Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου Οµοιόµορφη Μικρή Περιοχή Χωρική ρ Q V ρ= dq dv Επιφανειακή σ Q A σ = dq da Γραµµική λ Q l λ= dq dl Γ. Βούλγαρης 1
Παράσταση της έντασης Ηλεκτρικού Πεδίου. Η Εφαπτόµενη στη υναµική Γραµµή είναι η διεύθυνση της Έντασης. Η πυκνότητα των δυναµικών Γραµµών είναι ανάλογη µε το µέτρο της έντασης στην περιοχή. υναµικές Γραµµές Οι υν. Γραµµές ξεκινούν από τα Θετικά φορτία και καταλήγουν στα Αρνητικά. υναµικές Γραµµές για Αποµονωµένα Φορτία. υναµικές γραµµές για γειτονικά φορτία Γ. Βούλγαρης 2
Ηλεκτρική Ροή. Φ= E A Φ= E Acosθ Γ. Βούλγαρης 3
Ηλεκτρική Ροή. dφ = E da Φ = E da = 0 Φ = E da Φ = E da dω r da = 2 Γ. Βούλγαρης 4
Νόµος Gauss q EdA= ε0 Η κλειστή επιφάνεια περικλείει φορτίο q. Η κλειστή επιφάνεια δεν περικλείει φορτίο. Φ = E da Γ. Βούλγαρης 5
Νόµος Gauss. q = ε E da 0 E da =0 Γ. Βούλγαρης 6
Παραδείγµατα, Εφαρµογές. Συµµετρικές κατανοµές. Σηµειακό φορτίο E da= EdA q = ε EdA= ε E da= ε E 4πR 2 0 0 0 E = q 4πε R 0 2 Γ. Βούλγαρης 7
Νόµος Gauss για τυχαία επιφάνεια. A A dω dacosθ r = 2 EdA = EdA = ε 0 Η συνολική ροή είναι ίση µε την ροή που περνά από την επιφάνεια ακτίνας R. q Το εσωτερικό γινόµενο ΕdA προβάλει σε επίπεδο κάθετο στην ακτίνα. q dacosθ q q Φ = = dω = 2 4πε r 4πε ε 0 0 0 Γ. Βούλγαρης 8
Μεγάλη Επίπεδη Επιφάνεια. σ επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σα φορτίο µέσα στον Γκαουσιανό κύλινδρο Γ. Βούλγαρης 9
Γραµµική Κατανοµή µεγάλου µήκους, υπολογισµός έντασης Γ. Βούλγαρης 10
Κατανοµή µεγάλου µήκους, Υπολογισµός έντασης µε θεώρηµα Gauss. Ένας αγώγιµος κύλινδρος µεγάλου µήκους, όταν φορτίζεται το φορτίο απλώνεται οµοιόµορφα στην επιφάνεια του. Η ένταση του πεδίου που σχηµατίζεται, εξαρτάται µόνο από την απόσταση r από τον άξονα z. ηλαδή οι θ και z συνιστώσες είναι 0. Για επιφάνεια ολοκλήρωσης διαλέγουµε έναν κύλινδρο ακτίνας r. q λl Φ= EdA= E da= = ε ε A= 2πrl E( 2πrl) = λ E = = 2k 2πεr 0 λl ε Γ. Βούλγαρης 11 λ r 0 0 0
ακτυλίδι, Υπολογισµός Εντασης. de = decosθ= x de = k dqˆ r 2 r kx 3 2 2 2 (x + a ) dq kx kx Ex = dq= Q 1 3 2 2 2 2 2 2 (x + a ) (x + a ) ( ) r= x + a x cosθ= r 1 2 2 2 Γ. Βούλγαρης 12
ίσκος, Υπολογισµός Έντασης. de kx de = (x + a ) E = kxπσ = kxπσ 3 2 2 2 R R ( 2πσrdr) 2rdr 0 3 2 2 2 (x + a ) 2 d(r ) 0 3 2 2 2 (x + a ) (x + a ) = kxπσ 1 2 2 2 x = kxπσ 1 (x + a ) R 1 2 0 1 2 2 2 Γ. Βούλγαρης 13
Σφαίραφορτισμένηομογενώς Γ. Βούλγαρης 14
Φορτία σε αγώγιµες επιφάνειες. Στη περίπτωση αγώγιµου υλικού, τα φορτία απωθούνται µέχρι τα όρια του αγώγιµου υλικού και συγκεντρώνονται σε ένα λεπτό στρώµα στην επιφάνεια. q σa εσ Φ = EdA = EA = = ε 0 ε 0 Επειδή η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του αγωγού είναι µηδέν: σ E = ε 0 σ E = n ˆ ε 0 Γ. Βούλγαρης 15
Αγώγιµο φύλλο σε εξωτερικό Ηλέκτρικό Πεδίο. Ασύµµετρη κατανοµή. Τα φορτία συγκεντρώνονται στην ακίδα. Η ένταση του πεδίου είναι µεγαλύτερη. Γ. Βούλγαρης 16
Υπολογισμόςέργου Η έντασηεείναι σταθερή σε όλο το χώρο. Το έργο υπολογίζεται από την προβολή της έντασης στη µετατόπιση L i. W = -q(e L + E L + + E L ) L1 1 L2 2 L6 6 Χρησιµοποιώντας το βαθµωτό γινόµενο: W = -q(e L + E L + + E L ) 1 2 6 Γ. Βούλγαρης 17
Ηλεκτρικό υναµικό. ιαφορά υναµικού. Έργο κατά την µετατόπιση Φορτίου σε Ηλεκτρικό Πεδίο. dw = q 0 F ds Μεταβολή υναµικής ενέργειας. U = U U Τελ ιαφορά υναµικού. Αρχ V b U U U q E ds V a b = b a = 0 a = U b U q 0 a b = E ds a a αρχική, b τελική θέση V = V V ba b a Γ. Βούλγαρης 18
υναµική Ενέργεια Ηλ. Πεδίου. Γ. Βούλγαρης 19
ιαφορά υναµικού υναµική Ενέργεια για Σηµειακά Φορτία. B VA VB = E ds A kqr E = 2 r kqr E ds = ds 2 r rb r VA VB = E dr = kq dr = r 2 A r kq r r r B A 1 1 VA VB = kq r A r B Γ. Βούλγαρης 20
Παραδείγµατα Ισοδυναµικών γραµµών Σταθερό Πεδίο Ακτινικό Πεδίο Πεδίο ιπόλου Γ. Βούλγαρης 21
Ισοδυναµικές γραµµές Γ. Βούλγαρης 22
Γ. Βούλγαρης 23
Μονάδες Μονάδα υναµικού 1 V=1 J/C 1 ev=1,6x 10-19 CV = 1,6 x10-19 J Μονάδα Έντασης 1 V/M Γ. Βούλγαρης 24
Αγωγοί σε Ηλεκτροστατική ισορροπία. Η επιφάνεια ενός αγωγού αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια. Στην αγώγιµη σφαίρα µετακινούνται τα φορτία αλλάζει η µορφή του πεδίου. Γ. Βούλγαρης 25
ΠρόσθεσηΔιαφορώνΔυναμικού, ΣυνεχείςΚατανομέςΦορτίου. V V = = k k q r i i dq r i Γ. Βούλγαρης 26
ΦορτισμένοςΔακτύλιος Ομοιόμορφαφορτισμένοςδίσκος Φορτισµένος ακτύλιος Οµοιόµορφα φορτισµένος δίσκος dq V = k = k r dq 2 2 x + a V = k dq r = kσ 2πrdr x 2 + a 2 Γ. Βούλγαρης 27
Ράβδος, Ομοιόμορφαφορτισμένη. ΑγώγιμηΣφαίρα, Φορτισμένη. Ράβδος, Οµοιόµορφα φορτισµένη. Αγώγιµη Σφαίρα, Φορτισµένη. V = k dq r = kλ x dx 2 + d 2 E 1 q 4πε0 R q E = 1 4πε r 2 = 2 0 V q = 1 4πε0 R q V = 1 4πε r 0 Γ. Βούλγαρης 28
Πυκνωτές, Χωρητικότητα, Ενέργεια Πυκνωτή. Απεικόνιση πεδίου επίπεδου πυκνωτή Πυκνωτής µε διηλεκτρικό Γ. Βούλγαρης 29
Πόλωση διηλεκτρικού Πόλωση διηλεκτρικού Πυκνωτής µε διηλεκτρικό E i Πεδίο που δηµιουργείται από την πόλωση Γ. Βούλγαρης 30
Απεικόνιση πεδίου επίπεδου πυκνωτή. Οριακό Πεδίο. Απεικόνιση πεδίου επίπεδου πυκνωτή. Οριακό Πεδίο. ύναµη στο διηλεκτρικό. Η ένταση στο όριο παρουσιάζει συνιστώσα παράλληλη στους οπλισµούς. Γ. Βούλγαρης 31
Κυλινδρικός Πυκνωτής Υπολογίστε τη χωρητικότητα ενός πυκνωτή που αποτελείται από δύο οµόκεντρους µεταλλικούς κυλίνδρους µε ακτίνα του εσωτερικού a και του εξωτερικού b. To το µήκος τους είναι µεγάλο σε σχέση µε τη διάµετρο τους. Γ. Βούλγαρης 32
Σφαιρικός Πυκνωτής Υπολογίστε τη χωρητικότητα ενός πυκνωτή που αποτελείται από δύο οµόκεντρες µεταλλικές σφαίρες µε ακτίνα της εσωτερικής a και της εξωτερικής b. Ποια χωρητικότητα αν η εξωτερική ακτίνα τείνει στο άπειρο; Γ. Βούλγαρης 33
Ασκήσεις, Πυκνωτές, Ι Ενέργεια πυκνωτή. Χρησιµοποιώντας µπαταρία, φορτίζουµε επίπεδο πυκνωτή µε φορτίο Q 0. Αποσυνδέουµε την µπαταρία και εισάγουµε ανάµεσα στους οπλισµούς διηλεκτρικό σταθεράς κ. Βρείτε την ενέργεια που έχει αποθηκευτέι στον πυκνωτή πριν και µετα την εισαγωγή του διηλεκτρικού. Η χωρητικότητα χωρίς διηλεκτρικό είναι 8,5 pf, η τάση της µπαταρίας είναι 12 V, η σταθερά του διηλεκτρικού κ=2,56. Το υλικό καλύπτει µέρος του διακένου. Ένας επίπεδος πυκνωτής έχει χωρητικότητα C 0 όταν δεν υπάρχει διηλεκτρικό ανάµεσα στους οπλισµούς. Τοποθετούµε διηλεκτρικό σταθεράς κ και πάχους d/3 ανάµεσα στους οπλισµούς. Υπολογίστε τη νέα χωρητικότητα. Μεταλλική πλάκα ανάµεσα στους οπλισµούς. Στο ίδιο κύκλωµα όπως παραπάνω, εισάγουµε το διηλεκτρικό ενώ διατηρούµε Επίπεδος πυκνωτής έχει οπλισµούς τη σύνδεση µε την µπαταρία. (α) µε επιφάνεια Α και απόσταση d. Υπολογίστε τον λόγο των ενεργειών πριν Ανάµεσα στους οπλισµούς και µετά την εισαγωγή του διηλεκτρικού. τοποθετείται µεταλλική πλάκα πάχους (β) Εξηγείστε την αύξηση της α. Υπολογίστε την χωρητικότητα. αποθηκευµένης ενέργειας. (Τι συµβαίνει µε το φορτίο του πυκνωτή; Γ. Βούλγαρης 34
Ασκήσεις, Πυκνωτές, ΙΙ ύο διηλεκτρικά. Ένας πυκνωτής αποτελείται από δύο επίπεδες πλάκες µήκους L, που βρίσκονται σε απόσταση d. Ο µισός πυκνωτής γεµίζεται µε πολυστυρόλιο (κ=2,56) και το άλλο µισό µε καουτσούκ (κ=6,7). Υπολογίστε τη χωρητικό τητα της διάταξης, αν L=2 cm και d=0,75 mm. Επίπεδος Πυκνωτής, Ενέργεια, υνατό έργο. Ένας πυκνωτής αποτελείται από δύο επίπεδες πλάκες µήκους L, που βρίσκονται σε απόσταση d. Ένα διηλεκτρικό πλακίδιο σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς κ εισάγεται µεταξύ των οπλισµών σε απόσταση χ από το άκρο του πυκνωτή. (α) Υπολογίστε τη χωρητικότητα της διάταξης. (β) Υπολογίστε την ενέργεια που αποθηκεύτηκε αν η τάση είναι V. (γ) Υπολογίστε την κατεύθυνση και το µέτρο της δύναµης αν η τάση είναι σταθερή V. Αγνοήστε την τριβή και την παραµόρφωση του πεδίου στα άκρα του.(δ) Υπολογίστε αριθµητικά τη δύναµη αν l=5 cm, V=2000 V, d=2mm και το διηλεκτρικό είναι γυαλί (κ=4,5). Γ. Βούλγαρης 35
Ασκήσεις κατανοµές φορτίου. 1) Ένα γραµµικό φορτίο µε λ=15nc/m βρίσκεται στο επίπεδο (x,y), στη θέση y=-1 z=0, ενώ ένα άλλο γραµµικό φορτίο λ=-15nc είναι συµµετρικό στη θέση y=1, z=0. Βρείτε το Ε σαν συνάρτηση του z στο y=ο 2) Μία φορτισµένη επιφάνεια µε σ=2nc/m 2 βρίσκεται στο επίπεδο x=3 και είναι κάθετο στον X. Eνα γραµµικό φορτίο, µε λ=20nc/m στη θέση x=1, z=4 και // y. (α) Βρείτε την µέτρο της έντασης του πεδίου στην αρχή των αξόνων. (β) Βρείτε τη διεύθυνση του Ε στο σηµείο P(4,5,6). (γ) Ποια είναι η δύναµη ανά µονάδα µήκους στο γραµµικό φορτίο; 3) Η κυκλική περιοχή ρ<α, z=0, φέρει οµοιόµορφη κατανοµή φορτίου σ. Βρείτε το Ε στο σηµείο Ρ(0,0,h). 4) Στην ορθογώνια περιοχή 2<x<2, -3<y<3, η επιφανειακή πυκνότητα δίνεται από την σ=(x 2 +y 2 +1) 3/2. Υπολογίστε το E στη θέση Ρ(0,0,1). Γ. Βούλγαρης 36