ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ χρησιµοποιώντας δυο διαφορετικά συστήµατα συντεταγµένων Τη µια φορά θα πάροµε το µηδέν του άονά µας στη θέση ορροπίας της µάζας και την άλλη φορά θα το πάροµε στο σταθερό άκρο τού ελατηρίου Για να µην µπερδευόµαστε, θα χρησιµοποιήσοµε διαφορετικά σύµβολα για τους δύο άονες Ας θεωρήσοµε ελατήριο σταθεράς και φυσικού µήκους l µε το αρτερό άκρο του σταθερό και στο δεί άκρο του σηµειακή µάζα Το ελατήριο είναι οριζόντιο και η µόνη δύναµη που ασκείται στη µάζα είναι η δύναµη Hooe Θεωρούµε έναν άονα, κατά µήκος του ελατηρίου, µε το µηδέν του άονα στη θέση ορροπίας της µάζας και την κατεύθυνσή του προς τα δειά Η είσωση κίνησης της µάζας είναι d = (0) Αυτή η είσωση είναι ίδια µε την πρώτη είσωση του Παραδείγµατος 9, µόνο που αλλάαµε τον συµβολµό και αντί για γράψαµε Ας θεωρήσοµε τώρα και τον άονα που το µηδέν του είναι στο σταθερό άκρο τού ελατηρίου Την τυχούσα χρονική στιγµή η µάζα έχει συντεταγµένη ( στον έναν άονα και ( στον άλλον Η σχέση µεταύ αυτών των δυο ποσοτήτων είναι Αντικαθτούµε το ( στην είσωση (0) και έχοµε = ( (0) d = ( ), (0) όπου, για συντοµία, δεν γράψαµε ρητά την εάρτηση από τον χρόνο Ας δούµε τώρα τι µας λέει η είσωση (0) και πως θα µπορούσαµε να τη γράψοµε κατ ευθείαν Αυτή λέει ότι η δύναµη F,µ που ασκεί το ελατήριο στη µάζα, έχει µέτρο ίσο µε Σταθερα Στιγµιαιο Φυσικο F = του µηκος µηκος (0) ελατηριου ελατηριου ελατηριου Page of
Για να βρούµε το πρόσηµο της F πρέπει να σκεφθούµε αν το ελατήριο «σπρώχνει» ή «τραβά» τη µάζα Την «τραβά» προς τα αρτερά (δηλαδή δύναµη αρνητική) αν το ελατήριο είναι τεντωµένο, δηλαδή αν το στιγµιαίο µήκος του ελατηρίου [που είναι η συντεταγµένη του τέλους του (δηλαδή ) µείον τη συντεταγµένη της αρχής του (δηλαδή 0 )] είναι µεγαλύτερο από το φυσικό µήκος του ελατηρίου, που είναι l Έτσι λοιπόν για να είναι σωστή η δύναµη F πρέπει να γράψοµε F Σταθερα Στιγµιαιο Φυσικο = του µηκος µηκος = ( ), (05) ελατηριου ελατηριου ελατηριου δηλαδή να βάλοµε µε το χέρι το αρνητικό πρόσηµο Αν δεν το βάζαµε, θα ήταν σαν να λέµε ότι για τεντωµένο ελατήριο η δύναµη είναι θετική, δηλαδή «σπρώχνει» τη µάζα προς τα δειά, που είναι τρελό Παρά το γεγονός ότι συζητήσαµε την περίπτωση που το ελατήριο είναι τεντωµένο, η είσωση είναι σωστή αν το ελατήριο είναι συµπιεσµένο Αν το ελατήριο είναι συµπιεσµένο, δηλαδή αν το στιγµιαίο µήκος του ελατηρίου [που είναι η συντεταγµένη του τέλους του (δηλαδή ) µείον τη συντεταγµένη της αρχής του (δηλαδή 0 )] είναι µικρότερο από το φυσικό µήκος του ελατηρίου, που είναι l, το ελατήριο θα «σπρώει» τη µάζα προς τα δειά, δηλαδή δύναµη θετική Όντως, για < l η δύναµη F (είσωση 05) είναι θετική Κάποιος µπορεί να ρωτήσει: Μια χαρά δεν ήταν η είσωση (0), τι τα θέλαµε όλα τα υπόλοιπα; Η απάντηση είναι: Όντως, µια χαρά είναι η είσωση (0) και µπορούµε να τη χρησιµοποιούµε αν στο πρόβληµά µας υπάρχει θέση ορροπίας Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει θέση ορροπίας Σε τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να είµαστε σε θέση να γράφοµε τις εώσεις κίνησης σε τυχόν σύστηµα συντεταγµένων Ας δούµε ένα παράδειγµα Παράδειγµα 0: Θεωρήστε το εής απλό µοντέλο για το µόριο του CO Στον άονα θεωρείστε ένα ελατήριο σταθεράς και φυσικού µήκους l µε δυο σηµειακές µάζες, στο αρτερό άκρο του και στο δεί άκρο του Το ελατήριο και οι µάζες µπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε στον άονα και να κινούνται όπως θέλουν, φυσικά πάντοτε µε τη µάζα στο αρτερό άκρο του και την στο δεί Την τυχούσα χρονική στιγµή, η µάζα βρίσκεται στη θέση ( και η µάζα στη Βαρύτητα δεν υπάρχει Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών Λύση: Η είσωση κίνησης της µάζας είναι d = [ ( ) ] Το µέτρο της ασκούµενης δύναµης είναι αυτό που λέει η είσωση (0), διότι το είναι το στιγµιαίο µήκος του ελατηρίου (δηλαδή, η συντεταγµένη του τέλους του µείον τη συντεταγµένη της αρχής του) Αν το ελατήριο είναι τεντωµένο, θα Page of
«τραβήει» τη µάζα προς τα δειά, δηλαδή θα ασκήσει θετική δύναµη Η δύναµη [( ) ] είναι όντως θετική για τεντωµένο ελατήριο, δηλαδή για > l Άρα δεν χρειάζεται να αλλάοµε το πρόσηµο της δύναµης µε το χέρι Η είσωση κίνησης της µάζας είναι d = [ ( ) ] Το µέτρο της ασκούµενης δύναµης είναι αυτό που λέει η είσωση (0), διότι το είναι το στιγµιαίο µήκος του ελατηρίου (δηλαδή, η συντεταγµένη του τέλους του µείον τη συντεταγµένη της αρχής του) Αν το ελατήριο είναι τεντωµένο, θα «τραβήει» τη µάζα προς τα αρτερά, δηλαδή θα ασκήσει αρνητική δύναµη Όµως, η δύναµη [( ) ] είναι θετική για τεντωµένο ελατήριο, δηλαδή για >l Άρα πρέπει να της αλλάοµε το πρόσηµο µε το χέρι Αυτό κάναµε και βάλαµε το στη δύναµη, ώστε για τεντωµένο ελατήριο να είναι αρνητική η δύναµη Παρατήρηση: Είναι προφανές ότι στο συγκεκριµένο Παράδειγµα δεν υπάρχουν θέσεις ορροπίας των µαζών Παρ όλα αυτά, ο νόµος του Hooe χύει και έπρεπε να τον γράψοµε σωστά Άσκηση 0: Βεβαιωθείτε ότι οι εώσεις κίνησης του Παραδείγµατος 0 είναι σωστές αν το ελατήριο είναι συµπιεσµένο Με άλλα λόγια, βεβαιωθείτε ότι οι εώσεις κίνησης είναι σωστές ανεαρτήτως της κατάστασης του ελατηρίου Άσκηση 0: υο ελατήρια µε σταθερές, και φυσικά µήκη l,l ανττοίχως, καθώς και τρεις σηµειακές µάζες,, είναι συνδεµένα στον οριζόντιο άονα ως εής: Το ελατήριο έχει στο αρτερό άκρο του τη µάζα, ενώ στο δεί άκρο του βρίσκεται η µάζα καθώς και το αρτερό άκρο του ελατηρίου Στο δεί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των τριών µαζών είναι,, (, µε < < ( Βαρύτητα δεν υπάρχει Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, ( ) ( Παράδειγµα 0: υο ελατήρια µε σταθερές, και φυσικά µήκη l,l ανττοίχως, καθώς και δυο σηµειακές µάζες, είναι συνδεµένα στον οριζόντιο άονα ως εής: Το ελατήριο έχει το αρτερό άκρο του σταθερό στη θέση = 0 Στο δεί άκρο του βρίσκεται η µάζα καθώς και το αρτερό άκρο του ελατηρίου Στο δεί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των δυο µαζών είναι,, µε < Βαρύτητα δεν υπάρχει Α) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες, Β) Να βρεθούν οι θέσεις ορροπίας των µαζών Page of
Γ) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, που µετρώνται από τις θέσει ορροπίας Λύση: Α) Στη µάζα δρουν τόσο το ελατήριο όσο και το ελατήριο Στη µάζα δρα µόνο το ελατήριο Έτσι, οι εώσεις κίνησης των µαζών είναι d = ( ) + [( ) ], d = [( ) ] Β) Για τα βρούµε τις θέσεις ορροπίας των µαζών αρκεί να µηδενίσοµε τις δυνάµεις που δρουν σ αυτές, δηλαδή 0 l = ( ) + [( ) ], 0 l = [( ) ] Το σύστηµα των εώσεων έχει λύση =, l =l + l Φυσικά, δεν ήταν απαραίτητο να λύσοµε το σύστηµα για να βρούµε τις θέσεις ορροπίας Από διαίσθηση και µόνο θα µπορούσαµε να τις γράψοµε Γ) Θέτοντας στις εώσεις κίνησης του ερωτήµατος Α βρίσκοµε ( + ( = + ( ), = ), d ( ) = +, d = ( ) Κι αυτές τις εώσεις θα µπορούσαµε να τις γράψοµε κατ ευθείαν Ο πρώτος όρος της πρώτης είσωσης είναι κατανοητός Ο δεύτερος όρος της πρώτης είσωσης λέει ότι αν οι δυο αποµακρύνσεις από τις θέσεις ορροπίας είναι ίσες, η δύναµη που ασκεί το ελατήριο είναι µηδέν Αυτό είναι σωστό, διότι αν =, το ελατήριο έχει απλώς µετατοπτεί, δεν είναι ούτε τεντωµένο ούτε συµπιεσµένο Αν >, το ελατήριο είναι τεντωµένο και η δύναµη που ασκεί στη µάζα είναι θετική, όπως πρέπει Page of
Άσκηση 0: Τρία ελατήρια µε σταθερές,, και φυσικά µήκη l ανττοίχως, καθώς και τρεις σηµειακές µάζες,, είναι συνδεµένα στον οριζόντιο άονα ως εής: Το ελατήριο έχει το αρτερό άκρο του στερεωµένο στη θέση = 0 Στο δεί άκρο του βρίσκεται η µάζα καθώς και το αρτερό άκρο του ελατηρίου Στο δεί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα καθώς και το αρτερό άκρο του ελατηρίου Στο δεί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των τριών µαζών είναι,, ( ), µε < < < ( ) Βαρύτητα δεν υπάρχει ( 0 Α) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, ( ) Β) Να βρεθούν οι θέσεις ορροπίας, των µαζών, ( Γ) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, ( ), ( που µετρώνται από τις θέσεις ορροπίας, δηλαδή = + ( και οµοίως για τα, ( ) ( Παράδειγµα 0: Ένα ελατήριο µε σταθερά και φυσικό µήκος l κρέµεται από το ταβάνι ( = 0) Στο ελεύθερο άκρο του βρίσκεται µάζα Θεωρείστε τον άονα µε φορά προς τα κάτω Την τυχούσα χρονική στιγµή η θέση της µάζας είναι ( Θεωρείστε σταθερό πεδίο βαρύτητας Α) Να γραφεί η είσωση κίνησης της µάζας µε συντεταγµένη ( Β) Να βρεθεί η θέση ορροπίας της µάζας Γ) Να γραφεί η είσωση κίνησης της µάζας µε συντεταγµένη (, που µετράται από τη θέση ορροπίας Λύση: Α) Στη µάζα δρουν τόσο το ελατήριο όσο και η βαρύτητα Έτσι, η είσωση κίνησης της µάζας είναι d ) = ( + g Β) Για τα βρούµε τη θέση ορροπίας ης µάζας αρκεί να µηδενίσοµε τη συνταµένη δύναµη που δρα σ αυτή, δηλαδή 0 = ( + g, ) που έχει λύση g =l + εν ήταν απαραίτητο να λύσοµε την είσωση για να βρούµε τη θέση ορροπίας Από διαίσθηση και µόνο θα µπορούσαµε να τη γράψοµε Γ) Θέτοντας στην είσωση κίνησης του ερωτήµατος Α Page 5 of
βρίσκοµε ( = + ( ), d = Κι αυτή την είσωση θα µπορούσαµε να τη γράψοµε κατ ευθείαν Το τέντωµα του ελατηρίου κατά g / εορροπεί τη βαρύτητα και άρα η βαρύτητα στη θέση g ορροπίας =l + είναι σαν να µην υπάρχει Άσκηση 0: υο ελατήρια µε σταθερές, και φυσικά µήκη l,l ανττοίχως, καθώς και δυο σηµειακές µάζες, είναι συνδεµένα στον κατακόρυφο άονα (µε φορά προς τα κάτω) ως εής: Το ελατήριο έχει το πάνω άκρο του στερεωµένο στο = 0 ενώ στο κάτω άκρο του υπάρχει η µάζα (µε συντεταγµένη ) και το πάνω άκρο του ελατηρίου Στο κάτω άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα (µε συντεταγµένη ) Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των δυο µαζών είναι,, µε 0< ( < Θεωρείστε σταθερό πεδίο βαρύτητας Α) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες, Β) Να βρεθούν οι θέσεις ορροπίας των µαζών Γ) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, που µετρώνται από τις θέσει ορροπίας Άσκηση 05: υο ελατήρια µε σταθερές, και φυσικά µήκη l,l ανττοίχως, καθώς και δυο σηµειακές µάζες, είναι συνδεµένα στον κατακόρυφο άονα (µε φορά προς τα πάνω) ως εής: Το ελατήριο έχει το κάτω άκρο του στερεωµένο στο = 0 ενώ στο πάνω άκρο του υπάρχει η µάζα (µε συντεταγµένη ) και το κάτω άκρο του ελατηρίου Στο πάνω άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα (µε συντεταγµένη ) Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των δυο µαζών είναι,, µε 0< ( < Θεωρείστε σταθερό πεδίο βαρύτητας Α) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες, Β) Να βρεθούν οι θέσεις ορροπίας των µαζών Γ) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, που µετρώνται από τις θέσει ορροπίας Άσκηση 06: Τρία ελατήρια µε σταθερές,, και φυσικά µήκη l ανττοίχως, καθώς και τρεις σηµειακές µάζες,, είναι συνδεµένα στον κατακόρυφο άονα (µε φορά προς τα κάτω) ως εής: Το ελατήριο έχει το πάνω άκρο του στερεωµένο στο = 0 ενώ στο κάτω άκρο του υπάρχει η µάζα (µε συντεταγµένη ) και το πάνω άκρο του ελατηρίου Στο κάτω άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα (µε συντεταγµένη ) καθώς και το πάνω άκρο του ελατηρίου Στο κάτω άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα (µε συντεταγµένη Page 6 of
) Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των τριών µαζών είναι,, ( ), µε < < < ( ) Θεωρείστε σταθερό πεδίο βαρύτητας ( 0 Α) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, Β) Να βρεθούν οι θέσεις ορροπίας των µαζών Γ) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες,, (, που µετρώνται από τις θέσει ορροπίας Απάντηση: Β) = l ( = l ( + ( + + + + + ) g + ) g, + ) g + l ( ( + + ) g = l + + l + + l + + ) g Σηµείωση: Μάλλον θα σας είναι προφανές ότι τα παραπάνω αποτελέσµατα γράφτηκαν µε κάποια λογική και όχι µετά από πράεις Όντως έτσι είναι Ας δούµε λοιπόν τη λογική Ας σκεφθούµε τη διαδικασία κρεµάσµατος του συστήµατος των ελατηρίων από το ταβάνι Πρώτα κρεµάµε το ελατήριο Αυτό, ως αβαρές, εκτείνεται κατά l Μετά κρεµάµε τη µάζα Αυτό έχει ως συνέπεια την επιµήκυνση του ελατηρίου κατά g / (Η επιµήκυνση είναι τόση ώστε η δύναµη του ελατηρίου να εορροπεί το βάρος g της κρεµασµένης µάζας) Μετά κρεµάµε το ελατήριο, το οποίο, ως αβαρές, δεν µετατοπίζει την µάζα Όταν όµως κρεµάσοµε την µάζα, αυτή επιµηκύνει το µεν ελατήριο κατά g / το δε ελατήριο κατά g / Μετά κρεµάµε το ελατήριο, το οποίο, ως αβαρές, δεν µετατοπίζει ούτε τη µάζα ούτε τη µάζα Όταν όµως κρεµάσοµε την µάζα, αυτή επιµηκύνει το ελατήριο κατά g /, το ελατήριο κατά g / και το ελατήριο κατά g / Με βάση τα παραπάνω, η θέση ορροπίας της µάζας απέχει από το ταβάνι l συν τις τρεις επιµηκύνσεις g /, g / και g / που υπέστη το ελατήριο Η θέση της µάζας βρίσκεται ακόµη πιο κάτω κατά l συν τις δυο επιµηκύνσεις g / και g / που υπέστη το ελατήριο Η θέση της µάζας βρίσκεται ακόµη πιο κάτω κατά l συν την επιµήκυνση g / του ελατηρίου g Παράδειγµα 05: υο ελατήρια και δυο µάζες είναι συνδεµένα ως εής στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R, που βρίσκεται στο επίπεδο y, µε κέντρο την αρχή των αόνων Την τυχούσα χρονική στιγµή, η διανυσµατική ακτίνα της µάζας Page 7 of
σχηµατίζει γωνία θ µε τον θετικό ηµιάονα, ενώ η διανυσµατική ακτίνα της µάζας σχηµατίζει γωνία θ > θ µε τον θετικό ηµιάονα Στο τόο του κύκλου µεταύ των γωνιών θ και θ υπάρχει το ελατήριο µε σταθερές Στο άκρο του που βρίσκεται στη γωνία θ είναι συνδεµένη η µάζα ενώ στο άκρο του που βρίσκεται στη γωνία θ είναι συνδεµένη η µάζα Στο υπόλοιπο µέρος της περιφέρειας υπάρχει το ελατήριο µε σταθερές Στα άκρα αυτού του ελατηρίου είναι συνδεµένες οι µάζες και Μάζα, ελατήριο, µάζα, ελατήριο Με άλλα λόγια, η σειρά είναι: Βαρύτητα δεν υπάρχει Α) Να σχεδιαστεί το σύστηµα ελατηρίων µαζών καθώς και οι άονες, y και οι γωνίες θ, θ Β) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών Λύση: Εδώ οι συντεταγµένες των µαζών είναι τόα κύκλου, που µετρώνται από τον άονα Έτσι, η συντεταγµένη της µάζας είναι R θ και η συντεταγµένη της µάζας είναι R θ Παρατηρείστε ότι η θετική φορά των συντεταγµένων είναι αντίθετη αυτής των δεικτών του ωρολογίου Οι εώσεις κίνησης των µαζών είναι d Rθ = [ R( θ θ) ] [ R(π θ + θ) ], d Rθ = [ R( θ θ) ] + [ R(π θ + θ) ] Άσκηση 07: Τρία ελατήρια και τρεις µάζες είναι συνδεµένα ως εής στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R, που βρίσκεται στο επίπεδο y, µε κέντρο την αρχή των αόνων Την τυχούσα χρονική στιγµή, η διανυσµατική ακτίνα της µάζας σχηµατίζει γωνία θ µε τον θετικό ηµιάονα, η διανυσµατική ακτίνα της µάζας σχηµατίζει γωνία θ > θ µε τον θετικό ηµιάονα και η διανυσµατική ακτίνα της µάζας σχηµατίζει γωνία θ > θ µε τον θετικό ηµιάονα Στο τόο του κύκλου µεταύ των γωνιών θ και θ υπάρχει το ελατήριο µε σταθερές Στο τόο του κύκλου µεταύ των γωνιών θ και θ υπάρχει το ελατήριο µε σταθερές Στο υπόλοιπο µέρος της περιφέρειας υπάρχει το ελατήριο µε σταθερές Με άλλα λόγια, η σειρά είναι: Μάζα, ελατήριο, µάζα, ελατήριο, µάζα, ελατήριο, µάζα Βαρύτητα δεν υπάρχει Α) Να σχεδιαστεί το σύστηµα ελατηρίων µαζών καθώς και οι άονες, y και οι γωνίες θ, θ, θ Β) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών Παράδειγµα 06: Τρία ελατήρια και τρεις σηµειακές µάζες είναι συνδεµένα ως εής: Το ελατήριο, µε σταθερά και φυσικό µήκος l, βρίσκεται στον άονα Στο αρτερό άκρο του υπάρχει η σηµειακή µάζα, µε συντεταγµένες (,0), ενώ Page 8 of
στο δειό άκρο του υπάρχει η σηµειακή µάζα, µε συντεταγµένες (,0) Στον άονα y και µε συντεταγµένες ( 0, y ), βρίσκεται σηµειακή µάζα, η οποία είναι συνδεµένη αφενός µέσω του ελατηρίου, σταθεράς και φυσικού µήκους l, µε την µάζα και αφετέρου µέσω του ελατηρίου, σταθεράς και φυσικού µήκους l, µε την µάζα Τα,, y είναι στιγµιαίες θέσεις των µαζών και άρα είναι συναρτήσεις του χρόνου Βαρύτητα δεν υπάρχει Α) Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών χρησιµοποιώντας µόνον τα δοθέντα στοιχεία, δηλαδή,,,,, y,,, Θεωρείστε ότι 0, 0 και y 0 < > > Β) Αλλάζουν οι εώσεις αν 0< ( < και, αν ναι, πώς γίνονται; Γ) Αλλάζουν οι εώσεις αν < < 0 και, αν ναι, πώς γίνονται; ) Αλλάζουν οι εώσεις αν y 0 και, αν ναι, πώς γίνονται; < Λύση: Α) Στη µάζα δύναµη ασκούν τα ελατήρια και Στη µάζα δύναµη ασκούν τα ελατήρια και Στη µάζα δύναµη ασκούν τα ελατήρια και Συνεπώς, οι εώσεις κίνησης είναι: d = ( ) + ( + y ) cosθ, d = ( ) ( + y ) cosφ, d y = ( + y )sinθ ( + y ) sinφ, όπου θ είναι η οεία γωνία που σχηµατίζει το ελατήριο µε το ελατήριο και φ είναι η οεία γωνία που σχηµατίζει το ελατήριο µε το ελατήριο Στην πρώτη είσωση υπεέρχεται η συντώσα της δύναµης του ελατηρίου, στη δεύτερη είσωση υπεέρχεται η συντώσα της δύναµης του ελατηρίου και στην τρίτη είσωση υπεέρχεται η y συντώσα της δύναµης τόσο του ελατηρίου όσο και του ελατηρίου Αντικαθτώντας τις τιµές για τα cos θ, cosφ, sinθ, sinφ, οι εώσεις κίνησης γίνονται: d d ( ) = ( l) + ( + y l ), + y = ( l) ( + y l ), + y Page 9 of
d y y = ( + y l ) ( + y l ) + y + y y Προσοχή: Η γωνία θ είναι οεία, εποµένως και το ηµίτονό της και το συνηµίτονό της είναι θετικές ποσότητες Γι αυτό γράψαµε δίνεται ότι 0 < < Β) Για 0, ο όρος ( ( ) cosθ = ( + y ) /, αφού µας + y l ), που γράψαµε στο ερώτηµα Α, + y είναι θετικός Αυτό είναι σωστό, διότι αν το ελατήριο είναι τεντωµένο θα τείνει να ασκήσει δύναµη στη µάζα προς τα δειά, δηλαδή θετική Αν τώρα > 0, οι µάζες και είναι και οι δυο στον θετικό ηµιάονα Αν το ελατήριο είναι τεντωµένο θα τείνει να ασκήσει δύναµη στη µάζα προς τα ( ) αρτερά, δηλαδή αρνητική Ο όρος ( + y l ), που γράψαµε στο + y ερώτηµα Α, είναι τώρα αρνητικός!!! ηλαδή έχει το πρόσηµο που θέλοµε Άρα, η είσωση για τη µάζα είναι σωστή είτε < 0 είτε > 0 Οι εώσεις είναι σωστές και για τις δυο άλλες µάζες Γ) Με όµοιο τρόπο βρίσκοµε ότι η είσωση για τη µάζα είναι σωστή είτε 0 είτε 0 Οι εώσεις είναι σωστές και για τις δυο άλλες µάζες > < ) Η είσωση για τη µάζα είναι σωστή είτε y > 0 (δηλαδή αρνητική δύναµη) είτε y < 0 (θετική δύναµη) Οι εώσεις είναι σωστές και για τις δυο άλλες µάζες Άσκηση 08: Τέσσερα ελατήρια και τέσσερις σηµειακές µάζες είναι συνδεµένα ως εής: Η µάζα έχει συντεταγµένες (,0), η µάζα έχει συντεταγµένες ( >,0), η µάζα έχει συντεταγµένες ( 0, y ) και η µάζα έχει συντεταγµένες ( 0, y < y) Οι µάζες και είναι στα άκρα του ελατηρίου µε σταθερές, l Οι µάζες και είναι στα άκρα του ελατηρίου µε σταθερές Οι µάζες και είναι στα άκρα του ελατηρίου µε σταθερές Οι µάζες και είναι στα άκρα του ελατηρίου µε σταθερές Τα,, y, y είναι στιγµιαίες θέσεις των µαζών και άρα είναι συναρτήσεις του χρόνου Βαρύτητα δεν υπάρχει Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών χρησιµοποιώντας µόνον τα δοθέντα στοιχεία Άσκηση 09: Τρία ελατήρια µε σταθερές,, και φυσικά µήκη l ανττοίχως, καθώς και δυο σηµειακές µάζες, είναι συνδεµένα στον οριζόντιο άονα ως εής: Το ελατήριο έχει το αρτερό άκρο του στερεωµένο στη θέση = 0 Στο δεί άκρο του βρίσκεται η µάζα καθώς και το αρτερό άκρο του Page 0 of
ελατηρίου Στο δεί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα καθώς και το αρτερό άκρο του ελατηρίου Το δεί άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο στη θέση = L, όπου το L δεν ούται γενικώς µε l + l + l Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των δυο µαζών είναι,, µε 0< ( < Βαρύτητα δεν υπάρχει Να γραφούν οι εώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες, ( ) ( Page of