριστάνει ισοσκελή υπερβολή. Να βρείτε τις εστίες της και να γράψετε την εκκεντρότητα και τις εξισώσεις των ασυµπτώτων της. (µονάδες 8)

26 . Για κάθε ν η εξίσωση () παριστάνει έλλειψη που οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα x x. (µονάδες 7) ΘΕΜΑ ο Ο κύκλος C του σχήµατος έχει κέντρο το σηµείο Κ(0, ) και ακτίνα ρ =. Το σηµείο Μ(α, β) είναι εσωτερικό του C. Α. Να αποδείξετε ότι (i) Οι συντεταγµένες του σηµείου Μ(α, β) επαληθεύουν την σχέση: x + (y ) < 4. (µονάδες ) (ii) Η ευθεία x =, αν προεκταθεί, εφάπτεται στον κύκλο C. (µονάδες 4) B. ίνεται η εξίσωση λ ( x ) + λ ( y ) x = 0 (), όπου λ RI. (i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία. (µονάδες 6) (ii) Θεωρούµε τα σηµεία Ν(x 0, y 0 ) µε x o, τα οποία δεν ανήκουν σε ευθεία µε εξίσωση της µορφής (). Να βρείτε το γεωµετρικό τους τόπο. (µονάδες ) ΘΕΜΑ 4 ο Σε σύστηµα συντεταγµένων Οxy θεωρούµε τρία σηµεία Α, Β, Γ του µοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει η ισότητα: OA= 4 ΒΓ+ ΑΓ Να αποδείξετε ότι: (i) Για τις διανυσµατικές ακτίνες των Α, Β, Γ ισχύει η σχέση (ii) Τα διανύσµατα (iii) Για την γωνία των διανυσµάτων OA+ 4OB= 5 OΓ (µονάδες 5) ÈÅÌÁÔÁ 00 OA, OB είναι κάθετα. (µονάδες 8) OA, ΟΓ είναι: συν ( OA, ΟΓ ) = (iv) Αν det( OA, OB ) είναι η ορίζουσα των διανυσµάτων OA, OB, τότε 5 (µονάδες 5) det( OA, OB ) = ± (µονάδες 7) y M(α, β) C Κ(0,) x x Ο y x=