Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος

Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος. Ένας κύλινδρος, βάρους w=0 και διαµέτρου 80 c, περιστρέφεται γύρω από τον γεωµετρικό του άξονα. Ποια σταθερή ροπή (τ) πρέπει να ασκείται, στον κύλινδρο ώστε να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=0 ad/s µέσα σε χρόνο t= s, ξεκινώντας από την ηρεµία; ίνεται ροπή αδράνειας του κυλίνδρου I = M και g=0 /s. c [ Απ. τ=4 ]. Η ράβδος του σχήµατος µπορεί να περιστρέφεται σ ένα οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα στο Ο. Το βάρος της ράβδου είναι w=80 και το µήκος της l = 8. d d Στις άκρες Α και Γ της ράβδου ασκούνται οι F δυνάµεις F =0 και F =0, αντίστοιχα, κά- θετα στη ράβδο, ενώ οι αποστάσεις d = και d =6. Αν η ράβδος ξεκινά από την ηρεµία, α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή της επιτάχυνση. β) Να υπολογίσετε το µέτρο της στροφορµής της ράβδου µετά από χρόνο t=4 s. ίνεται ροπή αδράνειας της ράβδου Ic = l και g=0 /s. 9 ad [ Απ. α) α γ =, β) L= 040 Kg s ] 6 s F 3. Η τροχαλία του σχήµατος έχει µάζα Μ= Κg και ακτίνα =0,. Τα δύο σώµατα έχουν βάρη w =0 και w =0, αντίστοιχα. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεµία. Να βρεθούν: α) Η (γραµµική) επιτάχυνση των δύο σωµάτων. β) Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. γ) Η τάση των νηµάτων. w δ) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας στο τέλος των 4 sec από την αρχή της κίνησης του συστήµατος. ίνεται ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ic = M και g=0 /s. ad [ Απ. α) α c =,, β) α, s γ =, γ) Τ s = Ν, Τ =, Ν, δ) w ad ω=0 ] s

4. Η διπλή κυλινδρική τροχαλία του σχήµατος έχει ροπή αδράνειας, ως προς τον άξονα περιστροφής, Ι (Ο) =7,8 Kg και ακτίνες =0,6 και =0,3. Η τροχαλία είναι συµµετρική γύρω από τον άξονα περιστροφής. Αν τα δύο σώµατα, που κρέµονται από αβαρή νήµατα, έχουν βάρη w =0 και w =00, αντίστοιχα, να υπολογίσετε: α) Τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. β) Την τάση κάθε νήµατος. γ) Τη στροφορµή της τροχαλίας στο τέλος των sec, εάν η τροχαλία ξεκινά από την ηρεµία. ίνεται g=0 /s. w w [ Απ. α) α γ = ad/s, β) Τ =3 Ν, Τ = Ν, γ) L=78 Kg s ]. H τροχαλία, στη διάταξη του σχήµατος, έχει µάζα Μ= Κg και ακτίνα =0,4. Τα δύο σώµατα έ- χουν βάρη w =0 και w =0, αντίστοιχα. Το σώµα (w ) κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβή. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεµία. Να υπολογιστούν: w α) Η (γραµµική) επιτάχυνση των δύο σωµάτων. β) Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. γ) Η τάση των νηµάτων. ίνεται ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ic = M και g=0 /s. ad [ Απ. α) α c =, β) α, s γ =, γ) Τ s =0 Ν, Τ = Ν ] w 6. Στη διάταξη του σχήµατος, το σώµα (Σ ) έ- χει βάρος w =00, το σώµα (Σ ) έχει βάρος w =300, η τροχαλία είναι κύλινδρος µε µάζα M=0 Kg και ακτίνα =0,. Το σώµα (Σ ) κινείται πάνω στο κεκλιµένο ε- ( Σ) πίπεδο, γωνίας κλίσης 30 ο χωρίς τριβή. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί α- πό την ηρεµία. Να υπολογιστούν: w α) Η (γραµµική) επιτάχυνση των δύο σω- µάτων. β) Η τάση των νηµάτων. γ) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας µετά από χρόνο t= s. ίνεται ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ic = M και g=0 /s. ( Σ) w 30

0 [ Απ. α) α=, β) T s 000 =, T 90 =, γ) ω=0 ad/s ] 7. Να λυθεί η άσκηση 6, αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του σώµατος 3 (Σ ) και του κεκλιµένου επιπέδου είναι µ=. 8 [ Απ. α) α= /s κ.λ. ] 8. Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα (Σ) έχει βάρος w=00, η τροχαλία (Κ) έχει ακτίνα = και ροπή αδράνειας I = 0 Kg, ως προς (O) άξονα κάθετο στο επίπεδό της και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της Ο. Το νήµα παρουσιάζει µε την τροχαλία ροπή τριβής αντίστασης ίση µε τ (f ) = 0. Αν το σύστηµα ξεκινά από την ηρεµία να υπολογιστούν: α) Η τάση του νήµατος. γ) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας και η ταχύτητα του σώµατος µετά από χρόνο t= s. ίνεται g=0 /s. [ Απ. α) Τ= Ν, β) ω=, ad/s, υ=, /s ] O (K) ( Σ) 9. Η διάταξη του σχήµατος ξεκινά από την ηρεµία. Η διπλή κυλινδρική τροχαλία του σχήµατος έχει ροπή αδράνειας, ως προς τον άξονα περιστροφής, Ι (Ο) =, Kg και ακτίνες = και =0,. Η τροχαλία είναι συµµετρική γύρω από τον άξονα περιστροφής. Η µικρή τροχαλία δεξιά έχει α- µελητέα µάζα. Αν τα σώµατα (Σ ) και (Σ ), που κρέµονται από τα αβαρή νήµατα, έχουν βάρη w =00 και w =300, αντίστοιχα, να υπολογίσετε: α) Τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας µετά από χρόνο t=4 s. β) Την τάση κάθε νήµατος. ( Σ ) γ) Την ταχύτητα των σωµάτων (Σ ) και (Σ ) µετά από χρόνο t =6 s. δ) Την αντίδραση από τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. ίνεται g=0 /s. w ( Σ ) w [ Απ. α) ω= ad/s, β) Τ =80 Ν, Τ =3 Ν, γ) υ =6 /s, υ =3 /s ] 3

0. Ο οµογενής κύλινδρος του σχήµατος έχει βάρος w=0 και ακτίνα =0,. Στο κέντρο µάζας του και παράλληλα µε το οριζόντιο επίπεδο α- σκείται δύναµη µέτρου F=30. Να υπολογίσετε: α) Την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. β) Τη δύναµη τριβής την απαραίτητη να εξασφαλίζει κύλιση του κυλίνδρου (και όχι ολίσθηση). γ) Την στροφορµή του κυλίνδρου, µετά από χρόνο t=4 s, αν ξεκινά από την ηρεµία. ίνεται ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ic M = και g=0 /s. [ Απ. α) α c =0 /s, β) f(τριβή)=0 Ν, γ) L= 0. Στη διάταξη του σχήµατος, ο κύλινδρος (Σ) ξεκινά από την ηρεµία. Το βάρος του κυλίνδρου είναι w=0 και η ακτίνα του =0,. Στο κέντρο του κυλίνδρου ασκείται δύναµη F=0, παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο, µε αποτέλεσµα αυτός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα πάνω του κεκλιµένου επιπέδου. Να υπολογίσετε: α) Την ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου µετά από χρόνο t=3 s. β) Τον συντελεστή τριβής (µ), ώστε να εµποδίζεται η ολίσθηση του κυλίνδρου πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. ίνεται ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ic M ( Σ) Kg = και g=0 /s. s ] 3 [ Απ. α) υ=0 /s, β) µ ] 9 30 ο F F ////////////////////////////. Η σφαίρα (Σ) του σχήµατος µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ=30 ο. α) Να αποδείξετε ότι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας είναι: α c = g ηµϕ. 7 ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ic =. β) Αν η σφαίρα ξεκινά από την ηρεµία και διανύο- ντας απόσταση s πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, αποκτά ταχύτητα υ= βρεθεί η απόσταση s. [ Απ. β) s=0,7 ] ( Σ) 30 /s, να 4

3. Το σώµα (Σ) (π.χ. σφαίρα κύλινδρος) του σχή- µατος, βάρους w, ακτίνας και ροπής αδράνειας I c, µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά µηκος του κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ. α) Να αποδείξετε ότι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του (Σ) δίνεται από τη σχέση: w ηµϕ α c =. w Ic + g β) Αν το σώµα (Σ) είναι: (i) σφαίρα, (ii) κύλινδρος και ξεκινούν από το ίδιο ση- µείο του κεκλιµένου επιπέδου, να βρεθεί ποιο από τα δύο σώµατα θα φθάσει πρώτο στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. ίνεται: I c( ) σφαιρας = και I = c( ). κυλινδρου f ( Σ) ϕ [ Απ. β) η σφαίρα ] 4. Ένας κύλινδρος (Α), βάρους w=80, ξεκινά από την ηρεµία και κυλίεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Το βάρος του σώµατος (Β) είναι w =70. Η µικρή τροχαλία (Γ) έχει αµελητέα µάζα. Υ- πολογίστε την επιτάχυνση των κέντρων µάζας των σωµάτων (Α) και (Β). ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ic = και g=0 /s. (A) f /////////////////////// α = α c [ Απ. α (Β) =7 /s, α (Α) =3, /s ] ( Γ) (B). Ο κύλινδρος του σχήµατος έχει βάρος w=80. Η δύναµη F=60 είναι σταθερή και ασκείται ο- ριζόντια. Η αρχική ταχύτητα του σώµατος είναι µηδέν. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώµατος µετά από χρόνο t=6 s. ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ic = και g=0 /s. [ Απ. υ= ( + ) υ= + 3 3, / s ] F f 30

6. Μία οµογενής σφαίρα, ακτίνας και βάρους w, αναγκάζεται να κυλίεται προς τα δεξιά κατά µηκος ενός µη λείου οριζοντίου επιπέδου, από µια F οριζόντια δύναµη F, η οποία δρα στο σηµείο Α A h της σφαίρας, προς τα δεξιά, και σε απόσταση h O από το κέντρο της Ο. α) Να δείξετε ότι η δύναµη της τριβής f, για την f οποία η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, δί- //////////////////////////// νεται από τη σχέση: F h f = 7. ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ic =. β) Αν = c και F=, να βρεθεί η δύναµη της τριβής f (µέτρο-φορά), για τις περιπτώσεις που η απόσταση h είναι: (i) h=, c, (ii) h= c, (iii) h=3 c. [ Απ. β) (i) f= 0,, (ii) f=0, (iii) f=0,30 ] 7. Ένας συµπαγής κύλινδρος και µία συµπαγής σφαίρα ξεκινούν από την ηρεµία από την κορυφή ενός κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ=30 ο, την ίδια στιγµή. Τα δύο σώµατα κυλάνε χωρίς να ολισθαίνουν. Αν το µήκος του κεκλιµένου επιπέδου είναι s=6, πόσο πίσω από τη σφαίρα βρίσκεται ο κύλινδρος όταν η σφαίρα φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου; ίνεται η ροπή αδράνειας: της σφαίρας και g=0 /s (;). I c =, του κυλίνδρου I c [ Απ. x=0,4 ] = 8. Ένα δαχτυλίδι, ακτίνας =0,, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω ε- νός κεκλιµένου επιπέδου, µήκους s= 6 και γωνίας κλίσης θ (εφθ=¾ ) µε το ο- ριζόντιο επίπεδο. Εάν το δαχτυλίδι ξεκινά από την ηρεµία, µε τον γεωµετρικό του άξονα οριζόντιο: α) Να βρείτε τη γωνιακή του ταχύτητα όταν αυτό φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. ίνεται g=0 /s. Σηµείωση: Η άσκηση να λυθεί και µε τη δυναµική και µε την ενεργειακή µέθοδο. β) Να βρείτε τη στροφορµή του δαχτυλιδιού, τη στιγµή που έχει διανύσει το µισό µήκος του κεκλιµένου επιπέδου. ίνεται µάζα δαχτυλιδιού = Kg. [ Απ. α) ω=60 ad/s, β) L= 0, Kg s ] 6

9. Μία σφαίρα, µάζας και ακτίνας, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ένα οριζόντιο επίπεδο, µε ταχύτητα του κέντρου s µάζας της υ. Κάποια στιγµή συναντά ένα κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ και υ ϕ συνεχίζει πάνω σ αυτό την κίνησή της (κύλιση χωρίς ολίσθηση). //////////////////////////////////// α) Αν η ροπή αδράνειας της σφαίρας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι Ι, να δείξετε ότι το διάστηµα που διανύει η σφαίρα στο κεκλιµένο επίπεδο µέχρι να σταµατήσει δίνεται από τη I σχέση: s υ = + g ηµϕ. β) Αν υ=0 /s, I=, φ=30 ο, g=0 /s να υπολογίσετε το διάστηµα s. γ) Σε ποιο σηµείο (θέση) της διαδροµής τής σφαίρας η στροφορµή της είναι: (i) L=0, Kg s, (ii)l= 0, ίνονται: =0, Kg, =0,. Kg s ; [ Απ. α) s=4, β) (i) στο οριζόντιο επίπεδο, (ii) s =7 πάνω στο επίπεδο ] 0. Ένας συµπαγής κύλινδρος και µία συµπαγής σφαίρα, που έχουν την ίδια µάζα και την ίδια ακτίνα, ξεκινούν από την ηρεµία από την κορυφή ενός κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ, την ίδια στιγµή. Τα δύο σώµατα κυλάνε προς τα κάτω χωρίς να ολισθαίνουν. Να βρεθεί ο λόγος των στροφορµών των δύο σωµάτων, µετά από χρόνο t από τη στιγµή που ξεκίνησαν. ίνεται η ροπή αδράνειας: του κυλίνδρου I c = - της σφαίρας I [ Απ. L 7 ΚΥΛ = ] L 6 c =. ΣΦ. Το γιο-γιο του σχήµατος έχει µάζα =0,6 Kg και εσωτερική ακτίνα =0,. Γύρω από το τµήµα µε τη µικρότερη διάµετρο έχει τυλιχτεί πολλές φορές αβαρές νήµα, η πάνω άκρη του ο- ποίου είναι στερεωµένη στην οροφή. Κάποια στιγµή αφήνουµε το γιο-γιο να κατεβαίνει. Αν ο ρυθµός µε τον οποίο αυξάνεται η στροφορµή του είναι dl / dt= 0, Kg s να βρεθεί η ροπή αδράνειας I c του συστήµατος. ίνεται g=0 /s. [ Απ. Ic /////////////// = 3 0 3 Kg ] T 7

. Στην επιφάνεια κυλίνδρου, ακτίνας και βάρους, είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα. Στο ελεύθερο άκρο του νήµατος ασκούµε σταθερή οριζόντια δύναµη F, µέw τρου F=. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαί- νει και ανεβαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ic = και g=0 /s. g 0 [ Απ. α c = = /s ] 3 3 30. f F α c 3. Στη διατάξη του σχήµατος η ροπή αδράνειας για κάθε τροχαλία δίνεται από τον τύπο Ic =. Το σύστηµα αφήνε- ται ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώµατος (), σε συνάρτηση µε τα,, και g. g [ Απ. α c = + + ].,., 4. Στη διάταξη του σχήµατος, όπου η ράβδος AB ισορροπεί, να υπολογίσετε: α) Την τάση του νήµατος (w=0,l =). β) Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα οπότε η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο σ αυτήν στην άρθρωση Α. Να υπολογίσετε: i) Το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής τη στιγµή που η ράβδος γίνεται οριζόντια. ii) Την ισχύ (ρυθµό παραγωγής έργου) της ροπής του βάρους τη στιγµή που η ράβδος σχηµατίζει µε την κατάκόρυφο γωνία 30 ο. ίνεται ροπή αδράνειας της ράβδου Ic [ Απ. α) T= 3 Ν, β) (i) 0 = l και g=0 /s., (ii) P = 0 ( 3 + ) Kg / s Γ A. 30 30 ( ΑΒ ) =l ( Α ) = l 3 Κ = + W ] B 8

. H συµπαγής σφαίρα του σχήµατος αφήνεται από την ηρεµία από τη θέση (Α) και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου. ίνονται: µήκος κεκλιµένου επιπέδου (ΑΓ)=s, ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον γεωµετρικό της άξονα I =. Να βρεθούν: c φ α) Η στροφορµή της σφαίρας, τη στιγµή που η ταχύτητά της έχει µέτρο το µισό τού µέτρου της ταχύτητας που αποκτά στη θέση (Γ). β) Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής της σφαίρας. γ) Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη θέση του ερωτή- µατος (α). (A) T y x ( Γ) [ Απ. α) 0 L = g s ηµφ, β) dl = g ηµφ, γ) dk g 7 dt 7 dt = ηµφ υ ] 6. Η συµπαγής σφαίρα του σχήµατος αρχίζει να ανεβαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο, έχοντας στο σηµείο (Α) ταχύτητα του κέντρου µάζας της µε µέτρο (υ ο ). Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Αν η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον γεωµετρικό της ά- ξονα είναι I =, να βρεθούν: c ( υ= 0) φ α) Η στροφορµή της σφαίρας, τη στιγµή που βρίσκεται στο µέσο της διαδροµής (ΑΓ). β) Το µέτρο της ταχύτητας ενός σηµείου της περιφέρειας της σφαίρας, το οποίο βρίσκεται στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα της στις θέσεις (Α) και (Γ), τη στιγµή του ερωτήµατος (α). ( Γ) T y x υ ο (A) [ Απ. α) υ ο L=, β) υ ο ] 9

7. Ένας συµπαγής κυκλικός κύλινδρος, ακτίνας και βάρους w, ο οποίος µπορεί να πε- l ριστρέφεται γύρω από τον γεωµετρικό του. d B άξονα φρενάρεται από τη διάταξη που φαί- A νεται στο σχήµα. Αν ο συντελεστής τριβής. µεταξύ κυλίνδρου και <<ράβδου-φρένου>> F είναι µ και ο κύλινδρος έχει µια αρχική γωνιακή ταχύτητα ω ο, πριν ασκηθεί το φρένο, πόσες περιστροφές θα κάνει ο κύλινδρος πριν ακινητοποιηθεί; ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ic = και g=0 /s. w ω ο d [ Απ. = ] 8 π µ g F l 8. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: M=4 Kg, =0,, =0, Kg, g=0 /s, µ=0, (συ- (M,) () F ντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος () και δαπέδου). Στο σώµα () ασκείται στα-. //////////////////// ( µ ) θερή οριζόντια δύναµη (F), έτσι ώστε να περιστρέφεται η τροχαλία (M, ) και το νήµα να //////////////////// είναι οριζόντιο. Τη χρονική στιγµή t =0 αρχίζει η κίνηση του συστήµατος. Αν µετά από χρόνο t=6 s η στροφορµή της τροχαλίας είναι L= Kg / s, να βρεθούν: α) Η επιτάχυνση (α c ) του κέντρου µάζας του σώµατος (). β) Το µέτρο της δύναµης (F). γ) Το µέτρο της δύναµης στην τροχαλία από τον άξονα περιστροφής της. ίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ic = M. [ Απ. α) α c = /s, β) F=7,, γ) A = 66 Ν ] 9. Στη διάταξη του σχήµατος το <<βαρούλκο>> έχει M= Kg, =0,, =0,, η τροχαλία = Kg, =0, και το σώµα = Kg. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και το σώµα () κατεβαίνει, ενώ το <<βαρούλκο>> κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να βρεθούν: α) η επιτάχυνση α c του σώµατος (), β) η επιτάχυνση α c του <<βαρούλκου>>. (M) ////////////////////// (,) 0

30. Το σώµα (w) έχει αρχική ταχύτητα υ ο προς τα κάτω. Στη συνέχεια ενεργεί το φρένο. Πόσο είναι το µέτρο της δύναµης F, ώστε το σύστηµα να ακινητοποιηθεί αφού κατέβει κατά h. (M, ) ////// A F αc w + w F = w w + µ g όπου: υ ο α c =. h (M,,) O Γ l l 3. Στη διάταξη του σχήµατος η <<ρόδα>> (w) στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω ο. Η αβαρής ράβδος (ΑΒ) αποτελεί ένα σύστηµα φρένου. Ασκώντας κατακόρυφη δύναµη F στην άκρη Β της ράβδου καταφέρνουµε ώστε η <<ρόδα>> να σταµατήσει σε χρόνο t. ίνονται: (ΑΒ)=l, (ΑΓ)= 3 l, Ic(ρόδας), ακτίνα <<ρό- δας>>. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής µεταξύ ράβδου και <<ρόδας>>. 3 Ic ω ο t [ Απ. µ= ] 9 F t Γ 60 A (w) //////////// B F 3. Ένας στερεός (συµπαγής) οµο(ιο)γενής κύλινδρος, βάρους w και ακτίνας στηρίζεται σε ένα κεκλιµένο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα. Ένα νήµα είναι τυλιγµένο γύρω από την περιφέρειά του και έχει συνδεθεί µε τον <<τοίχο>> στο σηµείο B και είναι παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση α c του κυλίνδρου κατά την κίνησή του προς τα κάτω του επιπέδου, αν ο συντελεστής τριβής στο σηµείο επαφής είναι µ= / 3. [ Απ. α c = 0,3g ] B T x i O y A φ= 60 f

33. ύο όµοιοι συµπαγείς δίσκοι, βάρους w και ακτίνας, βρίσκονται ακίνητες στη θέση του σχήµατος. Παραλείποντας την τριβή στον άξονα περιστροφής, να υπολογίσετε την επιτάχυνση α c του κέντρου Κ του δίσκου που πέφτει. 4g [ Απ. α c = ] Oi ik υ c = ω 34. Στη διάταξη του σχήµατος υπολογίστε την επιτάχυνση α c του σώµατος (Σ) το οποίο κινείται προς τα κάτω. ίνονται: Ic = i i (i=,) για κάθε τροχαλία (δίσκο). α c T i ( Σ) T i T 3 α α = γ() c αc α c() = αc α γ() = 3. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της <<µεγάλης>> τροχαλίας (). ίνονται: I c() =, I c() = ½ d. () i ////// d i ()

36. Στη διάταξη του σχήµατος να υπολογίσετε την επιτάχυνση α c του σώµατος (Σ) κατά την κίνησή του προς τα πάνω. ίνεται I c(βαρούλκου) =. ////// βαρο ύ λκο i ( Σ) 37. Για τη διάταξη του σχήµατος να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώµατος (w ) κατά την κίνησή του προς τα κάτω του κεκλιµένου επιπέδου. ίνονται: w =00, w =00, συντελεστής τριβής του (w ) µε το επίπεδο µ=0, και οι δύο τροχαλίες είναι όµοιες µε βάρος w=0 και ακτίνα =0,3. Επίσης για κάθε τροχαλία: I c = ½. 4 /////// i (w) 38. Στη διάταξη του σχήµατος το σύστηµα των τριών κυλίνδρων κυλίεται στον οριζόντιο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα υ c. Στο επάνω µέρος των κυλίνδρων εφάπτεται µία ράβδος παράλληλη µε τον ά- ξονα που ενώνει τους κυλίνδρους. Μπροστά από το σύστηµα και σε από- Α ( ) d Γ υ υ c Pesn /////////////////////////////////////////////////// σταση d από την άκρη Γ της ράβδου βρίσκεται ένας άνθρωπος ο οποίος αρχίζει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ. ίνονται: υ c = 4 /s, υ = 6 /s, d=. α) Θα χτυπήσει η ράβδος τον άνθρωπο ή όχι; ικαιολογήστε την απάντησή σας. β) Αν θα τον χτυπήσει, µετά από πόσο χρόνο θα συµβεί αυτό; [ Απ. α) ναι, β) s ] 3

39. Στη διάταξη του σχήµατος το <<βαρούλκο>> έχει ροπή αδράνειας ως άξονα που περνά από το κέντρο του I c =0,88Kg. Το σώµα (Σ ) έχει µάζα = 4 Kg, το σώµα (Σ ) έχει µάζα = Kg, ενώ οι ακτίνες του <<βαρούλκου>> είναι = 0, και = 0,. Το σύστηµα ισορροπεί στη θέση του σχήµατος και δίνεται g = 0 /s. α) Να βρεθεί ο συντελεστής (στατικής) τρι- βής µεταξύ του σώµατος (Σ ) και του οριζοντίου επιπέδου στο οποίο στηρίζεται. β) Στη συνέχεια τοποθετούµε πάνω στο σώµα (Σ ) ένα σώµα (Σ 3 ), µάζας 3 = Kg και αφήνουµε το σύστηµα να κινηθεί. Αν ο συντελεστής (στατικής) τριβής µεταξύ του σώµατος (Σ ) και του οριζοντίου επιπέδου στο οποίο στηρίζεται, που βρέθηκε στο (α) ερώτηµα έχει τη µέγιστη τιµή του (δηλαδή τον συντελεστή της τριβής ολίσθησης) να βρθούν: (i) η γωνιακή επιτάχυνση του <<βαρούλκου>>, (ii) τα µέτρα των επιταχύνσεων του σώµατος (Σ ) και του συστήµατος (Σ, Σ 3 ), (iii) η κινητική ενέργεια του <<βαρούλκου>> µετά από χρόνο t = s, (iv) η στροφορµή του <<βαρούλκου>> τη στιγµή που το σύστηµα (Σ, Σ 3 ) έχει κατέβει κατά h = 0,4, (v) οι τάσεις των δύο νηµάτων, (vi) ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του <<βαρούλκου>> τη στιγµή που το σώµα (Σ ) έχει µετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά s = 0,4 (έχει το <<περιθώριο>> γι αυτό). g [( + 3) ] [ Απ. α) µ = 0,, β) (i) α γων = = (ad / s ), [I + ( + 3) + ] (ii) α () = 0, /s α (,3) = 0,4 /s, (iii) K = 7,04 J, Kg (iv) L =,64, (v) Τ () = 0,8 Ν Τ (,3) = 8,4 Ν, (vi) 6,4 J/s ] s 40. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: (Σ ): = Kg, (Σ ): = Kg, <<βαρούλκο>>: I c =, =, =, g = 0 /s. Το σώµα (Σ ) δεν παρουσιάζει τριβή µε το οριζόντιο επίπεδο. Το σύστηµα αφήνεται να κινηθεί. Να βρεθούν: α) η γωνιακή επιτάχυνση του <<βαρούλκου>>, β) η επιτάχυνση των σωµάτων (Σ ) και (Σ ), γ) οι τάσεις των νηµάτων, δ) η ταχύτητα του σώµατος (Σ ), τη στιγµή που το σώµα (Σ ) έχει µετατοπιστεί κατά s =, ( Σ) /////////// µ=; ( Σ) ///////////////// ( Σ3) ε) ο ρυθµός παραγωγής έργου στο <<βαρούλκο>>, τη στιγµή που η στροφορµή του είναι L =. ( Σ ) ( Σ) 4

4. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: (Σ ): = Kg, (Σ ): = Kg, <<βαρούλκο>>: I c =, =, =, g = 0 /s. Το σώµα (Σ ) δεν παρουσιάζει τριβή µε το κεκλιµένο επίπεδο, το οποίο έχει γωνία κλίσης φ = 30 ο. Το σύστηµα ελεύθερο αφήνεται να κινηθεί. Να βρεθούν: α) προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το σύστηµα; β) η γωνιακή επιτάχυνση του <<βαρούλκου>>, γ) η επιτάχυνση των σωµάτων (Σ ) και (Σ ), δ) οι τάσεις των νηµάτων, ε) η ταχύτητα του σώµατος (Σ ), τη στιγµή που το σώµα (Σ ) έχει µετατοπιστεί κατά s =, ( Σ ) ( Σ) στ) το έργο που παράχθηκε από τις δυνάµεις στο <<βαρούλκο>>, στο χρονικό διάστηµα µέχρι το σώµα (Σ ) να µετατοπιστεί κατά s =. φ /////// 4. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: (Σ ): = Kg, (Σ ): = Kg, <<βαρούλκο>>: I c =, =, =, g = 0 /s. Το <<βαρούλκο>> µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθούν: α) προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το σύστηµα; β) η γωνιακή επιτάχυνση του <<βαρούλκου>>, γ) η επιτάχυνση των σωµάτων (Σ ) και (Σ ), δ) οι τάσεις των νηµάτων. (I 0) = ( Σ ) M f (I= 0) ( Σ )

43. Στη διάταξη του σχήµατος ο κύλινδρος (Κ) κυλίεται στο κεκλιµένο επίπεδο χωρίς να ο- λισθαίνει. Στην τροχαλία (τρχ) είναι = και έχει ροπή αδράνειας I c. Το σώµα (Σ) έχει µάζα (3) ενώ ο κύλινδρος (Κ) έχει µά- (Κ) ζα (). Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. ίνεται η g. Να βρεθούν: α) η α γων της τροχαλίας, β) η α c του σώµατος (Σ), γ) η α γων και η α c του κυλίνδρου, φ δ) οι τάσεις των νηµάτων, ε) η µέγιστη τιµή του συντελεστή στατικής τριβής του κυλίνδρου, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση. (τρχ) (Σ) 44. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: (Σ ): = Kg, (Σ ): = Kg, <<βαρούλκο>>: I c =0,0 Kg, =0,, = 0,, g = 0 /s. Το σώµα (Σ ) δεν παρουσιάζει τριβή µε το οριζόντιο επίπεδο και του ασκείται µια οριζόντια σταθερού µέτρου δύναµη F=0 Ν. Να βρεθούν: α) η γωνιακή επιτάχυνση του <<βαρούλκου>>, β) η επιτάχυνση του σώµατος (Σ ), γ) η επιτάχυνση του σώµατος (Σ ), δ) οι τάσεις των νηµάτων, ( Σ ) ( Σ) ε) η στροφορµή του <<βαρούλκου>>, τη στιγµή που το σώµα (Σ ) έχει µετατοπιστεί κατά h =, στ) ο ρυθµός παραγωγής έργου στο <<βαρούλκο>>, τη στιγµή που ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος (Σ ) είναι 6 J/s, ζ) το µέτρο της δύναµης στο <<βαρούλκο>> από τον άξονα στήριξής του. ίνεται µάζα <<βαρούλκου>> M = 0, Kg. [ Απ. α) 0 ad/s, β) /s, γ) /s, δ) Τ = Ν Τ = 6 Ν, Kg ε) L =, στ) J/s, ζ) 0 Ν ] s F ///////////////// 6

4. Στη διάταξη του σχήµατος η οµογενής ράβδος ΑΓ, µήκους l= 4, ισορ- ( l/4) ροπεί σε οριζόντια θέση µε τη βοήθεια F ///////// Z 30 άρθρωσης στο άκρο Α και του νήµατος Γ, το οποίο σχηµατίζει γωνία 30 ο A Γ µε τον άξονα της ράβδου. Η ράβδος έ- W χει βάρος W = 0. Το νήµα έχει ό- W ριο θραύσης Τ θρ = 80 Ν. Πάνω στη ράβδο και στο σηµείο Ζ, το οποίο απέχει από το άκρο Α ( l / 4), τοποθετούµε οµογενή κύλινδρο, βάρους W = 0. Κάποια στιγµή ασκούµε οριζόντια δύναµη σταθερού µέτρου F = 30, η οποία εφαρµόζεται (κατάλληλα) στο κέντρο του και κατευθύνεται προς τα δεξιά. ίνονται: g = 0 /s και για τον κύλινδρο I c =. Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας του κυλίνδρου τη στιγµή που κόβεται το νήµα. [ Απ. υ= /s ] 7