1 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 8 η Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα Νόμοι του Νεύτωνα: Fx = Fσυνθ = m α Χ (1) Fy + N = mg (δεν υπάρχει κατακόρυφη κίνηση) () () => F ημθ + Ν = mg => N = mg Fημθ To σώμα θα χάσει επαφή με την επιφάνεια εάν Ν = 0, δηλ. Fημθ = mg Έστω λοιπόν mg > F ημθ, μόνο η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης προκαλεί αλλαγή στην κινητική κατάσταση του σώματος. Η κατακόρυφη συνιστώσα εξουδετερώνεται από άλλες κατακόρυφες δυνάμεις και δεν συμβάλλει στην αλλαγή της κινητικής ενέργειας του σώματος. Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος δίδεται από: ΔΕκιν = F x U = F U συνθ Δt Δt 0 Και εάν το σώμα μετατοπιστεί κατά Δx στην οριζόντιο, τότε το έργο που παράγει δύναμη F δίδεται από: W = ΔΕ κιν = F Δx συνθ
ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Γενικά εάν σε ένα σώμα ασκείται σταθερή δύναμη F τότε το έργο της δύναμης θα ισούται με W = F d συνθ Όπου F d το μέτρο της δύναμης το μέτρο της μετατόπισης του θ η γωνιά που σχηματίζει το διάνυσμα της δύναμης με το διάνυσμα της μετατόπισης. Περιπτώσεις: 1) θ =0 δηλ. τα διανύσματα της (σταθερής) δύναμης και της μετατόπισης είναι παράλληλα, τότε το έργο της δύναμης είναι: W = F d > 0 Και η δύναμη παράγει έργο αυξάνοντας την κινητική ενέργεια του σώματος. ) θ = 90 ο δηλ. το διάνυσμα της δύναμης είναι κάθετο στο διάνυσμα της μετατόπισης. Τότε: W = 0. Η δύναμη δεν έχει παράξει έργο και δεν έχει προκαλέσει μεταβολή στην κινητική ενέργεια του σώματος. Δυνάμεις κάθετες στην κίνηση του σώματος δεν μεταβάλλουν την κινητική ενέργεια του σώματος ή το μέτρο της ταχύτητας του.
3 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Εξάλλου: ΔΕ κιν = F U συνθ Δt Δt 0 Εάν θ = 90 ο τότε ΔΕ κιν = 0 Δt Δt 0 3) θ = 180 ο, F, d αντιπαράλληλα W = - F d αφού συν 180 ο = -1 Τότε το έργο είναι αρνητικό, η δύναμη καταναλώνει έργο και η κινητική ενέργεια του σώματος μειώνεται. Στην περίπτωση αυτή η δύναμη επιβραδύνει το σώμα. Έργο βάρους Εάν ένα σώμα κινηθεί από τη θέση () στη θέση (1) το έργο του βάρους δίδεται από: W = - ΔΕ δυν = - ( m g h 1 m g h ) = mg ( h h 1 ) Αρχικό τελικό
4 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Εάν h h 1 > 0, τότε η δυναμική ενέργεια έχει μειωθεί και έχει μετατραπεί σε κινητική ενέργεια. Εάν h h 1 < 0, τότε η δυναμική ενέργεια έχει αυξηθεί, το βάρος έχει καταναλώσει έργο και η κινητική ενέργεια έχει μειωθεί λόγω του βάρους κατά ΔΕ κιν = - ΔΕ δυν. Έχουμε πει ότι το βάρος αποτελεί ένα παράδειγμα μιας συντηρητικής δύναμης δηλ. το έργο του βάρους, δεν εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το κινητό από τη θέση στη θέση 1 αλλά μόνο από την κατακόρυφη μετατόπιση της θέσης 1 ως προς τη θέση. Εάν το κινητό ακολουθήσει μια κλειστή διαδρομή φτάνοντας πίσω στη θέση, το έργο του βάρους είναι ίσο με το μηδέν. Ελατήριο Για να επιμηκύνουμε ένα ελατήριο κατά Δx, πρέπει να το τραβήξουμε με δύναμη ανάλογη της επιμήκυνσης που θέλουμε να του προσδώσουμε.
5 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Αν προσδέσουμε στο ελατήριο κάποιο σώμα μάζας m και το μετατοπίσουμε κατά Δx (έτσι ώστε το ελατήριο να επιμηκυνθεί κατά Δx), τότε η δύναμη που ασκούμε πάνω στο σώμα δίδεται από: F = κ Δx To ελατήριο τραβάει το σώμα προς την αντίθετη κατεύθυνση με δύναμη Fελ = - κ Δx H σταθερά κ λέγεται σταθερά ελαστικότητας του ελατηρίου Κ μονάδες Ν / m Όταν η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ίση με μηδέν, τότε λέμε ότι το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. Σε αυτήν τη θέση το ελατήριο δεν ασκεί καμιά δύναμη πάνω στο σώμα. Έστω η θέση ισορροπίας το σημείο Χ=0
6 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Αν σπρώξουμε το σώμα προς τα αριστερά, το ελατήριο συσπειρώνεται και ασκεί δύναμη πάνω στο σώμα αντίθετη της μετατόπισης του, δηλ. η φορά της δύναμης προς τα δεξιά. Και πάλι ισχύει F ελ = - κ Δx Συσπείρωση Δx < 0 Γενικά η δύναμη που ασκεί το ελατήριο πάνω στο σώμα είναι αντίθετη της μετατόπισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Πόσο έργο ξοδεύουμε για να επιμηκύνουμε το ελατήριο μετατοπίζοντας το σώμα από τη θέση ισορροπίας στη θέση Χ 0 ; Τώρα η δύναμη εξαρτάται από τη θέση του κινητού Χ: F = κ Χ (Fελ = - κχ ) Το μικρό έργο που ξοδεύουμε για να μετατοπίσουμε το σώμα κατά ΔΧ από τη θέση Χ δίδεται από: ΔW = F Δx = κ x Δx
7 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Και στο διάγραμμα της δύναμης συναρτήσει του Χ αντιστοιχεί στο εμβαδόν του μικρού ορθογωνίου με πλευρές Δx και F = κx Άρα για να βρούμε το έργο από τη θέση Χ=0 στη θέση Χ 0, πρέπει να βρούμε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ Χ=0 και Χ=Χ 0. Τρίγωνο W = ½ (κx 0 ) X 0 = ½ κ X 0 Αυτό το έργο αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια στο ελατήριο. Αυτό γιατί εάν τώρα αφήσουμε το σώμα να κινηθεί ελεύθερα, το ελατήριο θα το αναγκάσει να κινηθεί πίσω στη θέση ισορροπίας προσδίδοντας του κινητική ενέργεια. E δυν = ½ κ X E μηχ = ½ m U + ½ κ Χ = σταθ = ½ κ Χ 0 Όταν το σώμα φτάσει πίσω στη θέση ισορροπίας θα δέχεται δύναμη ίση με το μηδέν αλλά θα έχει ταχύτητα. U 0 = κ Χ 0 m προς τα αριστερά.
8 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Καθώς τώρα θα κινείται προς τα αριστερά το ελατήριο θα συσπειρώνεται, το σώμα θα επιβραδύνεται χάνοντας κινητική ενέργεια σε δυναμική, μέχρις ότου σταματήσει στη θέση Χ = - Χ 0. Εκεί η δυναμική του ενέργεια είναι και πάλι ½ κ Χ 0 και το ελατήριο το σπρώχνει με δύναμη κχ 0 = - κ (-Χ 0 ) προς τα δεξιά. Επομένως θα αναγκαστεί και πάλι να επιστρέψει στη θέση ισορροπίας, εκτελώντας παλινδρομική κίνηση γύρω από αυτή τη θέση. Η κίνηση αυτή λέγεται ταλάντωση και είναι μια περιοδική κίνηση. Το σώμα επιστρέφει πίσω στην αρχική του θέση σε δεδομένα χρονικά διαστήματα. Χ 0 : Πλάτος ταλάντωσης: μέγιστη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας. - Χ 0 0 Χ 0 F κχ 0 0 -κχ 0 U 0 κ Χ 0 m 0 Εδυν ½ κ Χ 0 0 ½ κ Χ 0 Εκιν 0 ½ κ Χ 0 0 O χρόνος που χρειάζεται για να επιστρέψει το σώμα πίσω στην αρχική του θέση λέγεται η περίοδος Τ.