1. H έννοια του ηλεκτρικού πεδίου Aπό πολλά πειράµατα είναι βεβαιωµένο ότι σε κάθε χώρο, όπου υπάρχουν ηλεκ τρισµένα σώµατα, εκδηλώνονται ηλεκτρικής φύσεως δυνάµεις πάνω σε κάθε σωµατίδιο που φέρει ηλεκτρικό φορτιο, όταν αυτό βρεθεί µέσα στον θεωρούµε νο χώρο και µάλιστα οι δυνάµεις αυτές υπάρχουν είτε το σωµατίδιο βρίσκεται σε κατάσταση κίνησης είτε ακινητεί. Tο γεγονός αυτό δηλώνει ότι, ο χώρος µέσα στον οποίο υπάρχουν ηλεκτρισµένα σώµατα αποτελεί πεδίο* δυνάµεων, οι οποίες πηγάζουν από τα ηλεκτρικά φορτία των σωµάτων και ότι αποδέκτης των δυνάµεων αυτών είναι το ηλεκτρικό φορτίο. Kάθε χώρος, που είναι εφοδιασµένος µε την ιδιότητα να εξασκεί ηλεκτρικής φύσε ως δύναµη, πάνω σε ηλεκτρισµένο σωµατίδιο, όταν αυτό βρεθεί µέσα στο χώρο, ονοµάζεται ηλεκτρικό πεδίο. Tα ηλεκτρισµένα σώµατα που δηµιουργούν το πέδιο αποτελούν τις πηγές του, ενώ κάθε ηλεκτρισµένο σωµατίδιο που δέχεται την επίδραση του πεδίου αποτελεί υπόθεµα αυτού. Mε την εισαγωγή της έννοιας του ηλεκτρικού πε δίου, η εξ αποστάσεως αµοιβαία επίδραση δύο ηλεκτρισµένων σωµάτων µπορεί να θεωρηθεί ότι, πραγµατοποιείται διαµέσου των ηλεκτρικών πεδίων που δηµι ουργούν γύρω τους τα δύο σώµατα, δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο του ενός σώµα τος αποτελεί τον φορέα µεταβίβασης της ηλεκτρικής δύναµης στο άλλο σώµα. Tα ηλεκτρικά πεδία διακρίνονται σε ηλεκτροστατικά και σε χρονικώς µεταβαλ λόµενα ηλεκτρικά πεδία. Ένα ηλεκτρικό πεδίο, εξεταζόµενο από ένα σύστηµα αναφοράς, θα θεωρείται ηλεκτροστατικό πεδίο στο σύστηµα αυτό, εάν οι πηγές που το δηµιουργούν είναι ακίνητες ως προς το σύστηµα. Aντίθετα, αν οι πηγές του πεδίου κινούνται ως προς το θεωρούµενο σύστηµα, τότε το ηλεκτρι κό πεδίο χαρακτηρίζεται ως χρονικά µεταβαλλόµενο στο σύστηµα αυτό. Aπό τους παραπάνω ορισµούς γίνεται φανερό, ότι οι έννοιες ηλεκτροστατικό και χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο είναι συσχετισµένες µε την ύπαρξη ενός συστήµατος αναφοράς, ως προς το οποίο εξετάζεται το ηλεκτρικό πεδίο. Έτσι ένα ηλεκτρικό πεδίο που είναι ηλεκτροστατικό για ένα σύστηµα αναφο ράς, ενδέχεται να είναι χρονικά µεταβαλλόµενο για ένα άλλο σύστηµα.. Ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου H περιγραφή της ηλεκτρικής δύναµης που εκδηλώνεται πάνω σ ένα ηλεκτρι σµένο σωµατίδιο, όταν αυτό φέρεται σε οποιοδήποτε σηµείο ηλεκτροστατικού ------------------------------- * Oρίζουµε στη Φυσική ως πεδίο δυνάµεων ή δυναµικό πεδίο, το χώρο σε κάθε σηµείο του οποίου µπορούµε να αντιστοιχήσουµε µια δύναµη και συγκεκριµένα εκείνη που εκδηλώνεται πάνω στο κατάλληλο υπόθεµα του πεδίου, όταν αυτό φέρεται στο θεωρούµενο σηµείο.
πεδίου, διευκολύνεται µε την καθιέρωση ενός φυσικού µεγέθους, που ονοµά ζεται ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου, βασίζεται δε στην ακόλουθη πειρα µατική διαπίστωση. Eάν σ ένα σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου, στο οποίο δεν υπάρχει πηγή, φέρουµε διαδοχικά τα στοιχειώδη* ηλεκτρικά φορτία q 1, q,...q n, αυτά θα δεχθούν από το πεδίο αντίστοιχες ηλεκτρικές δυνάµεις F 1, F,... F n, οι οποίες είναι διαφορετικές µεταξύ τους. Aν όµως θεωρήσουµε τα πηλίκα F 1 /q 1, F /q, F n /q n θα διαπιστώσουµε ότι, αυτά είναι µεταξύ τους ίσα, γεγονός που µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: Tο πηλίκο της ηλεκτρικής δύναµης F που δέχεται ένα σωµατίδιο µε στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο q, όταν τοποθετηθεί σε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου, προς το φορτίο q, είναι ανεξάρτητο του φορτίου και εξαρτάται µόνο από τη θέση του σηµείου µέσα στο πεδίο. Σχήµα 1 Tο πηλίκο F /q, το οποίο αποτελεί διανυσµατικό φυσικό µέγεθος που χαρακτη ρίζει το θεωρούµενο σηµείο του ηλεκτροστατικού πεδίου, ορίζεται ως ένταση του πεδίου στο σηµείο αυτό και συµβολίζεται µε E. δηλαδή ισχύει: E = F /q Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτουν τα εξής: i) Eάν σε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου όπου η ένταση του είναι E, φέρουµε το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο q, αυτό θα δεχθεί από το πεδίο ηλεκτρική δύναµη F, η οποία θα είναι οµόρροπη της E, εάν το q είναι θετικό ή αντίρροπη της E, εάν το q είναι αρνητικό. ii) Tο µέτρο της ηλεκτρικής δύναµης F, που δέχεται στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο q, φερόµενο σ ένα σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου και το µέτρο της έντασης E του πεδίου στο σηµείο αυτό, συνδέονται µέσω της σχέσεως: ----------------------- * Tα πειραµατικά ηλεκτρικά φορτία q 1, q,...q n πρέπει να είναι στοιχειώδη, δηλαδή να τείνουν στο µηδέν, ώστε τοποθετούµενα στο θεωρούµενο σηµείο του ηλεκτροστα τικού πεδίου να µη προκαλούν διαταραχή στην δοµή του πεδίου, δηλαδή να µην επηρεάζουν την υπάρχουσα κατανοµή των πηγών του ηλεκτροστατικού πεδίου στο χώρο.
# qe " q > 0 F = $ % q E " q < 0 iii) Kάθε σηµείο του ηλεκτροστατικού πεδίου χαρακτηρίζεται από την έντασή του, η οποία εν γένει είναι διαφορετική από σηµείο σε σηµείο, αλλά ανεξάρτη τη του χρόνου. Στην περίπτωση που η έντασή του ηλεκτροστατικού πεδίου είναι η ίδια σε όλα του τα σηµεία, τότε το πεδίο αυτό χαρακτηρίζεται ως οµογε νές, ενώ στην αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως ανοµοιογενές. 3. Δυναµικό ηλεκτροστατικού πεδίου H ποσοτική µελέτη της κίνησης ενός φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε ηλεκτ ροστατικό πεδίο διευκολύνεται σηµαντικά, µε την χρησιµοποίηση της έννοιας του δυναµικού, η οποία χαρακτηρίζει κάθε σηµείο του πεδίου. H θεµελίωση της έννοιας του δυναµικού βασίζεται σε µια πολύ χαρακτηριστική ιδιότητα του ηλεκτροστατικού πεδίου, η οποία έχει σχέση µε το έργο της ηλεκτρικής δύνα µης που δέχεται ένα ηλεκτρικό υπόθεµα, όταν αυτό µετατοπίζεται µέσα στο πεδίο. H ιδιότητα αυτή εκφράζεται µε την ακόλουθη πρόταση: Όταν φορτισµένο σωµατίδιο µετακινείται ανάµεσα σε δύο σηµεία A και B ηλεκτροστατικού πεδίου, το έργο της ηλεκτρικής δύναµης που δέχεται από το πεδίο είναι ανεξάρτητο της µορφής της τροχιάς που διαγράφει και εξαρτάται µόνο από τις θέσεις των σηµείων A και B µέσα στο πεδίο. Aς δεχθούµε τώρα ότι ένα φορτισµένο σωµατίδιο, που φέρει ηλεκτρικό φορτίο q, µετατοπίζεται* από ένα σηµείο A ηλεκτροστατικού πεδίου µέχρις ενός σηµεί ου που βρίσκεται πολύ µακρυά από τις πηγές του πεδίου, το οποίο συµβατικά θα ονοµάζουµε άπειρο. Tότε το έργο W A " της ηλεκτρικής δύναµης που δέχε Σχήµα ται το σωµατίδιο θα έχει µία µοναδική τιµή, η οποία είναι ανεξάρτητη της µορφής της τροχιάς που διέγραψε, εξαρτάται δε η τιµή αυτή µόνο από τη θέση του σηµείου A και από το ηλεκτρικό φορτίο q του σωµατιδίου. Aς υποθέσουµε ότι, µε αφετηρία το σηµείο A του ηλεκτροστατικού πεδίου µετατοπίζονται προς ------------------------------------- * H µετατόπιση του σωµατιδίου δεν οφείλεται µόνο στην επίδραση της ηλεκτρικής δύναµης, αλλά είναι πολύ πιθανό να πραγµατοποιείται και µε την επίδραση άλλων δυνάµεων που δεν έχουν σχέση µε το ηλεκτροστατικό πεδίο και τις οποίες δεν εξε τάζουµε, διότι µας ενδιαφέρει µόνο η δράση του πεδίου πάνω στο σωµατίδιο.
το άπειρο τα φορτισµένα σωµατίδια, που φέρουν ηλεκτρικά φορτία q 1, q...q n και ότι τα αντίστοιχα έργα των ηλεκτρικών δυνάµεων που δέχονται είναι W 1, W,...W n. Eάν σχηµατίσουµε τα πηλίκα W 1 /q 1, W /q,...w n /q n θα διαπιστώσουµε ότι αυτά είναι ίσα µεταξύ τους, γεγονός που θεµελιώνει τον ισχυρισµό ότι το πηλίκο W A " /q χαρακτηρίζει αποκλειστικά το σηµείο A και είναι ανεξάρτητο του ηλεκτρικού φορτίου του σωµατιδίου και της τροχιάς που ακολουθεί µετατοπιζόµενο από το A προς το άπειρο. Tο πηλίκο αυτό ορίζεται ως δυναµικό του σηµείου A του ηλεκτροστατικού πεδίου και συµβολίζεται µε V A, δηλαδή ισχύει: V A = W A " /q Aπό όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω προκύπτει ότι το δυναµικό είναι µονόµετρο φυσικό µέγεθος που για κάθε σηµείο του ηλεκτροστατικού πεδίου µπορεί να λάβει µία και µόνη τιµή, η οποία εξαρτάται από τη θέση του σηµείου µέσα στο πεδίο. Παρατήρηση: Eάν γνωρίζουµε το δυναµικό των σηµείων ηλεκτροστατικού πε δίου µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε το έργο W A " της ηλεκτρικής δύ ναµης που δέχεται ηλεκτρικό υπόθεµα, όταν αυτό µετατοπίζεται από το τυχαίο σηµείο A του πεδίου προς το άπειρο. Tο έργο αυτό είναι ανεξάρτητο από τη µορ φή της τροχιάς που θα διαγράψει το υπόθεµα και υπολογίζεται από τη σχέση: W A " = V A q όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του υποθέµατος και V A το δυναµικό του A. 4. Διαφορά δυναµικού σε ηλεκτροστατικό πεδίο Θεωρούµε ότι µέσα σ ένα ηλεκτροστατικό πεδίο µετατοπίζεται φορτισµένο σωµατίδιο, από ένα σηµείο A προς ένα άλλο σηµείο B του πεδίου. Kατά την µε τακίνηση αυτή η ηλεκτρική δύναµη F που δέχεται το σωµατίδιο παράγει έργο W A,B, που είναι ανεξάρτητο της µορφής της τροχιάς του και εξαρτάται µόνο από τις θέσεις των σηµείων A και B µέσα στο πεδίο. Έτσι για το έργο αυτό µπο ρούµε να γράψουµε τη σχέση: W A,B = W A " + W " B = W A " - W B " (1) όπου W A, W B τα έργα της ηλεκτρικής δύναµης, που αντιστοιχούν σε µετα τόπιση του φορτισµένου σωµατιδίου από τα σηµεία A και B προς το άπειρο αντιστοίχως. Όµως, εάν V A, V B είναι τα δυναµικά των σηµείων A και B και q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου, θα ισχύουν οι σχέσεις: W A " = qv A # $ W B " = qv B % (-) W A " - W B " = q(v A - V B ) () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: W A,B = q(v A - V B ) W A,B /q = V A - V B (3)
Aπό τη σχέση (3) προκύπτει ότι το πηλίκο W A,B /q είναι ανεξάρτητο του ηλεκ τρικού φορτίου q του σωµατιδίου και της µορφής της τροχιάς που αυτό ακολουθεί, καθώς µετατοπίζεται από το σηµείο A προς το σηµείο B, αφού τα Σχήµα 3 δυναµικά V A και V B έχουν ορισµένες τιµές. Aυτό σηµαίνει ότι, το πηλίκο W A,B /q χαρακτηρίζει το διατεταγµένο ζευγάρι (A,B) των σηµείων A και B και εξαρτάται από τις θέσεις τους µέσα στο ηλεκτροστατικό πεδίο. Tο πηλίκο αυτό ορίζεται ως διαφορά δυναµικού ή ηλεκτρική τάση ανάµεσα στα σηµεία A και B και συµβολίζεται µε V A, B, δηλαδή εξ ορισµού ισχύει η σχέση: V A,B = W A,B /q (4) Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουµε τη σχέση V A,B =V A -V B, η οποία δικαιολο γεί την ονοµασία του πηλίκου W A,B /q ως διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και B. Aπό όσα αναφέρθηκαν πιό πάνω γίνεται σαφές ότι, το έργο W A,B είναι εύκολο να υπολογιστεί µε βάση τα δυναµικά V A και V B, µέσω της σχέσεως: W A,B = q(v A - V B ) (5) H διερεύνηση της σχέσεως (5) οδηγεί σε χρήσιµα συµπεράσµατα σχετικά µε τον τρόπο, που το ηλεκτροστατικό πεδίο επηρεάζει την κίνηση του φορτισµένου σωµατιδίου από το σηµείο A προς το σηµείο B. Συγκεκριµένα έχουµε να παρα τηρήσουµε τα εξής: i) Eάν το σωµατίδιο φέρει θετικό φορτίο (q>0) και µετακινείται από σηµείο υψηλού προς σηµείο χαµηλού δυναµικού (V A >V B ) τότε προκύπτει W A,B >0, που σηµαίνει ότι το ηλεκτροστατικό πεδίο διευκολύνει την µετατόπιση θετικά φορτισµένων σωµατιδίων από σηµεία υψηλού προς σηµεία χαµηλού δυναµικού προσφέροντας ενέργεια σ αυτά, µέσω του έργου της ηλεκτρικής δύναµης. Tο ίδιο ακριβώς συµβαίνει, όταν ένα αρνητικά φορτισµένο σωµατίδιο µετατοπίζε ται από σηµεία χαµηλού προς σηµεία υψηλού δυναµικού. ii) Eάν το φορτισµένο σωµατίδιο φέρει αρνητικό φορτίο (q<0) και µετακινείται από σηµείο υψηλού προς σηµείο χαµηλού δυναµικού (V A >V B ), τότε προκύπτει W A,B <0, που σηµαίνει ότι το ηλεκτροστατικό πεδίο εµποδίζει την µετατόπιση αρνητικά φορτισµένων σωµατιδίων από σηµεία υψηλού προς σηµεία χαµηλού δυναµικού, αφαιρώντας ενέργεια από αυτά, µέσω του έργου της ηλεκτρικής
δύναµης. Tο ίδιο ακριβώς συµβαίνει, όταν ένα θετικά φορτισµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται από σηµεία χαµηλού προς σηµεία υψηλού δυναµικού. Aπό τις δύο αυτές παρατηρήσεις προκύπτει ότι στη σχέση W A,B =q(v A -V B ) τα πρόσηµα των ποσοτήτων q και V A -V B καθορίζουν το πρόσηµο του έργου W A,B, το οποίο µπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή µηδέν. 5. Δυναµικές γραµµές ηλεκτροστατικού πεδίου Ένα ηλεκτροστατικό πεδίο αισθητοποιείται γεωµετρικά µε τη βοήθεια των δυναµικών του γραµµών. Λέγοντας δυναµική γραµµή ηλεκτροστατικού πεδί ου, εξ ορισµού εννοούµε κάθε νοητή γραµµή του πεδίου, σε οποιδήποτε σηµείο της οποίας η ένταση του E εφάπτεται της γραµµής στο σηµείο αυτό. H φορά της E θεωρείται ως θετική φορά της ηλεκτρικής γραµµής σε κάθε σηµείο της. Για τη σχεδίαση των ηλεκτρικών δυναµικών γραµµών ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, έχει καθιερωθεί η εξής συµφωνία. Oι ηλεκτρικές δυναµικές γραµµές σχεδιάζονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε, αν σ ένα τυχαίο σηµείο του πεδίου τοπο θετηθεί η µονάδα της επιφάνειας, κάθετα προς το διάνυσµα της αντίστοιχης Σχήµα 4 έντασης E του πεδίου, ο αριθµός των γραµµών που διέρχονται µέσα από τη µο νάδα της επιφάνειας, να είναι ανάλογος προς το µέτρο της έντασης E. Mε βάση τη συµφωνία αυτή, θα πρέπει σε σηµεία όπου το πεδίο είναι ισχυρό (µεγάλη ένταση) οι δυναµικές γραµµές να παρουσιάζουν πύκνωση, ενώ σε σηµεία µικρής έντασης οι δυναµικές γραµµές πρέπει να παρουσιάζουν αραίωση. Oι δυναµικές γραµµές ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, δεν µεταβάλλουν µορφή µε το χρόνο και επί πλέον είναι ανοιχτές, δηλαδή έχουν συγκεκριµένη αρχή και τέλος και µάλιστα οι γραµµές αυτές ξεκινούν από θετικές πηγές του πεδίου και καταλήγουν σε αρνητικές πηγές αυτού. Για τις δυναµικές γραµµές ηλεκ τροστατικού πεδίου ισχύουν οι εξής δύο ιδιότητες. i) Δύο δυναµικές γραµµές ηλεκτροστατικού πεδίου δεν τέµνονται. Για την απόδειξη της ιδιότητας αυτής υποθέτουµε ότι, δύο δυναµικές γραµµές C 1 και C του πεδίου τέµνονται στο σηµείο M (σχ. 5). Tότε στο σηµείο αυτό θα αντιστοιχούν δύο εντάσεις E 1 και E τα διανύσµατα των οποίων θα εφάπτον ται των δύο γραµµών στο σηµείο M. Aυτό όµως αποτελεί άτοπο, διότι σε κάθε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου η έντασή του ορίζεται µονοσήµαντα, δηλαδή υπάρχει µόνο µία ένταση. ii) Kατά µήκος µιας ηλεκτρικής δυναµικής γραµµής και κατά τη θετική φορά αυ τής προκύπτει ελάττωση δυναµικού.
Για την απόδειξη της ιδιότητας αυτής θεωρούµε µια δυναµική γραµµή C του ηλεκτροστατικού πεδίου και υποθέτουµε ότι, ένα θετικά φορτισµένο σωµατίδιο αναγκάζεται να κινηθεί κατά µήκος της γραµµής αυτής από το σηµείο A προς το σηµείο B και ότι η φορά κίνησής του συµπίπτει µε τη θετική φορά της δυνα µικής γραµµής (σχ. 6). Tότε η ηλεκτρική δύναµη F που δέχεται το σωµατίδιο θα παράγει θετικό έργο, ως διαρκώς οµόρροπη προς την εκάστοτε στοιχειώδη µετατόπιση του σωµατιδίου, δηλαδή θα ισχύει W A,B >0. Όµως για το έργο W A,B ισχύει: W A,B =q(v A -V B ) Σχήµα 5 Σχήµα 6 όπου q το φορτίο του σωµατιδίου (q>0) και V A, V B τα δυναµικά των σηµείων A και B αντιστοίχως. Συνδυάζοντας τις δύο προηγούµενες σχέσεις, παίρνουµε τη σχέση: q(v A -V B )>0 V A -V B >0 V A >V B η οποία εκφράζει την αποδεικτέα ιδιότητα. 6. Πτώση δυναµικού κατά µήκος δυναµικής γραµµής Στο προηγούµενο εδάφιο αποδείξαµε ότι, κατά µήκος µιας ηλεκτρικής δυνα µικής γραµµής ηλεκτροστατικού πεδίου προκύπτει κατά τη θετική της φορά µείωση (πτώση) δυναµικού. Για τον υπολογισµό της πτώσεως δυναµικού µε ταξύ δύο σηµείων A και B µιας ηλεκτρικής δυναµικής γραµµής C υποθέτουµε ότι, ένα θετικά φορτισµένο σωµατίδιο µετακινείται κατά µήκος της δυναµικής γραµµής από το σηµείο A µέχρι το σηµείο B αυτής (σχ. 7). Tότε για το αντίσ τοιχο έργο W A,B της ηλεκτρικής δύναµης F που δέχεται το σωµατίδιο, θα ισχύει η σχέση: W A,B =q(v A -V B ) V A -V B =W A,B /q (1) όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου και V A -V B η πτώση δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και B. Όµως το έργο W A,B υπολογίζεται ως άθροισµα των στοιχειωδών έργων της ηλεκτρικής δύναµης F, τα οποία αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις µετατοπίσεις στις οποίες διαµερίζεται η ολική µετατόπιση του σωµατιδίου, δηλαδή ισχύει η σχέση: W A,B =dw 1 +dw +... +dw n = A B dw Όµως το στοιχειώδες έργο dw της F που αντιστοιχεί στην τυχαία στοιχειώδη µετατόπιση d s του σωµατιδίου, υπολογίζεται από τη σχέση: ()
dw=fdsσυν0=eqds (3) όπου E η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου στη θέση του στοιχείου d s. Συν δυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: Σχήµα 7 W A,B = A B qeds B = q Eds A W A,B q B = Eds A (1) B V A - V B = Eds A (4) Παρατήρηση: Mπορούµε να γενικεύσουµε τη σχέση (4), αν επιθυµούµε να υπολογίσουµε τη διαφορά δυναµικού ανάµεσα σε δύο σηµεία A και B ενός ηλεκτροστατικού πεδίου ακολουθώντας µια οποιαδήποτε γραµµή που διέρχεται από τα σηµεία αυτά. Προς τούτο υποθέτουµε ότι, ένα φορτισµένο σωµατίδιο µε ηλεκτρικό φορτίο q µετατοπίζεται κατά µήκος της γραµµής αυτής από το σηµείο A προς το σηµείο B (σχ. 8). Eάν W A,B είναι το αντίστοιχο έργο της ηλεκ τρικής δύναµης που δέχεται το σωµατίδιο, θα ισχύει η σχέση: V A - V B = W A,B /q = % A B Fds"#$ B /q = % Eqds "#$ /q A B V A - V B = % Eds "#$ A B V A - V B = E.ds A (5) Σχήµα 8 όπου φ η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα της έντασης E πεδίου µε το αντί στοιχο στοιχειώδες τµήµα d s της καµπύλης γραµµής, κατά µήκος της οποίας
γίνεται ο υπολογισµός της διαφοράς δυναµικού V A -V B, ενώ το σύµβολο ( E.d s ) παριστάνει το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων E και d s. 7. Aπλές µορφές ηλεκτροστατικών πεδίων α. Oµογενές ηλεκτρικό πεδίο Ένα ηλεκτροστατικό πεδίο ονοµάζεται οµογενές, όταν η ένταση του πεδίου είναι η ίδια σε όλα του τα σηµεία. Mε βάση τον ορισµό αυτό προκύπτει ότι, οι δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου είναι ευθείες γραµµές παράλληλες και ισαπέχουσες. Aς θεωρήσουµε τώρα δύο τυχαία σηµεία A και B του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου και ας υποθέσουµε ότι, ένα θετικά φορτι σµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται από το A προς το B διαγράφωντας την καµπύ λη τροχιά AMB. Tότε η διαφορά δυναµικού V A -V B ανάµεσα στα σηµεία A και B θα είναι: V A -V B =W A,B /q (1) όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου και W A,B το έργο της ηλεκτρικής δύναµης που αντιστοιχεί στη θεωρούµενη µετατόπιση AMB του σωµατιδίου. Όµως η ηλεκτρική δύναµη F είναι σταθερή, αφού το πεδίο είναι οµογενές, οπό τε το έργο της υπολογίζεται από τη σχέση: Σχήµα 9 W A,B =Fs=qEs () όπου s η αλγεβρική τιµή της προβολής s του διανύσµατος AB, πάνω στη διεύ θυνση των δυναµικών γραµµών του πεδίου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε τη σχέση: V A -V B =qes/q=es (3) Eάν η προβολή s είναι οµόρροπη της έντασης E, τότε s>0, ενώ όταν τα διανύσ µατα s και E είναι αντίρροπα, τότε θα είναι s<0. β. Hλεκτρικό πεδίο Coulomb ή ακτινικό πεδίο Θεωρούµε το σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο Q, το οποίο είναι ακίνητο ως προς ένα σύστηµα αναφοράς. Tο ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργεί το Q, εξεταζόµενο από το θεωρούµενο σύστηµα αναφοράς είναι ένα ηλεκτροστατικό πεδίο, που ονοµά ζεται ηλεκτρικό πεδίο Coulomb. Για να υπολογίσουµε την ένταση του πεδίου
αυτού σ ένα οποιοδήποτε σηµείο M, που βρίσκεται σε απόσταση r από την πηγή Q του πεδίου, θεωρούµε στο σηµείο M ένα θετικό ηλεκτρικό υπόθεµα q και εξετάζουµε την ηλεκτρική δύναµη F που αυτό δέχεται από το πεδίο. H δύναµη αυτή θα έχει φορέα την ευθεία που συνδέει το σηµείο M µε την πηγή Q, η φορά της θα είναι από το Q προς το M (σχ. 10), εάν Q>0, ή από το M προς το Q εάν Q<0 (σχ. 11), το δε µέτρο της θα δίνεται από το νόµο του Coulomb, δηλαδή από τη σχέση: F = K C Q q /r (1) Σχήµα 10 Σχήµα 11 όπου K C η σταθερά του νόµου του Coulobm. Όµως εξ ορισµού η ένταση E του πεδίου στο σηµείο M είναι οµόρροπη της F, εφ όσον δεχθήκαµε q>0, το δε µέτ ρο της είναι: E = F/q (1) E = K C Q /r () Eξάλλου, εάν V είναι το δυναµικό του σηµείου M, αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση: V = K C Q/r (3) Aπό την (3) προκύπτει ότι, τα σηµεία του πεδίου που ισαπέχουν από την πηγή του Q έχουν το ίδιο δυναµικό, το οποίο µεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα µε την απόσταση r. Eξάλλου, επειδή σε κάθε σηµείο του πεδίου Coulomb η έντασή του έχει φορέα την ευθεία που συνδέει το σηµείο µε την πηγή Q του πεδίου, πρέπει οι δυναµικές του γραµµές να είναι ευθείες συγκλίνουσες προς το Q, αν Q<0 ή αποκλίνουσες εκ του Q, εάν Q>0 (σχ. 11 και 1), γεγονός που δικαι ολογεί την ονοµασία του πεδίου Coulomb και ως ακτινικού πεδίου. Παρατήρηση: Oι σχέσεις () και (3) που παρέχουν το µέτρο της έντασης και το δυναµικό αντιστοίχως σε απόσταση r από την πηγή Q του ηλεκτρικού πεδί ου Coulomb, έχουν νόηµα εφ όσον r 0. Aυτό σηµαίνει ότι, η ένταση και το δυναµικό δεν ορίζονται πάνω στην πηγή του πεδίου, δηλαδή το σηµείο όπου βρίσκεται η πηγή του πεδίου αποτελεί ένα ανώµαλο σηµείο αυτού.
γ. Σύνθετο ηλεκτρικό πεδίο Coulomb Eάν πολλά σηµειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1, Q,...Q n είναι ακίνητα ως προς ένα σύστηµα αναφοράς και βρίσκονται στο ίδιο υλικό µέσο, τότε δηµιουργούν ηλεκ τροστατικό πεδίο ως προς το σύστηµα αυτό, που ονοµάζεται σύνθετο ηλεκτρικό πεδίο Coulomb. Για να καθορίσουµε την ένταση του πεδίου αυτού σ ένα σηµείο M, που δεν ταυτίζεται µε καµιά πηγή του πεδίου, θεωρούµε στο σηµείο αυτό ένα ηλεκτρικό υπόθεµα µε φορτίο q. Tότε αυτό θα δέχεται από τις πηγές του πεδίου τις δυνάµεις Coulomb F 1, F,... F n αντιστοίχως, των οποίων η συνιστα µένη F " θα αποτελεί την ολική δράση του πεδίου επί του υποθέµατος q, όταν αυτό βρίσκεται στο θεωρούµενο σηµείο M. Έτσι η ένταση E " του πεδίου στο M θα είναι εξ ορισµού ίση µε το πηλίκο F " /q, δηλαδή θα ισχύει: E " = F " q = F 1 + F +... + q F n = F 1 q + F q +... + F n q E " = E 1 + E +... + E n (1) όπου E 1, E,... E n οι εντάσεις που δηµιουργούν στο σηµείο A οι πηγές Q 1, Q,.. Q n αντιστοίχως. H σχέση (1) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: H ένταση σ ένα σηµείο σύνθετου ηλεκτρικού πεδίου Coulomb, το οποίο σηµείο δεν ταυτίζεται µε πηγή του πεδίου, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των εντάσεων που δηµιουργούν στο σηµείο αυτό οι πηγές του πεδίου. Eξάλλου για να καθορίσουµε το δυναµικό του πεδίου στο σηµείο M, θεωρούµε ότι το ηλεκτρικό υπόθεµα µετατοπίζεται από το σηµείο αυτό προς το άπειρο και συµβολίζουµε µε W 1, W,...W n τα αντίστοιχα έργα των δυνάµεων F 1, F, F n. Tότε το έργο W ολ της συνισταµένης των δυνάµεων αυτών θα είναι ίσο µε το αλγεβρικό αθροισµα των έργων W 1,W,...W n, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: W " = W 1 + W +... + W n W " q = W 1 q + W q +... + W n q Όµως το πηλίκο W ολ /q εκφράζει εξ ορισµού το δυναµικό V ολ του πεδίου στο σηµείο M, ενώ τα πηλίκα W 1 /q 1, W /q,...w n /q n εκφράζουν τα δυναµικά V 1, V,... V n που δηµιουργούν στο M οι πηγές Q 1, Q,...Q n αντιστοίχως του πεδίου. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: n V " = V 1 + V +... + V n = K C # (Q/r) () H σχέση () µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: 1 Tο δυναµικό σ ένα σηµείο σύνθετου πεδίου Coulomb, που δεν ταυτίζεται µε καµιά πηγή του πεδίου, είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των δυναµικών, που δηµι ουργούν στο σηµείο αυτό οι πηγές του πεδίου.
Tα σχήµατα (1) και (13) απεικονίζουν τις δυναµικές γραµµές των ηλεκτροσ τατικών πεδίων, που δηµιουργούνται από δύο αντίθετα σηµειακά ηλεκτρικά φορτία. ή από δύο ίσα θετικά σηµειακά ηλεκτρικά φορτία αντιστοίχως. Σχήµα 1 Σχήµα 13 8. Hλεκτρική δυναµική ενέργεια φορτισµένου σωµατιδίου Oρίζουµε ως ηλεκτρική δυναµική ενέργεια φορτισµένου σωµατιδίου, που βρίσ κεται σ' ένα τυχαίο σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου και τη συµβολίζουµε µε U, το γινόµενο του φορτίου q του σωµατιδίου επί το δυναµικό V του σηµείου, δηλαδή ισχύει: U=qV (1) Aς δούµε όµως τι ακριβώς εξυπηρετεί αυτός ο ορισµός. Προς τούτο υποθέτου µε ότι το φορτισµένο σωµατίδίο µετακινείται από ένα σηµείο A σ' ένα άλλο ση µείο B του πεδίου, δεχόµενο µόνο την επίδραση του πεδίου, δηλαδή η µοναδι κή δύναµη που ενεργεί πάνω σ αυτό είναι η ηλεκτρική δύναµη. Eφαρµόζον τας για το σωµατίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, παίρνουµε τη σχέ ση: K B - K A = W A,B K B - K A = q V A - V B = qv A - qv B K B - K A = U A - U B K A + U A = K B + U B () H σχέση () εκφράζει ότι, κατά την κίνηση του φορτισµένου σωµατιδίου µέσα στο ηλεκτροστατικό πεδίο, υπό την επίδραση µόνο του πεδίου, το άθροισµα της κινητικής του ενέργειας και της ηλεκτρικής του δυναµικής ενέργειας παραµέ νει σταθερό. Δηλαδή µε την εισαγωγή της έννοιας της ηλεκτρικής δυναµικής ενέργειας οδηγηθήκαµε σ ένα θεώρηµα διατήρησης του αθροίσµατος K+U, το οποίο µας διευκολύνει σηµαντικά, όταν εξετάζουµε από ενεργειακή άποψη την κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε ηλεκτροστατικό πεδίο. Eάν το άθροισ µα K+U ονοµαστεί µηχανική ενέργεια του σωµατιδίου, τότε µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: Όταν ένα ηλεκτρισµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται σε ηλεκτροστατικό πεδίο, υπό την επίδραση µόνο της ηλεκτρικής δύναµης, η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. Παρατήρηση: Aπό τον ορισµό της ηλεκτρικής δυναµικής ενέργειας ηλεκτρισ µένου σωµατιδίου συµπεραίνουµε ότι, αυτή ταυτίζεται µε το έργο της ηλεκτρι
κής δύναµης κατά τη µεταφορά του σωµατιδίου από τη θέση που βρίσκεται µέχρι το άπειρο. Aς δούµε µε βάση αυτή την ιδέα, ποιό είναι το έργο των ηλεκ τρικών δυνάµεων όταν έχουµε πρόθεση να καταργήσουµε το ηλεκτροστατικό πεδίο, µεταφέροντας τις πηγές του απο τις θέσεις που βρίσκονται στο άπειρο. Θα παραδεχτούµε για ευκολία των υπολογισµών µας, ότι οι πηγές του πεδίου είναι τρία σηµειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1, Q, Q 3 που είναι ακίνητα στα σηµεία A 1, A, A 3 αντιστοίχως και ότι µεταφέρεται πρώτα το Q 1 στο άπειρο, ύστερα το Q και τέλος το Q 3. Kατά τη µεταφορά του Q 1 από το A 1 στο άπειρο, αυτό δέχεται ηλεκτρικές δυνάµεις από τα άλλα δύο φορτία, των οποίων το έργο W 1 είναι: W 1 = Q 1 V 1 (1) Σχήµα 14 όπου V 1 το δυναµικό που δηµιουργούν στη θέση A 1 τα φορτία Q και Q 3. Όµως για το δυναµικό αυτό ισχύει η σχέση: V 1 = K CQ r 1, + K CQ 3 r 1,3 () όπου r 1, και r 1,3 οι αποστάσεις του A 1 από τα A και A 3 αντιστοίχως. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: W 1 = K CQ 1 Q r 1, + K CQ 1 Q 3 r 1,3 (3) Eξάλλου κατά τη µεταφορά του Q από τη θέση του A προς το άπειρο, το έργο W της ηλεκτρικής δύναµης που δέχεται από το φορτίο Q 3 είναι: W = Q V (4) όπου V το δυναµικό που δηµιουργεί στο A το φορτίο Q 3. Όµως για το δυναµι κό αυτό ισχύει η σχέση: W = K C Q 3 r,3 (5) όπου r,3 η απόσταση του A από το A 3. Eίναι προφανές ότι, κατά τη µεταφορά
του Q 3 από τη θέση του A 3 στο άπειρο δεν υπάρχει ηλεκτρική δύναµη και εποµένως το αντίστοιχο έργο της είναι µηδέν. Aθροίζοντας τα έργα W 1 και W παίρνουµε το ολικό έργο W ολ των ηλεκτρικών δυνάµεων, όταν καταργείται το ηλεκτροστατικό πεδίο των τριών φορτίων, οπότε θα έχουµε τη σχέση: W " = W 1 + W = K C Q 1 Q r 1, + K C Q 1 Q 3 r 1,3 + K C Q Q 3 r,3 (6) Το έργο W ολ εκφράζει εξ ορισµού την ηλεκτρική δυναµική ενέργεια U ολ του συστήµατος των τριών φορτίων, όταν αυτά είναι ακίνητα στα σηµεία A 1, A, A 3, δηλαδή ισχύει η σχέση: U " = W " = K C Q 1 Q r 1, + K C Q 1 Q 3 r 1, 3 + K C Q Q 3 r,3 (7) Mε ανάλογο τρόπο υπολογίζεται η ηλεκτρική δυναµική ενέργεια συστήµατος περισσοτέρων από τρία ακινήτων σηµειακών ηλεκτρικών φορτίων. Παρατήρηση: Για τη δηµιουργία του ηλεκτροστατικού πεδίου των τριών φορτίων πρέπει να εξασκηθούν σ' αυτά κατάλληλες εξωτερικές δυνάµεις, που τα µεταφέρουν από το άπειρο στις θέσεις A 1, A, A 3. Σύµφωνα µε το θεώρηµα κι νητικής ενέργειας-έργου οι δυνάµεις αυτές παράγουν ελάχιστο συνολικό έργο -W ολ, το οποίο αποθηκεύεται στο χώρο του πεδίου µε τη µορφή ηλεκτρι κής δυναµικής ενέργειας. 9. Kίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο Aς υποθέσουµε ότι ένα αβαρές ηλεκτρισµένο σωµατίδιο, λ.χ. ένα πρωτόνιο, εκτοξεύεται στο σηµείο O οµογενούς* ηλεκτρικού πεδίου έντασης E, µε ταχύ τητα v 0, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου (σχ. 15). H µοναδική δύναµη που ενεργεί στο πρωτόνιο είναι η ηλεκτ ρική δύναµη F από το πεδίο, η οποία είναι σταθερή και οµόρροπη προς την ένταση E, αφού το πρωτόνιο φέρει θετικό φορτίο, το δε µέτρο της είναι F=Eq p, όπου q p το ηλεκτρικό φορτίο του πρωτονίου. Eπειδή η ηλεκτρική δύναµη δεν είναι συγραµµική της αρχικής ταχύτητας v 0 του πρωτονίου, η κίνησή του θα είναι καµπυλόγραµµη και µάλιστα η τροχιά του θα βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζουν τα διανύσµατα v 0 και F, δηλαδή το επίπεδο κίνησης του πρωτο νίου θα είναι παράλληλο προς τις δυναµικές γραµµές του οµογενούς ηλεκ τρικού πεδίου. Θεωρούµε επί του επιπέδου αυτού το ορθογώνιο σύστηµα αξό νων Oxy και λαµβάνουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή που το πρωτόνιο εκτοξεύεται στο σηµείο O. Tο πρωτόνιο κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox δεν δέχεται καµιά δύναµη, που σηµαίνει ότι η επιτάχυνση του κατά τη διεύ θυνση αυτή είναι µηδενική, δηλαδή η κίνηση του πρωτονίου κατά διεύθυνση ------------------------ * Tο ηλεκτρικό αυτό πεδίο δηµιουργείται στο χώρο µεταξύ δύο ακριβώς όµοιων µεταλλικών πλακών, που φέρουν αντίθετα ηλεκτρικά φορτία και βρίσκονται σε µικρή απόσταση µεταξύ τους.
Ox είναι οµαλή, µε ταχύτητα v x, ίση προς την ταχύτητα v 0. Έτσι η µετατόπιση x του πρωτονίου σε χρόνο t κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox θα είναι: x=v x t=v 0 t (1) Eξάλλου, κατά τη διεύθυνση του άξονα Oy το πρωτόνιο δέχεται µόνο την ηλεκ τρική δύναµη F η οποία είναι σταθερή, οπότε η επιτάχυνση του a y κατά τον Σχήµα 15 άξονα Oy θα είναι σταθερή, το δε µέτρο της σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα δίνεται από τη σχέση: a y = F m p = Eq p m p () όπου m p η µάζα του πρωτονίου. Έτσι η κίνηση του πρωτονίου κατά τη διεύ θυνση του άξονα Oy θα είναι οµαλά επιταχυνόµενη και το µέτρο της αντίστοι χης ταχύτητας v y που έχει αποκτήσει σε χρόνο t θα είναι: v y = a y t () v y = Eq p t m p (3) Eξάλλου η µετατόπιση y του πρωτονίου κατά τον άξονα Oy σε χρόνο t δίνεται από τη σχέση: y = a y t () y = Eq p t m p (4) Oι σχέσεις (1) και (4) αποτελούν τις εξισώσεις της κίνησης του πρωτονίου, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxy και παρέχουν τις συντεταγµένες του x και y στο σύστηµα αυτό, σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησής του t. H απαλοι φή του χρόνου t µεταξύ των δύο αυτών εξισώσεων οδηγεί στην εξίσωση της τροχιάς του πρωτονίου, η οποία έχει τη µορφή : y = Eq p x m p v 0 (5)
H γραφική παράσταση της σχέσεως (5) είναι µια παραβολή που στρέφει το κυρτό της µέρος προς τα πάνω (σχ. 15) και αποτελεί τον γεωµετρικό τόπο των διαδοχικών θέσεων του πρωτονίου κατά την κίνησή του µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο. Παρατήρηση: Eάν το αβαρές φορτισµένο σωµατίδιο εκτοξεύεται µέσα σε ανο µοιογενές ηλεκτροστατικό πεδίο, τότε η ηλεκτρική δύναµη που δέχεται από το πεδίο είναι µεταβλητή και η µελέτη της κίνησής του είναι εξαιρετικά πολύπ λοκη. Mπορούµε στην περίπτωση αυτή να υπολογίσουµε κάποια στοιχεία της κίνησης, εφαρµόζοντας γενικούς νόµους όπως λ.χ. το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, αφού το πεδίο είναι ηλεκτροστατικό και µοναδική δύνα µη επί του σωµατιδίου είναι η ηλεκτρική δύναµη, το δεύτερο νόµο του Nεύτω να, το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κ.λ.π.. 10. Ένταση µαγνητικού πεδίου Aπό πολλά πειράµατα έχει θεµελιωθεί η αντίληψη ότι σε κάθε χώρο όπου υπάρ χουν ηλεκτρικά ρεύµατα, εκδηλώνονται δυνάµεις ηλεκτροµαγνητικής φύσεως πάνω σε κινούµενα µόνο ηλεκτρισµένα σωµατίδια, δηλαδή ο χώρος στον οποίο υπάρχουν ηλεκτρικά ρεύµατα αποτελεί πεδίο δυνάµεων, µε κατάλληλο υπόθε µα το κινούµενο ηλεκτρικό φορτίο. Kάθε χώρος που είναι εφοδιασµένος µε την ιδιότητα να εξασκεί ηλεκτροµαγνη τική δύναµη σε κινούµενο µόνο ηλεκτρικό φορτίο, ονοµάζεται µαγνητικό πεδίο, η δε εκδηλούµενη δύνάµη ονοµάζεται δύνάµη Lοrentz. Tα ηλεκτρικά ρεύµατα που δηµιουργούν το µαγνητικό πεδίο αποτελούν τις πηγές του πεδίου, ενώ κάθε κινούµενο ηλεκτρικό φορτίο που δέχεται την επίδραση του πεδίου αποτελεί υπόθεµα για το πεδίο. Tα µαγνητικά πεδία των µονίµων µαγνητών οφείλονται και αυτά σε ρεύµατα, τα οποία όµως είναι µικροσκοπικού χαρακτήρα και απορρέουν από την περιφορά των ηλεκτρονίων γύρω από τους πυρήνες των ατόµων των µονίµων µαγνητών. Tα µικροσκοπικά αυτά κυκλικά ρεύµατα (ρεύµατα µαγνήτισης) έχουν όλα τον ίδιο* προσανατο λισµό στο χώρο, µε αποτέλεσµα τα µαγνητικά τους πεδία να αλληλοενισχύον ται σε κάθε σηµείο του χώρου και µε τον τρόπο αυτό εκδηλώνεται µακροσκο πικό µαγνητικό πεδίο. Ένα µαγνητικό πεδίο περιγράφεται σε κάθε σηµείο του µε ένα διανυσµατικό µέγεθος που είναι χαρακτηρηστικό του σηµείου και ανεξάρτητο από την παρουσία υποθέµατος στο σηµείο αυτό, ονοµάζεται δε ένταση του πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο. O ορισµός της έντασης ενός µαγνη τικού πεδίου στηρίζεται στις ιδιότητες που παρουσιάζει η ηλεκτροµαγνητική ------------------------- * Στα µη µαγνητισµένα υλικά τα µικροσκοπικά κυκλικά ρεύµατα µαγνήτισης έχουν τυχαίο προσανατολισµό και έτσι τα µαγνητικά τους πεδία αλληλοεξουδετε ρώνονται σε κάθε σηµείο του χώρου, µε αποτέλεσµα να µην εκδηλώνεται µαγνητικό πεδίο γύρω από τα σώµατα αυτά.
δύναµη Laplace που δέχεται ένα στοιχειώδες* ρεύµα, όταν βρεθεί σ ένα ση µείο του µαγνητικού πεδίου. Oι ιδιότητες αυτές είναι οι εξής: i) Σε κάθε σηµείο µαγνητικού πεδίου υπάρχει µία µοναδική διεύθυνση, κατα την οποία προσανατολιζόµενο στοιχειώδες ρεύµα δεν δέχεται δύναµη Laplace. H µοναδική αυτή διεύθυνση (ε) ονοµάζεται διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο. ii) H στοιχειώδης δύναµη Laplace d F που δέχεται στοιχειώδες ρεύµα, όταν αυτό βρεθεί στο θεωρούµενο σηµείο έχοντας διεύθυνση διάφορη της (ε), έχει φορέα κάθετο στο επίπεδο που καθορίζει η διεύθυνση (ε) και η διεύθυνση του στοιχειώδους ρεύµατος. Σχήµα 16 iii) Eάν dl είναι το µήκος του στοιχειώδους ρεύµατος, I η έντασή του και φ η γωνία που σχηµατίζει η διεύθυνση του ρεύµατος µε τη διεύθυνση του µαγνη τικού πεδίου στο σηµείο που βρίσκεται το στοιχειώδες ρεύµα, τότε το πηλίκο df/idlηµφ είναι ανεξάρτητο από τα στοιχεία dl και I του ρεύµατος και από τον προσανατολισµό του σε σχέση µε τη διεύθυνση (ε) του µαγνητικού πεδίου, δηλαδή το πηλίκο αυτό αναφέρεται µόνο στο σηµείο του πεδίου, όπου έχει τοποθετηθεί το στοιχειώδες ρεύµα. Mε βάση τις παραπάνω ιδιότητες ορίζεται για κάθε σηµείο µαγνητικού πεδίου ένα διανυσµατικό φυσικό µέγεθος B, που ονοµάζεται ένταση του πεδίου, ως εξής: O φορέας της έντασης είναι η διεύθυνση (ε) του µαγνητικού πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο του πεδίου. H φορά της έντασης ανταποκρίνεται στον λεγόµενο κανόνα των τριών δακ τύλων του δεξιού χεριού. O κανόνας αυτός εκφράζει την εξής συµφωνία. Eάν ο αντίχειρας του δεξιού χεριού προσανατολιστεί κατά τη συµβατική φορά του στοιχειώδους ρεύµατος, ο δείκτης κατά τη φορά της έντασης B, τότε ο µεσαί ος δάκτυλος πρέπει να δείχνει τη φορά της δύναµης Laplace d F, όταν τεντω θεί ώστε να γίνει κάθετος στο επίπεδο των δύο άλλων δακτύλων. (σχ. 16) Tο µέτρο της έντασης είναι το σταθερό πηλίκο df/idlηµφ, δηλαδή ισχύει: ---------------------------------- * Στοιχειώδες ρεύµα ονοµάζεται εκείνο που αντιστοιχεί σ ένα πολύ µικρό µήκος dl (dl 0) ρευµατοφόρου αγωγού. Έτσι το στοιχειώδες ρεύµα µπορεί να θεωρηθεί ευθύγραµµο και επί πλέον αποτελεί σηµειακό υπόθεµα του µαγνητικού πεδίου, αφού σ αυτό αντιστοιχεί κίνηση ηλεκτρικών φορέων. (π.χ. ελεύθερων ηλεκτρονί ων) η δε ηλεκτροµαγνητική δύναµη που δέχεται από το µαγνητικό πεδίο ονοµάζε ται δύναµη Laplace για να διακρίνεται από τη δύναµη Lorentz που αντιστοιχεί δε κινούµενο ηλεκτρισµένο σωµατίδιο.
B = df/idl µ" (1) Όταν γνωρίζουµε την ένταση του µαγνητικού πεδίου σε κάθε σηµείο του µπο ρούµε να καθορίσουµε τη δράση του πεδίου πάνω σ ένα οποιοδήποτε στοιχειώ δες ρεύµα, δηλαδή µπορούµε να προσδιορίσουµε τη δύναµη Laplace d F που δέ χεται το ρεύµα από το πεδίο. Έτσι ο φορέας της d F θα είναι κάθετος στο επίπε δο που ορίζει η διεύθυνση του ρεύµατος και η ένταση B του πεδίου στή θέση που βρίσκεται το ρεύµα, η φορά της θα ανταποκρίνεται στον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού, το δε µέτρο της θα δίνεται από τη σχέση: df = BIdL µ" () Παρατήρηση: Όταν το ρεύµα που δέχεται την επίδραση του µαγνητικού πεδί ου δεν είναι στοιχειώδες, τότε διαµερίζουµε αυτό σε στοιχειώδη ρεύµατα, µε µήκη dl 1, dl,... και υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα τις αντίστοιχες στοιχειώδεις δυνάµεις Laplace d F 1, d F, d F n που δέχονται τα ρεύµατα αυτά. H συνολική δύναµη Laplace F L επί του ρεύµατος, θα είναι η συνισταµένη των επιµέρους στοιχειωδών δυνάµεων, δηλαδή θα ισχύει: F L = d F 1 + d F +... + d F n = (d F ) 11. Δυναµικές γραµµές µαγνητικού πεδίου-mαγνητική ροή Ένα µαγνητικό πεδίο αισθητοποιείται γεωµετρικά στο χώρο όπου εκτείνεται, µε τη βοήθεια των δυναµικών* του γραµµών. Λέγοντας δυναµική γραµµή µαγ νητικού πεδίου εννοούµε κάθε νοητή γραµµή του πεδίου, σε οποιοδήποτε ση µείο της οποίας το διάνυσµα της έντασης του πεδίου είναι εφαπτόµενο της γραµµής στο θεωρούµενο σηµείο. H µορφή των δυναµικών γραµµών εξαρτάται από τη φυσιογνωµία του µαγνητικού πεδίου, δηλαδή από τη γεωµετρική µορ φή των ρευµατοφόρων αγωγών που το δηµιουργούν καθώς και από τη σχετική τους θέση στο χώρο. Σε κάθε µαγνητικό πεδίο οι δυναµικές γραµµές είναι κλει Σχήµα 17 στές καµπύλες, οι οποίες περιβάλλουν τα ρεύµατα που δηµιουργούν το πεδίο. Aν οι εντάσεις των ρευµάτων αυτών δεν µεταβάλλονται µε το χρόνο, τότε οι δυναµικές γραµµές έχουν σταθερή µορφή, ενώ όταν οι εντάσεις των ρευµάτων ---------------------------------- * H γεωµετρική απεικόνιση στο χώρο ενός µαγνητικού πεδίoυ, µέσω των δυναµι κών του γραµµών οφείλεται στον Bρετανό Φυσικό M. Faraday.
µεταβάλλονται χρονικά θα µεταβάλλεται και η µορφή των δυναµικών γραµ µών. Eπειδή σε κάθε σηµείο µαγνητικού πεδίου η έντασή του ορίζεται µονο σήµαντα, δηλαδή είναι µία και µοναδική, από κάθε σηµείο του διέρχεται µία µόνο δυναµική γραµµή, που σηµαίνει ότι, δύο δυναµικές γραµµές µαγνητικού πεδίου δεν τέµνονται. Eξάλλου η σχεδίαση των δυναµικών γραµµών ενός µαγ νητικού πεδίου, του οποίου είναι γνωστές οι πηγές γίνεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ν ανταποκρίνεται στην ακόλουθη σύµβαση: Aν σε κάθε σηµείο του µαγ νητικού πεδίου τοποθετηθεί η µονάδα της επιφάνειας κάθετα προς τη διεύ θυνση του πεδίου στο σηµείο αυτό, πρέπει ο αριθµός των δυναµικών γραµµών που διέρχονται από την επιφάνεια αυτή να είναι ανάλογος προς το µέτρο της έντασης του πεδίου στο θεωρούµε νο σηµείο. Έτσι σε σηµεία του πεδίου στα οποία η ένταση παρουσιάζει αυξηµένο µέτρο οι δυναµικές του γραµµές είναι πυκνά κατανεµηµένες, ενώ σε σηµεία όπου η ένταση παρουσιάζει µικρό µέτρο οι δυναµικές γραµµές εµφανίζονται αραιοµένες. Eάν σε µια περιοχή το µαγνη τικό πεδίο είναι οµογενές, τότε στην περιοχή αυτή οι δυναµικές γραµµές θα είναι ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες. Aκόµη πρέπει να τονίσουµε ότι, σε κάθε σηµείο µιας δυναµικής γραµµής η φορά της εξ ορισµού συµπίπτει µε τη φορά της έντασης του πεδίου στο σηµείο αυτό. Aς θεωρήσουµε τώρα µέσα σ ένα µαγνητικό πεδίο µια επιφάνεια (S), νοητή ή πραγµατική και τυχαίου σχήµατος, η οποία διασχίζεται από δυναµικές γραµµές. Λαµβάνοντας γύρω από το σηµείο M της επιφάνειας ένα στοιχειώδες τµήµα, εµβαδού ds, µπορούµε να το θεωρήσουµε µε µεγάλη προσέγγιση ως επίπεδο και επί πλέον µπορούµε να αντιστοιχήσουµε σ αυτό ένα διάνυσµα d S µε τα εξής στοιχεία: H διεύθυνση του d S είναι κάθετη στο θεωρούµενο στοιχειώδες τµήµα, το µέτρο του είναι ίσο µε το στοιχειώδες εµβαδόν ds η δε φορά του ορίζεται µε σύµβαση, ανάλογα µε τη γεωµετρική µορφή της επιφάνειας S. Συγκεκριµένα αν η επιφάνεια S είναι µια ανοικτή καµπύλη επιφάνεια η φορά του είναι προς το κυρτό µέρος της επιφάνειας, ενώ στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι κλειστή τότε η φορά του διανύσµατος d S σε κάθε σηµείο της λαµβάνεται προς το εξωτερικό της µέρος, ανεξάρτητα αν στο σηµείο αυτό αντιστοιχεί κυρτό ή κοίλο τµήµα της επιφάνειας. Tέλος στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι επίπεδη, τότε η φορά του d S σε µιά όψη της λαµβάνεται ίδια µε τη φορά προχώρησης δεξιόστροφου κοχλία (βίδας), στρεφόµενου ώστε να διαγράφει το περίγραµµα της όψεως αυτής, είτε κατά την φόρα κίνησης των δεικτών του ρολογιού είτε αντίθετα µε αυτή. Tο διάνυσµα d S ονοµάζεται εµβαδικό διάνυσµα της επιφάνειας (S) στο σηµείο M αυτής. Eάν B είναι η ένταση του πεδίου στο σηµείο M και φ η γωνία των διανυσµάτων B και d S, τότε το γινόµενο BdSσυνφ ορίζεται ως στοιχειώ δης µαγνητική ροή διαµέσου του στοιχειώδους τµήµατος ds και συµβολίζεται µε dφ, δηλαδή εξ ορισµού ισχύει η σχέση: dφ=bdsσυνφ (1) Xρησιµοποιώντας τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων µπο ρού µε να γράψουµε τη σχέση (1) µε τη µορφή: d = ( B " d S ) () Eξάλλου εάν διαµερίσουµε την επιφάνεια (S) σε στοιχειώδη τµήµατα µε εµβαδά
ds 1, ds,... και συµβολίσουµε µε dφ 1, dφ,...τις αντίστοιχες στοιχειώδεις µαγ νητικές ροές που διέρχονται µέσα από τα τµήµατα αυτά, τότε η ολική µαγνη τική ροή Φ (S) µέσα από την επιφάνεια (S) θα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των επιµέρους στοιχειωδών µαγνητικών ροών, δηλαδή θα ισχύει: (S) = "(d) = "( B #d S ) = "(B ds$%&') (3) Aν η επιφάνεια (S) είναι επίπεδη και το µαγνητικό πεδίο οµογενές, τότε σε όλα τα σηµεία της επιφάνειας η γωνία φ θα είναι η ίδια καθώς και η ένταση B, οπότε η γενική σχέση (3) στην περίπτωση αυτή απλοποιείται και παίρνει τη µορφή: (S) = BS"#$% (4) όπου S το εµβαδόν της επίπεδης επιφάνειας και φ η γωνία του εµβαδικού διανύσµατος της επιφάνειας µε το διάνυσµα της έντασης του οµογενούς µαγνη τικού πεδίου. Tέλος πρέπει να τονίσουµε ότι, η µαγνητική ροή δια µέσου µιας επιφάνειας που βρίσκεται σε µαγνητικό πεδίο, εκφράζει από φυσική άποψη το πλήθος των δυναµικών γραµµών που τη διασχίζουν. Δηλαδή µεταβολή της µαγ νητικής ροής µέσα από την επιφάνεια σηµαίνει µεταβολή του πλήθους των δυναµικών γραµµών που διέρχονται από την επιφάνεια αυτή. Σηµαντική παρατήρηση: Eπειδή µέχρι τώρα δεν υπάρχει καµιά πειραµατική ένδειξη για την ύπαρξη αποµονωµένων µαγνητικών πόλων, είµαστε υποχρε ωµένοι να δεχθούµε ότι οι δυναµικές γραµµές κάθε µαγνητικού πεδίου είναι κλειστές, δηλαδή δεν έχουν αρχή και τέλος και µάλιστα περιβάλλουν τα ρεύ µατα που δηµιουργούν το πεδίο. Στην αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε να έχουν βρεθεί µαγνητικά µονόπολα από τα οποία να εκκινούν δυναµικές γραµµές και µαγνητικά µονόπολα αντίθετου πρόσηµου στα οποία να καταλήγουν οι γραµ µές αυτές. Tο γεγονός ότι οι δυναµικές γραµµές ενός µαγνητικού πεδίου απο τελούν κλειστούς βρόχους µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι, η µαγνητική ροή που διασχίζει µια κλειστή επιφάνεια (S) που βρίσκεται µέσα στο πεδίο είναι µηδενική, αφού όλες οι δυναµικές γραµµές που εισέρχονται στην επιφάνεια αναγκαστικά θα εξέρχονται από αυτή. Στην αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε η επιφάνεια να περικλείει τουλάχιστο ένα µαγνητικό µονόπολο, πράγµα που είναι αδύνατο. H παραπάνω ιδιότητα εκφράζεται µε τη σχέση: " B d S ) = 0 (6) (s) 1. Δύναµη Lorentz σε κινούµενο ηλεκτρικό φορτίο Mε βάση τη δύναµη Laplace που δέχεται ένα στοιχειώδες ρεύµα, όταν αυτό βρεθεί σε κάποιο σηµείο µαγνητικού πεδίου, µπορούµε να καθορίσουµε τα στοιχεία της δύναµης Lοrentz πάνω σ ένα φορτισµένο σωµατίδιο, όταν αυτό κινείται µέσα σε µαγνητικό πεδίο. Eίναι γνωστό ότι, ένα στοιχειώδες* ρεύµα ------------------------------- * Πρέπει να διευκρινίσουµε ότι, η ηλεκτροµαγνητική δύναµη Laplace d F που δέχε ται ένα στοιχειώδες ρεύµα ενεργεί στο σύνολο των ηλεκτρικών φορέων του ρεύµα τος (π.χ. στα ελεύθερα ηλεκτρόνια). O µηχανισµός µεταβίβασης των δυνάµεων Lorentz από τα ελεύθερα ηλεκτρονια ενός µεταλλικού αγωγού στο µεταλλικό του πλέγµα είναι εξαιρετικά πολύπλοκος και δεν θα µας απασχολήσει.
αντιστοιχεί σε προσανατολισµένη ροή ηλεκτρικών φορέων, που έχουν όλοι την ίδια ταχύτητα v, η οποία είναι οµόρροπη της συµβατικής φοράς του ρεύµατος, όταν οι φορείς έχουν θετικό φορτίο ή αντίρροπη αυτής, όταν οι φορείς έχουν αρνητικό φορτίο. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, σε όλο το µήκος dl του στοιχει ώδους ρεύµατος υπάρχουν dn ηλεκτρικοί φορείς µε ηλεκτρικό φορτίο q ο καθένας. Eπειδή όλοι αυτοί οι φορείς έχουν την ίδια ταχύτητα και βρίσκονται σχεδόν στο ίδιο σηµείο του µαγνητικού πεδίου είναι λογικό να δέχονται όλοι Σχήµα 18 την ίδια δύναµη Lorentz f L, οπότε η στοιχειώδης δύναµη Laplace d F, ως συνι σταµένη όλων των δυνάµεων f L θα έχει µέτρο: df=dnf L BIdLηµφ=dnf L f L=BI(dL/dn)ηµφ (1) Eάν dt είναι ο χρόνος που χρειάζεται κάθε φορέας για να διανύσει το µήκος dl, τότε στο χρόνο αυτό από κάθε διατοµή του ρεύµατος θα περάσει ηλεκτρικό φορτίο dn q, οπότε για την ένταση I του στοιχειώδους ρεύµατος θα ισχύει: I = (dn/dt) q () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε τη σχέση: f L = B q dn dt dl$ dl$ # & µ" = B q # & µ" " dn% " dt% Oµως το πηλίκο dl/dt αποτελεί το µέτρο της ταχύτητας v κάθε ηλεκτρικού φορέα του ρεύµατος, οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει τη µορφή: f L = B q vµ" (3) όπου φ η γωνία των διανυσµάτων v και B. H διεύθυνση και η φορά της f L αντιστοιχούν στον κανόνα του δεξιού χεριού, σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι, όταν ένα θετικό φορτίο κινείται δηµιουργεί ρεύµα οµόρροπο της ταχύτητάς του, ενώ αρνητικό φορτίο κινούµενο δηµιουργεί ρεύµα αντίρροπο της ταχύτη τάς του. Oλα τα παραπάνω στοιχεία της δύναµης Lorentz f L µας επιτρέπουν να εκφράσουµε τη δύναµη αυτή µέσω του εξωτερικού γινοµένου των διανυσ µάτων v και B, ως εξής:
f L = q ( v B ) Σχήµα 19 Σχήµα 0 Στα σχήµατα (19) και (0) φαίνεται η εφαρµογή του κανόνα του δεξιού χεριού για τον καθορισµό της φοράς της ηλεκτροµαγνητικής δύναµης Lorentz σε θετικό και αρνητικό φορτίο αντιστοίχως. 4. Δύναµη Laplace σε ευθύγραµµο αγωγό Eάν ένας ρευµατοφόρος αγωγος είναι ευθύγραµµος καί βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, τότε οι στοιχειώδεις δυνάµεις Laplace που θα δέχονται τα διάφορα στοιχειώδη τµήµατα του αγωγού, θα είναι µεταξύ τους συγγραµικές καί οµόρροπες, διότι οι φορείς τους είναι κάθετοι πάνω στο επίπεδο που καθορίζει ο αγωγός και η ένταση B του πεδίου, η δε φορά τους είναι κοινή (κανόνας δεξιού χεριού). Στην περίπτωση αυτή, ο φορέας της ολικής δύναµης Laplace F L που δέχεται ο αγωγός, περνά από το µέσο του M καί είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζει ο αγωγός καί η ένταση του πεδίου, διότι οι επιµέρους στοιχειώδεις δυνάµεις Laplace είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες σε όλο το µήκος του. Tέλος το µέτρο της είναι το άθροισµα των Σχήµα 1 µέτρων των στοιχειωδών δυνάµεων, που αντιστοιχούν στα διάφορα στοιχειώδη τµήµατα του αγωγού. Δηλαδή ισχύει: F L = (df) = (BIdLµ") F L = BIµ" (dl) F L = IBL µ" όπου L, τό µήκος του αγωγού καί φ η γωνία που σχηµατίζει ο αγωγός µε την ένταση του πεδίου. Tέλος η φορά της δύναµης Laplace ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού. (σχ. 1)
9. Kίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε οµογενές µαγνητικό πεδίο α) Tο σωµατίδιο εκτοξεύεται κάθετα ως προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου Σ ένα σηµείο O οµογενούς µαγνητικού πεδίου, απεριόριστης έκτασης, εκτο ξεύεται αβαρές φορτισµένο σωµατίδιο (λ.χ. ένα πρωτόνιο), µε ταχύτητα v 0 της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Tο πρωτό νιο κατά τη στιγµή της εκτόξευσής του δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύνα µη Lorentz F L, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζει η ένταση B του πεδίου και η αρχική ταχύτητα v 0 του πρωτονίου, η δε φορά της ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού (σχ. ) Eπειδή η F L δεν είναι συγγραµµική της v 0 το πρωτόνιο θα διαγράψει καµπύλη τροχιά πάνω στο επί πεδο που καθορίζουν τα διανύσµατα F L και v 0, δηλαδή το πρωτόνιο θα κινείται πάνω στο επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο εκτοξευσής του O και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Όµως στη διάρκεια αυτής της κίνησης η µοναδική δύναµη που δέχεται το πρωτόνιο είναι η δύναµη Lorentz, η οποία ως διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα του πρωτονίου δεν παράγει έργο, οπότε η κινητική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται. Aυτό σηµαίνει ότι και το µέτρο της ταχύτητας του πρωτονίου δεν µεταβάλλεται, δηλαδή η καµπυ λόγραµµη κίνησή του είναι οµαλή. Eξάλλου σε κάθε σηµείο της τροχιάς του πρωτονίου η δύναµη Lorentz ενεργεί σ αυτό ως κεντροµόλος δύναµη που µε Σχήµα Σχήµα 3 ταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητάς του, οπότε θα ισχύει η σχέση: F L = m v p 0 R Bq p v 0 = m v p 0 R R = m pv 0 Bq p (1) όπου R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο θεωρούµενο σηµείο, m p η µάζα του πρωτονίου και q p το ηλεκτρικό του φορτίο. Aπό τη σχέση (1) προκύπτει ότι η ακτίνα καµπυλότητας R είναι σταθερή, δηλαδή η ίδια σε όλα τα σηµεία της τροχιάς του πρωτονίου που σηµαίνει ότι η τροχιά αυτή είναι κυκλική. Δείξαµε λοιπόν ότι, αν το πρωτόνιο εκτοξευθεί σ ένα σηµείο οµογενούς µαγνητικού πεδίου κάθετα προς τις δυναµικές του γραµµές, θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνηση, πάνω σε επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο εκτόξευσής του O και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Tο κέντρο K της κυκλικής
τροχιάς του πρωτονίου βρίσκεται πάνω στο φορέα της δύναµης Lorentz σε απόσταση R από το πρωτόνιο, είναι δε η απόσταση αυτή ανάλογη προς το µέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης v 0 του πρωτονίου. Eξάλλου, εάν T είναι η περίοδος της οµαλής κυκλικής κίνησης του πρωτονίου, θα ισχύει η σχέση: T = R (1) v 0 T = m pv 0 B q p v 0 T = m p B q p () δηλαδή η περίοδος του πρωτονίου είναι ανεξάρτητη της αρχικής του ταχύτη τας v 0. Aπό όσα εκτέθηκαν παραπάνω προκύπτει ότι, αν σ ένα σηµείο οµογε νούς µαγνητικού πεδίου υπάρχει µια πηγή πρωτονίων, η οποία εκπέµπει πρω τόνια µε διαφορετικές ταχύτητες, πάνω σε επίπεδο που περιέχει την πηγή και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου, τότε τα πρωτόνια θα διαγρά ψουν επί του επιπέδου αυτού κυκλικές τροχιές διαφορετικών ακτίνων (σχ. 3), αλλά της ίδιας περιόδου. Aυτό σηµαίνει ότι, όσα πρωτόνια ξεκινούν από την πηγή την ίδια στιγµή θα επιστρέψουν ταυτόχρονα σ αυτή, δηλαδή αν η πηγή εκπέµπει κάποια στιγµή µία δέσµη πρωτονίων, η δέσµη αυτή θα εστιάσει πάλι στην πηγή. β) Tο σωµατίδιο εκτοξεύεται πλάγια ως προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου Σ ένα σηµείο O οµογενούς µαγνητικού πεδίου απεριόριστης έκτασης, εκτο ξεύεται αβαρές φορτισµένο σωµατίδιο (λ.χ. ηλεκτρόνιο) µε ταχύτητα v 0 της οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία φ µε την ένταση B του πεδίου. Aναλύουµε την αρχική ταχύτητα v 0 του ηλεκτρονίου σε δύο συνιστώσες v 0y και v 0z, εκ των οποίων η v 0y είναι παράλληλη προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου, Σχήµα 4 ενώ η v 0z είναι κάθετη σ αυτές. Eξ αιτίας της συνιστώσας v 0y το ηλεκτρόνιο δεν δέχεται δύναµη Lorentz, διότι η v 0x είναι συγγραµµική της B, οπότε το ηλεκτρόνιο κατά τη διεύθυνση του άξονα Oz, δηλαδή κατά τη διεύθυνση των δυναµικών γραµµών του πεδίου, θα εκτελεί οµαλή κίνηση µε ταχύτητα v 0y. Έτσι η µετατόπισή του y σε χρόνο t, κατά τη διεύθυνση του πεδίου, θα είναι: y = v 0x t = v 0 tσυνφ (1)
Eξάλλου, λόγω της συνιστώσας v 0z το ηλεκτρόνιο δέχεται δύναµη Lorentz, υπό την επίδραση της οποίας εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση στο επίπεδο, που διέρχεται από το σηµείο O και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου (επίπεδο yz). H ακτίνα R της αντίστοιχης κυκλικής τροχιάς υπολογίζεται από τη σχέση: R = m ev 0z B q e = m ev 0 µ" B q e () όπου m e η µάζα του ηλεκτρονίου και q e το ηλεκτρικό του φορτίο. H σύνθεση των δύο αυτών κινήσεων οδηγεί σε µη επίπεδη κίνηση του ηλεκτρονίου, η οποία ονοµάζεται ελικοειδής κίνηση η δε αντίστοιχη τροχιά του ονοµάζεται κυκλική έλικα. Στο σχήµα (4) φαίνεται η κυκλική έλικα που διαγράφει το ηλεκτρόνιο, η οποία προβάλλεται στο επίπεδο xz κατά το γραµµοσκιασµένο κύκλο, κέντρου K και ακτίνας R, προχωρεί δε η έλικα κατά την διεύθυνση των δυναµικών γραµµών του µαγνητικού πεδίου. Oρίζεται ως βήµα της κυκλικής έλικας που διαγράφει το ηλεκτρόνιο, η µετατόπιση L T αυτού κατά τη διεύθυν ση των δυναµικών γραµµών του πεδίου, σε µια περίοδο T της οµαλής κυκλι κής του κίνησης λόγω της συνιστώσας v 0y. Έτσι θα έχουµε: R$ L T = v 0y T L T = v 0y # & () " % v 0z m L T = v e v 0z $ 0y # & " B q e v 0z % L T = m ev 0" q e B = m v #$%& e 0 q e B (3) Παρατηρούµε από την (3) ότι, το βήµα της κυκλικής έλικας που διαγράφει το σωµατίδιο εξαρτάται από το ειδικό του φορτίο q e /m e, από το µέτρο της αρχικής του ταχύτητας v 0 και από τη διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου. P.M. fysikos Mεταλλικό δακτυλίδι µάζας m=10 - kg φέρει ηλεκ τρικό φορτίο q=10-7 Cb και µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος µονω τικής ράβδου, µε την οποία παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n=0,5. H µονωτική ράβδος είναι κατακόρυφα στερεωµένη σε χώρο, όπου υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, του οποίου η ένταση είναι οριζόντια και έχει µέτρο E=10 6 Nt/m. Tη στιγµή t=0 το δακτυλίδι αφήνεται ελεύθερο. i) Nα εξετάσετε εάν το δακτυλίδι θα τεθεί σε κίνηση.